Qu'est-ce que la symétrie centrale en 5e ?

La symétrie centrale est une transformation qui retourne une figure autour d'un point appelé centre de symétrie . Le symétrique $M'$ d'un point $M$ par rapport à un centre $O$ est le point tel que $O$ soit le milieu du segment $[MM']$. C'est comme un demi-tour ($180°$) autour de $O$.

Comment construire le symétrique d'un point par rapport à un centre ?

Pour construire le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $O$ : on trace la demi-droite $[MO)$, puis on reporte la distance $OM$ de l'autre côté de $O$ avec un compas ou une règle, de sorte que $OM' = OM$ et que $O$ soit le milieu de $[MM']$.

Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

La symétrie axiale se fait par rapport à une droite (un axe) : c'est un effet miroir. La symétrie centrale se fait par rapport à un point (le centre) : c'est un demi-tour. Une figure symétrique par rapport à un point apparaît retournée à l'envers.

Quel est le lien entre symétrie centrale et parallélogramme ?

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales. C'est pourquoi ses diagonales se coupent en leur milieu et ses côtés opposés sont égaux et parallèles.

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Symétrie centrale & parallélogramme

Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point, connaître les propriétés conservées et reconnaître le parallélogramme (programme de 5e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Symétrie centrale & parallélogramme » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Deux symétries à ne pas confondre, Symétrique d'un point par rapport à un centre, Construire le symétrique d'une figure, Les propriétés conservées. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.

Deux symétries à ne pas confondre

En 6^e, tu as étudié la symétrie axiale (par rapport à une droite). En 5^e, on découvre la symétrie centrale (par rapport à un point).

Définitions.
• Symétrie axiale : un pliage autour d'une droite, l'axe. Effet miroir.
• Symétrie centrale : un demi-tour de $180°$ autour d'un point, le centre. La figure est retournée.

	Symétrie axiale	Symétrie centrale
Élément de référence	une droite (l'axe)	un point (le centre)
Geste	plier	faire un demi-tour
Figure obtenue	retournée comme dans un miroir	retournée tête-bêche

Astuce. Fais tourner ta feuille d'un demi-tour : si la figure retrouve sa position initiale, tu as affaire à une symétrie centrale.

Symétrique d'un point par rapport à un centre

Tout repose sur la notion de milieu. On note $O$ le centre de symétrie.

Règle. Le symétrique $M'$ d'un point $M$ par rapport à $O$ est l'unique point tel que $O$ soit le milieu de $[MM']$. Autrement dit : $M$, $O$ et $M'$ sont alignés et $OM = OM'$.

Exemple. Si $OM = 3$ cm, alors $OM' = 3$ cm, mais $M'$ se place de l'autre côté de $O$ sur la droite $(OM)$.

Attention ! Le symétrique de $O$ par rapport à $O$ est $O$ lui-même : c'est le seul point invariant de la symétrie.

Construire le symétrique d'une figure

Le symétrique d'une figure s'obtient en construisant le symétrique de chacun de ses sommets.

Méthode.
1. Repérer les sommets de la figure.
2. Construire le symétrique de chaque sommet par rapport à $O$.
3. Relier les images dans le même ordre.

Exemple. Pour un triangle $ABC$, on construit $A'$, $B'$, $C'$ puis on trace le triangle $A'B'C'$. Il est superposable à $ABC$, mais tête-bêche.

Astuce (cas particuliers).
• Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur, parallèle au premier.
• Le symétrique d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
• Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, centré sur le symétrique du centre.

Les propriétés conservées

La symétrie centrale retourne la figure sans la déformer : l'image est superposable à la figure de départ.

Propriétés conservées. La symétrie centrale conserve :
• les longueurs ;
• les mesures d'angles ;
• l'alignement et le parallélisme ;
• les aires et les périmètres ;
• les milieux.

Exemple. Si $ABC$ a pour aire $12$ cm² et un angle de $35°$, son symétrique $A'B'C'$ a exactement la même aire et le même angle de $35°$.

Attention ! « Conserver » ne veut pas dire « ne pas bouger » : la figure change de place et d'orientation, mais toutes ses mesures restent identiques.

Le centre de symétrie d'une figure

Certaines figures sont leur propre image par une symétrie centrale.

Définition. Une figure admet un centre de symétrie $O$ si la symétrie de centre $O$ la transforme en elle-même : elle se superpose à elle-même après un demi-tour.

Exemples.
• Le cercle : son centre est centre de symétrie.
• Le parallélogramme (donc le rectangle, le losange, le carré) : le point d'intersection des diagonales.
• Le segment : son milieu.

Attention ! Le triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie, alors qu'il possède trois axes de symétrie. Avoir des axes n'implique pas avoir un centre.

Astuce. Une figure a au plus un seul centre de symétrie.

Le parallélogramme et ses propriétés

Le parallélogramme est la figure clé du chapitre, car il est directement lié à la symétrie centrale.

Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriétés. Dans un parallélogramme $ABCD$ :
• les côtés opposés ont la même longueur : $AB = CD$ et $AD = BC$ ;
• les angles opposés ont la même mesure : $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$ ;
• deux angles consécutifs sont supplémentaires : $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$ ;
• les diagonales se coupent en leur milieu, et ce point est son centre de symétrie.

Exemple. Si $\widehat{A} = 70°$ dans $ABCD$, alors $\widehat{C} = 70°$ et $\widehat{B} = \widehat{D} = 110°$. Somme des quatre angles : $360°$.

Reconnaître un parallélogramme et ses cas particuliers

Pour démontrer qu'un quadrilatère non croisé est un parallélogramme, une seule de ces propriétés suffit.

Si un quadrilatère non croisé…	Alors…
a ses côtés opposés parallèles deux à deux	c'est un parallélogramme (définition)
a ses côtés opposés de même longueur deux à deux	c'est un parallélogramme
a ses diagonales de même milieu	c'est un parallélogramme
a deux côtés opposés parallèles et de même longueur	c'est un parallélogramme

Cas particuliers.
• Rectangle = parallélogramme avec un angle droit ; ses diagonales ont la même longueur.
• Losange = parallélogramme avec quatre côtés égaux ; ses diagonales sont perpendiculaires.
• Carré = à la fois rectangle et losange.

Attention ! Deux côtés parallèles seulement font un trapèze, pas un parallélogramme. Il faut les deux paires, ou bien une paire à la fois parallèle et de même longueur.

En bref

Symétrie centrale = demi-tour autour d'un point : $O$ est le milieu de $[MM']$.
Elle conserve longueurs, angles, alignement, parallélisme, aires et milieux.
L'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un cercle un cercle de même rayon.
Le parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur, angles opposés égaux, angles consécutifs supplémentaires, diagonales de même milieu.
Son centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales.
Rectangle : un angle droit. Losange : 4 côtés égaux. Carré : les deux à la fois.

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