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Ces exercices corrigés sur « Symétrie centrale & parallélogramme » en cinquième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de cinquième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Qu'est-ce que la symétrie centrale ?, Le symétrique d'un point, Le symétrique d'un segment et d'une droite, Les propriétés conservées. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en cinquième.
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Facile
Ex. 1Complète :
a) La symétrie centrale se fait par rapport à un … .
b) Elle correspond à un demi-tour, c'est-à-dire une rotation de … degrés.
c) Le symétrique du centre O est … .
a) un point (le centre de symétrie).
b) 180°.
c) O lui-même (le centre est invariant).
Ex. 2Vrai ou faux :
a) O est le milieu de [AA'] lorsque A' est le symétrique de A par rapport à O.
b) La symétrie centrale est un pliage le long d'une droite.
c) Les points A, O, A' sont alignés.
a) VRAI (c'est la définition).
b) FAUX : un pliage le long d'une droite, c'est la symétrie axiale. La symétrie centrale est un demi-tour autour d'un point.
c) VRAI : A, O et A' sont toujours alignés.
Ex. 3On donne O milieu de [AA']. On sait que OA = 3,5 cm. Combien mesure :
a) OA' ?
b) AA' ?
a) OA' = OA = 3,5 cm (O est le milieu).
b) AA' = OA + OA' = 3,5 + 3,5 = 7 cm.
Ex. 4Sur papier quadrillé, A est à 3 carreaux à gauche et 2 carreaux au-dessus de O. Où se trouve A', symétrique de A par rapport à O ?
On reporte le déplacement de l'autre côté de O : A' est à 3 carreaux à droite et 2 carreaux en dessous de O.
Ex. 5Le segment [AB] mesure 5 cm. Son symétrique par rapport à un point O est [A'B']. Combien mesure [A'B'] ? Pourquoi ?
[A'B'] mesure 5 cm. La symétrie centrale conserve les longueurs.
Ex. 6Cite trois grandeurs conservées par une symétrie centrale.
Par exemple : les longueurs, les mesures d'angles et les aires (on accepte aussi l'alignement et le parallélisme).
Ex. 7Parmi ces figures, lesquelles ont un centre de symétrie ?
a) un cercle
b) un triangle équilatéral
c) un segment
a) Oui (centre = son centre).
b) Non : le triangle équilatéral a des axes de symétrie mais aucun centre.
c) Oui (centre = son milieu).
Ex. 8Donne la définition d'un parallélogramme.
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
Ex. 9Dans le parallélogramme ABCD, on a AB = 6 cm et BC = 4 cm. Donne :
a) la longueur DC
b) la longueur AD
Les côtés opposés sont égaux.
a) DC = AB = 6 cm.
b) AD = BC = 4 cm.
Ex. 10Vrai ou faux : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
VRAI. Leur point d'intersection est le centre de symétrie O du parallélogramme.
Moyen
Ex. 11Décris la méthode (en 3 étapes) pour construire le symétrique A' du point A par rapport à un point O, à la règle et au compas.
1) Tracer la droite (AO).
2) Mesurer OA (au compas).
3) Reporter cette longueur de l'autre côté de O sur la droite : on obtient A' tel que OA' = OA.
Ex. 12Sur papier quadrillé, A(−4 ; 1) et O(0 ; 0). Donne les coordonnées de A', symétrique de A par rapport à O.
Quand le centre est l'origine O(0 ; 0), on change le signe des deux coordonnées : A' a pour coordonnées (4 ; −1). (O doit être le milieu de [AA'].)
Ex. 13Le symétrique de la droite (d) par rapport à O est la droite (d'). Quelle est la position relative de (d) et (d') ?
(d) et (d') sont parallèles. Par une symétrie centrale, une droite et son image sont toujours parallèles.
Ex. 14Un cercle de centre I et de rayon 3 cm a pour symétrique, par rapport à O, un cercle de centre I'. Donne :
a) le rayon du cercle image
b) ce qu'est le point I' par rapport à I.
a) rayon 3 cm (la longueur est conservée).
b) I' est le symétrique de I par rapport à O (O est le milieu de [II']).
Ex. 15Dans un parallélogramme, un angle mesure 65°. Donne la mesure :
a) de l'angle opposé
b) d'un angle consécutif
a) angle opposé : 65° (angles opposés égaux).
b) angle consécutif : 180° − 65° = 115° (deux angles consécutifs sont supplémentaires).
Ex. 16Dans le parallélogramme ABCD, la diagonale [AC] mesure 10 cm et [BD] mesure 7 cm. O est le centre. Calcule :
a) OA
b) OB
Les diagonales se coupent en leur milieu O.
a) OA = 10 ÷ 2 = 5 cm.
b) OB = 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
Ex. 17Le triangle ABC a pour symétrique A'B'C' par rapport à O. On sait que l'angle en B mesure 40° et que AB = 5 cm. Donne :
a) la mesure de l'angle en B'
b) la longueur A'B'
a) 40° (les angles sont conservés).
b) 5 cm (les longueurs sont conservées).
Ex. 18Parmi ces lettres majuscules, lesquelles ont un centre de symétrie : A, H, N, T, X ?
Ont un centre de symétrie : H, N, X. N'en ont pas : A et T (qui ont seulement un axe de symétrie).
Ex. 19Explique comment placer le quatrième sommet D d'un parallélogramme ABCD à l'aide de la symétrie centrale, quand on connaît A, B et C.
On place O, milieu de [AC] (intersection des diagonales). Puis D est le symétrique de B par rapport à O, car O est aussi le milieu de [BD].
Ex. 20Vrai ou faux, en justifiant : « Si un quadrilatère a un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme. »
VRAI. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il possède un centre de symétrie (qui est alors l'intersection de ses diagonales).
Difficile
Ex. 21A(2 ; 5), B(−1 ; 4) et O(0 ; 0). Construis (par le calcul) les coordonnées de A' et B', symétriques de A et B par rapport à O. Puis donne la longueur A'B' sachant que AB = √10.
A'(−2 ; −5) et B'(1 ; −4) (on change les signes car le centre est l'origine).
A'B' = AB = √10 : la symétrie conserve les longueurs.
Ex. 22Dans un parallélogramme ABCD, l'angle  mesure (2x + 10)° et l'angle Ĉ (qui lui est opposé) mesure (3x − 20)°. Trouve x, puis la mesure de Â.
Les angles opposés sont égaux : 2x + 10 = 3x − 20 → 30 = x, donc x = 30.
 = 2 × 30 + 10 = 70°.
Ex. 23ABCD est un parallélogramme. Â = (x + 25)° et le côté B̂, qui lui est consécutif, mesure (2x + 5)°. Trouve x puis les quatre angles.
Deux angles consécutifs sont supplémentaires : (x + 25) + (2x + 5) = 180 → 3x + 30 = 180 → 3x = 150 → x = 50.
 = 75°, B̂ = 105°, et par opposition Ĉ = 75°, D̂ = 105°.
Ex. 24On part d'un triangle OAB. On note A' le symétrique de A et B' le symétrique de B par rapport à O. Quelle est la nature du quadrilatère ABA'B' ? Justifie.
O est le milieu de [AA'] et le milieu de [BB'] : les deux diagonales [AA'] et [BB'] du quadrilatère ont le même milieu O. Donc ABA'B' est un parallélogramme (centre O).
Ex. 25Dans un parallélogramme ABCD de centre O, on sait que AC = 12 cm, BD = 8 cm et AB = 7 cm. Calcule le périmètre du triangle OAB.
OA = 12 ÷ 2 = 6 cm ; OB = 8 ÷ 2 = 4 cm ; AB = 7 cm.
Périmètre de OAB = 6 + 4 + 7 = 17 cm.
Ex. 26Le point M a pour symétrique M' par rapport à O. On sait que M(5 ; 3) et M'(−1 ; 7). Trouve les coordonnées du centre O.
O est le milieu de [MM'] : on fait la moyenne des coordonnées.
x = (5 + (−1)) ÷ 2 = 2 ; y = (3 + 7) ÷ 2 = 5. Donc O(2 ; 5).
Ex. 27ABCD est un parallélogramme. On prolonge le côté [AB] au-delà de B d'un point E tel que BE = AB. Montre que B est le milieu de [AE], puis explique pourquoi DCEB... est-il aussi un parallélogramme ? (On admettra que BE = DC.)
Comme BE = AB et que A, B, E sont alignés, B est bien le milieu de [AE].
Dans le parallélogramme ABCD, DC = AB et (DC) // (AB). Or BE = AB = DC et (BE) est portée par (AB), donc (BE) // (DC) et BE = DC : le quadrilatère BCDE… a un couple de côtés opposés parallèles et égaux, donc BEDC est aussi un parallélogramme. (Deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur ⇒ parallélogramme.)
Ex. 28Je suis un parallélogramme. La somme de deux de mes angles consécutifs vaut toujours 180°. Un de mes angles vaut le double de son angle consécutif. Quelle est la mesure de chacun de mes quatre angles ?
Soit x un angle ; le consécutif vaut alors x ÷ ... posons : angle = 2y et consécutif = y. On a 2y + y = 180 → 3y = 180 → y = 60.
Les angles mesurent donc 120°, 60°, 120°, 60°.