Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré

Donne la nature la plus précise : rectangle, losange ou carré ; écris aucun si ce n’est aucun des trois.

1. Un quadrilatère a quatre côtés de 5,2 cm et aucun angle droit :
   Quatre côtés de même longueur : c’est un losange ; sans angle droit, ce n’est pas un carré.
2. ABCD a quatre angles droits, avec AB = 6,3 cm et BC = 2,9 cm :
   Quatre angles droits : c’est un rectangle ; ses côtés ne sont pas tous égaux (6,3 cm et 2,9 cm), ce n’est pas un carré.
3. Un losange qui a quatre angles droits :
   Quatre côtés égaux (losange) et quatre angles droits (rectangle) : c’est un carré.
4. Un quadrilatère a deux angles droits et quatre côtés de longueurs différentes :
   Il faudrait quatre angles droits pour un rectangle et quatre côtés égaux pour un losange : aucun des trois.

Axes de symétrie et constructions. Réponds par un nombre ou un mot.

1. Un losange non carré a axes de symétrie
   Un losange non carré a 2 axes de symétrie : les droites qui portent ses diagonales.
2. Les axes de symétrie d’un rectangle non carré sont les de ses côtés
   En pliant un rectangle le long de la médiatrice d’un côté, les deux moitiés se superposent.
3. En pliant un rectangle non carré le long d’une de ses , les deux moitiés ne se superposent pas
   Les diagonales d’un rectangle non carré ne sont pas des axes de symétrie (elles le sont pour un carré).
4. Pour construire le rectangle IJKL avec IJ = 6 cm et JK = 3,5 cm, je trace [IJ], puis, à l’équerre, la à (IJ) passant par J
   L’angle en J est droit : je trace la perpendiculaire à (IJ) en J et j’y place K à 3,5 cm de J (de même pour L, à partir de I).
5. Pour construire le losange WXYZ de côté 4,8 cm dont la diagonale [WY] mesure 7 cm, je trace [WY], puis deux arcs centrés en W et en Y, de rayon cm
   Les quatre côtés mesurent 4,8 cm : X et Z sont à 4,8 cm de W et de Y. Les arcs ont pour rayon 4,8 cm.

Périmètres. Donne les longueurs en cm.

1. Un rectangle a pour périmètre 23 cm et pour longueur 7,5 cm. Sa largeur mesure cm
   Les deux longueurs font $2\times 7,5=15$ cm ; il reste $23-15=8$ cm pour les deux largeurs, soit $8÷2=4$ cm.
2. Un losange a pour périmètre 13 cm. Son côté mesure cm
   Quatre côtés égaux : $13÷4=3,25$ cm.
3. Avec un fil de fer de 33 cm, on forme un rectangle dont la longueur est le double de la largeur. Sa largeur mesure cm
   Une longueur vaut deux largeurs : le tour fait $2\times 2+2=6$ largeurs. $33÷6=5,5$ cm (et la longueur mesure $11$ cm : $2\times (11+5,5)=33$).
4. Un rectangle a pour périmètre 30 cm et sa longueur mesure 9 cm de plus que sa largeur. Sa largeur mesure cm
   Une longueur et une largeur font $30÷2=15$ cm. Sans les 9 cm d’écart : $15-9=6$ cm pour deux largeurs, donc $6÷2=3$ cm (longueur $12$ cm : $2\times (12+3)=30$).

Complète par toujours, parfois ou jamais.

1. Un carré est un losange.
   Un carré a quatre côtés de même longueur : c’est toujours un losange.
2. Un losange est un carré.
   Un losange n’est un carré que s’il a des angles droits : parfois.
3. Un rectangle est un parallélogramme.
   Ses côtés opposés sont perpendiculaires à un même côté, donc parallèles : c’est toujours un parallélogramme.
4. Un parallélogramme est un losange.
   Seulement s’il a deux côtés consécutifs de même longueur : parfois.
5. Les côtés opposés d’un losange sont parallèles.
   Un losange est un parallélogramme : ses côtés opposés sont toujours parallèles.
6. Deux côtés consécutifs d’un rectangle sont parallèles.
   Deux côtés consécutifs d’un rectangle forment un angle droit : ils sont perpendiculaires, donc jamais parallèles.

PQRS est un rectangle et TUVW est un losange. Donne les longueurs en cm et les angles en degrés.

1. RS = cm
   Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur : RS = PQ = 7,2 cm.
2. Périmètre de PQRS : cm
   $2\times (7,2+4)=2\times 11,2=22,4$ cm.
3. $UVW$ = °
   $UVW$ est opposé à $UTW$ : dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux, donc $64°$.
4. $TUV$ = °
   $TUV$ est consécutif à $UTW$ : $180°-64°=116°$.
5. Périmètre de TUVW : cm
   Les quatre côtés d’un losange sont égaux : $4\times 3,5=14$ cm.

Raisonne avec les propriétés du parallélogramme. Donne les angles en degrés.

1. Dans le losange DEFG, $GDE$ + $EFG$ = 140°. $DEF$ = °
   $GDE$ et $EFG$ sont opposés, donc égaux : chacun mesure $140÷2=70°$. $DEF$ leur est consécutif : $180°-70°=110°$.
2. Dans le losange PQRS, $PQR$ mesure 36° de plus que $QRS$. $PQR$ = °
   $PQR$ et $QRS$ sont consécutifs : leur somme vaut $180°$. Sans l’écart : $(180°-36°)÷2=72°$ pour $QRS$, donc $PQR=72°+36°=108°$.
3. Dans le losange ABCD, $DAB$ = 58°. $ABC$ + $CDA$ = °
   $ABC$ est consécutif à $DAB$ : $180°-58°=122°$. $CDA$ est opposé à $ABC$ : $122°$ aussi. Somme : $122°+122°=244°$.
4. KLMN est un rectangle. La parallèle à (KL) passant par M est la droite
   Un rectangle est un parallélogramme : ses côtés opposés sont parallèles. Le côté opposé à [KL] est [MN], et (MN) passe par M : c’est la droite (MN).

Devinettes : réponds par rectangle, losange ou carré.

1. Je suis un parallélogramme ; mes diagonales sont perpendiculaires mais n’ont pas la même longueur. Je suis un
   Diagonales perpendiculaires : losange ; pas de même longueur : ce n’est pas un carré.
2. Je suis un parallélogramme ; mes diagonales ont la même longueur et sont perpendiculaires. Je suis un
   Même longueur (rectangle) et perpendiculaires (losange) : carré.
3. Je suis un parallélogramme ; mes diagonales ont la même longueur mais ne sont pas perpendiculaires. Je suis un
   Diagonales de même longueur : rectangle ; non perpendiculaires : pas un carré.
4. Mes quatre sommets sont à la même distance de mon centre, mais mes côtés ne sont pas tous égaux. Je suis un
   Sommets à la même distance du centre : les demi-diagonales sont égales, donc les diagonales aussi : rectangle. Côtés pas tous égaux : pas un carré.

MNPQ est un rectangle de centre O avec MP = 11 cm. EFGH est un losange de centre I avec EG = 10 cm et FH = 5,6 cm. Donne les longueurs en cm et les angles en degrés.

1. NQ = cm
   Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : NQ = MP = 11 cm.
2. ON = cm
   O est le milieu de [NQ] : $ON=11÷2=5,5$ cm.
3. IF = cm
   I est le milieu de [FH] : $IF=5,6÷2=2,8$ cm.
4. $EIF$ = °
   Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires : $EIF$ $=90°$.
5. OM + ON + OP + OQ = cm
   Dans un rectangle, les quatre demi-diagonales sont égales : $4\times 5,5=22$ cm (c’est aussi $MP+NQ$).

Les triangles formés par les diagonales. Donne les longueurs en cm et les angles en degrés.

1. JKLM est un rectangle de centre O avec JL = 10 cm et JK = 5 cm. Le périmètre du triangle OJK est cm
   $OJ=OK=10÷2=5$ cm (demi-diagonales égales). Périmètre : $5+5+5=15$ cm.
2. Dans ce rectangle JKLM, la nature la plus précise du triangle OJK est
   $OJ=OK=JK=5$ cm : les trois côtés sont égaux, le triangle est équilatéral.
3. Dans ce rectangle JKLM, $JOK$ = °
   OJK a ses trois côtés égaux : c’est un triangle équilatéral, ses trois angles mesurent $60°$.
4. RSTU est un carré de centre O et RT = 13 cm. OS = cm
   Dans un carré, les diagonales ont la même longueur : SU = 13 cm, et O en est le milieu : $OS=13÷2=6,5$ cm.
5. VWXY est un losange de centre I avec IV = 3,6 cm et IW = 1,5 cm. VX + WY = cm
   I est le milieu des diagonales : $VX=2\times 3,6=7,2$ cm et $WY=2\times 1,5=3$ cm. Somme : $7,2+3=10,2$ cm.

D’après le codage, donne la nature la plus précise : parallélogramme, rectangle, losange ou carré.

1. Figure 1 :
   Quatre côtés codés égaux, sans angle droit : c’est un losange.
2. Figure 2 :
   Trois angles droits : un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle.
3. Figure 3 :
   Quatre côtés égaux : c’est un losange ; avec un angle droit, c’est un carré.
4. Figure 4 :
   Les côtés opposés sont codés égaux deux à deux : c’est un parallélogramme, sans angle droit ni côtés consécutifs égaux.

Donne la nature la plus précise : rectangle, losange ou carré.

1. EFGH est un parallélogramme tel que EF = FG :
   [EF] et [FG] sont deux côtés consécutifs. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
2. IJKL est un parallélogramme dont les deux diagonales mesurent 6,4 cm :
   Un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle.
3. MNRS est un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires :
   Un rectangle est un parallélogramme ; diagonales perpendiculaires : c’est aussi un losange. Les deux : carré.
4. TUVW est un losange dont l’angle $TUV$ est droit :
   Un losange est un parallélogramme ; avec un angle droit, c’est aussi un rectangle. Les deux : carré.
5. BCDE est un quadrilatère qui a trois angles droits :
   Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle (le quatrième angle mesure $360°-3\times 90°=90°$).

Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD se coupent en O. Donne sa nature la plus précise (parallélogramme, rectangle, losange ou carré) ; si ce n’est même pas un parallélogramme, écris aucun.

1. OA = OC = 4 cm et OB = OD = 2,5 cm :
   O est le milieu des deux diagonales : parallélogramme. Diagonales de longueurs différentes (8 cm et 5 cm), et rien ne dit qu’elles sont perpendiculaires.
2. OA = OB = OC = OD = 3,5 cm :
   Même milieu O, et $AC=BD=7$ cm : diagonales de même longueur, c’est un rectangle.
3. OA = OC = 5 cm, OB = OD = 3 cm et (AC) ⊥ (BD) :
   Même milieu : parallélogramme ; diagonales perpendiculaires : losange (10 cm et 6 cm : pas de même longueur).
4. OA = OB = OC = OD = 2 cm et (AC) ⊥ (BD) :
   Même milieu, même longueur (4 cm) et perpendiculaires : carré.
5. OA = 3 cm, OC = 5 cm, OB = OD = 4 cm et (AC) ⊥ (BD) :
   O n’est pas le milieu de [AC] ($3\ne 5$) : ce n’est pas un parallélogramme, donc aucun (c’est un cerf-volant), même si les diagonales sont perpendiculaires.