Symétrie centrale : demi-tour et propriétés

Revoir la symétrie axiale de 6e (symétrique d’un point et d’une figure, propriétés conservées, axes des figures usuelles), puis définir la symétrie centrale comme un demi-tour autour d’un point et la distinguer de la symétrie axiale, reconnaître le centre de symétrie d’une figure (lettres, cercle, rosaces), construire le symétrique d’un point et d’une figure sur quadrillage et sur feuille blanche, et utiliser les propriétés conservées (longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme).

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur les deux symétries : un triangle et son image, le massif d’un jardin symétrique par rapport à une allée, la rosace d’un vitrail, le plan d’un quartier aux lieux jumeaux, un triangle et le milieu d’un côté, et un logo à deux triangles.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais une figure, à main levée si besoin, et je code les longueurs égales.
Je repère le centre et les couples de points symétriques : le centre est le milieu de chaque segment qui les joint.
Je cite la propriété utilisée : la symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires, l’alignement, et transforme une droite en une droite parallèle.
Je calcule, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le triangle et son image★★★Facile

Sur une feuille, Inès place un point

O

, puis un triangle

A B C

avec

A B = 6

cm,

A C = 4

cm et

B C = 5

cm. Elle construit le symétrique

A' B' C'

A B C

par rapport à

O

. Le point

A

est à

3, 5

cm de

O

1. Combien mesure $A' B'$ , en cm ?
Les longueurs sont conservées : $A' B' = A B = 6$ cm.
2. Quel est le périmètre du triangle $A' B' C'$ , en cm ?
$6 + 4 + 5 = 15$ cm : c’est le même périmètre que celui de $A B C$ .
3. Les droites $(A B)$ et $(A' B')$ sont-elles sécantes ou parallèles ?
L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.
4. Quelle est la longueur $A A'$ , en cm ?
$O$ est le milieu de $[A A']$ : $A A' = 2 \times 3, 5 = 7$ cm.

Problème 2 · Le massif du jardin★★★Facile

Sur le plan quadrillé d’un jardin, chaque carreau représente

1

m et on repère chaque point par sa colonne, puis sa ligne. L’allée centrale est la droite

(d)

verticale de la colonne

8

. Un massif de fleurs a la forme du triangle

A B C

, à gauche de l’allée :

A

est colonne

2

, ligne

1

;

B

colonne

6

, ligne

1

;

C

colonne

6

, ligne

6

. Le jardinier veut un massif identique de l’autre côté de l’allée : le triangle

A' B' C'

, symétrique de

A B C

par rapport à

(d)

1. Le point $A'$ est colonne , ligne
$A$ est à $8 - 2 = 6$ carreaux à gauche de $(d)$ : $A'$ est sur la même ligne, à $6$ carreaux à droite, colonne $8 + 6 = 14$ , ligne $1$ .
2. Quelle distance sépare $A$ de $A'$ , en m ?
$A$ et $A'$ sont chacun à $6$ m de l’allée, de part et d’autre : $A A' = 6 + 6 = 12$ m.
3. Le massif $A B C$ est rectangle en $B$ . Quelle est l’aire du massif $A' B' C'$ , en m² ?
$A B = 6 - 2 = 4$ m et $B C = 6 - 1 = 5$ m. Aire de $A B C$ : la moitié du rectangle de côtés $4$ m et $5$ m, soit $4 \times 5 \div 2 = 10$ m². La symétrie axiale conserve les aires : $10$ m².
4. Le jardinier compare avec un demi-tour du massif autour du point $O$ de l’allée situé colonne $8$ , ligne $4$ . Par ce demi-tour, $A$ arriverait colonne , ligne
De $A$ à $O$ : $6$ carreaux vers la droite et $3$ vers le haut. Je refais ce trajet à partir de $O$ : colonne $8 + 6 = 14$ , ligne $4 + 3 = 7$ . Ce n’est pas $A'$ : un demi-tour n’est pas un pliage.

Problème 3 · La rosace du vitrail★★★Moyen

La rosace d’un vitrail est formée de

8

pétales identiques, répartis régulièrement autour de son centre

O

et numérotés de

1

8

dans le sens des aiguilles d’une montre. Les

8

pétales ont une aire totale de

1 200

cm², et la pointe de chaque pétale est à

60

cm de

O

1. Après un demi-tour autour de $O$ , sur quel pétale arrive le pétale n° 1 ?
Un demi-tour, c’est la moitié des $8$ pétales : on avance de $4$ pétales. Le pétale $1$ arrive sur le pétale $1 + 4 = 5$ , juste en face.
2. Quelle est l’aire d’un pétale, en cm² ?
Les $8$ pétales sont identiques : $1 200 \div 8 = 150$ cm².
3. Quelle est l’aire de l’image du pétale n° 1 par ce demi-tour, en cm² ?
La symétrie centrale conserve les aires : l’image a la même aire que le pétale, $150$ cm².
4. Quelle distance sépare la pointe du pétale n° 1 de la pointe du pétale qui lui est symétrique, en cm ?
$O$ est le milieu du segment qui joint les deux pointes : $2 \times 60 = 120$ cm.
5. Une autre rosace a $5$ pétales identiques répartis régulièrement. Après un demi-tour autour de son centre, combien de pétales retombent exactement sur un pétale ?
Avec un nombre impair de pétales, en face de chaque pétale il y a un vide : aucun pétale ne retombe sur un pétale. Cette rosace n’a pas de centre de symétrie.

Problème 4 · Le plan du quartier★★★Moyen

Sur le plan quadrillé d’un quartier, on repère chaque lieu par sa colonne puis sa ligne. La fontaine

F

est colonne

6

, ligne

4

. Le plan est dessiné pour que chaque lieu ait un « jumeau » : son symétrique par rapport à la fontaine. La gare est colonne

2

, ligne

1

, et l’école est colonne

2

, ligne

5

1. Le parc est le jumeau de la gare. Il est colonne , ligne
De la gare à $F$ : $4$ carreaux vers la droite et $3$ vers le haut. Je refais ce trajet après $F$ : colonne $6 + 4 = 10$ , ligne $4 + 3 = 7$ .
2. Le musée est colonne $9$ , ligne $2$ . Son jumeau est colonne , ligne
Du musée à $F$ : $3$ carreaux vers la gauche et $2$ vers le haut. Après $F$ : colonne $6 - 3 = 3$ , ligne $4 + 2 = 6$ .
3. Le jumeau de l’école est colonne , ligne
De l’école à $F$ : $4$ carreaux vers la droite et $1$ vers le bas. Après $F$ : colonne $6 + 4 = 10$ , ligne $4 - 1 = 3$ .
4. Une rue droite va de la gare à l’école. Combien de carreaux mesure la rue jumelle, qui relie le parc au jumeau de l’école ?
La rue gare–école est sur la colonne $2$ , des lignes $1$ à $5$ : $4$ carreaux. La rue jumelle est son symétrique par rapport à $F$ , et la symétrie centrale conserve les longueurs : $4$ carreaux. Les coordonnées le confirment : colonne $10$ , des lignes $3$ à $7$ .

Problème 5 · Le triangle et le milieu d’un côté★★★Difficile

On considère un triangle

A B C

avec

A B = 7

cm, et

O

le milieu du côté

[B C]

. On appelle

A'

le symétrique de

A

par rapport à

O

1. Par rapport à $O$ , de quel point $B$ est-il le symétrique ?
$O$ est le milieu de $[B C]$ , donc $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à $O$ .
2. Quel est le symétrique du segment $[A B]$ par rapport à $O$ ?
Le symétrique de $A$ est $A'$ et celui de $B$ est $C$ : le symétrique de $[A B]$ est $[A' C]$ .
3. Combien mesure $A' C$ , en cm ?
On sait que $[A' C]$ est le symétrique de $[A B]$ . Or la symétrie centrale conserve les longueurs. Donc $A' C = A B = 7$ cm.
4. Les droites $(A B)$ et $(A' C)$ sont-elles sécantes ou parallèles ?
$(A' C)$ est l’image de $(A B)$ , et $O$ n’est pas sur $(A B)$ . Or la symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle. Donc $(A' C)$ est parallèle à $(A B)$ .

Problème 6 · Le logo à deux triangles★★★Difficile

Un logo est formé d’un triangle

O A B

rectangle en

O

, avec

O A = 4

cm,

O B = 3

cm et

A B = 5

cm, et de son symétrique

O A' B'

par rapport au point

O

1. Quel est le périmètre du triangle $O A' B'$ , en cm ?
Les longueurs sont conservées : $O A' = 4$ cm, $O B' = 3$ cm, $A' B' = 5$ cm. Périmètre : $4 + 3 + 5 = 12$ cm.
2. Quelle est la longueur $A A'$ , en cm ?
$A$ , $O$ et $A'$ sont alignés et $O$ est le milieu de $[A A']$ : $A A' = 2 \times 4 = 8$ cm.
3. Combien mesure l’angle $\hat{A' O B'}$ , en degrés ?
L’angle $\hat{A' O B'}$ est l’image de l’angle droit $A O B$ : les angles sont conservés, $90 °$ .
4. Quelle est l’aire totale du logo, en cm² ?
Aire de $O A B$ : la moitié du rectangle de côtés $4$ cm et $3$ cm, soit $4 \times 3 \div 2 = 6$ cm². Son symétrique a la même aire : $6 + 6 = 12$ cm².
5. Quel point est le centre de symétrie du logo ?
Après un demi-tour autour de $O$ , chaque triangle vient sur l’autre : le logo se superpose à lui-même, $O$ est son centre de symétrie.

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