Fiche de révision : le parallélogramme

Définir le parallélogramme, connaître les propriétés de ses côtés, de ses angles et de ses diagonales (centre de symétrie), le reconnaître grâce à une propriété caractéristique et le construire au compas, à l’équerre ou avec ses diagonales.

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Parallélogrammes : définition, propriétés et construction

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Espace et géométrie · Parallélogrammes)

La démarche pour un exercice sur le parallélogramme

1. Je fais un croquis à main levée : les sommets dans l’ordre, les longueurs, les angles et le codage de l’énoncé.

2. Je repère la question. On me dit que c’est un parallélogramme : j’utilise ses propriétés. On me demande de le prouver : je cherche une propriété caractéristique.

3. Je rédige en trois temps : on sait que… ; or (la propriété) ; donc (la conclusion).

Le réflexe — côtés opposés de même longueur, angles opposés égaux, diagonales de même milieu : ce sont les trois réflexes du parallélogramme.

Cas 1 · Utiliser les propriétés

Réflexe — côté opposé : même longueur ; angle opposé : même mesure ; angle consécutif : $180 °$ moins l’angle connu ; diagonale : son milieu est le centre $O$ .

Exemple. $I J K L$ est un parallélogramme de centre $O$ : $I J = 4, 6$ cm, $J K = 2, 9$ cm, $L I J = 58 °$ et $I K = 6, 8$ cm. Trouver $K L$ , $L I$ , $J K L$ , $I J K$ et $O I$ .

Côtés opposés : $K L = I J = 4, 6$ cm et $L I = J K = 2, 9$ cm.

Angle opposé : $J K L = 58 °$ ; angle consécutif : $I J K = 180 ° - 58 ° = 122 °$ .

$O$ est le milieu de $[I K]$ : $O I = 6, 8 \div 2 = 3, 4$ cm.

Attention — $I J K$ n’est pas égal à $L I J$ : ces angles sont consécutifs, pas opposés.

Cas 2 · Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Réflexe — je cherche une des quatre propriétés caractéristiques dans les données, puis je rédige : on sait que… ; or… ; donc…

Exemple 1. Les diagonales de $R S T U$ se coupent en $V$ , avec $V R = V T = 2, 5$ cm et $V S = V U = 4$ cm. Démontrer que $R S T U$ est un parallélogramme.

On sait que $V$ est le milieu de $[R T]$ et de $[S U]$ , les diagonales de $R S T U$ .

Or si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme.

Donc $R S T U$ est un parallélogramme.

Exemple 2. $J K L M$ est non croisé, avec $J K = L M = 3, 3$ cm et $K L = M J = 5, 1$ cm.

Ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux : $J K L M$ est un parallélogramme.

Attention — on cite la propriété dans le bon sens : « si un quadrilatère a…, alors c’est un parallélogramme ».

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Cas 3 · Construire un parallélogramme

Réflexe — trois sommets connus : je place le quatrième au compas, avec les longueurs des côtés opposés ; diagonales connues : je pars de leur milieu commun.

Exemple. $A$ , $B$ , $C$ sont placés, avec $A B = 4, 8$ cm et $B C = 3, 7$ cm. Placer $D$ pour que $A B C D$ soit un parallélogramme.

Arc de centre $A$ et de rayon $B C = 3, 7$ cm ; arc de centre $C$ et de rayon $A B = 4, 8$ cm.

$D$ est leur point d’intersection situé de l’autre côté de $(A C)$ par rapport à $B$ .

Attention — je laisse les arcs de construction apparents et je vérifie à la fin que les côtés opposés semblent bien parallèles.

Les pièges

Confondre côtés opposés et consécutifs : dans $A B C D$ , $[A B]$ est opposé à $[D C]$ , pas à $[B C]$ .
Croire que les diagonales d’un parallélogramme ont toujours la même longueur ou sont perpendiculaires.
Conclure « parallélogramme » avec une seule paire de côtés parallèles : c’est peut-être un trapèze.
Se tromper de rayon au compas : depuis $A$ , le rayon est $B C$ , la longueur du côté opposé à $[A D]$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche pour un exercice sur le parallélogramme : faire un croquis, choisir entre propriété et propriété caractéristique, rédiger avec « on sait que, or, donc ». Un exemple corrigé par cas (utiliser, démontrer, construire) et quatre pièges classiques.

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