Parallélogrammes : définition, propriétés et construction

KLMN est un parallélogramme (sommets nommés dans l’ordre, en tournant autour de la figure). Réponds avec les lettres K, L, M, N.

1. Le côté opposé au côté $[KL]$ est
   On tourne autour de la figure : K, L, M, N. Le côté qui n’a aucun sommet commun avec $[KL]$ est $[MN]$.
2. Le sommet opposé au sommet $L$ est
   Dans le nom KLMN, la lettre placée deux rangs après L est N : $L$ et $N$ sont opposés, ils sont reliés par une diagonale.
3. La diagonale qui part du sommet $K$ est
   Une diagonale joint deux sommets opposés : $K$ et $M$. C’est $[KM]$.
4. La droite $(KN)$ est parallèle à la droite
   Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles : $[KN]$ est opposé à $[LM]$, donc $(KN)//(LM)$.
5. Le côté consécutif à $[KL]$ qui passe par $L$ est
   Deux côtés consécutifs ont un sommet commun : $[KL]$ et $[LM]$ ont le sommet $L$.

ABCD est un parallélogramme, avec AB = 8 cm, BC = 5 cm et $DAB$ = 65°.

1. $CD=$ cm
   Les côtés opposés ont la même longueur : $CD=AB=8$ cm.
2. $AD=$ cm
   $[AD]$ est opposé à $[BC]$ : $AD=BC=5$ cm.
3. $BCD=$ °
   Les angles opposés ont la même mesure : $BCD=DAB=65°$.
4. $ABC=$ °
   $ABC$ et $DAB$ sont consécutifs, donc supplémentaires : $180-65=115$, soit $115°$.
5. $CDA=$ °
   $CDA$ est opposé à $ABC$ : il mesure aussi $115°$.
6. Le périmètre de $ABCD$ est cm
   Deux côtés de $8$ cm et deux côtés de $5$ cm : $2\times (8+5)=26$ cm.

Réponds par un nombre ou par une lettre.

1. Un parallélogramme a un périmètre de $34$ cm et un côté de $11$ cm. Le côté consécutif mesure cm
   Le côté opposé mesure aussi $11$ cm : $2\times 11=22$ cm. Il reste $34-22=12$ cm pour les deux autres côtés, qui sont égaux : $12÷2=6$ cm.
2. Dans un parallélogramme, un angle mesure $118°$. Un angle consécutif mesure °
   Deux angles consécutifs sont supplémentaires : $180-118=62$, soit $62°$.
3. Les diagonales du parallélogramme $EFGH$ se coupent en $O$ et $EG=14$ cm. $OE=$ cm
   $O$ est le milieu de la diagonale $[EG]$ : $OE=14÷2=7$ cm.
4. Dans ce parallélogramme $EFGH$ de centre $O$, $OF=3,9$ cm. $FH=$ cm
   $O$ est aussi le milieu de $[FH]$ : $FH=2\times 3,9=7,8$ cm.
5. Le symétrique du point $F$ par rapport à $O$ est le point
   $O$ est le milieu de la diagonale $[FH]$ : le symétrique de $F$ par rapport à $O$ est $H$.

Complète chaque phrase par un mot du cours.

1. Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même , alors c’est un parallélogramme.
   C’est la propriété 3 : des diagonales qui ont le même milieu.
2. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés deux à deux de même , alors c’est un parallélogramme.
   C’est la propriété 2 : les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
3. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
   C’est la propriété 4 : une seule paire de côtés opposés suffit si elle est à la fois parallèle et de même longueur.
4. Un quadrilatère qui n’a qu’une paire de côtés opposés parallèles est un
   Une seule paire de côtés parallèles fait un trapèze : il faut les deux paires pour un parallélogramme.

Pour chaque quadrilatère, écris le numéro (1, 2, 3 ou 4) de la propriété du cours qui prouve que c’est un parallélogramme, ou 0 si ce n’est pas, ou pas forcément, un parallélogramme.

1. $EFGH$ : ses diagonales $[EG]$ et $[FH]$ se coupent en leur milieu.
   Diagonales de même milieu : propriété 3, $EFGH$ est un parallélogramme.
2. $RSTU$, non croisé : $RS=TU$ et $ST=UR$.
   $[RS]$ et $[TU]$ sont opposés, $[ST]$ et $[UR]$ aussi : côtés opposés de même longueur deux à deux, propriété 2.
3. $VWXY$ : $(VW)//(XY)$ et $(WX)//(YV)$.
   Les deux paires de côtés opposés sont parallèles : c’est la définition, propriété 1.
4. $IJKL$, non croisé : $(IJ)//(KL)$ et $IJ=KL=5$ cm.
   $[IJ]$ et $[KL]$ sont opposés, parallèles et de même longueur : propriété 4.
5. $ABCD$, non croisé : $AB=BC=4$ cm et $CD=DA=6$ cm.
   $[AB]$ et $[BC]$ sont consécutifs, pas opposés : les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$ ne sont pas égaux ($4\ne 6$). Ce n’est donc pas un parallélogramme : la propriété 2 ne s’applique pas.
6. $PQRS$ : $(PQ)//(RS)$, $PQ=5$ cm et $RS=3$ cm.
   Une seule paire de côtés parallèles, de longueurs différentes : c’est un trapèze. Dans un parallélogramme, on aurait $PQ=RS$.

Trouve la valeur ou le nom demandé.

1. Les diagonales $[PR]$ et $[QS]$ de $PQRS$ se coupent en $T$, avec $TP=TR=3,8$ cm et $TQ=5,3$ cm. Pour que $PQRS$ soit un parallélogramme, il faut $TS=$ cm
   $T$ est déjà le milieu de $[PR]$ ; il doit aussi être le milieu de $[QS]$ (propriété 3) : $TS=TQ=5,3$ cm.
2. Dans ce cas, la diagonale $[QS]$ mesure cm
   $QS=2\times 5,3=10,6$ cm.
3. $UVWX$ est non croisé, avec $UV=7,2$ cm, $VW=4,4$ cm et $WX=7,2$ cm. Pour que $UVWX$ soit un parallélogramme, il faut $XU=$ cm
   $[UV]$ et $[WX]$ sont opposés et égaux ; il faut aussi que le côté $[XU]$, opposé à $[VW]$, mesure $4,4$ cm (propriété 2).
4. Les segments $[KM]$ et $[LN]$ ont le même milieu. Le parallélogramme qu’ils forment, nommé en commençant par $K$ puis $L$, est
   $[KM]$ et $[LN]$ sont les diagonales : $K$ est opposé à $M$, $L$ à $N$. En tournant autour de la figure : $K$, $L$, $M$, $N$, soit $KLMN$.

Les points A, B et C sont placés, avec AB = 5,5 cm et BC = 3,2 cm. On veut placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

1. Au compas, je trace un arc de centre $A$ et de rayon cm
   $[AD]$ est opposé à $[BC]$ : $AD=BC=3,2$ cm. L’arc de centre $A$ a pour rayon $3,2$ cm.
2. Puis je trace un arc de centre $C$ et de rayon cm
   $[CD]$ est opposé à $[AB]$ : $CD=AB=5,5$ cm.
3. Avec la méthode des diagonales, je place d’abord le point $O$, milieu du segment
   Les diagonales de $ABCD$ sont $[AC]$ et $[BD]$. On connaît $A$ et $C$ : on place $O$, milieu de $[AC]$.
4. Puis je place $D$, symétrique du point par rapport à $O$
   $O$ doit aussi être le milieu de $[BD]$ : $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$.

Sur ce quadrillage, on a placé les points A, B, C et trois autres points E, F et G. Pour chaque quadrilatère, donne le point X qui en fait un parallélogramme.

1. $ABCX$ est un parallélogramme pour $X=$
   De $B$ à $C$ : $5$ carreaux vers la droite. Depuis $A$, le même déplacement mène à $E$ : $(AE)//(BC)$ et $AE=BC$, donc $ABCE$ est un parallélogramme.
2. $ABXC$ est un parallélogramme pour $X=$
   Dans $ABXC$, le côté $[BX]$ est opposé à $[CA]$. De $A$ à $C$ : $3$ carreaux vers la droite et $3$ vers le bas ; depuis $B$, on arrive en $F$.
3. $AXBC$ est un parallélogramme pour $X=$
   Dans $AXBC$, le côté $[AX]$ est opposé à $[BC]$, parcouru de $C$ vers $B$ : $5$ carreaux vers la gauche. Depuis $A$, on arrive en $G$.

Léa construit le parallélogramme ABCD avec AB = 6,2 cm, BC = 4,1 cm et $ABC$ = 75°.

1. Après avoir tracé $[AB]$, l’angle $ABC$ et $[BC]$, elle trace un arc de centre $A$ et de rayon cm
   $AD=BC=4,1$ cm : l’arc de centre $A$ a pour rayon $4,1$ cm.
2. Puis un arc de centre $C$ et de rayon cm
   $CD=AB=6,2$ cm.
3. Pour vérifier sa figure, elle sait que $CDA$ doit mesurer °
   $CDA$ est opposé à $ABC$ : il mesure aussi $75°$.
4. Et que $DAB$ doit mesurer °
   $DAB$ et $ABC$ sont consécutifs : $180-75=105$, soit $105°$.