Parallélogrammes : définition, propriétés et construction

Définir le parallélogramme, connaître les propriétés de ses côtés, de ses angles et de ses diagonales (centre de symétrie), le reconnaître grâce à une propriété caractéristique et le construire au compas, à l’équerre ou avec ses diagonales.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur le parallélogramme : calculer ses angles et son périmètre, des diagonales qui se coupent en leur milieu, un triangle complété par un demi-tour, le centre d’un logo, les barres articulées d’une boîte à outils et une construction à mesurer.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais une figure à main levée : les sommets dans l’ordre, puis les longueurs, les angles et le codage de l’énoncé.
Je repère ce qu’on sait : est-ce déjà un parallélogramme (j’utilise ses propriétés) ou faut-il le démontrer (je cherche une propriété caractéristique) ?
Je calcule avec la bonne propriété : côté opposé, angle opposé ou consécutif, moitié de diagonale.
Je rédige : on sait que… ; or… ; donc… ; et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les angles d’un parallélogramme★★★Facile

ABCD est un parallélogramme de centre O. On donne AB = 9 cm, AD = 6,5 cm et un angle

C D A

de 112°.

1. Quel est le périmètre de $A B C D$ ? cm
Les côtés opposés ont la même longueur : $2 \times (9 + 6, 5) = 31$ cm.
2. Combien mesure l’angle $A B C$ ? °
$A B C$ et $C D A$ sont opposés : ils ont la même mesure, $112 °$ .
3. Combien mesure l’angle $D A B$ ? °
$D A B$ et $C D A$ sont consécutifs, donc supplémentaires : $180 - 112 = 68$ , soit $68 °$ .
4. Quelle est la somme des quatre angles de $A B C D$ ? °
$68 + 112 + 68 + 112 = 360$ : comme dans tout quadrilatère non croisé, la somme des angles vaut $360 °$ .

Problème 2 · Des diagonales qui se coupent en leur milieu★★★Facile

Un quadrilatère EFGH a ses diagonales [EG] et [FH] qui se coupent en un point I, avec IE = IG = 4 cm et IF = IH = 3 cm.

1. Quelle est la nature du quadrilatère $E F G H$ ?
$I$ est le milieu de $[E G]$ et de $[F H]$ : les diagonales ont le même milieu, donc $E F G H$ est un parallélogramme (propriété 3).
2. Combien mesure la diagonale $[E G]$ ? cm
$E G = 2 \times 4 = 8$ cm.
3. Combien mesure la diagonale $[F H]$ ? cm
$F H = 2 \times 3 = 6$ cm : les deux diagonales n’ont pas la même longueur.
4. On mesure $E F = 4, 5$ cm. Combien mesure $G H$ ? cm
$E F G H$ est un parallélogramme : ses côtés opposés $[E F]$ et $[G H]$ ont la même longueur, $4, 5$ cm.
5. Quel est le symétrique du point $E$ par rapport à $I$ ?
$I$ est le milieu de $[E G]$ : le symétrique de $E$ est $G$ .

Problème 3 · Un triangle et un demi-tour★★★Moyen

On considère un triangle ABC et O le milieu du côté [BC]. On appelle D le symétrique de A par rapport à O.

1. Par la symétrie de centre $O$ , quelle est l’image du sommet $B$ du triangle ?
$O$ est le milieu de $[B C]$ : $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à $O$ .
2. Quelle est la nature du quadrilatère $A B D C$ ?
Ses diagonales $[A D]$ et $[B C]$ ont le même milieu $O$ ( $O$ est le milieu de $[B C]$ , et de $[A D]$ car $D$ est le symétrique de $A$ ) : $A B D C$ est un parallélogramme.
3. Quel est le numéro de la propriété du cours qui le prouve ?
C’est la propriété 3 : si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme.
4. On donne $A B = 7$ cm. Combien mesure $D C$ ? cm
Dans le parallélogramme $A B D C$ , les côtés $[A B]$ et $[D C]$ sont opposés : $D C = A B = 7$ cm.
5. On donne $A C = 5$ cm. Combien mesure $B D$ ? cm
Les côtés $[C A]$ et $[B D]$ sont opposés : $B D = A C = 5$ cm.

Problème 4 · Le logo et son centre★★★Moyen

Un logo a la forme d’un parallélogramme MNPQ de centre O, avec MN = 12 cm et NP = 7 cm. Son aire est de 60 cm².

1. Quel est le périmètre du logo ? cm
$2 \times (12 + 7) = 38$ cm.
2. Quel est le symétrique du point $M$ par rapport à $O$ ?
$O$ est le milieu de la diagonale $[M P]$ : le symétrique de $M$ est $P$ .
3. Quel est le symétrique du segment $[M N]$ par rapport à $O$ ?
Le symétrique de $M$ est $P$ et celui de $N$ est $Q$ : le symétrique de $[M N]$ est $[P Q]$ , le côté opposé.
4. On trace le symétrique du logo par rapport à $O$ . Combien de parallélogrammes distincts voit-on alors ?
$O$ est le centre de symétrie du logo : son symétrique se superpose exactement à lui. On ne voit qu’un parallélogramme, toujours d’aire $60$ cm².

Problème 5 · La boîte à outils à plateaux★★★Difficile

Dans une boîte à outils, un plateau est relié à la boîte par deux barres articulées [AD] et [BC] de 18 cm. Les points A et B sont fixés sur la boîte, les points D et C sous le plateau, avec AB = DC = 7 cm. Quand on ouvre la boîte, ABCD reste un quadrilatère non croisé.

1. Quel est le numéro de la propriété du cours qui prouve que $A B C D$ est toujours un parallélogramme ?
$A D = B C = 18$ cm et $A B = D C = 7$ cm : les côtés opposés ont la même longueur deux à deux, quelle que soit l’ouverture (propriété 2).
2. La droite $(D C)$ , qui porte le plateau, reste donc parallèle à la droite
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles : $(D C) / / (A B)$ . Le plateau reste parallèle au bord de la boîte.
3. Boîte ouverte, on mesure $D A B = 47 °$ . Combien mesure $A B C$ ? °
$D A B$ et $A B C$ sont consécutifs : $180 - 47 = 133$ , soit $133 °$ .
4. Combien mesure alors $B C D$ ? °
$B C D$ est opposé à $D A B$ : $47 °$ .
5. Quel est le périmètre du quadrilatère $A B C D$ ? cm
$2 \times (18 + 7) = 50$ cm : il ne change pas quand on ouvre la boîte.

Problème 6 · Construire et mesurer★★★Difficile

Sur ton cahier, construis le parallélogramme ABCD tel que AB = 6 cm, AD = 4 cm et

D A B

= 60°. Laisse les traits de construction apparents.

1. Tu traces $[A B]$ , l’angle $D A B$ de $60 °$ et $[A D]$ . Pour placer $C$ , tu traces un arc de centre $B$ et de rayon cm
$[B C]$ est opposé à $[A D]$ : $B C = A D = 4$ cm. Je trace $[A B]$ de $6$ cm, l’angle $D A B$ de $60 °$ au rapporteur, je place $D$ à $4$ cm de $A$ sur ce côté, puis l’arc de centre $B$ de rayon $4$ cm.
2. Puis un arc de centre $D$ et de rayon cm
$[D C]$ est opposé à $[A B]$ : $D C = 6$ cm. $C$ est l’intersection des deux arcs, du côté opposé à $A$ par rapport à $(B D)$ .
3. Mesure la diagonale $[B D]$ au millimètre près : $B D \approx$ cm
Sur une figure précise, on lit $B D \approx 5, 3$ cm (on accepte $5, 2$ à $5, 4$ cm).
4. Mesure $A B C$ au rapporteur. Le calcul donne °
$A B C$ et $D A B$ sont consécutifs : $180 - 60 = 120$ , soit $120 °$ . La mesure au rapporteur doit le confirmer.

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