À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Symétrie centrale & parallélogramme » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Du miroir au demi-tour : deux symétries, Symétrique d'un point par rapport à un centre, Construire le symétrique d'une figure, Les propriétés conservées par la symétrie centrale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Du miroir au demi-tour : deux symétries
2 · Symétrique d'un point par rapport à un centre
3 · Construire le symétrique d'une figure
4 · Les propriétés conservées par la symétrie centrale
5 · Le centre de symétrie d'une figure
6 · Le parallélogramme et ses propriétés
7 · Reconnaître un parallélogramme
1Du miroir au demi-tour : deux symétries
En 6e, tu as étudié la symétrie axiale (par rapport à une droite). En 5e, on découvre la symétrie centrale (par rapport à un point).
Définitions.
• La symétrie axiale est un pliage autour d'une droite (l'axe) : c'est un effet miroir.
• La symétrie centrale est un demi-tour ($180°$) autour d'un point (le centre) : la figure est retournée à l'envers.
Exemple. Si tu fais tourner cette page d'un demi-tour autour d'un point, chaque lettre se retrouve à l'envers : c'est exactement l'effet d'une symétrie centrale.
2Symétrique d'un point par rapport à un centre
Tout repose sur la notion de milieu. On note souvent $O$ le centre de symétrie.
Règle. Le symétrique $M'$ d'un point $M$ par rapport au centre $O$ est l'unique point tel que $O$ soit le milieu du segment $[MM']$.
Cela revient à dire : $M$, $O$ et $M'$ sont alignés et $OM = OM'$.
Exemple. Si $OM = 3$ cm, alors $OM' = 3$ cm, mais $M'$ est placé de l'autre côté de $O$. La distance totale $MM' = OM + OM' = 3 + 3 = 6$ cm.
Attention ! Le symétrique de $O$ par rapport à $O$ est… $O$ lui-même ! Le centre est le seul point qui ne bouge pas (on dit qu'il est invariant).
Astuce. Pour construire $M'$ : trace la demi-droite $[MO)$, prolonge-la au-delà de $O$, puis reporte au compas la longueur $OM$ pour obtenir $M'$ avec $OM' = OM$.
3Construire le symétrique d'une figure
Pour obtenir le symétrique d'une figure, il suffit de construire le symétrique de chacun de ses points importants (les sommets), puis de relier les images dans le bon ordre.
Méthode (segment, triangle, polygone).
1. Repérer les sommets de la figure.
2. Construire le symétrique de chaque sommet par rapport à $O$ (milieu).
3. Relier les points images dans le même ordre que la figure de départ.
Exemple. Pour le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à $O$ : on construit $A'$ (symétrique de $A$) et $B'$ (symétrique de $B$), puis on trace $[A'B']$. On obtient un segment de même longueur : $A'B' = AB$.
4Les propriétés conservées par la symétrie centrale
La symétrie centrale retourne la figure mais ne la déforme pas : la figure image est superposable à la figure de départ (après un demi-tour).
Propriétés conservées. La symétrie centrale conserve :
• les longueurs (un segment et son image ont la même longueur) ;
• les angles (un angle et son image ont la même mesure) ;
• l'alignement et le parallélisme ;
• les aires et les périmètres ;
• les milieux (le milieu d'un segment a pour image le milieu du segment image).
| Objet de départ | Son image |
|---|
| Segment $[AB]$ de longueur $5$ cm | Segment $[A'B']$ de longueur $5$ cm |
| Angle de $40°$ | Angle de $40°$ |
| Droite $(d)$ | Droite $(d')$ parallèle à $(d)$ |
| Cercle de rayon $r$, centre $I$ | Cercle de rayon $r$, centre $I'$ |
Attention ! Contrairement à la symétrie axiale, l'image d'une droite par symétrie centrale lui est parallèle (sauf si la droite passe par le centre : dans ce cas elle est sa propre image).
5Le centre de symétrie d'une figure
Certaines figures sont leur propre image par une symétrie centrale : on dit qu'elles ont un centre de symétrie.
Définition. Une figure admet un centre de symétrie $O$ si, par la symétrie de centre $O$, la figure se transforme en elle-même (elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de $O$).
Exemples.
• Le cercle : son centre est centre de symétrie.
• Le segment : son milieu est centre de symétrie.
• Le parallélogramme : le point d'intersection de ses diagonales.
• Le rectangle, le losange, le carré : leur centre.
Attention ! Le triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie (il a seulement des axes de symétrie). Avoir des axes ne garantit pas un centre !
Astuce. Pour tester un centre de symétrie : place la pointe d'un crayon sur le centre supposé et fais tourner la figure d'un demi-tour. Si elle se superpose exactement, c'est un centre de symétrie.
6Le parallélogramme et ses propriétés
Le parallélogramme est la figure reine de ce chapitre, car il est intimement lié à la symétrie centrale.
Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Propriétés. Dans un parallélogramme $ABCD$ :
• les côtés opposés ont la même longueur : $AB = CD$ et $AD = BC$ ;
• les angles opposés ont la même mesure ;
• deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut $180°$) ;
• les diagonales se coupent en leur milieu ;
• le point d'intersection des diagonales est centre de symétrie.
Exemple. Dans un parallélogramme $ABCD$, si $AB = 7$ cm alors $CD = 7$ cm. Si l'angle $\widehat{A} = 110°$, alors $\widehat{C} = 110°$ et $\widehat{B} = \widehat{D} = 180° - 110° = 70°$.
7Reconnaître un parallélogramme
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de prouver l'une de ces propriétés.
| Si un quadrilatère (non croisé)… | Alors c'est un parallélogramme |
|---|
| a ses côtés opposés parallèles 2 à 2 | ✔ (définition) |
| a ses côtés opposés de même longueur 2 à 2 | ✔ |
| a ses diagonales qui se coupent en leur milieu | ✔ |
| a deux côtés opposés à la fois parallèles et égaux | ✔ |
Astuce. La propriété des diagonales est souvent la plus rapide : si tu sais que deux segments ont le même milieu, alors leurs extrémités forment un parallélogramme.
Attention ! Un quadrilatère croisé (en nœud papillon) n'est jamais un parallélogramme, même si certaines longueurs sont égales. Vérifie toujours que la figure n'est pas croisée.
★À retenir
En bref :
• Symétrie centrale de centre $O$ : $M'$ est le symétrique de $M$ si $O$ est le milieu de $[MM']$ (demi-tour de $180°$).
• Le centre $O$ est le seul point invariant.
• Elle conserve longueurs, angles, aires, alignement et parallélisme ; l'image d'une droite lui est parallèle.
• Une figure a un centre de symétrie si elle se superpose à elle-même après un demi-tour.
• Parallélogramme = côtés opposés parallèles ; côtés et angles opposés égaux ; diagonales se coupant en leur milieu ; ce milieu est centre de symétrie.
• Pour le reconnaître : côtés opposés parallèles, ou égaux, ou diagonales de même milieu.