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Parallélogrammes : définition, propriétés et construction
Définir le parallélogramme, connaître les propriétés de ses côtés, de ses angles et de ses diagonales (centre de symétrie), le reconnaître grâce à une propriété caractéristique et le construire au compas, à l’équerre ou avec ses diagonales.
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Définition et propriétés du parallélogramme
1. Définition et vocabulaire
On nomme un quadrilatère en citant ses sommets dans l’ordre, en tournant autour de la figure. Dans le parallélogramme ABCD :
• les côtés opposés (sans sommet commun) sont [AB] et [DC], [AD] et [BC] : donc (AB) // (DC) et (AD) // (BC) ;
• deux côtés consécutifs ont un sommet commun, comme [AB] et [BC] ;
• les diagonales [AC] et [BD] joignent deux sommets opposés (A et C, B et D).
Dans ABCD, le côté opposé à [BC] est [AD] ; le sommet opposé à B est D ; les diagonales sont [AC] et [BD].
ABCD, BCDA ou ADCB désignent le même parallélogramme (on tourne autour) ; ABDC désigne un autre quadrilatère, ici croisé.
Réflexe — je fais un croquis et j’écris les sommets dans l’ordre : deux lettres voisines dans le nom forment un côté, deux lettres non voisines forment une diagonale.
Attention — [AC] n’est pas un côté de ABCD : c’est une diagonale. Et le côté opposé à [AB] est [DC], pas [BC], qui lui est consécutif.
2. Les côtés et les angles
• les côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC ;
• les angles opposés ont la même mesure : = et = ;
• deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°) : + = 180°.
Pourquoi ? La symétrie de centre O (partie 3) transforme [AB] en [CD] et l’angle de sommet A en l’angle de sommet C ; or elle conserve les longueurs et les angles. Les quatre angles d’un quadrilatère non croisé ont pour somme 360° : deux angles consécutifs en font donc la moitié, 180°.
= 70° : l’angle opposé mesure aussi 70° ; les angles consécutifs mesurent 180 − 70 = 110°, donc = = 110°.
Contrôle : 70 + 110 + 70 + 110 = 360.
AB = 5,8 cm et BC = 3,4 cm : DC = 5,8 cm, AD = 3,4 cm ; périmètre : 2 × (5,8 + 3,4) = 18,4 cm.
Réflexe — angle opposé : même mesure ; angle consécutif (voisin) : 180° moins la mesure connue.
Attention — deux angles consécutifs ne sont pas égaux en général : ils ne le sont que s’ils mesurent 90° chacun.
3. Les diagonales et le centre de symétrie
Donc OA = OC = AC ÷ 2 et OB = OD = BD ÷ 2.
En général, les deux diagonales n’ont pas la même longueur et ne sont pas perpendiculaires.
AC = 9,4 cm : OA = OC = 9,4 ÷ 2 = 4,7 cm.
OD = 2,6 cm : OB = 2,6 cm et BD = 2 × 2,6 = 5,2 cm.
Le symétrique du point B par rapport à O est D ; celui du segment [AB] est [CD].
Réflexe — « diagonales » → « même milieu » : je divise la diagonale par 2 pour avoir une moitié, ou je double une moitié pour avoir la diagonale.
Attention — OA = OC, mais en général OA ≠ OB : les deux diagonales n’ont pas la même longueur.
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Reconnaître un parallélogramme
| n° | Si un quadrilatère (non croisé)… | alors… |
|---|---|---|
| 1 | a ses côtés opposés parallèles deux à deux | c’est un parallélogramme (définition) |
| 2 | a ses côtés opposés de même longueur deux à deux | c’est un parallélogramme |
| 3 | a ses diagonales qui ont le même milieu | c’est un parallélogramme |
| 4 | a deux côtés opposés parallèles et de même longueur | c’est un parallélogramme |
Les segments [MP] et [NQ] ont le même milieu J.
On sait que les diagonales [MP] et [NQ] du quadrilatère MNPQ ont le même milieu J. Or si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc MNPQ est un parallélogramme.
RSTU est non croisé, avec RS = TU = 4,5 cm et ST = UR = 2,8 cm : ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux (propriété 2), c’est un parallélogramme.
EFGH a seulement (EF) // (HG) : c’est un trapèze, pas un parallélogramme. KLMN a KL = KN = 3 cm et LM = MN = 4 cm : ces côtés égaux sont consécutifs ; les côtés opposés [KL] et [MN] n’ont pas la même longueur, KLMN n’est pas un parallélogramme.
Réflexe — je cherche dans l’énoncé ou dans le codage : deux paires de côtés parallèles ? deux paires de côtés opposés égaux ? des diagonales de même milieu ? une paire de côtés opposés parallèles et égaux ? Puis je cite la propriété.
Attention — une seule paire de côtés parallèles ne suffit pas (trapèze) ; des côtés égaux doivent être opposés, pas consécutifs. On ne se fie jamais à l’œil : seuls les données et le codage comptent.
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Construire un parallélogramme
• au compas (côtés opposés de même longueur) : arc de centre A et de rayon BC, arc de centre C et de rayon AB ; D est le point d’intersection situé de l’autre côté de (AC) par rapport à B ;
• à la règle et à l’équerre (définition) : D est l’intersection de la parallèle à (AB) passant par C et de la parallèle à (BC) passant par A ;
• avec les diagonales (même milieu) : je place O, milieu de [AC], puis D, symétrique de B par rapport à O.
Sur un quadrillage, je compte les carreaux pour aller de B à C et je fais le même déplacement à partir de A : j’obtiens D, avec (AD) // (BC) et AD = BC (propriété 4).
Construire ABCD avec AB = 5 cm, AD = 3 cm et = 50° : je trace [AB] de 5 cm ; au rapporteur, l’angle de 50° ; je place D sur ce côté à 3 cm de A ; puis C au compas : arc de centre B et de rayon 3 cm, arc de centre D et de rayon 5 cm.
Construire EFGH de diagonales EG = 7 cm et FH = 4 cm : je trace [EG] de 7 cm et son milieu O ; je trace une droite qui passe par O (par exemple à 40° de (EG)) ; j’y place F et H de part et d’autre de O, à 4 ÷ 2 = 2 cm de O.
Réflexe — d’abord une figure à main levée, avec les sommets dans l’ordre et les longueurs écrites ; puis je laisse les traits de construction apparents.
Attention — l’arc de centre A a pour rayon BC (le côté opposé à [AD]), pas AB ; et des deux points d’intersection des arcs, un seul convient.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — construire le symétrique d’un point ou d’une figure par rapport à un point, et les propriétés conservées par la symétrie centrale : voir Symétrie centrale : demi-tour et propriétés.
Ensuite — le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers (un angle droit, quatre côtés égaux, ou les deux) ; on les reconnaît à leurs diagonales (même longueur, perpendiculaires) et à leur codage : voir Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré.
Aire — l’aire d’un parallélogramme se calcule avec un côté et la hauteur relative à ce côté : voir Aires : parallélogramme, triangle, disque.
À savoir — en 4ᵉ, le parallélogramme sert à définir une nouvelle transformation, la translation (un glissement) ; cela se verra en 4ᵉ.
- Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux ; on le nomme en citant ses sommets dans l’ordre.
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur et les angles opposés la même mesure ; deux angles consécutifs ont pour somme 180°.
- Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, qui est le centre de symétrie de la figure.
- Un quadrilatère (non croisé) est un parallélogramme s’il a ses côtés opposés parallèles, ou de même longueur, deux à deux, ou ses diagonales de même milieu, ou deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
- Pour construire, j’utilise une de ces propriétés : le compas (côtés opposés égaux), la règle et l’équerre (côtés parallèles) ou le milieu des diagonales.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un parallélogramme ?
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans le parallélogramme ABCD, nommé en tournant autour de la figure, (AB) est parallèle à (DC) et (AD) est parallèle à (BC) ; ses diagonales sont [AC] et [BD].
Quelles sont les propriétés des côtés et des angles d’un parallélogramme ?
Ses côtés opposés ont la même longueur et ses angles opposés la même mesure. Deux angles consécutifs sont supplémentaires : si un angle mesure 70°, l’angle opposé mesure 70° et les deux autres 180 − 70 = 110°.
Que sait-on des diagonales d’un parallélogramme ?
Elles se coupent en leur milieu O, qui est le centre de symétrie du parallélogramme : OA = OC et OB = OD. En général, les diagonales n’ont pas la même longueur et ne sont pas perpendiculaires.
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?
Une seule propriété caractéristique suffit : côtés opposés parallèles deux à deux, côtés opposés de même longueur deux à deux (quadrilatère non croisé), diagonales de même milieu, ou deux côtés opposés parallèles et de même longueur. On rédige : on sait que…, or si un quadrilatère…, alors c’est un parallélogramme, donc…
Comment construire un parallélogramme quand on connaît trois sommets ?
Avec A, B et C, on place D au compas : un arc de centre A et de rayon BC, un arc de centre C et de rayon AB. On peut aussi tracer les parallèles à (AB) par C et à (BC) par A, ou prendre D symétrique de B par rapport au milieu de [AC].
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