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Repérage : coordonnées d’un point dans le plan
Repérer un point dans le plan muni d’un repère orthogonal : origine, axe des abscisses, axe des ordonnées ; lire les coordonnées (abscisse ; ordonnée) d’un point et placer un point de coordonnées relatives dans les quatre zones du plan, avec des graduations de pas 1 ou non ; points sur les axes, segments horizontaux et verticaux ; problèmes.
À propos de cette page
Le repère et les coordonnées d’un point
Sur une droite graduée, un seul nombre suffit pour repérer un point : son abscisse. Dans le plan, il en faut deux : un pour la position de gauche à droite, un pour la position de bas en haut.
• L’axe horizontal, orienté vers la droite, est l’axe des abscisses.
• L’axe vertical, orienté vers le haut, est l’axe des ordonnées.
Chaque point du plan est repéré par deux nombres relatifs, ses coordonnées, écrites entre parenthèses et séparées par un point-virgule : d’abord l’abscisse (la position horizontale), puis l’ordonnée (la position verticale). On écrit A(3 ; 2) : « A a pour abscisse 3 et pour ordonnée 2 ». L’origine a pour coordonnées O(0 ; 0).
Pour lire les coordonnées d’un point : depuis le point, je rejoins l’axe des abscisses à la verticale et je lis l’abscisse ; je rejoins l’axe des ordonnées à l’horizontale et je lis l’ordonnée.
A(3 ; 2) : A est 3 unités à droite de l’axe des ordonnées et 2 unités au-dessus de l’axe des abscisses (les pointillés montrent la lecture sur les deux axes).
B(−4 ; 1) : 4 unités à gauche, donc abscisse −4 ; 1 unité au-dessus, donc ordonnée 1.
C(−2 ; −3) : 2 unités à gauche et 3 unités au-dessous : les deux coordonnées sont négatives.
D(4 ; −1) : 4 unités à droite et 1 unité au-dessous.
Quand une graduation ne vaut pas 1
Dans un repère orthogonal, les deux axes n’ont pas forcément la même unité. Comme sur une droite graduée, je trouve d’abord le pas de chaque axe (la valeur d’une graduation), puis je compte les graduations depuis l’origine.
Axe des abscisses : entre 0 et 1, il y a 2 intervalles, le pas est 0,5. Axe des ordonnées : les nombres écrits vont de 2 en 2, un par graduation, le pas est 2.
E est 3 graduations à gauche de l’axe des ordonnées : 3 × 0,5 = 1,5, abscisse −1,5. Il est 2 graduations au-dessus de l’axe des abscisses : 2 × 2 = 4, ordonnée 4. Donc E(−1,5 ; 4).
F est 5 graduations à droite : 5 × 0,5 = 2,5 ; et 3 graduations au-dessous : 3 × 2 = 6. Donc F(2,5 ; −6).
Réflexe — l’abscisse d’abord, l’ordonnée ensuite, comme dans l’alphabet : a avant o. Avant de compter, je regarde le pas de chaque axe.
Attention — l’ordre compte : (3 ; 2) et (2 ; 3) ne désignent pas le même point. Et je compte toujours à partir de l’origine O, jamais à partir du bord du quadrillage.
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Placer un point de coordonnées données
1. je me déplace horizontalement de la distance à zéro de x : vers la droite si x est positif, vers la gauche s’il est négatif ;
2. puis je me déplace verticalement de la distance à zéro de y : vers le haut si y est positif, vers le bas s’il est négatif ;
3. je marque le point (d’une croix sur le cahier) et j’écris son nom.
Autre façon de voir : P est le point où se croisent la droite verticale qui passe par la graduation x de l’axe des abscisses et la droite horizontale qui passe par la graduation y de l’axe des ordonnées.
K(−3 ; 3) : abscisse négative, 3 unités vers la gauche ; ordonnée positive, 3 unités vers le haut (chemin en pointillés).
L(2 ; −4) : 2 unités vers la droite, puis 4 unités vers le bas.
M(−4 ; −2) : 4 unités vers la gauche, puis 2 unités vers le bas.
Sur un quadrillage où un carreau vaut 0,5 sur chaque axe, pour placer R(1,5 ; −0,5) : 1,5 = 3 × 0,5, je compte 3 carreaux vers la droite ; 0,5 = 1 × 0,5, je compte 1 carreau vers le bas.
Réflexe — le signe donne le sens du déplacement, la distance à zéro donne le nombre d’unités. Je commence toujours par l’abscisse, à l’horizontale.
Attention — pour placer G(−5 ; 1), aller 5 unités vers la droite est une erreur de signe : on arriverait au point (5 ; 1). Et on n’échange pas les rôles : l’abscisse se compte à l’horizontale, l’ordonnée à la verticale.
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Points sur les axes, segments horizontaux et verticaux
• Les deux axes partagent le plan en quatre zones ; les signes des coordonnées disent dans quelle zone se trouve un point (tableau ci-dessous).
• Deux points qui ont la même ordonnée sont sur une même droite horizontale, parallèle à l’axe des abscisses. Deux points qui ont la même abscisse sont sur une même droite verticale, parallèle à l’axe des ordonnées.
• Quand les deux axes ont la même unité, la longueur d’un segment horizontal (ou vertical) se compte comme une distance sur une droite graduée : je compte les unités entre les deux abscisses (ou entre les deux ordonnées). Si les deux nombres sont de part et d’autre de 0, j’additionne leurs distances à zéro.
• Un déplacement horizontal ne change que l’abscisse ; un déplacement vertical ne change que l’ordonnée.
| Abscisse | Ordonnée | Le point est… |
|---|---|---|
| strictement positive | strictement positive | en haut à droite de O |
| strictement négative | strictement positive | en haut à gauche de O |
| strictement négative | strictement négative | en bas à gauche de O |
| strictement positive | strictement négative | en bas à droite de O |
| quelconque | 0 | sur l’axe des abscisses |
| 0 | quelconque | sur l’axe des ordonnées |
P(−4 ; 0) a pour ordonnée 0 : il est sur l’axe des abscisses. Q(0 ; −2,5) a pour abscisse 0 : il est sur l’axe des ordonnées.
S(−2 ; 3) et T(4 ; 3) ont la même ordonnée 3 : [ST] est horizontal. De −2 à 4, de part et d’autre de 0 : ST = 2 + 4 = 6 unités.
T(4 ; 3) et U(4 ; −1) ont la même abscisse 4 : [TU] est vertical. De 3 à −1 : TU = 3 + 1 = 4 unités.
STUV est un rectangle : V a la même abscisse que S (−2) et la même ordonnée que U (−1), donc V(−2 ; −1). Son périmètre vaut 2 × (6 + 4) = 20 unités.
Depuis V(−2 ; −1), je monte de 3 unités : seule l’ordonnée change ; de −1, 1 unité pour arriver à 0, puis encore 2 : j’arrive en (−2 ; 2).
Réflexe — une coordonnée nulle ? Le point est sur un axe : ordonnée 0, axe des abscisses ; abscisse 0, axe des ordonnées. Même ordonnée : horizontal ; même abscisse : vertical.
Attention — le point (0 ; 5) n’est pas sur l’axe des abscisses : c’est son abscisse qui vaut 0, il est sur l’axe des ordonnées. Et pour deux nombres du même côté de 0, on n’additionne pas : de 1 à 4, il y a 3 unités.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — repérer un point sur une droite graduée par son abscisse, l’opposé et la distance à zéro d’un nombre relatif : voir Les nombres relatifs. Pour comparer les coordonnées de deux points : Nombres relatifs : comparer et ranger.
Ensuite — placer dans un repère les points d’un tableau de valeurs et lire un graphique : voir Fonctions : « en fonction de », tableaux et graphiques.
À savoir — quand les deux axes sont perpendiculaires et ont en plus la même unité, le repère est dit orthonormé. Les coordonnées d’un point sont aussi appelées coordonnées cartésiennes, du nom du mathématicien et philosophe français René Descartes, auteur de La Géométrie (1637).
- Un repère orthogonal : deux droites graduées perpendiculaires de même origine O ; l’axe des abscisses est horizontal, l’axe des ordonnées est vertical.
- Un point a deux coordonnées (x ; y) : l’abscisse x d’abord, l’ordonnée y ensuite ; l’ordre compte.
- Lire ou placer : depuis O, horizontalement de x (vers la droite si x est positif, vers la gauche s’il est négatif), puis verticalement de y (vers le haut ou vers le bas).
- Avant de compter, je trouve le pas de chaque axe : les deux axes peuvent avoir des unités différentes.
- Ordonnée 0 : sur l’axe des abscisses ; abscisse 0 : sur l’axe des ordonnées. Même ordonnée : droite horizontale ; même abscisse : droite verticale.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un repère orthogonal ?
Ce sont deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en leur origine commune O. La droite horizontale est l’axe des abscisses, la droite verticale l’axe des ordonnées. Les deux axes n’ont pas forcément la même unité.
Comment lire les coordonnées d’un point dans un repère ?
Depuis le point, on rejoint l’axe des abscisses à la verticale pour lire l’abscisse, puis l’axe des ordonnées à l’horizontale pour lire l’ordonnée. On écrit l’abscisse en premier : un point situé 7 unités à gauche de l’axe des ordonnées et 2 unités au-dessus de l’axe des abscisses a pour coordonnées (−7 ; 2).
Comment placer un point de coordonnées données ?
On part de l’origine O. On se déplace horizontalement de la distance à zéro de l’abscisse (vers la droite si elle est positive, vers la gauche si elle est négative), puis verticalement de la distance à zéro de l’ordonnée (vers le haut si elle est positive, vers le bas si elle est négative). Pour (5 ; −6) : 5 unités vers la droite, puis 6 vers le bas.
Pourquoi l’ordre des coordonnées est-il important ?
Parce que la première coordonnée est toujours l’abscisse et la seconde l’ordonnée. (6 ; 1) est 6 unités à droite et 1 unité au-dessus de l’origine, alors que (1 ; 6) est 1 unité à droite et 6 au-dessus : ce sont deux points différents.
Quelles sont les coordonnées d’un point situé sur un axe ?
Un point de l’axe des abscisses a pour ordonnée 0, comme (−9 ; 0). Un point de l’axe des ordonnées a pour abscisse 0, comme (0 ; 4,5). L’origine O, sur les deux axes, a pour coordonnées (0 ; 0).
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