Symétrie centrale : demi-tour et propriétés

Symétrie axiale par rapport à une droite (d) : complète par un mot, le nom d’un point ou un nombre.

1. Le symétrique de A par rapport à (d) est le point A′ tel que (d) est au segment [AA′] et passe par son milieu.
   C’est la définition : $(d)$ coupe $[AA\prime ]$ perpendiculairement en son milieu ; on dit que $(d)$ est la médiatrice de $[AA\prime ]$.
2. A est à 3,4 cm de (d). Son symétrique A′ est à cm de (d).
   $A$ et $A\prime$ sont à la même distance de $(d)$, de part et d’autre : $3,4$ cm.
3. Dans ce cas, AA′ = cm
   $AA\prime =3,4+3,4=6,8$ cm.
4. Le point B est sur l’axe (d). Son symétrique par rapport à (d) est le point .
   Un point de l’axe ne bouge pas quand on plie : $B$ est son propre symétrique.
5. Un segment de 6,3 cm a pour symétrique par rapport à (d) un segment de cm.
   La symétrie axiale conserve les longueurs : $6,3$ cm.

Sur un quadrillage, on repère chaque nœud par sa colonne, puis sa ligne. L’axe (d) est la droite verticale de la colonne 6. Donne la colonne, puis la ligne du point demandé.

1. A est colonne 2, ligne 3. Son symétrique A′ : colonne , ligne
   $A$ est à $6-2=4$ carreaux à gauche de $(d)$. $A\prime$ est sur la même ligne, à $4$ carreaux à droite : colonne $6+4=10$, ligne $3$.
2. B est colonne 9, ligne 5. Son symétrique B′ : colonne , ligne
   $B$ est à $9-6=3$ carreaux à droite de $(d)$. $B\prime$ est sur la même ligne, à $3$ carreaux à gauche : colonne $6-3=3$, ligne $5$.
3. C est colonne 6, ligne 1. Son symétrique C′ : colonne , ligne
   $C$ est sur l’axe : il est son propre symétrique, $C\prime =C$ (colonne $6$, ligne $1$).
4. Le symétrique d’un point D est colonne 8, ligne 0. Le point D : colonne , ligne
   $D$ et son symétrique sont symétriques l’un de l’autre. Le symétrique est à $8-6=2$ carreaux à droite de $(d)$, donc $D$ est à $2$ carreaux à gauche : colonne $6-2=4$, ligne $0$.
5. Avec un autre axe, (d′), qui suit les diagonales des carreaux et passe par les nœuds (colonne 0, ligne 0), (colonne 1, ligne 1), (colonne 2, ligne 2)… : le symétrique de E (colonne 5, ligne 1) est colonne , ligne
   Je me déplace en biais, perpendiculairement à $(d\prime )$ : de $E$, vers la gauche et vers le haut, je passe par le nœud (colonne 4, ligne 2) et j’arrive sur l’axe au nœud (colonne 3, ligne 3) : $2$ carreaux traversés. J’en traverse encore $2$ dans le même sens, par (colonne 2, ligne 4) : le symétrique de $E$ est colonne $1$, ligne $5$.

Axes de symétrie et propriétés conservées : réponds par un nombre (ou par « une infinité »).

1. Nombre d’axes de symétrie d’un triangle équilatéral :
   Chaque axe passe par un sommet et le milieu du côté opposé : $3$ axes.
2. Nombre d’axes de symétrie d’un carré :
   Les $2$ médiatrices de ses côtés et les $2$ droites qui portent ses diagonales : $4$ axes.
3. Nombre d’axes de symétrie d’un cercle :
   Toute droite qui passe par le centre partage le cercle en deux moitiés superposables : une infinité d’axes.
4. M est un point de (d), MA = 3,1 cm et A′ est le symétrique de A par rapport à (d). MA′ = cm
   $M$ est sur l’axe : il est son propre symétrique. Le segment $[MA\prime ]$ est donc le symétrique de $[MA]$, et la symétrie axiale conserve les longueurs : $MA\prime =MA=3,1$ cm.
5. Un rectangle de 6,5 cm sur 1,5 cm a pour symétrique par rapport à une droite un rectangle de périmètre cm.
   Les longueurs sont conservées : l’image a pour côtés $6,5$ cm et $1,5$ cm. Périmètre : $2\times (6,5+1,5)=2\times 8=16$ cm.

Complète par un mot ou par le nom d’un point.

1. Une symétrie centrale est définie par un point, appelé son .
   La symétrie centrale de centre O est le demi-tour autour du point O.
2. Une symétrie axiale est définie par une droite, appelée son .
   La symétrie axiale est un pliage le long d’une droite : l’axe de symétrie.
3. Le symétrique du point O par rapport à O est le point .
   Le centre ne bouge pas pendant le demi-tour : O est son propre symétrique, le seul point qui reste en place.
4. Si M′ est le symétrique de M par rapport à O, le point O est le du segment [MM′].
   Par définition, $O$ est le milieu de $[MM\prime ]$ : $M$, $O$ et $M\prime$ sont alignés et $OM=OM\prime$.

La lettre F noire a été transformée de trois façons : les lettres bleues 1, 2 et 3.

1. L’image de la lettre noire par une symétrie centrale est la lettre n° .
   La lettre 2 a la tête en bas, sans effet miroir : elle a fait un demi-tour.
2. L’image de la lettre noire par une symétrie axiale est la lettre n° .
   La lettre 3 est retournée comme dans un miroir : ses barres regardent vers la gauche. La lettre 1 a seulement glissé.
3. Le centre de cette symétrie centrale est le nœud situé colonne , ligne .
   Le bas du mât noir (colonne 1, ligne 1) a pour image le haut du mât de la lettre 2 (colonne 9, ligne 5). Le centre est au milieu : colonne $(1+9)÷2=5$, ligne $(1+5)÷2=3$.
4. L’axe de cette symétrie axiale est la droite verticale qui passe par la colonne .
   Le mât noir est colonne 1, le mât de la lettre 3 colonne 13 : l’axe est à mi-chemin, colonne $(1+13)÷2=7$.

Pour chaque figure, écris « centre » (un centre de symétrie, aucun axe), « axe » (au moins un axe, aucun centre), « les deux » ou « aucun ». Pour les rosaces, réponds par un nombre.

1. Un triangle équilatéral :
   Il a trois axes de symétrie (un par sommet), mais après un demi-tour sa pointe du haut est en bas : aucun centre.
2. Un cercle :
   Son centre est centre de symétrie, et toute droite qui passe par le centre est un axe.
3. La lettre N, écrite en capitales bâton :
   Après un demi-tour autour du milieu de la barre oblique, le N se superpose à lui-même ; aucun pliage ne superpose ses deux moitiés.
4. La lettre F, écrite en capitales bâton :
   Le F n’a ni axe, ni centre : après un demi-tour comme après un pliage, ses barres ne sont plus au même endroit.
5. Des rosaces ont 3, 4, 5 ou 6 pétales identiques répartis régulièrement autour de leur centre. Combien de ces quatre rosaces ont un centre de symétrie ?
   Seules les rosaces à nombre pair de pétales (4 et 6) en ont un : chaque pétale arrive sur le pétale d’en face. Avec 3 ou 5 pétales, en face d’un pétale il y a un vide.

Symétrique d’un point : réponds par un nombre.

1. M′ est le symétrique de M par rapport à O, et OM = 5 cm. OM′ = cm
   $O$ est le milieu de $[MM\prime ]$, donc $OM\prime =OM=5$ cm.
2. Dans cette situation, MM′ = cm
   $MM\prime =2\times OM=10$ cm.
3. A′ est le symétrique de A par rapport à O, et AA′ = 7,4 cm. OA = cm
   $O$ est le milieu de $[AA\prime ]$ : $OA=7,4÷2=3,7$ cm.
4. K′ est le symétrique de K par rapport à O, et OK = 2,35 cm. KK′ = cm
   $KK\prime =2\times 2,35=4,7$ cm.

Sur ce quadrillage, on construit les symétriques des points par rapport à O. Donne la colonne, puis la ligne.

1. A′ : colonne , ligne
   De A à O : 3 carreaux vers la droite et 1 vers le bas. Je refais ce trajet à partir de O : colonne $5+3=8$, ligne $3-1=2$.
2. B′ : colonne , ligne
   De B à O : 1 carreau vers la droite et 3 vers le bas. À partir de O : colonne $5+1=6$, ligne $3-3=0$.
3. C′ : colonne , ligne
   De C à O : 2 carreaux vers la gauche et 2 vers le bas. À partir de O : colonne $5-2=3$, ligne $3-2=1$.
4. Le symétrique d’un point D est colonne 1, ligne 2. Le point D est colonne , ligne
   D et son symétrique sont symétriques l’un de l’autre. Du symétrique à O : 4 carreaux vers la droite et 1 vers le haut ; je refais ce trajet après O : colonne $5+4=9$, ligne $3+1=4$.

Construire sans quadrillage : complète la méthode par un mot, un nom de point ou un nombre.

1. Pour construire le symétrique de A par rapport à O, je trace la demi-droite [AO), puis je reporte au compas la longueur de l’autre côté de O.
   On pique le compas en $O$ avec l’écartement $OA$ : l’arc coupe la demi-droite en $A\prime$, avec $OA\prime =OA$.
2. Pour construire le symétrique d’un triangle, je construis les symétriques de ses trois , puis je les relie.
   Le symétrique d’un polygone s’obtient sommet par sommet ; on relie les images dans le même ordre.
3. Le symétrique d’un cercle de centre K est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique de .
   On construit $K\prime$, symétrique de $K$ par rapport à $O$, puis le cercle de centre $K\prime$ et de même rayon.
4. Pour tracer le symétrique d’une droite, il suffit de construire les symétriques de de ses points, puis de les relier.
   Deux points suffisent pour tracer une droite : je construis leurs symétriques et je trace la droite qui passe par ces deux images.

La figure image est le symétrique de la figure de départ par rapport à un point O. Réponds par un nombre.

1. Un segment mesure 7,5 cm. Son symétrique mesure cm.
   La symétrie centrale conserve les longueurs : $7,5$ cm.
2. Un angle mesure 48°. Son image mesure °.
   La symétrie centrale conserve les mesures d’angles : $48°$.
3. Un triangle a une aire de 14 cm². Son symétrique a une aire de cm².
   L’aire est conservée : la figure a seulement fait un demi-tour, sans être déformée.
4. L’image d’un cercle de rayon 4 cm est un cercle de rayon cm.
   Le rayon est une longueur : il est conservé.

ABCD est un quadrilatère et A′B′C′D′ est son symétrique par rapport à un point O. Complète par un mot (ou un segment, noté entre crochets).

1. Les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires. Les droites (A′B′) et (A′D′) sont donc .
   L’angle droit $BAD$ a pour image l’angle $\widehat{B\prime A\prime D\prime }$ : les mesures d’angles sont conservées, il est droit aussi.
2. E est le milieu de [BC]. Son symétrique E′ est le milieu de .
   Les milieux sont conservés : $E\prime$ est le milieu de $[B\prime C\prime ]$.
3. Le point F est sur la diagonale [AC] : A, F et C sont alignés. Les points A′, F′ et C′ sont donc .
   L’alignement est conservé par la symétrie centrale : $F\prime$ est sur $[A\prime C\prime ]$.
4. O n’est pas sur la droite (CD). L’image de (CD) est une droite à (CD).
   La symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle : $(C\prime D\prime )$ est parallèle à $(CD)$, et distincte puisque $O$ n’est pas sur $(CD)$.
5. La droite (BD) passe par O. Son image par cette symétrie est .
   Le symétrique d’un point de $(BD)$ est sur $(BD)$, de l’autre côté de $O$ : l’image de $(BD)$ est $(BD)$ elle-même.

Calcule sans mesurer : la figure image est le symétrique de la figure de départ par rapport à un point O.

1. Un triangle a des côtés de 5,2 cm, 4,6 cm et 3,8 cm. Le périmètre de son image est cm.
   Les trois longueurs sont conservées : $5,2+4,6+3,8=13,6$ cm.
2. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 4,5 cm. L’aire de son symétrique A′B′C′ est cm².
   Aire de $ABC$ : la moitié du rectangle de côtés $6$ cm et $4,5$ cm, soit $6\times 4,5÷2=13,5$ cm². L’aire est conservée : $13,5$ cm².
3. Un cercle a un diamètre de 7 cm. Le rayon de son image est cm.
   L’image a le même diamètre, $7$ cm, donc le même rayon : $7÷2=3,5$ cm.
4. Les points E, F, G sont alignés dans cet ordre, avec EF = 2,6 cm et FG = 3,9 cm. Leurs symétriques donnent E′G′ = cm.
   L’alignement et les longueurs sont conservés : $E\prime$, $F\prime$, $G\prime$ sont alignés dans cet ordre et $E\prime G\prime =EG=2,6+3,9=6,5$ cm.