Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré

1. a)Quatre côtés de même longueur : ABCD est un losange. Périmètre : $4\times 4,6=18,4$ cm. (1)
2. b)Quatre angles droits : EFGH est un rectangle. Une longueur et une largeur font $26÷2=13$ cm, donc $FG=13-8,5=4,5$ cm. $EF\ne FG$ : ses côtés ne sont pas tous égaux, ce n’est pas un carré. (1)
3. c)ABCD, losange non carré : 2 axes, les droites $(AC)$ et $(BD)$ qui portent ses diagonales. EFGH, rectangle non carré : 2 axes, les médiatrices de $[EF]$ et de $[FG]$. (1)
4. d)Je trace $[EF]$ de $8,5$ cm ; à l’équerre, je trace les perpendiculaires à $(EF)$ en $E$ et en $F$ ; j’y place $H$ et $G$, du même côté de $(EF)$, à $4,5$ cm de $E$ et de $F$ ; je trace $[GH]$ et je contrôle que $GH=8,5$ cm. (1)

Repère — En 6ᵉ, la nature se lit sur les angles droits et les côtés égaux ; le périmètre et les axes de symétrie en découlent.

1. a)Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : $CE=BD=13$ cm ; O est leur milieu : $OC=13÷2=6,5$ cm (1)
2. b)$OB=OC=6,5$ cm, donc $6,5+6,5+5=18$ cm (1)
3. c)$PT=9,6÷2=4,8$ cm ; $QT=5÷2=2,5$ cm ; diagonales perpendiculaires : $PTQ$ $={90}^{\circ }$ (1)
4. d)$QRS$ est opposé à $QPS$ : ${55}^{\circ }$ ; $PQR$ est consécutif : ${180}^{\circ }-{55}^{\circ }={125}^{\circ }$ (1)

Méthode — Une demi-diagonale est la moitié de la diagonale ; dans un rectangle, les quatre demi-diagonales sont égales.

1. a)Diagonales de même milieu et de même longueur : rectangle (1)
2. b)Quatre côtés égaux : losange ; avec un angle droit : carré (1)
3. c)Diagonales de même milieu : parallélogramme ; perpendiculaires : losange (1)
4. d)Seule la diagonale horizontale est codée coupée en son milieu ; rien ne dit que la diagonale verticale l’est (elle ne l’est d’ailleurs pas sur le dessin) : on ne peut pas affirmer que c’est un parallélogramme, ni donc un losange, malgré les diagonales perpendiculaires (c’est un cerf-volant) (1)

Piège — Des diagonales perpendiculaires ne font un losange que si elles se coupent en leur milieu.

1. a)On sait que O est le milieu de [IK] et de [JL] : $IK=2\times 4,5=9$ cm et $JL=9$ cm. Or un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle. Donc IJKL est un rectangle. (2)
2. b)On sait que FGHK est un rectangle, donc un parallélogramme, et que FG = GH (deux côtés consécutifs). Or un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Donc FGHK est un rectangle et un losange : c’est un carré. Ses diagonales sont perpendiculaires : $FOG$ $={90}^{\circ }$. (2)

Le point clé — La propriété citée après « Or » doit partir exactement de ce que l’on sait : ici, du parallélogramme.

1. a)Elles se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires (1)
2. b)$NQ=MP=6$ cm (même longueur) ; $OM=6÷2=3$ cm (O milieu de [MP]) (1)
3. c)Je trace [MP] de 6 cm et son milieu O ; à l’équerre, la perpendiculaire à (MP) en O ; j’y place N et Q à 3 cm de O, de part et d’autre ; je trace les quatre côtés (1)
4. d)Diagonales de même milieu O et perpendiculaires, mais de longueurs différentes (6 cm et 4 cm) : MNPQ est un losange, pas un carré (1)

Méthode — Pour construire un parallélogramme particulier, on traduit sa nature en propriétés des diagonales, puis on les trace.