Rappels de 6e (définitions et codage du rectangle, du losange et du carré, périmètre, axes de symétrie, constructions), puis ces figures comme parallélogrammes particuliers (côtés, angles), les propriétés de leurs diagonales (même milieu, même longueur, perpendiculaires), les propriétés caractéristiques pour reconnaître leur nature d’après l’énoncé ou le codage, et la construction à partir des diagonales.
À propos de cette page
Six problèmes corrigés sur les parallélogrammes particuliers : un cadre photo, le châssis d’un menuisier vérifié par ses diagonales, un losange construit au compas et à l’équerre, le cerf-volant d’Inès, un carré inscrit dans un cercle et une démonstration en trois temps.
6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».
Résoudre un problème : la méthode
Je lis l’énoncé et je fais une figure à main levée codée : côtés égaux, angles droits, milieux.
Je repère ce que je sais déjà : est-ce un parallélogramme ? un rectangle ? un losange ?
Je choisis la propriété qui relie ce que je sais à ce que je cherche (côtés, angles ou diagonales).
Je rédige « On sait que… Or… Donc… », puis je calcule si besoin.
Je réponds par une phrase, avec l’unité.
Problème 1 · Le cadre photo★★★Facile
Un cadre photo rectangulaire mesure 24 cm sur 18 cm. On colle un ruban doré sur tout son tour.
1. Quelle longueur de ruban faut-il, en cm ?
Côtés opposés égaux : cm.
2. Combien mesure chacun des angles du cadre, en degrés ?
Un rectangle a quatre angles droits : .
3. On mesure une diagonale du cadre : 30 cm. Combien mesure l’autre diagonale, en cm ?
Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : 30 cm.
4. À quelle distance du centre du cadre se trouve chaque coin, en cm ?
Le centre est le milieu des diagonales : cm, pour les quatre coins.
Problème 2 · Le menuisier vérifie son châssis★★★Facile
Un menuisier assemble quatre montants pour faire un châssis de fenêtre : les montants opposés mesurent 1,20 m et 0,80 m. Avant de fixer la vitre, il mesure les deux diagonales au centimètre près : 1,48 m et 1,40 m.
1. Le châssis a ses côtés opposés de même longueur deux à deux. Quelle est sa nature : parallélogramme, rectangle ou losange ?
Côtés opposés égaux deux à deux : c’est un parallélogramme. Ses diagonales n’ont pas la même longueur : ce n’est pas un rectangle ; ses côtés consécutifs sont différents : ce n’est pas un losange.
2. Il pousse un coin jusqu’à ce que les deux diagonales aient la même longueur. Quelle est alors la nature du châssis ?
Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
3. Combien mesure alors chaque angle du châssis, en degrés ?
Le châssis est un rectangle : ses quatre angles sont droits, . C’est ainsi que les menuisiers vérifient qu’un cadre est « d’équerre ».
Problème 3 · Construire un losange★★★Moyen
Construis sur ton cahier le losange RSTU de centre O tel que RT = 7 cm et SU = 4,8 cm, avec la méthode du cours (diagonales perpendiculaires qui ont le même milieu).
1. À quelle distance de R places-tu le point O, en cm ?
O est le milieu de [RT] : cm.
2. À quelle distance de O places-tu S, en cm ?
O est aussi le milieu de [SU] : cm, sur la perpendiculaire à (RT) passant par O.
3. Combien mesure l’angle , en degrés ?
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires : .
4. En gardant [RT], combien devrait mesurer SU pour obtenir un carré, en cm ?
Les diagonales d’un carré ont aussi la même longueur : SU = RT = 7 cm.
Problème 4 · Le cerf-volant d’Inès★★★Moyen
Pour fabriquer un cerf-volant, Inès croise deux baguettes perpendiculaires : une grande de 80 cm et une petite de 50 cm. Elle fixe le milieu de la petite à 20 cm du haut de la grande, puis tend une ficelle entre les quatre bouts.
1. À quelle distance du bas de la grande baguette se trouve le point de croisement, en cm ?
cm. Le croisement n’est pas le milieu de la grande baguette : la figure n’est pas un parallélogramme.
2. À quelle distance du haut de la grande baguette faudrait-il fixer la petite pour que la ficelle forme un losange, en cm ?
Il faut que les diagonales se coupent en leur milieu : au milieu de la grande, cm. Elles sont déjà perpendiculaires : on obtient un losange.
3. Avec ce réglage, quelle serait la nature de la figure si la petite baguette mesurait elle aussi 80 cm ?
Diagonales de même milieu, perpendiculaires et de même longueur : carré.
Problème 5 · Le carré dans le cercle★★★Difficile
Trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Trace deux diamètres perpendiculaires [EG] et [FH].
1. Combien mesure EG, en cm ?
Un diamètre mesure le double du rayon : cm (et FH aussi).
2. Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?
Ses diagonales [EG] et [FH] ont le même milieu O, la même longueur (6 cm) et sont perpendiculaires : carré.
3. On remplace [FH] par un autre diamètre, qui n’est pas perpendiculaire à [EG]. Quelle est la nature du nouveau quadrilatère EFGH ?
Diagonales de même milieu et de même longueur (deux diamètres), non perpendiculaires : rectangle.
4. Dans ce rectangle, on a obtenu EF = 3 cm. Combien mesure l’angle , en degrés ?
OE = OF = 3 cm (des rayons) et EF = 3 cm : le triangle OEF a ses trois côtés égaux, il est équilatéral. Ses angles mesurent : .
Problème 6 · Une démonstration en trois temps★★★Difficile
ABCD est un parallélogramme de centre O tel que AC = 12 cm, OB = 6 cm et AB = BC.
1. Combien mesure BD, en cm ?
O est le milieu de [BD] : cm.
2. D’après ses diagonales, ABCD est au moins un… (rectangle ou losange)
On sait que ABCD est un parallélogramme et que AC = BD. Or un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle.
3. Avec AB = BC en plus, quelle est la nature exacte de ABCD ?
[AB] et [BC] sont consécutifs et égaux : le parallélogramme ABCD est aussi un losange. Rectangle et losange : carré.
4. Combien mesure l’angle , en degrés ?
ABCD est un carré, donc un losange : ses diagonales sont perpendiculaires, .
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