Parallélogrammes : définition, propriétés et construction

1. a)$CD=AB=7,5$ cm et $AD=BC=4,2$ cm : les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur. (1)
2. b)$2\times (7,5+4,2)=23,4$ cm. (1)
3. c)$ABC={180}^{\circ }-{123}^{\circ }={57}^{\circ }$ (angles consécutifs), $BCD={123}^{\circ }$ (opposé à $DAB$), $CDA={57}^{\circ }$. (1)
4. d)$OB=9÷2=4,5$ cm, car $O$ est le milieu de la diagonale $[BD]$. (1)

Repère — Opposé : même mesure ; consécutif : on complète à $180°$ ; diagonale : on prend la moitié.

1. a)Oui : $S$ est le milieu de $[WY]$ et de $[XZ]$ ; un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. (1)
2. b)Oui : ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux. (1)
3. c)Non : dans un parallélogramme, les côtés opposés $[EF]$ et $[HG]$ auraient la même longueur ; ici $5\ne 5,4$. C’est un trapèze. (1)
4. d)Oui : deux côtés opposés $[KL]$ et $[NM]$ sont parallèles et de même longueur. (1)

Méthode — On sait que… ; or si un quadrilatère…, alors c’est un parallélogramme ; donc…

1. a)$[AB]$ de $5,8$ cm ; angle $ABC$ de ${125}^{\circ }$ au rapporteur ; $C$ sur ce côté à $3,6$ cm de $B$ ; arc de centre $A$ et de rayon $3,6$ cm, arc de centre $C$ et de rayon $5,8$ cm : $D$ à leur intersection. (1)
2. b)$BCD={180}^{\circ }-{125}^{\circ }={55}^{\circ }$, $CDA={125}^{\circ }$, $DAB={55}^{\circ }$. (1)
3. c)$[IK]$ de $8$ cm et son milieu $O$ ; droite passant par $O$ faisant ${50}^{\circ }$ avec $(IK)$ ; $J$ et $L$ sur cette droite de part et d’autre de $O$, à $5÷2=2,5$ cm de $O$. (1)
4. d)Par construction, $O$ est le milieu de $[IK]$ et de $[JL]$ : les diagonales ont le même milieu, donc $IJKL$ est un parallélogramme. (1)

Piège — Depuis $A$, le rayon est $BC$ (le côté opposé à $[AD]$) ; depuis $C$, c’est $AB$.

1. a)Faux : avec une seule paire de côtés parallèles, c’est peut-être un trapèze ; il faut les deux paires de côtés opposés parallèles. (1)
2. b)Faux : elles se coupent en leur milieu, mais n’ont pas en général la même longueur. (1)
3. c)Faux : $DAB$ et $ABC$ sont consécutifs, donc supplémentaires : $ABC={180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$. (1)
4. d)Faux : $[AB]$ et $[BC]$ sont consécutifs ; il faudrait des côtés opposés de même longueur ($AB=CD$ et $BC=DA$). (1)

Le point clé — Les propriétés portent sur des côtés ou des angles opposés : je vérifie toujours avec le nom du quadrilatère, dans l’ordre.

1. a)Le parallélogramme $ABCD$, ses diagonales qui se coupent en $O$, $E$ sur $[OA]$ et $F$ sur $[OC]$, avec le même codage sur $[OE]$ et $[OF]$. (1)
2. b)$[BD]$ est une diagonale du parallélogramme $ABCD$, et les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu $O$. (1)
3. c)$E$, $O$ et $F$ sont alignés sur la diagonale $[AC]$, $O$ est entre $E$ et $F$, et $OE=OF$ : $O$ est le milieu de $[EF]$. (1)
4. d)On sait que les diagonales $[BD]$ et $[EF]$ du quadrilatère $BEDF$ ont le même milieu $O$. Or si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc $BEDF$ est un parallélogramme. (1)

Méthode — On utilise d’abord une propriété du parallélogramme $ABCD$, puis une propriété caractéristique pour conclure sur $BEDF$.