Devoir surveillé : Nombres complexes : forme algébrique, équations polynomiales, forme exponentielle et géométrie

1. a)$(2-i)(3+4i)=6+8i-3i-4i^2=6+5i+4=10+5i$. Comme $2030=4\times 507+2$, $i^{2030}=i^2=-1$. Donc $(2-i)(3+4i)-i^{2030}=10+5i+1=11+5i$. (1 pt : 0,5 pour le produit, 0,5 pour la puissance de $i$) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{7+i}{1-2i}}={\displaystyle \frac{(7+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\displaystyle \frac{7+14i+i+2i^2}{1+4}}={\displaystyle \frac{5+15i}{5}}=1+3i$. Contrôle : $(1-2i)(1+3i)=1+3i-2i-6i^2=7+i$. (1 pt) (1)
3. c)${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}$. Comme $x\in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0[$, $\sin x<0$, donc $\sin x=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$. Par duplication : $\sin (2x)=2\sin x\cos x=2\times (-{\displaystyle \frac{4}{5}})\times {\displaystyle \frac{3}{5}}=-{\displaystyle \frac{24}{25}}$ et $\cos (2x)=2{\cos }^{2}x-1={\displaystyle \frac{18}{25}}-1=-{\displaystyle \frac{7}{25}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{576}{625}}+{\displaystyle \frac{49}{625}}=1$. (1 pt : 0,5 pour $\sin x$, 0,5 pour les duplications) (1)
4. d)$|-2+2i|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. On factorise : $-2+2i=2\sqrt{2}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)$. L'angle de cosinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et de sinus ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ est ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$. Donc $-2+2i=2\sqrt{2}{e}^{3i\pi /4}$. (1 pt : 0,5 pour le module, 0,5 pour l'argument et la forme exponentielle) (1)
5. e)$z_I={\displaystyle \frac{z_A+z_B}{2}}={\displaystyle \frac{-1+2i}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i$. $AB=|z_B-z_A|=|3-4i|=\sqrt{9+16}=5$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Méthode — Pour un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur ; pour une puissance de $i$, on ne garde que le reste de la division de l'exposant par $4$.

1. a)$P(-5)=(-5{)}^3-(-5{)}^2-5\times (-5)+125=-125-25+25+125=0$ : $-5$ est racine de $P$. (1 pt) (1)
2. b)Pour tout $z$, $(z+5)(z^2+bz+c)=z^3+(b+5)z^2+(c+5b)z+5c$. Par identification des coefficients : $b+5=-1$, donc $b=-6$ ; $c+5b=-5$, donc $c=25$ ; vérification avec le terme constant : $5c=125$. Ainsi $P(z)=(z+5)(z^2-6z+25)$. (1 pt : 0,5 pour le développement, 0,5 pour $b$ et $c$) (1)
3. c)$P(z)=0⟺z=-5$ ou $z^2-6z+25=0$. Pour ce trinôme, $\Delta =36-100=-64=(8i{)}^2$, d'où $z={\displaystyle \frac{6\pm 8i}{2}}=3\pm 4i$. $𝒮=\{-5;3+4i;3-4i\}$. Contrôle : $(3+4i)(3-4i)=9+16=25$. (1 pt) (1)
4. d)$OA=|-5|=5$, $OB=|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$ et $OC=|3-4i|=|\overline{3+4i}|=5$. Les trois points sont à la distance $5$ de $O$ : ils appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $5$. (1 pt) (1)
5. e)$AB=|z_B-z_A|=|8+4i|=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$, $AC=|8-4i|=\sqrt{80}$ et $BC=|-8i|=8$. Comme $AB=AC$, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Avec les carrés $A{B}^2=A{C}^2=80$ et $B{C}^2=64$ : $B{C}^2\ne A{B}^2+A{C}^2$ ($64\ne 160$) et $A{B}^2\ne A{C}^2+B{C}^2$ ($80\ne 144$), de même pour $A{C}^2$. D'après le théorème de Pythagore, le triangle n'est rectangle en aucun sommet. (1 pt : 0,5 pour isocèle, 0,5 pour non rectangle) (1)

Astuce — Les racines non réelles d'un polynôme à coefficients réels sont conjuguées : leurs images sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses et ont le même module, ce qui donne un contrôle immédiat.

1. a)$|a|=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$. On factorise : $a=4({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)$. L'angle de cosinus ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et de sinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ est $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Donc $a=4e^{-i\pi /3}$. (1,5 pt : 0,5 pour le module, 0,5 pour l'argument, 0,5 pour la forme exponentielle) (1,5)
2. b)Forme exponentielle : $a^3=4^3{e}^{-3i\pi /3}=64e^{-i\pi }=-64$. Binôme, avec $b=-2i\sqrt{3}$ : $b^2=4\times 3\times i^2=-12$ et $b^3=b^2\times b=24i\sqrt{3}$. Alors $(2+b{)}^3=2^3+3\times 2^2\times b+3\times 2\times b^2+b^3=8-24i\sqrt{3}-72+24i\sqrt{3}=-64$. Les deux calculs concordent. (1,5 pt : 0,5 pour la forme exponentielle, 1 pour le binôme) (1,5)
3. c)D'après b), $a^3=-64$. On écrit $z^3+64=z^3-(-4{)}^3$, et la factorisation de $z^3-{\alpha }^3$ avec $\alpha =-4$ donne $z^3+64=(z+4)(z^2-4z+16)$ (contrôle en développant : $z^3-4z^2+16z+4z^2-16z+64$). Pour $z^2-4z+16=0$ : $\Delta =16-64=-48={\left(4i\sqrt{3}\right)}^2$, d'où $z={\displaystyle \frac{4\pm 4i\sqrt{3}}{2}}=2\pm 2i\sqrt{3}$. $𝒮=\{-4;2+2i\sqrt{3};2-2i\sqrt{3}\}$, qui contient bien $a$. (1,5 pt : 0,5 pour la factorisation, 1 pour la résolution) (1,5)
4. d)$AB=|6+2i\sqrt{3}|=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, $AC=|6-2i\sqrt{3}|=4\sqrt{3}$ et $BC=|-4i\sqrt{3}|=4\sqrt{3}$ : les trois côtés sont égaux, $ABC$ est équilatéral. Son centre de gravité a pour affixe ${\displaystyle \frac{-4+(2+2i\sqrt{3})+(2-2i\sqrt{3})}{3}}=0$ : c'est $O$. (1,5 pt : 1 pour les longueurs, 0,5 pour le centre de gravité) (1,5)

Erreur fréquente — Dans $(2-2i\sqrt{3}{)}^3$, le signe moins fait partie du second terme : avec $b=-2i\sqrt{3}$, on a $b^2=-12$ et $b^3=24i\sqrt{3}$. Une erreur de signe empêche de retrouver $-64$.

1. a)On pose $z=x+iy$ ($x$, $y$ réels), donc $\bar{z}=x-iy$ : $2z+i\bar{z}=2x+2iy+ix-i^{2}y=(2x+y)+i(x+2y)$. Comme $2x+y$ et $x+2y$ sont réels, on identifie : $2x+y=3$ et $x+2y=6$. La première donne $y=3-2x$, puis $x+6-4x=6$, soit $x=0$ et $y=3$. L'unique solution est $z=3i$. Contrôle : $2\times 3i+i\times (-3i)=6i+3$. (1 pt : 0,5 pour le système, 0,5 pour la solution) (1)
2. b)$|z-3i|=\Omega M$ : $𝒞$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $2$. Comme $O\Omega =|3i|=3>2$, le point $O$ n'appartient pas au disque : il est à l'extérieur. (1 pt) (1)
3. c)Avec $E(1)$ et $F(-i)$, l'égalité s'écrit $|z-1|=|z-(-i)|$, soit $EM=FM$ : $𝒟$ est la médiatrice de $[EF]$. Avec $z=x+iy$ et les carrés des modules : $(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2$, soit $-2x+1=2y+1$, d'où l'équation $y=-x$. Contrôle : le milieu de $[EF]$, d'affixe ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i$, vérifie $y=-x$. (1 pt : 0,5 pour la médiatrice, 0,5 pour l'équation) (1)
4. d)Un point commun aurait des coordonnées réelles $(x;-x)$ avec $\Omega M^2=4$, soit $x^2+(-x-3{)}^2=4$, c'est-à-dire $2x^2+6x+9=4$, soit $2x^2+6x+5=0$. Son discriminant vaut $36-40=-4<0$ : cette équation n'a pas de solution réelle. $𝒞$ et $𝒟$ n'ont aucun point commun. (1 pt) (1)

Piège — Dans $|z+i|$, le point associé a pour affixe $-i$ et non $i$ : on écrit d'abord $|z-(-i)|$. Et pour chercher une intersection, $x$ et $y$ sont réels : un discriminant négatif signifie qu'il n'y a aucun point commun.

1. a)${\displaystyle \frac{1+2i}{2-i}}={\displaystyle \frac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}={\displaystyle \frac{2+i+4i+2i^2}{5}}={\displaystyle \frac{5i}{5}}=i$. Puis $(1-i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$, donc $(1-i{)}^4=(-2i{)}^2=-4$. La somme vaut $-4+i$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)$\Delta =36-180=-144=(12i{)}^2$, donc $z={\displaystyle \frac{6\pm 12i}{18}}$ : $𝒮=\{{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}i;{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}i\}$. Contrôle : le produit des solutions vaut ${\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$. (1 pt) (1)
3. c)$-1+i\sqrt{3}=2(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)=2e^{2i\pi /3}$, donc ${(-1+i\sqrt{3})}^5=2^5{e}^{10i\pi /3}=32e^{-2i\pi /3}$, car ${\displaystyle \frac{10\pi }{3}}=4\pi -{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Ainsi ${(-1+i\sqrt{3})}^5=32(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)=-16-16i\sqrt{3}$. Contrôle : ${(-1+i\sqrt{3})}^3=2^3{e}^{2i\pi }=8$ et ${(-1+i\sqrt{3})}^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}$, donc la puissance $5$ vaut $8(-2-2i\sqrt{3})=-16-16i\sqrt{3}$. (1 pt) (1)
4. d)$\bar{z}+1-2i=\overline{z+1+2i}$, et un nombre a le même module que son conjugué : la condition s'écrit $|z+1+2i|=3$, soit $|z-(-1-2i)|=3$. C'est le cercle de centre le point d'affixe $-1-2i$ et de rayon $3$. (1 pt) (1)

Piège — Un module qui contient $\bar{z}$ se lit après conjugaison : $|\bar{z}+1-2i|=|z+1+2i|$, donc le centre a pour affixe $-1-2i$, et non $-1+2i$.

1. a)Faux. D'après la formule d'Euler, $e^{i\theta }+e^{-i\theta }=2\cos \theta$, de module $2|\cos \theta |$. Pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, ce module vaut $0$, et non $2$. (1 pt) (1)
2. b)Vrai. Pour $x$ réel, $x^6⩾0>-1$ : aucune solution réelle. Pour $z=iy$ avec $y$ réel, $z^6=i^6{y}^6=-y^6$, donc $z^6=-1⟺y^6=1⟺|y|=1$ ($y$ réel), soit $y=1$ ou $y=-1$. Les solutions imaginaires pures sont exactement $i$ et $-i$. (1 pt) (1)
3. c)Faux. Avec $z=z\prime =i$ : $z+z\prime =2i$, d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, alors que $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z\prime )={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\pi$, et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\ne \pi [2\pi ]$. (C'est l'argument du produit $zz\prime =-1$ qui vaut $\pi$.) (1 pt) (1)
4. d)Vrai. $f(1+i)=i(1+i)+2=i-1+2=1+i$ : le point $\Omega (1+i)$ est invariant. En soustrayant $1+i=i(1+i)+2$ à $f(z)=iz+2$, on obtient $f(z)-(1+i)=i(z-(1+i))$, avec $i=e^{i\pi /2}$ : $f$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — L'argument transforme un produit en somme : $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(zz\prime )=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z\prime )$. En revanche, l'argument d'une somme $z+z\prime$ ne se déduit pas des seuls arguments de $z$ et de $z\prime$.

1. a)$(1+i{)}^2=2i$, $(1+i{)}^3=2i(1+i)=-2+2i$ et $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$. Donc $P(1+i)=-4-8(-2+2i)+24\times 2i-32(1+i)+20=(-4+16-32+20)+(-16+48-32)i=0$. Les coefficients de $P$ sont réels, donc $\overline{1+i}=1-i$ est aussi racine. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)$(z-1-i)(z-1+i)=(z-1{)}^2-i^2=z^2-2z+2$. Pour tout $z$, $(z^2-2z+2)(z^2+bz+c)=z^4+(b-2)z^3+(c-2b+2)z^2+(2b-2c)z+2c$. Identification : $b-2=-8$, donc $b=-6$ ; $c-2b+2=24$, donc $c=10$ ; vérifications : $2b-2c=-12-20=-32$ et $2c=20$. (1 pt) (1)
3. c)$P(z)=(z^2-2z+2)(z^2-6z+10)$. Pour $z^2-6z+10=0$ : $\Delta =36-40=-4=(2i{)}^2$, d'où $z={\displaystyle \frac{6\pm 2i}{2}}=3\pm i$. $𝒮=\{1+i;1-i;3-i;3+i\}$ : quatre racines distinctes pour un polynôme de degré $4$, il n'y en a pas d'autre. (1 pt) (1)
4. d)$r$ a pour écriture $z\prime -2=i(z-2)$. Or $z_A-2=-1+i$, $i(-1+i)=-1-i=z_B-2$, $i(-1-i)=1-i=z_C-2$ et $i(1-i)=1+i=z_D-2$ : $r(A)=B$, $r(B)=C$, $r(C)=D$. Ainsi $\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega D$ ; $z_C-2=-(z_A-2)$ et $z_D-2=-(z_B-2)$, donc $\Omega$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ ; et $(\Omega A)⟂(\Omega B)$. Les diagonales de $ABCD$ ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires : $ABCD$ est un carré. Son côté vaut $AB=|-2i|=2$, son aire $4$. (1 pt : 0,5 pour les images, 0,5 pour le carré et l'aire) (1)

Méthode — Une racine non réelle $\alpha$ d'un polynôme à coefficients réels en donne deux : on factorise directement par $(z-\alpha )(z-\bar{\alpha })=z^2-2\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha )z+|\alpha {|}^2$, puis on identifie les coefficients.

1. a)${\omega }^2=e^{2i\pi /8}=e^{i\pi /4}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i$ et ${\omega }^4=e^{4i\pi /8}=e^{i\pi /2}=i$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)$(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2ixy$, et ${\omega }^2={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i$. Comme $x^2-y^2$ et $2xy$ sont réels, on identifie : $x^2-y^2={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $2xy={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. Enfin $|\omega |=1$, donc $x^2+y^2=|\omega {|}^2=1$. (1 pt) (1)
3. c)En ajoutant : $2x^2=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, donc $x^2={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{4}}$ ; en soustrayant : $y^2={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{4}}$. Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}\in \left]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right[$, $x>0$ et $y>0$ : $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$. Contrôle : $2xy={\displaystyle \frac{2\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. (1 pt : 0,5 pour les carrés, 0,5 pour les signes) (1)
4. d)$i=e^{i\pi /2}$ et $z=r{e}^{i\theta }$ ($r>0$, car $0$ n'est pas solution) : $z^4=i⟺r^4=1$ et $4\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi$, soit $r=1$ et $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$, $k\in \{0;1;2;3\}$. Les quatre solutions sont $e^{i\pi /8}=\omega$, $e^{5i\pi /8}=i\omega$, $e^{-7i\pi /8}=-\omega$ et $e^{-3i\pi /8}=-i\omega$, c'est-à-dire $x+iy$, $-y+ix$, $-x-iy$ et $y-ix$. (1 pt : 0,5 pour la forme exponentielle, 0,5 pour la forme algébrique) (1)

Astuce — Le module fournit une troisième équation, $x^2+y^2=1$ : en l'ajoutant à $x^2-y^2$, puis en l'en soustrayant, on obtient directement $x^2$ et $y^2$ ; le signe de $x$ et de $y$ se lit sur le cercle trigonométrique.

1. a)$ABE$ est équilatéral, donc $AE=AB$ et l'angle orienté $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE})$ mesure ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ou $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Comme $E$ est à l'intérieur du carré, au-dessus de l'axe des abscisses qui porte $[AB]$, c'est ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ : $E$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Donc $z_E=e^{i\pi /3}\times 2=2({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)=1+i\sqrt{3}$ ; contrôle : $0<1<2$ et $0<\sqrt{3}<2$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)$z_F-z_B=e^{-i\pi /3}(z_C-z_B)$, avec $z_C-z_B=2i$ : $z_F-2=2i({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)=i+\sqrt{3}$, donc $z_F=2+\sqrt{3}+i$. Sa partie réelle $2+\sqrt{3}$ est supérieure à $2$ : $F$ est à droite de la droite $(BC)$, à l'extérieur du carré. (1 pt) (1)
3. c)$z_E-z_D=1+i(\sqrt{3}-2)$ et $z_F-z_D=2+\sqrt{3}-i$. Or $(2+\sqrt{3})(1+i(\sqrt{3}-2))=2+\sqrt{3}+i(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=2+\sqrt{3}+i(3-4)=2+\sqrt{3}-i$. Donc $z_F-z_D=(2+\sqrt{3})(z_E-z_D)$ : le quotient ${\displaystyle \frac{z_F-z_D}{z_E-z_D}}$ est le réel $2+\sqrt{3}$, et les points $D$, $E$, $F$ sont alignés. (1 pt) (1)
4. d)${(\sqrt{6}\mp \sqrt{2})}^2=6\mp 2\sqrt{12}+2=8\mp 4\sqrt{3}$. $D{E}^2=1+{(\sqrt{3}-2)}^2=8-4\sqrt{3}$, donc $DE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ (nombre positif). $D{F}^2={(2+\sqrt{3})}^2+1=8+4\sqrt{3}$, donc $DF=\sqrt{6}+\sqrt{2}$. $z_F-z_E=(1+\sqrt{3})+i(1-\sqrt{3})$, donc $E{F}^2=4+2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}=8$ et $EF=2\sqrt{2}$. Alors $DE+EF=\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}=DF$ : $E$ appartient au segment $[DF]$, ce qui confirme l'alignement (et $DF=(2+\sqrt{3})DE$). (1 pt : 0,5 pour les longueurs, 0,5 pour la vérification) (1)

Méthode — Pour prouver un alignement, il suffit de trouver un réel $k$ tel que $z_F-z_D=k(z_E-z_D)$ : vérifier un produit est souvent plus rapide que diviser par une expression qui contient des radicaux.

1. a)$1+i\sqrt{3}=2e^{i\pi /3}$ et $1-i=\sqrt{2}{e}^{-i\pi /4}$, donc ${\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}}=\sqrt{2}{e}^{i(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4})}=\sqrt{2}{e}^{7i\pi /12}$. Par Moivre, la puissance vaut ${\left(\sqrt{2}\right)}^6{e}^{42i\pi /12}=8e^{7i\pi /2}$, et ${\displaystyle \frac{7\pi }{2}}=4\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : le résultat est $8e^{-i\pi /2}=-8i$. (1 pt) (1)
2. b)$(-1+2i{)}^2=1-4i-4=-3-4i$ et $(-1+2i{)}^3=(-3-4i)(-1+2i)=3-6i+4i+8=11-2i$. La condition s'écrit $(11-a+b)+i(2a-2)=0$ : $a=1$ et $b=-10$. Le polynôme $z^3+z-10$ est à coefficients réels, donc $-1-2i$ est aussi racine, et il se factorise par $(z+1{)}^2+4=z^2+2z+5$ : $z^3+z-10=(z^2+2z+5)(z-2)$ (coefficients de $z^3$ et constantes). $𝒮=\{2;-1+2i;-1-2i\}$. (1 pt : 0,5 pour $a$ et $b$, 0,5 pour la résolution) (1)
3. c)Avec $z=x+iy$ et les carrés (nombres positifs) : $x^2+(y-3{)}^2=4(x^2+y^2)$, soit $x^2+y^2-6y+9=4x^2+4y^2$, puis $3x^2+3y^2+6y-9=0$, c'est-à-dire $x^2+y^2+2y-3=0$, ou encore $x^2+(y+1{)}^2=4$. C'est le cercle de centre le point d'affixe $-i$ et de rayon $2$. Contrôle avec $z=i$ : $|-2i|=2=2\times |i|$. (1 pt) (1)

Astuce — Quand une égalité de distances n'a pas de lecture géométrique directe (ici un rapport $2$), on pose $z=x+iy$, on élève au carré et l'on reconnaît un cercle grâce à la forme canonique.

1. a)Avec $|w{|}^2=w\bar{w}$ et $\overline{\stackrel{―}{z}z\prime }=z\overline{z\prime }$ : ${|1-\bar{z}z\prime |}^2=(1-\bar{z}z\prime )(1-z\overline{z\prime })=1-z\overline{z\prime }-\bar{z}z\prime +|z{|}^2|z\prime {|}^2$ et $|z-z\prime {|}^2=(z-z\prime )(\bar{z}-\overline{z\prime })=|z{|}^2-z\overline{z\prime }-\bar{z}z\prime +|z\prime {|}^2$. La différence vaut $1-|z{|}^2-|z\prime {|}^2+|z{|}^2|z\prime {|}^2=(1-|z{|}^2)(1-|z\prime {|}^2)$. Si $|z|<1$ et $|z\prime |<1$, ce produit est strictement positif, donc $|z-z\prime {|}^2<{|1-\bar{z}z\prime |}^2$ ; deux nombres positifs sont rangés comme leurs carrés : $|z-z\prime |<|1-\bar{z}z\prime |$. (1 pt : 0,5 pour l'identité, 0,5 pour l'inégalité) (1)
2. b)On note $𝒫(n)$ : « tout polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ». Initialisation : $az+b$ avec $a\ne 0$ a pour seule racine $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. Hérédité : supposons $𝒫(n)$ vraie et soit $P$ de degré $n+1$. Si $P$ n'a pas de racine, c'est fini. Sinon, soit $\alpha$ une racine : $P(z)=(z-\alpha )Q(z)$ avec $Q$ de degré $n$. Si $P(\beta )=0$, alors $(\beta -\alpha )Q(\beta )=0$, donc $\beta =\alpha$ ou $Q(\beta )=0$. Par hypothèse de récurrence, $Q$ a au plus $n$ racines, donc $P$ en a au plus $n+1$. Conclusion : $𝒫(n)$ est vraie pour tout $n⩾1$. (1 pt : 0,5 pour l'hérédité, 0,5 pour la rédaction complète) (1)
3. c)Notons $P(z)=a_3{z}^3+a_2{z}^2+a_{1}z+a_0$, coefficients réels, $a_3\ne 0$. Par conjugaison, $P\left(\bar{\alpha }\right)=\overline{P(\alpha )}=0$, et $\bar{\alpha }\ne \alpha$ car $\alpha$ n'est pas réel. On écrit $P(z)=(z-\alpha )Q(z)$ avec $Q$ de degré $2$ ; alors $0=P\left(\bar{\alpha }\right)=(\bar{\alpha }-\alpha )Q\left(\bar{\alpha }\right)$, donc $Q\left(\bar{\alpha }\right)=0$ et $Q(z)=(z-\bar{\alpha })R(z)$ avec $R$ de degré $1$, de coefficient dominant $a_3$ : $R(z)=a_3(z-r)$. Ainsi $P(z)=a_3(z^2-2\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha )z+|\alpha {|}^2)(z-r)$. Le terme constant donne $a_0=-a_3|\alpha {|}^{2}r$, donc $r=-{\displaystyle \frac{a_0}{a_3|\alpha {|}^2}}$ est réel. Les racines $\alpha$, $\bar{\alpha }$ (non réelles, distinctes) et $r$ (réel) sont trois racines distinctes ; un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, donc $P$ n'a pas d'autre racine, et seule $r$ est réelle. (1 pt : 0,5 pour la factorisation, 0,5 pour $r$ réel et la conclusion) (1)
4. d)On pose $s={\displaystyle \frac{p+q}{2}}$ et $d={\displaystyle \frac{p-q}{2}}$, de sorte que $s+d=p$ et $s-d=q$. Par Euler : $2\cos s\cos d=2\times {\displaystyle \frac{e^{is}+e^{-is}}{2}}\times {\displaystyle \frac{e^{id}+e^{-id}}{2}}={\displaystyle \frac{e^{i(s+d)}+e^{i(s-d)}+e^{-i(s-d)}+e^{-i(s+d)}}{2}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{e^{ip}+e^{-ip}}{2}}+{\displaystyle \frac{e^{iq}+e^{-iq}}{2}}=\cos p+\cos q$. (1 pt) (1)