Ressources · 5ᵉ · Mathématiques
Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré
Rappels de 6e (définitions et codage du rectangle, du losange et du carré, périmètre, axes de symétrie, constructions), puis ces figures comme parallélogrammes particuliers (côtés, angles), les propriétés de leurs diagonales (même milieu, même longueur, perpendiculaires), les propriétés caractéristiques pour reconnaître leur nature d’après l’énoncé ou le codage, et la construction à partir des diagonales.
À propos de cette page
Rappels de 6ᵉ : rectangle, losange, carré
En 6ᵉ, tu as appris à reconnaître un rectangle, un losange et un carré, à lire leur codage, à calculer leur périmètre, à trouver leurs axes de symétrie et à les construire. On reprend tout ici : la suite du chapitre s’en sert sans cesse.
Définitions.
• un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits ;
• un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur ;
• un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur : c’est à la fois un rectangle et un losange.
Codage. Des côtés marqués du même petit signe ont la même longueur ; un petit carré marque un angle droit. Pour trouver la nature, je compte les angles droits et je compare les côtés ; je ne me fie jamais à l’œil.
Périmètre. Rectangle de longueur L et de largeur ℓ : 2 × (L + ℓ). Losange ou carré de côté c : 4 × c.
Axes de symétrie. Un rectangle non carré en a 2 : les médiatrices de ses côtés. Un losange non carré en a 2 : les droites qui portent ses diagonales. Un carré en a 4 : les deux médiatrices de ses côtés et ses deux diagonales.
Construire (règle, équerre, compas) :
• un rectangle de longueur L et de largeur ℓ : je trace un côté de longueur L ; à l’équerre, je trace les perpendiculaires à ce côté en ses deux extrémités ; j’y reporte ℓ, du même côté ; je joins les deux points obtenus ;
• un losange de côté c dont on connaît une diagonale : je trace cette diagonale ; deux arcs de rayon c centrés en ses extrémités, de part et d’autre, se coupent aux deux autres sommets ;
• un carré de côté c : comme le rectangle, avec L = ℓ = c.
EFGH : quatre petits carrés, donc quatre angles droits : c’est un rectangle. Avec EF = 6 cm et FG = 3,5 cm, ses côtés ne sont pas tous égaux : ce n’est pas un carré. Son périmètre : 2 × (6 + 3,5) = 19 cm.
KLMN : ses quatre côtés portent le même trait et aucun angle droit n’est codé : c’est un losange. De côté 4,5 cm, il a pour périmètre 4 × 4,5 = 18 cm.
ABCD : quatre angles droits et quatre côtés codés égaux : c’est un carré, donc à la fois un rectangle et un losange. S’il a pour périmètre 26 cm, son côté mesure 26 ÷ 4 = 6,5 cm.
Un rectangle a pour périmètre 28 cm et sa longueur est le triple de sa largeur : le tour compte 3 + 1 + 3 + 1 = 8 largeurs, donc la largeur mesure 28 ÷ 8 = 3,5 cm et la longueur 3 × 3,5 = 10,5 cm. Si, avec le même périmètre, la longueur mesurait 4 cm de plus que la largeur : une longueur et une largeur font 28 ÷ 2 = 14 cm ; sans l’écart, 14 − 4 = 10 cm pour deux largeurs, donc la largeur mesurerait 10 ÷ 2 = 5 cm (et la longueur 9 cm).
Axes de symétrie : EFGH en a 2 (les médiatrices de [EF] et de [FG]) ; KLMN en a 2 (les droites (KM) et (LN)) ; ABCD en a 4.
Construire le losange STUV de côté 4 cm dont la diagonale [SU] mesure 6 cm : je trace [SU] de 6 cm ; pointe du compas en S, écartement 4 cm, un arc de chaque côté de [SU] ; même chose depuis U. Les arcs se coupent en T et en V ; je trace les quatre côtés, tous de 4 cm.
Réflexe — pour la nature, je compte les angles droits et je compare les côtés ; pour le périmètre, 2 × (L + ℓ) pour un rectangle, 4 × c pour un losange ou un carré.
Attention — un carré n’est pas une figure « à part » : c’est un rectangle et un losange particulier. Une figure qui ressemble à un carré n’en est un que si l’énoncé ou le codage donne quatre angles droits et quatre côtés égaux. Et les diagonales d’un rectangle non carré ne sont pas des axes de symétrie.
1 / 4
Rectangle, losange, carré : des parallélogrammes particuliers
Pourquoi ? Dans un rectangle, deux côtés opposés sont perpendiculaires à un même côté : ils sont donc parallèles. Dans un losange, les côtés opposés ont la même longueur deux à deux, et cela suffit pour être un parallélogramme.
Une flèche se lit « est un » : un carré est un rectangle et un losange ; un rectangle et un losange sont des parallélogrammes. Les flèches ne se lisent jamais à l’envers.
Le rectangle EFGH de la partie 1 est un parallélogramme : (EF) // (GH) et (FG) // (HE). Ses diagonales [EG] et [FH] se coupent en leur milieu, qui est son centre de symétrie.
KLMN est un losange avec = 50°. Les angles opposés ont la même mesure : = 50°. Deux angles consécutifs sont supplémentaires : = 180° − 50° = 130°, et de même = 130°.
Le carré ABCD est un parallélogramme qui a quatre angles droits : ses côtés opposés sont parallèles, (AB) // (DC), et ses côtés consécutifs sont perpendiculaires, (AB) ⊥ (BC).
Réflexe — je vois un rectangle, un losange ou un carré : je pense « c’est un parallélogramme » et j’utilise toutes ses propriétés (côtés opposés, angles, diagonales).
Attention — l’inverse est faux : un parallélogramme n’est pas toujours un rectangle ni un losange. Et un losange n’a pas d’angle droit en général : seuls ses angles opposés sont égaux.
2 / 4
Les diagonales du rectangle, du losange et du carré
• les diagonales d’un rectangle ont la même longueur ;
• les diagonales d’un losange sont perpendiculaires ;
• les diagonales d’un carré ont la même longueur et sont perpendiculaires (un carré est un rectangle et un losange).
| Diagonales | même milieu | même longueur | perpendiculaires |
|---|---|---|---|
| parallélogramme | oui | pas toujours | pas toujours |
| rectangle | oui | oui | pas toujours |
| losange | oui | pas toujours | oui |
| carré | oui | oui | oui |
Le codage traduit ces propriétés : dans le rectangle, les quatre demi-diagonales portent le même trait ; dans le losange, un petit carré marque l’angle droit au centre ; dans le carré, on a les deux.
RSTU est un rectangle de centre O et RT = 9 cm. Les diagonales ont la même longueur : SU = 9 cm. O est leur milieu : OR = OT = 9 ÷ 2 = 4,5 cm et OS = OU = 4,5 cm. Les quatre sommets sont à 4,5 cm de O, et le triangle ORS est isocèle en O.
WXYZ est un losange de centre I avec WY = 8 cm et XZ = 6 cm. I est le milieu des diagonales : IW = IY = 4 cm et IX = IZ = 3 cm. Les diagonales sont perpendiculaires : = 90°, et les quatre triangles WIX, XIY, YIZ et ZIW sont rectangles en I.
JKLM est un carré de centre O et JL = 7 cm. Alors KM = 7 cm, OJ = OK = OL = OM = 3,5 cm et = 90° : le triangle JOK est rectangle et isocèle en O.
Réflexe — je code la figure : le même trait sur les quatre demi-diagonales pour un rectangle, un angle droit au centre pour un losange, les deux pour un carré. Une demi-diagonale vaut la moitié de la diagonale.
Attention — les diagonales d’un rectangle ne sont pas perpendiculaires (sauf s’il est carré), et celles d’un losange n’ont pas la même longueur (sauf s’il est carré). Ne confonds pas diagonale et côté : dans RSTU, [RT] est une diagonale, [RS] est un côté.
3 / 4
Reconnaître un rectangle, un losange ou un carré
Pour prouver la nature d’un quadrilatère, on ne se fie ni à l’œil ni à la règle : on part des informations de l’énoncé ou du codage et on cite une propriété caractéristique, c’est-à-dire une propriété qui suffit à elle seule.
• Un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est un losange.
• Un parallélogramme qui a un angle droit, ou des diagonales de même longueur, est un rectangle.
• Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur, ou des diagonales perpendiculaires, est un losange.
• Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.
D’après les diagonales seules : même milieu, c’est un parallélogramme ; même milieu et même longueur, un rectangle ; même milieu et perpendiculaires, un losange ; les trois à la fois, un carré.
| Je sais que c’est… | et que… | alors c’est… |
|---|---|---|
| un parallélogramme | il a un angle droit, ou ses diagonales ont la même longueur | un rectangle |
| un parallélogramme | deux côtés consécutifs sont égaux, ou ses diagonales sont perpendiculaires | un losange |
| un rectangle | deux côtés consécutifs sont égaux, ou ses diagonales sont perpendiculaires | un carré |
| un losange | il a un angle droit, ou ses diagonales ont la même longueur | un carré |
Figure 1 : on sait que QR = RS = ST = TQ. Or un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est un losange. On sait aussi que = 90°. Or un losange qui a un angle droit est un carré. Donc QRST est un carré.
Figure 2 : on sait que les diagonales [UW] et [VX] se coupent en leur milieu O : UVWX est un parallélogramme. On sait aussi qu’elles sont perpendiculaires. Or un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange. Donc UVWX est un losange.
Figure 3 : GHIJ a trois angles droits, en G, H et I. Or un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. Donc GHIJ est un rectangle (ses côtés n’étant pas codés égaux, on ne peut pas dire que c’est un carré).
Construire à partir des diagonales
Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
1. Je trace [BD] de 6 cm et je place son milieu O, à 3 cm de B.
2. À l’équerre, je trace la perpendiculaire à (BD) passant par O.
3. J’y place C et E à 2 cm de O, de part et d’autre : O est aussi le milieu de [CE], et CE = 4 cm.
4. Je trace les côtés [BC], [CD], [DE] et [EB].
Pour un rectangle, je trace deux diagonales de même longueur qui ont le même milieu (sans angle droit imposé) ; pour un carré, deux diagonales de même longueur, de même milieu et perpendiculaires.
Réflexe — je rédige en trois temps : « On sait que… (les données). Or… (la propriété exacte). Donc… (la conclusion). »
Attention — un quadrilatère qui a un seul angle droit n’est pas forcément un rectangle, et des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas pour un losange : il faut d’abord savoir que c’est un parallélogramme (diagonales de même milieu).
4 / 4
Pour aller plus loin
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses côtés opposés ont la même longueur, ses diagonales se coupent en leur milieu, et plusieurs propriétés permettent de le reconnaître et de le construire.
Pour aller plus loin : voir le chapitre « Parallélogrammes : définition, propriétés et construction ».
L’aire d’un rectangle est longueur × largeur, celle d’un parallélogramme est base × hauteur.
Pour aller plus loin : voir le chapitre « Aires : parallélogramme, triangle, disque ».
Se verra en 4ᵉ — calculer le côté d’un losange à partir de ses diagonales (théorème de Pythagore), le cercle circonscrit à un triangle rectangle (son centre est le milieu de l’hypoténuse, comme le centre d’un rectangle), et construire un rectangle sans équerre.
- Rectangle : quatre angles droits ; losange : quatre côtés de même longueur ; carré : les deux à la fois. Périmètre : 2 × (L + ℓ) ou 4 × c ; axes de symétrie : 2, 2 et 4.
- Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes : côtés opposés parallèles et égaux, angles opposés égaux, angles consécutifs supplémentaires, diagonales de même milieu.
- Diagonales : même longueur dans un rectangle, perpendiculaires dans un losange, les deux dans un carré.
- Parallélogramme + un angle droit ou diagonales de même longueur → rectangle ; parallélogramme + deux côtés consécutifs égaux ou diagonales perpendiculaires → losange.
- Un seul angle droit ou des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas : il faut d’abord un parallélogramme.
- Pour prouver : « On sait que… Or… Donc… ».
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un rectangle, un losange et un carré ?
Un rectangle a quatre angles droits, un losange quatre côtés de même longueur, et un carré les deux à la fois : un carré est donc un rectangle et un losange, mais un rectangle n’est un carré que si ses quatre côtés sont égaux. Sur une figure, on lit le codage (petits carrés pour les angles droits, mêmes traits pour les côtés égaux). Un rectangle non carré a 2 axes de symétrie, un losange non carré aussi, un carré en a 4.
Pourquoi un rectangle est-il un parallélogramme ?
Deux côtés opposés d’un rectangle sont perpendiculaires au même côté, donc parallèles entre eux. Le rectangle a donc toutes les propriétés du parallélogramme : côtés opposés de même longueur, angles opposés égaux, diagonales qui se coupent en leur milieu. Le losange et le carré sont aussi des parallélogrammes.
Que faut-il savoir sur les diagonales du rectangle, du losange et du carré ?
Elles se coupent toujours en leur milieu. Celles du rectangle ont la même longueur, celles du losange sont perpendiculaires, et celles du carré ont les deux propriétés à la fois. Dans un rectangle de centre O, les quatre sommets sont donc à la même distance de O.
Comment prouver qu’un parallélogramme est un losange ?
Il suffit d’une seule de ces propriétés : deux côtés consécutifs de même longueur, ou des diagonales perpendiculaires. On rédige : « On sait que ABCD est un parallélogramme et que (AC) ⊥ (BD). Or un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange. Donc ABCD est un losange. »
Des diagonales perpendiculaires suffisent-elles pour avoir un losange ?
Non. Il faut aussi que les diagonales se coupent en leur milieu, c’est-à-dire que le quadrilatère soit un parallélogramme. Un cerf-volant a des diagonales perpendiculaires sans être un losange. De même, un quadrilatère qui a un seul angle droit n’est pas forcément un rectangle.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs