Devoir surveillé : symétrie centrale et parallélogrammes

1. a)$A$ : $4$ unités vers la droite, puis $1$ vers le haut ; $B$ : $2$ vers la gauche, puis $3$ vers le haut ; $C$ : $5$ vers le bas, sur l'axe vertical ; $D$ : $3$ vers la gauche, sur l'axe horizontal. $C$ a pour abscisse $0$ : il est sur l'axe des ordonnées. $D$ a pour ordonnée $0$ : il est sur l'axe des abscisses. $A$ et $B$ ne sont sur aucun axe. (0,5 pt pour les quatre points + 0,5 pt pour les axes) (1)
2. b)Pour aller de $A$ à $O$ : $4$ unités vers la gauche et $1$ vers le bas. Je refais le même trajet à partir de $O$ : $A\prime$ est $4$ unités à gauche et $1$ unité au-dessous de $O$, donc $A\prime (-4;-1)$. Contrôle : $O$ est bien le milieu de $[AA\prime ]$. (0,5 pt trajet + 0,5 pt coordonnées) (1)
3. c)De $B$ à $O$ : $2$ unités vers la droite et $3$ vers le bas. Même trajet à partir de $O$ : $B\prime (2;-3)$. (1 pt) (1)
4. d)$[A\prime B\prime ]$ est le symétrique de $[AB]$ par rapport à $O$. Or la symétrie centrale conserve les longueurs, donc $A\prime B\prime =AB$. Et le symétrique d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle : $(A\prime B\prime )//(AB)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — après $O$, on continue dans le même sens : si l'on va vers la gauche et vers le bas pour atteindre $O$, on continue vers la gauche et vers le bas ; revenir en arrière ramène au point de départ.

1. a)$2$ axes : les médiatrices de ses côtés (pas ses diagonales). Il a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$3$ axes : chacun passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Aucun centre de symétrie : après un demi-tour, la pointe du haut se retrouve en bas. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Aucun axe : en pliant, les deux moitiés ne se superposent jamais. Il a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales, qui est leur milieu commun. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$2$ axes : la médiatrice de $[MN]$ et la droite $(MN)$. Un centre de symétrie : le milieu de $[MN]$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — avoir des axes ne donne pas un centre (le triangle équilatéral en a trois et n'a pas de centre), et avoir un centre ne donne pas d'axe (le parallélogramme quelconque).

1. a)$K$ est le centre de symétrie du parallélogramme : la symétrie de centre $K$ transforme $E$ en $G$ et $F$ en $H$, donc $[EF]$ en $[GH]$. Or la symétrie centrale conserve les longueurs : $GH=EF=6,4$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Une longueur et une largeur font la moitié du périmètre : $19,8÷2=9,9$ cm. Donc $FG=9,9-6,4=3,5$ cm. (1 pt ; 0,5 pt si l'élève fait $19,8-6,4$ sans penser aux deux côtés de chaque sorte) (1)
3. c)$GHE$ est opposé à $EFG$ : il mesure aussi ${115}^{\circ }$. $HEF$ est consécutif à $EFG$ : ils sont supplémentaires, donc $HEF$ mesure $180-115=65$, soit ${65}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : $K$ est le milieu de $[EG]$, donc $EG=2\times 4,25=8,5$ cm. (1 pt) (1)

Méthode — angle opposé : même mesure ; angle consécutif (voisin) : $180°$ moins la mesure connue ; contrôle, les quatre angles font $115+65+115+65=360$ degrés.

1. a)On sait que les côtés opposés de $MNPQ$ sont parallèles deux à deux : c'est un parallélogramme (définition). On sait aussi que deux côtés consécutifs, $[MN]$ et $[NP]$, ont la même longueur. Or un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Donc $MNPQ$ est un losange. (0,5 pt parallélogramme + 0,5 pt losange) (1)
2. b)On sait que les diagonales de $RSTU$ ont le même milieu : c'est un parallélogramme. Elles ont aussi la même longueur. Or un parallélogramme qui a des diagonales de même longueur est un rectangle. Donc $RSTU$ est un rectangle. (1 pt) (1)
3. c)On sait que $VWXY$ a quatre côtés de même longueur : c'est un losange. On sait aussi qu'il a un angle droit. Or un losange qui a un angle droit est un carré. Donc $VWXY$ est un carré. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)On sait que $ABCD$ a trois angles droits. Or un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. Donc $ABCD$ est un rectangle. Ce n'est pas un carré : deux côtés consécutifs, $AB=5$ cm et $BC=3$ cm, n'ont pas la même longueur. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — je cherche d'abord la famille (parallélogramme, rectangle, losange), puis la propriété qui suffit, et je rédige en trois temps : on sait que… ; or… ; donc….

1. a)Un quadrilatère $ABCD$ avec ses deux diagonales qui se coupent en $O$ ; le même trait sur les quatre demi-diagonales $[OA]$, $[OB]$, $[OC]$, $[OD]$ ; $AC=8$ cm écrit ; l'angle $AOB$ marqué ${130}^{\circ }$. (0,5 pt codage des demi-diagonales + 0,5 pt données) (1)
2. b)Je trace $[AC]$ de $8$ cm et je place son milieu $O$ ($OA=4$ cm) ; au rapporteur, je trace une demi-droite d'origine $O$ qui fait un angle de ${130}^{\circ }$ avec $[OA)$ et j'y place $B$ à $4$ cm de $O$ ; je prolonge au-delà de $O$ et je place $D$ à $4$ cm de $O$, de l'autre côté ; je trace $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. Les diagonales ont la même longueur et le même milieu : c'est bien un rectangle. (1 pt, tolérance 1 mm et 1°) (1)
3. c)Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : $BD=AC=8$ cm. Elles se coupent en leur milieu : $OB=8÷2=4$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$O$ est le milieu de $[AC]$, donc $OA=8÷2=4$ cm, et $OB=4$ cm. Comme $OA=OB$, le triangle $AOB$ est isocèle en $O$. La symétrie de centre $O$ transforme $A$ en $C$, $B$ en $D$ et laisse $O$ à sa place : l'angle $COD$ est le symétrique de l'angle $AOB$. Or la symétrie centrale conserve les mesures d'angles, donc $COD={130}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — pour un rectangle, les quatre demi-diagonales ont la même longueur : les quatre sommets sont à la même distance du centre.

1. a)$A$ : $4$ unités à gauche, $2$ en bas ; $B$ : $3$ à droite, $2$ en bas ; $C$ : $5$ à droite, $3$ en haut. (1 pt ; 0,5 pt si un point est faux, par exemple abscisse et ordonnée inversées) (1)
2. b)Pour aller de $B$ à $C$ : $2$ unités vers la droite et $5$ vers le haut. Je fais le même déplacement à partir de $A$ : $D(-2;3)$. Ainsi $(AD)//(BC)$ et $AD=BC$ : deux côtés opposés parallèles et de même longueur, $ABCD$ est bien un parallélogramme. (0,5 pt déplacement justifié + 0,5 pt coordonnées) (1)
3. c)$A$ et $B$ ont la même ordonnée $-2$, $D$ et $C$ la même ordonnée $3$ : les deux segments sont horizontaux. De $-4$ à $3$, de part et d'autre de $0$ : $AB=4+3=7$ unités. De $-2$ à $5$ : $DC=2+5=7$ unités. On retrouve que les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Sur la figure, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $K(0,5;0,5)$, un petit carreau (une demi-unité) à droite de l'axe des ordonnées et un au-dessus de l'axe des abscisses. Contrôle : de $A$ à $C$, on fait $9$ vers la droite et $5$ vers le haut ; $K$ est au milieu du trajet, $4,5$ vers la droite et $2,5$ vers le haut depuis $A$ : $-4+4,5=0,5$ et $-2+2,5=0,5$. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : $K$ est le milieu de $[BD]$, donc le symétrique de $B$ par rapport à $K$ est $D$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
5. e)Un rectangle a quatre angles droits. $B(3;-2)$ et $C(5;3)$ n'ont pas la même abscisse : $[BC]$ n'est pas vertical. Or la seule direction perpendiculaire à l'horizontale $(AB)$ est la verticale : l'angle $ABC$ n'est pas droit, donc $ABCD$ n'est pas un rectangle. Un côté horizontal ne dit rien sur les angles. (1 pt) (1)

Méthode — pour placer le quatrième sommet d'un parallélogramme sur un quadrillage, je compte le déplacement de $B$ à $C$ et je le refais à partir de $A$ : on obtient deux côtés opposés parallèles et de même longueur.

1. a)Triangle $RST$ avec l'angle droit codé en $S$, $RS=4$ cm et $ST=3$ cm ; $O$ codé milieu de $[RT]$ ; $U$ placé de l'autre côté de $O$ par rapport à $S$, avec $OU=OS$ codé. $O$ est le milieu de $[RT]$, donc le symétrique de $R$ par rapport à $O$ est $T$. (0,5 pt figure + 0,5 pt symétrique) (1)
2. b)On sait que $O$ est le milieu de $[RT]$ et, puisque $U$ est le symétrique de $S$ par rapport à $O$, que $O$ est aussi le milieu de $[SU]$. $[RT]$ et $[SU]$ sont les diagonales de $RSTU$. Or si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc $RSTU$ est un parallélogramme. (1 pt) (1)
3. c)On sait que $RSTU$ est un parallélogramme et que $RST={90}^{\circ }$. Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Donc $RSTU$ est un rectangle. Périmètre : $2\times (4+3)=14$, soit $14$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : $SU=RT=5$ cm. $O$ est le milieu de $[SU]$ : $OU=5÷2=2,5$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — « $U$ est le symétrique de $S$ par rapport à $O$ » se traduit tout de suite par « $O$ est le milieu de $[SU]$ » : c'est souvent la donnée qui manque pour reconnaître un parallélogramme par ses diagonales.

1. a)Nora a tort. Deux points de même abscisse sont sur une même droite verticale : $(PQ)$ est parallèle à l'axe des ordonnées. (C'est la même ordonnée qui donne une droite horizontale.) (1 pt) (1)
2. b)Hugo a raison. Un losange est un parallélogramme ; un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Le quadrilatère est donc à la fois un losange et un rectangle : c'est un carré. (1 pt) (1)
3. c)Inès a tort. Il faut d'abord que les diagonales aient le même milieu. Contre-exemple : $[AC]$ et $[BD]$ perpendiculaires en $I$, avec $IA=1$ cm, $IC=4$ cm et $IB=ID=2$ cm. $I$ n'est pas le milieu de $[AC]$ : $ABCD$ n'est pas un parallélogramme, donc pas un losange (c'est un « cerf-volant »). (0,5 pt réponse + 0,5 pt contre-exemple) (1)
4. d)Malik a tort. La symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle (et une droite qui passe par $O$ en elle-même), jamais en une droite perpendiculaire. (1 pt) (1)

Piège — des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas pour un losange : sans le même milieu, on peut obtenir un cerf-volant.

1. a)Main levée : quatre côtés codés égaux, $5$ cm, angle de ${70}^{\circ }$ en $K$. Construction : je trace $[KL]$ de $5$ cm ; au rapporteur, l'angle $LKN$ de ${70}^{\circ }$ ; je place $N$ sur ce côté à $5$ cm de $K$ ; puis $M$ au compas, avec un arc de centre $L$ et un arc de centre $N$, de rayon $5$ cm. (0,5 pt main levée + 0,5 pt construction, tolérance 1 mm et 1°) (1)
2. b)Un losange est un parallélogramme : $I$, point d'intersection de ses diagonales, est son centre de symétrie. La symétrie de centre $I$ transforme $K$ en $M$, $L$ en $N$ et $N$ en $L$, donc l'angle $LKN$ en l'angle $NML$. Or la symétrie centrale conserve les mesures d'angles : $LMN={70}^{\circ }$. $KLM$ est consécutif à $LKN$ : ils sont supplémentaires, donc $KLM$ mesure $180-70=110$, soit ${110}^{\circ }$. (0,5 pt image et ${70}^{\circ }$ + 0,5 pt ${110}^{\circ }$) (1)
3. c)Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : le triangle $KIL$ est rectangle en $I$. Il n'est pas isocèle en $I$ : $IK$ et $IL$ sont les moitiés des diagonales $[KM]$ et $[LN]$. Si elles étaient égales, les diagonales auraient la même longueur et le losange serait un rectangle, donc un carré ; or son angle $LKN$ mesure ${70}^{\circ }$ et non ${90}^{\circ }$. Donc $IK\ne IL$. (0,5 pt rectangle + 0,5 pt non isocèle justifié) (1)
4. d)Les droites qui portent les diagonales d'un losange sont ses axes de symétrie : $(KM)$ est perpendiculaire à $[LN]$ et passe par son milieu $I$, donc le symétrique de $L$ par rapport à $(KM)$ est $N$ ; $K$ et $M$, sur l'axe, ne bougent pas. L'angle $LKM$ a donc pour image l'angle $NKM$. Or la symétrie axiale conserve les mesures d'angles : $LKM=MKN$, et chacun mesure $70÷2=35$, soit ${35}^{\circ }$. (0,5 pt image de $L$ + 0,5 pt ${35}^{\circ }$) (1)

Astuce — un losange a deux axes de symétrie (les droites qui portent ses diagonales) et un centre de symétrie (leur point d'intersection) : chacune de ces symétries donne des angles égaux sans rapporteur.

1. a)$A$ et $C$ ont pour ordonnée $0$ : l'allée $[AC]$ est sur l'axe des abscisses ; $AC=4+4=8$ m. $B$ et $D$ ont pour abscisse $0$ : l'allée $[BD]$ est sur l'axe des ordonnées ; $BD=3+3=6$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$OA=OC=4$ et $OB=OD=3$ : $O$ est le milieu des diagonales $[AC]$ et $[BD]$, donc $ABCD$ est un parallélogramme. Ses diagonales sont portées par les deux axes du repère, qui sont perpendiculaires. Or un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange. Donc $ABCD$ est un losange. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)De $E$ à $O$ : $2$ unités vers la droite et $1,5$ vers le haut ; même trajet après $O$ : $F(2;1,5)$. $O$ est le centre de symétrie du losange : le symétrique de $A$ est $C$, celui de $D$ est $B$, donc celui du bord $[AD]$ est le bord $[CB]$. Or la symétrie centrale conserve les milieux : $F$ est le milieu de $[CB]$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — on ne se fie pas au dessin : ce sont les coordonnées (abscisse $0$, ordonnée $0$) qui prouvent que les allées sont sur les axes, donc perpendiculaires.

1. a)De $B$ à $C$ : $1$ unité vers la droite et $5$ vers le haut. Même déplacement à partir de $A$ : $D(-3;4)$. Alors $(AD)//(BC)$ et $AD=BC$ : deux côtés opposés parallèles et de même longueur, $ABCD$ est un parallélogramme. (0,5 pt méthode justifiée + 0,5 pt coordonnées) (1)
2. b)Dans $ABEC$, le côté opposé à $[AB]$ est $[EC]$ : il faut $(CE)//(AB)$ et $CE=AB$. De $A$ à $B$ : $6$ vers la droite et $2$ vers le bas ; même déplacement à partir de $C$ : $E(9;0)$, un point de l'axe des abscisses. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Dans $AFBC$, le côté opposé à $[AF]$ est $[BC]$ : il faut $(AF)//(CB)$ et $AF=CB$. De $C$ à $B$ : $1$ vers la gauche et $5$ vers le bas ; même déplacement à partir de $A$ : $F(-5;-6)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)De $D$ à $A$ : $1$ vers la gauche et $5$ vers le bas ; de $A$ à $F$ : encore $1$ vers la gauche et $5$ vers le bas. Le même trajet deux fois de suite : $D$, $A$, $F$ sont alignés et $DA=AF$, donc $A$ est le milieu de $[DF]$. Autre rédaction : $(AD)$ et $(AF)$ sont toutes deux parallèles à $(BC)$ et passent par $A$, elles sont donc confondues ; et $AD=BC=AF$. (0,5 pt alignement + 0,5 pt égalité des longueurs) (1)
5. e)De $F$ à $B$ : $7$ vers la droite et $3$ vers le haut, et de $B$ à $E$ : encore $7$ vers la droite et $3$ vers le haut, donc $B$ est le milieu de $[FE]$. De $D$ à $C$ : $6$ vers la droite et $2$ vers le bas, et de $C$ à $E$ : encore $6$ vers la droite et $2$ vers le bas, donc $C$ est le milieu de $[DE]$. $A$, $B$ et $C$ sont les milieux des trois côtés du triangle $DEF$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — trois points donnés ne fixent pas un seul parallélogramme : selon que $[AC]$, $[BC]$ ou $[AB]$ devient une diagonale, il y a trois quatrièmes sommets possibles, et c'est l'ordre des lettres dans le nom qui décide.

1. a)L'élève n'a changé que le signe de l'abscisse : il a construit le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. De $M$ à $O$ : $5$ vers la gauche et $2$ vers le haut ; même trajet après $O$ : $M\prime (-5;2)$. (0,5 pt explication + 0,5 pt correction) (1)
2. b)Deux angles droits ne suffisent pas : un trapèze rectangle en a deux sans être un rectangle (par exemple $RS=4$ cm, $RU=2$ cm et $ST=3$ cm, avec les angles droits en $R$ et en $S$). Il faut trois angles droits, ou un parallélogramme avec un angle droit. Ici, on ne peut pas conclure. (0,5 pt + 0,5 pt contre-exemple ou propriété correcte) (1)
3. c)Le résultat est juste, mais la justification est fausse : les diagonales d'un parallélogramme n'ont pas toujours la même longueur. Bonne rédaction : $ABCD$ est un rectangle, or les diagonales d'un rectangle ont la même longueur, donc $BD=AC=10$ cm ; elles se coupent en leur milieu, donc $OB=10÷2=5$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)La symétrie centrale conserve les mesures d'angles : $\widehat{A\prime B\prime C\prime }=ABC={40}^{\circ }$. Le demi-tour met la figure « tête en bas », il ne change aucune mesure ; « ${180}^{\circ }-{40}^{\circ }$ » est le calcul d'un angle consécutif dans un parallélogramme, pas celui d'une image. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — un bon résultat ne suffit pas : la propriété citée doit être celle de la bonne figure ; « les diagonales ont la même longueur » est vrai pour le rectangle, pas pour tout parallélogramme.

1. a)$A\prime$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ : $O$ est le milieu de $[AA\prime ]$. De même, $O$ est le milieu de $[BB\prime ]$. Les diagonales $[AA\prime ]$ et $[BB\prime ]$ de $ABA\prime B\prime$ ont donc le même milieu : c'est un parallélogramme. (1 pt) (1)
2. b)Il faut des diagonales de même longueur : $AA\prime =BB\prime$. Or $AA\prime =2\times OA$ et $BB\prime =2\times OB$ : il faut $OB=OA=3$ cm. $B$ doit être sur le cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm (sauf aux deux points de ce cercle situés sur $(OA)$). Les diagonales mesurent alors $2\times 3=6$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Il faut des diagonales perpendiculaires : $(BB\prime )⟂(AA\prime )$. $B$ doit être sur la perpendiculaire à $(OA)$ passant par $O$ (sauf en $O$ lui-même). (1 pt) (1)
4. d)Pour un carré, il faut les deux conditions : $B$ est à la fois sur le cercle de centre $O$ de rayon $3$ cm et sur la perpendiculaire à $(OA)$ en $O$. Cette droite coupe le cercle en $2$ points : il y a $2$ positions. Construction : à l'équerre, la perpendiculaire à $(OA)$ en $O$, puis au compas un point à $3$ cm de $O$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour chercher « où placer un point », je traduis la nature voulue en conditions sur les diagonales (même longueur, perpendiculaires), puis chaque condition en une figure simple : un cercle, une droite.

1. a)Les quatre côtés d'un losange ont la même longueur : $AB=22÷4=5,5$ cm. $DAB$ et $ABC$ sont consécutifs, leur somme vaut ${180}^{\circ }$. Le premier vaut deux parts, le second une part : $3$ parts font ${180}^{\circ }$, une part vaut $180÷3=60$. Donc $ABC={60}^{\circ }$ et $DAB={120}^{\circ }$. Les angles opposés sont égaux : $CDA={60}^{\circ }$ et $BCD={120}^{\circ }$. (0,5 pt longueur + 0,5 pt angles) (1)
2. b)La symétrie centrale conserve les longueurs : $A\prime B\prime C\prime D\prime$ a quatre côtés de $5,5$ cm, son périmètre vaut $22$ cm. Elle conserve les angles : $\widehat{D\prime A\prime B\prime }=DAB={120}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$B\prime$ et $D\prime$ sont les symétriques de $B$ et $D$ par rapport à $C$ : $C$ est le milieu de $[BB\prime ]$ et de $[DD\prime ]$, les diagonales de $BDB\prime D\prime$, qui est donc un parallélogramme. De plus $BB\prime =2\times BC=2\times 5,5=11$ cm et $DD\prime =2\times DC=11$ cm, car $BC=DC$ dans le losange. Or un parallélogramme qui a des diagonales de même longueur est un rectangle. Donc $BDB\prime D\prime$ est un rectangle. (0,5 pt parallélogramme + 0,5 pt diagonales égales et conclusion) (1)
4. d)Pour un carré, il faudrait en plus des diagonales perpendiculaires. Or $(BB\prime )$ est la droite $(BC)$ et $(DD\prime )$ est la droite $(DC)$, qui font en $C$ l'angle $BCD={120}^{\circ }$, pas ${90}^{\circ }$. Les diagonales ne sont pas perpendiculaires : ce n'est pas un carré. (0,5 pt idée des diagonales + 0,5 pt angle de ${120}^{\circ }$) (1)

Astuce — quand un angle vaut le double de son voisin et que leur somme vaut $180°$, on raisonne en parts : $1+2=3$ parts pour $180°$.

1. a)Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu : $P$ est le milieu de $[KM]$, donc $M$ est le symétrique de $K$ par rapport à $P$. De $K$ à $P$ : $3$ vers la droite ; même trajet après $P$ : $M(4;2)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$K$ et $M$ ont la même ordonnée : la diagonale $[KM]$ est horizontale et mesure $3+3=6$ unités. Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires : $[LN]$ est verticale et passe par $P$, donc $L$ et $N$ ont pour abscisse $1$. Elles ont la même longueur et le même milieu : $PL=PN=6÷2=3$. D'où $L(1;5)$ et $N(1;-1)$. (0,5 pt direction + 0,5 pt coordonnées) (1)
3. c)Par exemple $R(1;3)$ et $S(1;1)$. $P$ est le milieu de $[RS]$ et de $[KM]$ : $KRMS$ est un parallélogramme. Ses diagonales sont perpendiculaires ($[RS]$ verticale, $[KM]$ horizontale) : c'est un losange. $RS=2$ et $KM=6$ : les diagonales n'ont pas la même longueur, ce n'est pas un rectangle, donc pas un carré. Toute réponse $R(1;2+d)$ et $S(1;2-d)$ avec $d$ strictement positif et différent de $3$ convient (ou les mêmes points échangés) ; pour $d=3$, on retrouve le carré $KLMN$. (1 pt) (1)

Méthode — pour retrouver un sommet caché, je pars du centre : c'est le milieu des diagonales, donc chaque sommet est le symétrique du sommet opposé par rapport à lui.