Fiche de révision : rectangle, losange, carré

Rappels de 6e (définitions et codage du rectangle, du losange et du carré, périmètre, axes de symétrie, constructions), puis ces figures comme parallélogrammes particuliers (côtés, angles), les propriétés de leurs diagonales (même milieu, même longueur, perpendiculaires), les propriétés caractéristiques pour reconnaître leur nature d’après l’énoncé ou le codage, et la construction à partir des diagonales.

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benprofparticulier.frMathématiques · 5ᵉ

Rectangle, losange, carré

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Espace et géométrie · Parallélogrammes particuliers)

La démarche pour toute question sur un rectangle, un losange ou un carré

1. Je code. Sur une figure à main levée, je reporte les données : côtés égaux, angles droits, milieux, diagonales.

2. Je cherche la famille. Est-ce un parallélogramme ? un rectangle ? un losange ? Je liste les propriétés que cela donne.

3. Je cite la propriété. Je rédige « On sait que… Or… Donc… », puis je calcule si besoin.

Le réflexe — je ne conclus jamais à l’œil : seuls l’énoncé et le codage comptent.

Cas 1 · Rappels de 6e : nature, périmètre, construction

Réflexe — je compte les angles droits et je compare les côtés codés ; périmètre : $2 \times (L + ℓ)$ pour un rectangle, $4 \times c$ pour un losange ou un carré.

Exemple 1. Le rectangle JKLM a pour périmètre $31$ cm et $J K = 10, 5$ cm. Calculer KL.

Les deux longueurs font $2 \times 10, 5 = 21$ cm ; il reste $31 - 21 = 10$ cm pour les deux largeurs.

$K L = 10 \div 2 = 5$ cm.

Exemple 2. Construire le losange PQRS de côté $5$ cm dont la diagonale $[P R]$ mesure $8$ cm.

Je trace $[P R]$ de $8$ cm. Au compas, écartement $5$ cm : un arc de centre $P$ et un arc de centre $R$ , de chaque côté de $[P R]$ .

Ils se coupent en $Q$ et en $S$ ; je trace les quatre côtés.

Attention — une figure qui ressemble à un carré n’en est un que si l’énoncé ou le codage donne quatre angles droits et quatre côtés égaux.

Cas 2 · Utiliser les propriétés des côtés et des angles

Réflexe — rectangle, losange et carré sont des parallélogrammes : côtés opposés égaux, angles opposés égaux, angles consécutifs de somme $180 °$ .

Exemple. Le losange FGHI a pour périmètre $22$ cm et $F G H$ $= 115 °$ . Calculer FG, $G H I$ et $H I F$ .

Les quatre côtés sont égaux : $F G = 22 \div 4 = 5, 5$ cm.

$G H I$ est consécutif à $F G H$ : $180 ° - 115 ° = 65 °$ . $H I F$ est opposé à $F G H$ : $115 °$ .

Attention — un losange n’a pas quatre angles égaux : seuls les angles opposés le sont.

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Cas 3 · Calculer avec les diagonales

Réflexe — les diagonales se coupent en leur milieu ; même longueur dans un rectangle, perpendiculaires dans un losange, les deux dans un carré.

Exemple. TUVW est un rectangle de centre O et $T V = 12, 4$ cm. Calculer UW et OU.

Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : $U W = T V = 12, 4$ cm.

O est le milieu de [UW] : $O U = 12, 4 \div 2 = 6, 2$ cm.

Attention — dans un rectangle, les diagonales ne sont pas perpendiculaires ; dans un losange, elles n’ont pas la même longueur (sauf pour un carré).

Cas 4 · Prouver la nature d’un quadrilatère

Réflexe — je pars du parallélogramme : un angle droit ou des diagonales égales → rectangle ; deux côtés consécutifs égaux ou des diagonales perpendiculaires → losange ; les deux → carré.

Exemple 1. MNPQ est un parallélogramme et $(M P) ⟂ (N Q)$ . Quelle est sa nature ?

On sait que MNPQ est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Or un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange.

Donc MNPQ est un losange.

Exemple 2. Le losange DEFG a des diagonales de même longueur. Quelle est sa nature ?

Un losange est un parallélogramme ; ses diagonales ont la même longueur, c’est donc aussi un rectangle.

Rectangle et losange à la fois : DEFG est un carré.

Attention — un angle droit ou des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas si l’on ne sait pas que c’est un parallélogramme.

Les pièges

Croire que tout rectangle est un carré : il faut en plus quatre côtés égaux.
Écrire que les diagonales d’un rectangle sont perpendiculaires : elles ont le même milieu et la même longueur, mais ne sont perpendiculaires que pour un carré.
Oublier de diviser par 2 : une demi-diagonale vaut la moitié de la diagonale.
Conclure « losange » avec des diagonales perpendiculaires qui ne se coupent pas en leur milieu (cerf-volant).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour toute question sur un rectangle, un losange ou un carré : coder la figure, chercher la famille, citer la propriété avec « on sait que, or, donc ». Un exemple corrigé par cas (largeur d’un rectangle d’après son périmètre et losange construit au compas, angles d’un losange, demi-diagonales d’un rectangle, nature d’un quadrilatère) et les pièges classiques.

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