Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Symétrie centrale & parallélogramme » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce que la symétrie centrale ?, Le symétrique d'un point, Le symétrique d'un segment et d'une droite, Les propriétés conservées. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce que la symétrie centrale ?
2 · Le symétrique d'un point
3 · Le symétrique d'un segment et d'une droite
4 · Les propriétés conservées
5 · Construire le symétrique d'une figure
6 · Centre de symétrie d'une figure
7 · Le parallélogramme : définition
8 · Les propriétés du parallélogramme
9 · Construire un parallélogramme
1Qu'est-ce que la symétrie centrale ?
Tu connais déjà la symétrie axiale (par rapport à une droite, comme un pliage le long d'un axe). En 5e, on découvre une autre transformation : la symétrie centrale, qui se fait par rapport à un point appelé le centre de symétrie.
Idée clé. Faire la symétrie centrale de centre O, c'est effectuer un demi-tour (une rotation d'un angle plat, 180°) autour du point O. La figure tourne « tête en bas » autour de O.
On dit que deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsque l'une est l'image de l'autre par le demi-tour de centre O. Le point O est le centre de symétrie.
Symétrie
Par rapport à…
Image mentale
Axiale
une droite (l'axe)
un pliage / un miroir
Centrale
un point (le centre)
un demi-tour (180°)
💡 Pour « voir » la symétrie centrale : pose la pointe d'un crayon sur le centre O et fais tourner ta feuille d'un demi-tour. Ce que tu obtiens est exactement la figure symétrique.
⚠️ Ne confonds pas les deux symétries. Avec un axe, la figure se « retourne » comme dans un miroir ; avec un centre, elle fait un demi-tour. Le résultat est souvent différent.
2Le symétrique d'un point
Tout part de la construction du symétrique d'un seul point. C'est la brique de base : pour le symétrique d'une figure, on construira le symétrique de chacun de ses points importants.
Définition. Le symétrique du point A par rapport au point O est le point A' tel que O est le milieu du segment [AA'].
Autrement dit, A, O et A' sont alignés, et O est exactement « au milieu » : on a OA = OA', mais de part et d'autre de O.
Méthode pas à pas (à la règle et au compas)
Pour construire A', symétrique de A par rapport à O :
1. Trace la demi-droite [AO), c'est-à-dire la droite passant par A et O.
2. Mesure la longueur OA (au compas ou à la règle).
3. Reporte cette longueur de l'autre côté de O sur la droite : tu obtiens A' tel que OA' = OA.
💡 Sur du papier quadrillé, c'est encore plus simple : compte les déplacements de A vers O (par exemple « 3 carreaux à droite, 2 vers le bas »), puis répète exactement le même déplacement à partir de O pour arriver sur A'.
⚠️ Cas particulier : le symétrique du centre O lui-même est… O. Le point O est le seul point qui est sa propre image (on dit qu'il est invariant).
3Le symétrique d'un segment et d'une droite
Pour le symétrique d'un segment [AB], il suffit de construire le symétrique A' de A et le symétrique B' de B, puis de relier : [A'B'] est le symétrique de [AB].
Propriété. Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur. Mieux : le symétrique d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite ; le symétrique d'un cercle de centre I et de rayon r est un cercle de même rayon r, centré sur I', le symétrique de I.
💡 Retiens ce résultat très utile : par une symétrie centrale, une droite et son image sont toujours parallèles. C'est ce qui fera apparaître les parallélogrammes plus loin.
4Les propriétés conservées
La symétrie centrale est un demi-tour : elle déplace la figure mais ne la déforme pas. On dit qu'elle conserve beaucoup de choses.
La symétrie centrale conserve :
les longueurs (deux segments symétriques ont la même longueur) ;
les angles (un angle et son image ont la même mesure) ;
l'alignement (trois points alignés ont des images alignées) ;
le parallélisme et la perpendicularité ;
les aires (une figure et son image ont la même aire) ;
les milieux (le milieu d'un segment a pour image le milieu du segment image).
Grandeur
Conservée ?
Longueurs
Oui
Mesures d'angles
Oui
Aires
Oui
Alignement / parallélisme
Oui
Conséquence importante : la figure image est superposable à la figure de départ (c'est la même figure, juste retournée d'un demi-tour). Elle a donc le même périmètre et la même aire.
⚠️ La symétrie centrale change l'orientation de la figure (elle est « tête en bas »). Mais elle ne change ni les longueurs, ni les angles, ni l'aire : la forme reste identique.
5Construire le symétrique d'une figure
Pour construire le symétrique d'une figure entière (triangle, polygone…), on ne construit pas tous ses points un par un : on construit seulement le symétrique de ses points caractéristiques (les sommets), puis on relie.
Méthode (triangle ABC, centre O).
1. Construis A', symétrique de A par rapport à O.
2. Construis B', symétrique de B par rapport à O.
3. Construis C', symétrique de C par rapport à O.
4. Relie A', B', C' : le triangle A'B'C' est le symétrique de ABC.
💡 Sur du papier quadrillé, repère chaque sommet par ses déplacements jusqu'à O, puis reporte le même déplacement de l'autre côté de O. Vérifie à la fin que O est bien le milieu de chaque segment reliant un point à son image.
⚠️ Erreur fréquente : oublier que la figure image est « retournée ». Si tu relies les points dans le bon ordre (A→B→C devient A'→B'→C'), tu ne te trompes pas.
6Centre de symétrie d'une figure
Certaines figures sont symétriques « par rapport à elles-mêmes ». On dit alors qu'elles possèdent un centre de symétrie.
Définition. Un point O est un centre de symétrie d'une figure si le symétrique de cette figure par rapport à O est la figure elle-même (elle se superpose exactement à elle-même après un demi-tour).
Exemples de figures qui ont un centre de symétrie :
le segment (centre = son milieu) ;
le cercle (centre = son centre) ;
le parallélogramme (centre = point d'intersection des diagonales) ;
le rectangle, le losange, le carré (mêmes centres) ;
certaines lettres : H, I, N, O, S, X, Z.
⚠️ Attention à ne pas confondre centre de symétrie (un point, demi-tour) et axe de symétrie (une droite, pliage). Le triangle équilatéral a des axes de symétrie, mais aucun centre de symétrie !
💡 Pour tester un centre de symétrie : fais tourner la feuille d'un demi-tour autour du point. Si la figure se retrouve exactement à la même place, c'est bien un centre de symétrie.
7Le parallélogramme : définition
La symétrie centrale conduit naturellement à une figure essentielle de la 5e : le parallélogramme.
Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
Dans le parallélogramme ABCD ci-dessus : (AB) est parallèle à (DC), et (AD) est parallèle à (BC).
Lien avec la symétrie centrale. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il a un centre de symétrie. Ce centre O est le point d'intersection de ses diagonales.
Autrement dit : si on fait le symétrique du sommet A par rapport à O, on tombe sur C ; et le symétrique de B est D. C'est pour cela qu'un parallélogramme se superpose à lui-même après un demi-tour autour de O.
💡 Une autre façon de fabriquer un parallélogramme : pars d'un triangle OAB et construis les symétriques de A et B par rapport à O. Les quatre points obtenus forment toujours un parallélogramme.
8Les propriétés du parallélogramme
Comme le parallélogramme a un centre de symétrie, toutes les propriétés conservées par la symétrie centrale s'y appliquent. On obtient trois grandes propriétés.
Propriétés d'un parallélogramme ABCD (de centre O).
Côtés : les côtés opposés ont la même longueur → AB = DC et AD = BC.
Diagonales : les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu (ce milieu commun est le centre O).
Angles : les angles opposés ont la même mesure ; deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).
Élément
Propriété
Côtés opposés
parallèles ET de même longueur
Diagonales
même milieu (le centre O)
Angles opposés
de même mesure
Angles consécutifs
somme = 180°
Exemple. Dans un parallélogramme, un angle mesure 70°. Alors l'angle opposé mesure aussi 70°, et chacun des deux autres angles mesure 180° − 70° = 110°.
⚠️ Ces propriétés servent à calculer sans mesurer : si AB = 6 cm, alors DC = 6 cm aussi. Si une diagonale mesure 8 cm, alors chaque demi-diagonale partant de O mesure 4 cm.
9Construire un parallélogramme
Il existe plusieurs façons de construire un parallélogramme ABCD, selon ce qu'on connaît. On s'appuie sur les propriétés ci-dessus.
Méthode 1 — avec le centre (la symétrie centrale)
On connaît trois sommets A, B, C. Pour placer D :
1. Trace les diagonales : place O, milieu de [AC].
2. D est le symétrique de B par rapport à O (car O est aussi le milieu de [BD]).
Méthode 2 — avec les longueurs (au compas)
On connaît A, B, C et on veut D tel que ABCD soit un parallélogramme :
1. D doit vérifier AD = BC et DC = AB.
2. Trace un arc de cercle de centre A et de rayon BC, puis un arc de centre C et de rayon AB.
3. Leur intersection donne le point D.
Méthode 3 — avec le parallélisme (à la règle et l'équerre)
On connaît A, B, C :
1. Trace la parallèle à (AB) passant par C.
2. Trace la parallèle à (BC) passant par A.
3. Le point D est à l'intersection des deux parallèles.
💡 La méthode du centre (symétrie centrale) est souvent la plus rapide et la plus sûre, surtout sur papier quadrillé : place O milieu de [AC], puis reporte le déplacement de B à O au-delà de O pour obtenir D.
🎓 Récap express : symétrie centrale = demi-tour (180°) autour d'un point O · le symétrique de A vérifie « O milieu de [AA'] » · elle conserve longueurs, angles, aires et alignement · droite et image sont parallèles · une figure a un centre de symétrie si elle se superpose après un demi-tour · un quadrilatère est un parallélogramme ⇔ il a un centre de symétrie (intersection des diagonales) · côtés opposés parallèles et égaux, diagonales de même milieu, angles opposés égaux.