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Ces problèmes corrigés sur « Symétrie centrale & parallélogramme » en cinquième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de cinquième et se résolvent étape par étape. Au programme : Qu'est-ce que la symétrie centrale ?, Le symétrique d'un point, Le symétrique d'un segment et d'une droite, Les propriétés conservées. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en cinquième.
Des situations concrètes où la symétrie centrale et le parallélogramme se cachent. Fais d'abord un schéma au brouillon avant de regarder la correction.
Facile
Pb 1Sur une carte au trésor, le rocher R est repéré par rapport au phare O. Le trésor T est le symétrique de R par rapport à O. On sait que OR = 12 m. À quelle distance du phare se trouve le trésor ? Et quelle distance sépare le rocher du trésor ?
O est le milieu de [RT], donc OT = OR = 12 m. Le rocher et le trésor sont séparés de RT = 12 + 12 = 24 m.
Pb 2Un designer dessine un logo : il place un motif M, puis son symétrique M' par rapport au centre O du logo. Le motif M a une aire de 18 cm². Quelle est l'aire du motif M' ? Quelle est l'aire totale des deux motifs ?
La symétrie centrale conserve les aires : M' a une aire de 18 cm². Aire totale : 18 + 18 = 36 cm².
Pb 3Un jardinier veut un parterre en forme de parallélogramme ABCD. Il a planté trois piquets : A, B et C. Pour placer le 4ᵉ piquet D, il tend une corde des diagonales. Explique précisément comment il trouve D.
Il place O, le milieu de la diagonale [AC]. Puis D est le symétrique de B par rapport à O : il prolonge le segment [BO] d'une longueur égale au-delà de O. Le piquet D vérifie alors « O milieu de [BD] », donc ABCD est un parallélogramme.
Pb 4Un panneau de signalisation a la forme d'un parallélogramme. Le côté le plus long mesure 80 cm et le côté le plus court 50 cm. Quel est le périmètre du panneau ?
Les côtés opposés sont égaux deux à deux : il y a deux côtés de 80 cm et deux de 50 cm.
Périmètre = 2 × (80 + 50) = 2 × 130 = 260 cm (= 2,60 m).
Moyen
Pb 5Sur un plan, une ville V a pour coordonnées (6 ; 4) et le centre commercial est à l'origine O(0 ; 0). On construit un nouveau quartier V', symétrique de V par rapport à O. Donne les coordonnées de V'. La distance OV vaut-elle la même chose que OV' ?
Le centre étant l'origine, on change le signe des coordonnées : V'(−6 ; −4). Comme O est le milieu de [VV'], on a bien OV = OV'.
Pb 6Une fenêtre a la forme d'un parallélogramme ABCD. L'angle  au coin inférieur gauche mesure 72°. Donne la mesure des trois autres angles B̂, Ĉ et D̂.
Angle opposé Ĉ = Â = 72°. Angles consécutifs supplémentaires : B̂ = 180° − 72° = 108°, et D̂ = 108°. Vérification : 72 + 108 + 72 + 108 = 360°.
Pb 7Un cerf-volant à structure rigide est un parallélogramme dont les deux baguettes sont les diagonales. Elles se croisent en O et l'une mesure 60 cm, l'autre 40 cm. Calcule la longueur de chaque demi-baguette (de O à un coin).
Les diagonales se coupent en leur milieu O.
Grande baguette : 60 ÷ 2 = 30 cm de chaque côté.
Petite baguette : 40 ÷ 2 = 20 cm de chaque côté.
Pb 8Pour un patron de couture en parallélogramme ABCD, on connaît AB = 24 cm et le périmètre = 70 cm. Quelle est la longueur du côté BC ?
Périmètre = 2 × (AB + BC) → 70 = 2 × (24 + BC) → 35 = 24 + BC → BC = 11 cm.
Difficile
Pb 9Sur un échiquier (repère), un cavalier est en C(3 ; 7). On effectue la symétrie de centre O(1 ; 2). Trouve la case image C'. (Indice : O doit être le milieu de [CC'].)
O milieu de [CC'] : x' = 2 × xO − xC = 2 × 1 − 3 = −1 ; y' = 2 × yO − yC = 2 × 2 − 7 = −3.
Donc C'(−1 ; −3). (On utilise : la coordonnée du milieu est la moyenne des deux extrémités.)
Pb 10Un architecte dessine une façade : un parallélogramme ABCD de centre O. Il sait que la diagonale [AC] mesure 5,4 m, la diagonale [BD] mesure 3,6 m et le côté [AB] mesure 2,5 m. Calcule le périmètre du triangle OAB formé par le centre et un côté.
OA = 5,4 ÷ 2 = 2,7 m ; OB = 3,6 ÷ 2 = 1,8 m ; AB = 2,5 m.
Périmètre de OAB = 2,7 + 1,8 + 2,5 = 7 m.
Pb 11Un motif décoratif est formé d'un triangle OAB et de son symétrique par rapport à O, qui donne le triangle OA'B'. On admet que les 4 points A, B, A', B' forment un parallélogramme. Si l'aire du triangle OAB est de 9 cm², quelle est l'aire totale du motif (les deux triangles), et que peut-on dire de l'aire du parallélogramme ABA'B' ?
La symétrie conserve l'aire : le triangle OA'B' a aussi une aire de 9 cm². Aire des deux triangles = 9 + 9 = 18 cm². Comme ces deux triangles forment justement le parallélogramme ABA'B', son aire vaut aussi 18 cm².
Pb 12Dans un parallélogramme ABCD, l'angle  est égal au triple de l'angle B̂ qui lui est consécutif. Trouve la mesure de chacun des quatre angles. Le parallélogramme peut-il être un rectangle ?
 = 3 × B̂, et  + B̂ = 180° (consécutifs). Donc 3B̂ + B̂ = 180° → 4B̂ = 180° → B̂ = 45°, et  = 135°.
Les angles sont 135°, 45°, 135°, 45°. Ce n'est pas un rectangle (un rectangle aurait quatre angles de 90°).