Symétrie centrale : demi-tour et propriétés

1. a)$A$ est à $4$ carreaux à gauche de $(d)$ : $A\prime$ est colonne $5+4=9$, ligne $2$. $B$ est à $2$ carreaux à droite : $B\prime$ est colonne $5-2=3$, ligne $6$. $C$ est sur l’axe : $C\prime =C$, colonne $5$, ligne $4$. (1)
2. b)À l’équerre, je trace la perpendiculaire à $(d)$ qui passe par $M$ ; elle coupe $(d)$ en $H$. Je reporte la longueur $HM$ de l’autre côté de $(d)$, au compas pointé en $H$ : c’est $M\prime$. $M$ et $M\prime$ sont chacun à $2,7$ cm de $(d)$, donc $MM\prime =2,7+2,7=5,4$ cm. (1)
3. c)La symétrie axiale conserve les longueurs : le périmètre de $A\prime B\prime C\prime$ est $4,5+3,2+5,8=13,5$ cm. Elle conserve les mesures d’angles : $\widehat{B\prime A\prime C\prime }={33}^{\circ }$. (1)
4. d)Le losange non carré a $2$ axes : les droites qui portent ses diagonales. Le carré en a $4$ : les $2$ médiatrices de ses côtés et les $2$ droites qui portent ses diagonales. Lina a tort : en pliant un rectangle non carré le long d’une diagonale, les deux moitiés ne se recouvrent pas ; ses $2$ axes sont les médiatrices de ses côtés. (1)

Méthode — Pour la symétrie axiale, on compte ou on mesure toujours perpendiculairement à l’axe, à partir de l’axe ; un point de l’axe ne bouge pas.

1. a)H, N et Z : chacune se superpose à elle-même après un demi-tour autour de son milieu. (1)
2. b)A et T : elles ont un axe vertical, mais après un demi-tour elles ont la tête en bas. (1)
3. c)La rosace à $6$ pétales : après un demi-tour, chaque pétale arrive sur le pétale d’en face ; avec $3$ pétales, en face d’un pétale il y a un vide. (1)
4. d)La symétrie axiale d’axe $(d)$ : l’axe coupe chaque segment $[MM\prime ]$ perpendiculairement en son milieu. (1)

Repère — Un centre de symétrie se teste par un demi-tour, un axe par un pliage : une figure peut avoir l’un sans l’autre.

1. a)De $E$ à $O$ : $5$ carreaux vers la droite et $1$ vers le bas ; je refais ce trajet après $O$ : $E\prime$ est colonne $11$, ligne $3$. (1)
2. b)$F\prime$ : colonne $8$, ligne $1$ (de $F$ à $O$ : $2$ à droite, $3$ en bas) ; $G\prime$ : colonne $9$, ligne $6$ (de $G$ à $O$ : $3$ à droite, $2$ en haut). (1)
3. c)Il a la même forme et les mêmes dimensions que $EFG$, mais la tête en bas, sans effet miroir. (1)
4. d)Colonnes : $(4+8)÷2=6$ ; lignes : $(7+1)÷2=4$ : le milieu de $[FF\prime ]$ est bien le point $O$, colonne $6$, ligne $4$. (1)

Erreur fréquente — Revenir en arrière après $O$ : on refait le même trajet, dans le même sens, de l’autre côté du centre.

1. a)On trace la demi-droite $[MO)$, puis on reporte au compas $4,5$ cm de l’autre côté de $O$ : $M\prime$ est sur $[MO)$, avec $OM\prime =4,5$ cm. (1)
2. b)$O$ est le milieu de $[MM\prime ]$, donc $MM\prime =2\times 4,5=9$ cm. (1)
3. c)Chaque sommet est reporté de l’autre côté de $O$, à la même distance, sur la demi-droite qui part du sommet et passe par $O$ ; puis on relie $A\prime$, $B\prime$ et $C\prime$. (1)
4. d)$5+4+6,5=15,5$ cm : la symétrie centrale conserve les longueurs, donc le périmètre. (1)

Méthode — Le compas pointé en $O$ reporte la longueur $OM$ sans erreur de lecture de la règle.

1. a)$2,4$ cm : le rayon est une longueur, et la symétrie centrale conserve les longueurs. (1)
2. b)$O$ est le milieu de $[KK\prime ]$, donc $KK\prime =2\times 5=10$ cm. (1)
3. c)$[K\prime P\prime ]$ est le symétrique de $[KP]$, donc $K\prime P\prime =KP=2,4$ cm : $P\prime$ est à $2,4$ cm de $K\prime$, donc sur (c′). (1)
4. d)Oui : $(K\prime P\prime )$ est l’image de $(KP)$ par la symétrie de centre $O$, et l’image d’une droite est une droite parallèle (si $O$ est sur $(KP)$, c’est la même droite). (1)

Rédiger — On sait… Or la symétrie centrale conserve les longueurs… Donc… : chaque réponse s’appuie sur une propriété.