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Symétrie centrale : demi-tour et propriétés
Revoir la symétrie axiale de 6e (symétrique d’un point et d’une figure, propriétés conservées, axes des figures usuelles), puis définir la symétrie centrale comme un demi-tour autour d’un point et la distinguer de la symétrie axiale, reconnaître le centre de symétrie d’une figure (lettres, cercle, rosaces), construire le symétrique d’un point et d’une figure sur quadrillage et sur feuille blanche, et utiliser les propriétés conservées (longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme).
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Rappels de 6e : la symétrie axiale
En 6e, tu as étudié la symétrie axiale : on plie la feuille le long d’une droite. On reprend tout ici, car la symétrie centrale se comprend en la comparant à elle.
Symétrique d’un point. Le symétrique du point A par rapport à (d) est le point A′ tel que (d) est perpendiculaire au segment [AA′] et passe par son milieu : A et A′ sont à la même distance de (d), de part et d’autre. On dit que (d) est la médiatrice de [AA′]. Un point de l’axe est son propre symétrique.
Construire. Sur un quadrillage dont une ligne sert d’axe, je compte les carreaux de A jusqu’à (d), perpendiculairement à l’axe, et j’en compte autant de l’autre côté. Si l’axe suit les diagonales des carreaux, je compte en biais : je traverse les carreaux en diagonale, toujours perpendiculairement à l’axe, jusqu’à (d), puis autant de l’autre côté. Sans quadrillage, je trace à l’équerre la perpendiculaire à (d) qui passe par A ; elle coupe (d) en H ; je reporte la longueur HA de l’autre côté de (d), à la règle ou au compas pointé en H. Pour une figure, je construis les symétriques de ses sommets, puis je les relie dans le même ordre.
Ce qui est conservé. La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d’angles, l’alignement, les périmètres et les aires : l’image a la même forme et les mêmes dimensions, mais elle est retournée, comme dans un miroir. Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur, celui d’une droite est une droite, celui d’un cercle est un cercle de même rayon.
Axe de symétrie d’une figure. Une droite est un axe de symétrie d’une figure si, en pliant le long de cette droite, les deux moitiés de la figure se superposent exactement.
| Figure | Axes de symétrie |
|---|---|
| Segment | 2 : sa médiatrice et la droite qui le porte |
| Triangle isocèle (non équilatéral) | 1 : la droite qui passe par le sommet principal et le milieu de la base |
| Triangle équilatéral | 3 : chacun passe par un sommet et le milieu du côté opposé |
| Rectangle (non carré) | 2 : les médiatrices de ses côtés |
| Losange (non carré) | 2 : les droites qui portent ses diagonales |
| Carré | 4 : les 2 médiatrices de ses côtés et les 2 droites qui portent ses diagonales |
| Cercle | une infinité : toutes les droites qui passent par son centre |
E est à 4 carreaux à gauche de (d) : E′ est sur la même ligne, à 4 carreaux à droite de (d). Le pointillé [EE′] coupe (d) à angle droit, en son milieu.
F est à 1 carreau à gauche de (d) : F′ est à 1 carreau à droite. G est sur l’axe : il est son propre symétrique.
Je relie E′, F′ et G : le triangle E′F′G est le symétrique du triangle EFG. Il a les mêmes dimensions, mais il est retourné comme dans un miroir.
Axe en diagonale : (d) suit les diagonales des carreaux. Pour aller de P jusqu’à (d), perpendiculairement à l’axe, je traverse 2 carreaux en biais ; j’en traverse encore 2 dans le même sens : c’est P′. Le pointillé [PP′] coupe (d) à angle droit, en son milieu.
Sans quadrillage : si un point K est à 2,6 cm de (d), son symétrique K′ est aussi à 2,6 cm de (d), de l’autre côté, donc KK′ = 2,6 + 2,6 = 5,2 cm.
Le quadrilatère R′S′T′U′ est le symétrique de RSTU par rapport à (d). Si RS = 3,4 cm et si l’angle mesure 73°, alors R′S′ = 3,4 cm et l’angle mesure 73°.
En capitales bâton, la lettre E a un axe horizontal, la lettre M un axe vertical, la lettre H deux axes. Un rectangle de 7 cm sur 4 cm a deux axes, les médiatrices de ses côtés ; ses diagonales n’en sont pas : en pliant le long d’une diagonale, les deux moitiés ne se recouvrent pas.
Réflexe — pour chaque sommet, je compte (ou je mesure) sa distance à l’axe, perpendiculairement à l’axe, et je reporte la même distance de l’autre côté. Pour trouver les axes d’une figure, je la plie dans ma tête : les deux moitiés doivent se recouvrir.
Attention — on compte jusqu’à l’axe, pas jusqu’au bord de la feuille, et toujours perpendiculairement à l’axe. Une figure qu’on a seulement fait glisser de l’autre côté n’est pas retournée : ce n’est pas son symétrique.
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Le demi-tour : symétrie axiale ou centrale ?
Avec la symétrie axiale (partie 1), on plie la feuille le long d’une droite. En 5e, on découvre une autre transformation : le demi-tour autour d’un point.
Le symétrique d’un point M par rapport à O est le point M′ tel que O est le milieu du segment [MM′] : M, O et M′ sont alignés, et OM′ = OM.
Le symétrique de O est O lui-même : c’est le seul point qui ne bouge pas.
| Symétrie axiale | Symétrie centrale | |
|---|---|---|
| Élément de référence | une droite : l’axe | un point : le centre |
| Geste | plier le long de l’axe | faire un demi-tour autour du centre |
| Figure obtenue | retournée comme dans un miroir | « tête en bas », sans effet miroir |
| Points M et M′ | l’axe coupe [MM′] perpendiculairement en son milieu | tous les segments [MM′] ont le même milieu : le centre |
À gauche, le drapeau a été plié le long de (d) : sa pointe reste en haut, mais elle regarde de l’autre côté, comme dans un miroir. C’est une symétrie axiale.
À droite, le drapeau a fait un demi-tour autour de O : sa pointe est passée en bas. Le pointillé relie la pointe à son image : O est au milieu. C’est la symétrie centrale de centre O.
Le centre de symétrie d’une figure
Le segment [AB] a pour centre de symétrie son milieu ; le cercle, son centre ; le rectangle, le losange et le carré, le point d’intersection de leurs diagonales.
Lettres en capitales bâton : N, S et Z ont un centre de symétrie mais aucun axe ; H, I et X ont un centre et deux axes ; A, T et V ont un axe mais pas de centre ; F, L et P n’ont ni l’un ni l’autre.
Le triangle équilatéral a trois axes de symétrie mais aucun centre : après un demi-tour, sa pointe du haut se retrouve en bas.
Rosaces. Une rosace est formée de pétales ou de pales identiques répartis régulièrement autour de son centre, comme sur les vitraux des cathédrales du Moyen Âge. Avec un nombre pair de pétales (4, 6, 8…), chaque pétale arrive sur le pétale d’en face après un demi-tour : le centre de la rosace est son centre de symétrie. Avec 3 ou 5 pétales, en face d’un pétale il y a un vide : pas de centre de symétrie.
Réflexe — je tourne la feuille d’un demi-tour, dans ma tête ou pour de vrai. Deux figures : si l’image a la tête en bas sans effet miroir, c’est une symétrie centrale ; si elle est retournée en miroir, c’est une symétrie axiale. Une seule figure : si elle n’a pas changé, elle a un centre de symétrie.
Attention — avoir des axes de symétrie ne donne pas un centre (le triangle équilatéral), et avoir un centre ne donne pas d’axe (la lettre N). Et une figure qu’on a seulement fait glisser n’a pas la tête en bas : ce n’est pas son symétrique.
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Construire le symétrique d’un point et d’une figure
1. je trace la demi-droite [MO), qui part de M et passe par O ;
2. je reporte la longueur OM de l’autre côté de O, au compas pointé en O ou à la règle graduée : M′ est sur [MO), avec OM′ = OM.
Sur un quadrillage, je compte les carreaux pour aller de M à O, puis je refais le même trajet, dans le même sens, à partir de O.
Pour une figure : je construis le symétrique de chaque sommet, puis je relie les images dans le même ordre. Le symétrique d’un cercle est le cercle de même rayon dont le centre est le symétrique du centre.
Sur un quadrillage
De A à O : 4 carreaux vers la droite et 2 vers le bas. Je refais ce trajet à partir de O : A′ est 4 carreaux à droite et 2 carreaux en dessous de O.
De B à O : 2 carreaux vers la droite et 2 vers le haut, donc B′ est 2 carreaux à droite et 2 au-dessus de O. De C à O : 5 vers la droite et 1 vers le haut, donc C′ est 5 à droite et 1 au-dessus de O.
Je relie A′, B′, C′ : le triangle A′B′C′ est le symétrique de ABC. Il a la même forme et les mêmes dimensions, mais la tête en bas.
Sans quadrillage
1. Je trace la demi-droite [MO).
2. Je pique le compas en O, avec l’écartement OM, et je trace un arc qui coupe la demi-droite de l’autre côté de O : c’est M′.
Si OM = 2,8 cm, alors OM′ = 2,8 cm et MM′ = 2 × 2,8 = 5,6 cm.
Pour le symétrique d’un cercle de centre K et de rayon 1,5 cm : je construis K′, symétrique de K par rapport à O, puis je trace le cercle de centre K′ et de rayon 1,5 cm.
Réflexe — le mot clé est « milieu » : O doit être le milieu de chaque segment [AA′], [BB′], [CC′]. Pour un segment ou une droite, deux points suffisent : je construis leurs symétriques et je les relie.
Attention — sur quadrillage, après O, on continue dans le même sens : on ne revient pas en arrière. Et on ne compte pas jusqu’à une droite, comme pour la symétrie axiale : on passe par le point O.
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Les propriétés conservées
• les longueurs, donc les périmètres ;
• les mesures d’angles (deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires) ;
• les aires ;
• l’alignement et les milieux : si I est le milieu de [AB], I′ est le milieu de [A′B′].
Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur, porté par une droite parallèle. Le symétrique d’une droite est une droite parallèle ; si la droite passe par O, c’est la droite elle-même. Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
Le triangle A′B′C′ est le symétrique du triangle ABC par rapport à O. Si AB = 3,9 cm, alors A′B′ = 3,9 cm et les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles.
Si l’angle mesure 52°, l’angle mesure aussi 52°. Si le triangle ABC a une aire de 9,5 cm², le triangle A′B′C′ aussi.
Si A, B et C sont alignés, leurs symétriques A′, B′ et C′ sont alignés.
Justifier avec une propriété
On sait que A′ et B′ sont les symétriques de A et B par rapport à O, et que AB = 3,9 cm.
Or la symétrie centrale conserve les longueurs et le segment [A′B′] est le symétrique du segment [AB].
Donc A′B′ = AB = 3,9 cm.
Réflexe — pour une mesure sur la figure image, je la lis sur la figure de départ : c’est la même. Pour justifier, j’écris « Or la symétrie centrale conserve… ».
Attention — « conserver » ne veut pas dire « ne pas bouger » : la figure change de place et a la tête en bas, mais toutes ses mesures restent identiques. Et l’image d’une droite est parallèle à cette droite, jamais perpendiculaire. Ce parallélisme est propre au demi-tour : par une symétrie axiale, une droite qui coupe l’axe en biais a pour image une droite qui la coupe sur l’axe.
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Pour aller plus loin
Le parallélogramme — Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est son centre de symétrie : c’est de là que viennent ses propriétés (côtés opposés de même longueur, diagonales de même milieu…). Définition, propriétés et constructions : voir Parallélogrammes : définition, propriétés et construction, puis Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré.
Se verra en 4e — reconnaître si deux figures sont images l’une de l’autre par une symétrie axiale ou par un demi-tour deviendra un automatisme, et l’on étudiera une troisième transformation, la translation (un glissement) ; les vecteurs viendront en 3e.
- Symétrie axiale (6e) : A′ est le symétrique de A par rapport à (d) si (d) est perpendiculaire à [AA′] en son milieu ; sur quadrillage, je compte perpendiculairement jusqu’à l’axe (en biais si l’axe suit les diagonales des carreaux). Longueurs, angles et aires sont conservés, la figure est retournée. Axes : isocèle 1, équilatéral 3, rectangle et losange 2, carré 4, cercle une infinité.
- Symétrie centrale de centre O = demi-tour autour de O. Le symétrique M′ de M est le point tel que O est le milieu de [MM′] : M, O, M′ alignés et OM′ = OM. O est son propre symétrique.
- Symétrie axiale : on plie le long d’une droite, la figure est retournée en miroir. Symétrie centrale : demi-tour autour d’un point, la figure a la tête en bas, sans effet miroir.
- O est le centre de symétrie d’une figure si elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de O : le milieu d’un segment, le centre d’un cercle, celui d’une rosace à nombre pair de pétales ; le triangle équilatéral n’en a pas.
- Construire : je prolonge chaque segment [MO] au-delà de O de la même longueur (sur quadrillage, je refais le même trajet après O), puis je relie les images dans le même ordre.
- Conservés par le demi-tour, comme par la symétrie axiale : longueurs, périmètres, angles, aires, alignement, milieux. Image d’une droite : une droite parallèle ; image d’un cercle : un cercle de même rayon.
Questions fréquentes
Comment construire le symétrique d’un point par rapport à une droite ?
On trace à l’équerre la perpendiculaire à la droite (d) qui passe par le point A ; elle coupe (d) en H. On reporte la longueur HA de l’autre côté de (d) : on obtient A′, et (d) est la médiatrice de [AA′]. Sur un quadrillage, on compte les carreaux de A jusqu’à l’axe, perpendiculairement à lui, et on en compte autant de l’autre côté.
Qu’est-ce que la symétrie centrale et en quoi diffère-t-elle de la symétrie axiale ?
C’est le demi-tour autour d’un point O, le centre : le symétrique d’un point M est le point M′ tel que O est le milieu du segment [MM′], et O est le seul point qui ne bouge pas. Avec une symétrie axiale, on plie le long d’une droite et l’image est retournée comme dans un miroir ; avec une symétrie centrale, l’image a la tête en bas, sans effet miroir.
Qu’est-ce qu’un centre de symétrie ?
Un point O est le centre de symétrie d’une figure si, après un demi-tour autour de O, la figure se superpose à elle-même. Le milieu d’un segment, le centre d’un cercle, le centre d’une rosace à 4 ou 6 pétales en sont ; le triangle équilatéral n’en a pas, malgré ses trois axes.
Comment construire le symétrique d’un point ou d’une figure ?
Pour un point M : je trace la demi-droite [MO) et je reporte au compas la longueur OM de l’autre côté de O. Sur quadrillage, je refais après O le même trajet de carreaux que de M à O. Pour une figure, je construis le symétrique de chaque sommet, puis je relie dans le même ordre.
Quelles propriétés la symétrie centrale conserve-t-elle ?
Comme la symétrie axiale, elle conserve les longueurs, les périmètres, les mesures d’angles, les aires, l’alignement et les milieux. En plus, l’image d’une droite est toujours une droite parallèle (la droite elle-même si elle passe par le centre), et l’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
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