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Équations polynomiales à coefficients réels

Équations du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ, racines d'un polynôme, équations de degré 3 avec une racine connue

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Équations polynomiales à coefficients réels » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en maths expertes (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, Racine d'un polynôme et factorisation par z − α. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths expertes (option tle) en terminale.

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Problème 1 — Racines d'un polynôme et carré dans le plan complexe

Moyen

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ . On considère $P (z) = z^{3} - 9 z^{2} + 33 z - 25$ .

1. Vérifier que 1 est racine de $P$ .
2. Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $z$ , $P (z) = (z - 1) (z^{2} + b z + c)$ .
3. Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.
4. On note $A$ , $B$ , $C$ les points d'affixes $1$ , $4 + 3 i$ et $4 - 3 i$ . Montrer que le triangle $A B C$ est rectangle isocèle en $A$ .
5. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $A B D C$ soit un carré.
6. Montrer que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

1. $P (1) = 1 - 9 + 33 - 25 = 0$ : 1 est racine de $P$ .

2. Pour tout $z$ , $(z - 1) (z^{2} + b z + c) = z^{3} + (b - 1) z^{2} + (c - b) z - c$ . Identification : $b - 1 = - 9$ , donc $b = - 8$ ; $c - b = 33$ , donc $c = 25$ ; vérification : $- c = - 25$ . $P (z) = (z - 1) (z^{2} - 8 z + 25)$ .

3. $z^{2} - 8 z + 25 = 0$ : $Δ = 64 - 100 = - 36 = (6 i)^{2}$ , donc $z = \frac{8 \pm 6 i}{2} = 4 \pm 3 i$ . $S = {1; 4 + 3 i; 4 - 3 i}$ .

4. $A B = | z_{B} - z_{A} | = | 3 + 3 i | = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ ; $A C = | 3 - 3 i | = 3 \sqrt{2}$ ; $B C = | z_{C} - z_{B} | = | - 6 i | = 6$ . Donc $A B = A C$ et $A B^{2} + A C^{2} = 18 + 18 = 36 = B C^{2}$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $A B C$ est rectangle isocèle en $A$ .

5. $A B D C$ est un carré si et seulement si c'est un parallélogramme ( $\vec{A B} = \vec{C D}$ ) ayant un angle droit en $A$ et deux côtés consécutifs égaux ; ces deux dernières conditions sont acquises en 4. $\vec{A B} = \vec{C D} ⟺ z_{D} - z_{C} = z_{B} - z_{A} ⟺ z_{D} = z_{B} + z_{C} - z_{A} = 8 - 1 = 7$ . $D$ a pour affixe 7.

6. Les diagonales d'un carré ont le même milieu et la même longueur : le centre du carré est le milieu $Ω$ de $[A D]$ , d'affixe $\frac{1 + 7}{2} = 4$ , qui est aussi le milieu de $[B C]$ ( $\frac{(4 + 3 i) + (4 - 3 i)}{2} = 4$ ). Vérification : $Ω A = | 1 - 4 | = 3$ , $Ω D = | 7 - 4 | = 3$ , $Ω B = | 3 i | = 3$ , $Ω C = | - 3 i | = 3$ . $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont sur le cercle de centre $Ω (4)$ et de rayon 3.

Problème 2 — Algorithmique : chercher une racine entière

Moyen

On considère $P (z) = z^{3} + 2 z^{2} + 2 z + 40$ et le programme Python suivant.

def P(z):
    return z**3 + 2*z**2 + 2*z + 40

for k in range(-40, 41):
    if k != 0 and 40 % k == 0 and P(k) == 0:
        print(k)

1. Montrer que si un entier $k$ est racine de $P$ , alors $k$ est un diviseur de 40.
2. Vérifier que $- 4$ est racine de $P$ , puis factoriser $P (z)$ par $z + 4$ .
3. Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.
4. Expliquer ce que fait le programme et indiquer ce qu'il affiche.
5. On adapte le programme au polynôme $Q (z) = 3 z^{3} + z^{2} + 6 z + 2$ en testant les diviseurs entiers de 2 : il n'affiche rien. Montrer pourtant que $Q$ admet une racine réelle, puis résoudre $Q (z) = 0$ dans ℂ.

1. $P (0) = 40 \neq 0$ , donc $k \neq 0$ . Si $P (k) = 0$ , alors $k^{3} + 2 k^{2} + 2 k = - 40$ , soit $k (k^{2} + 2 k + 2) = - 40$ . Comme $k^{2} + 2 k + 2$ est un entier, $k$ divise 40.

2. $P (- 4) = - 64 + 32 - 8 + 40 = 0$ . Pour tout $z$ , $(z + 4) (z^{2} + b z + c) = z^{3} + (b + 4) z^{2} + (c + 4 b) z + 4 c$ . Identification : $b + 4 = 2$ , donc $b = - 2$ ; $c + 4 b = 2$ , donc $c = 10$ ; vérification : $4 c = 40$ . $P (z) = (z + 4) (z^{2} - 2 z + 10)$ .

3. $z^{2} - 2 z + 10 = 0$ : $Δ = 4 - 40 = - 36 = (6 i)^{2}$ , $z = \frac{2 \pm 6 i}{2} = 1 \pm 3 i$ . $S = {- 4; 1 + 3 i; 1 - 3 i}$ .

4. La boucle parcourt les entiers $k$ de $- 40$ à $40$ . La condition retient les $k$ non nuls qui divisent 40 (le reste $40$ est nul, y compris pour $k$ négatif) et qui annulent $P$ : le programme affiche les racines entières de $P$ , en ne testant que les candidats autorisés par la question 1. D'après la question 3, la seule racine réelle est $- 4$ : le programme affiche $- 4$ .

5. Les diviseurs entiers de 2 sont $\pm 1$ , $\pm 2$ : $Q (1) = 12$ , $Q (- 1) = - 3 + 1 - 6 + 2 = - 6$ , $Q (2) = 42$ , $Q (- 2) = - 24 + 4 - 12 + 2 = - 30$ ; aucun n'est racine. Pourtant $Q$ est continue sur ℝ, $Q (- 1) = - 6 < 0$ et $Q (0) = 2 > 0$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $Q$ s'annule sur $] - 1; 0 [$ . Cette racine n'est pas entière : $Q (z) = z^{2} (3 z + 1) + 2 (3 z + 1) = (3 z + 1) (z^{2} + 2)$ , d'où $S = {- \frac{1}{3}; i \sqrt{2}; - i \sqrt{2}}$ . Le programme ne trouve que des racines entières ; quand le coefficient dominant n'est pas 1, une racine peut être une fraction.

Problème 3 — Polynôme de degré 4 et points cocycliques

Difficile

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On considère $P (z) = z^{4} - 3 z^{2} + 12 z + 40$ .
Partie A : questions 1 à 4. Partie B : on note $A$ , $B$ , $C$ , $D$ les points d'affixes $2 + 2 i$ , $2 - 2 i$ , $- 2 + i$ , $- 2 - i$ .

1. Calculer $(2 + 2 i)^{2}$ et $(2 + 2 i)^{4}$ , puis vérifier que $2 + 2 i$ est racine de $P$ .
2. Justifier que $2 - 2 i$ est aussi racine de $P$ , puis que $P (z)$ se factorise par $z^{2} - 4 z + 8$ .
3. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z$ , $P (z) = (z^{2} - 4 z + 8) (z^{2} + a z + b)$ .
4. Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.
5. Montrer que $A B D C$ est un trapèze isocèle.
6. Soit $Ω$ le point d'affixe $ω$ réel. Montrer que $Ω A = Ω C$ si et seulement si $ω = \frac{3}{8}$ .
7. En déduire que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont sur un même cercle, dont on donnera le rayon exact.

1. $(2 + 2 i)^{2} = 4 + 8 i + 4 i^{2} = 8 i$ et $(2 + 2 i)^{4} = (8 i)^{2} = - 64$ . Donc $P (2 + 2 i) = - 64 - 3 \times 8 i + 12 (2 + 2 i) + 40 = - 64 - 24 i + 24 + 24 i + 40 = 0$ : $2 + 2 i$ est racine.

2. Les coefficients de $P$ sont réels : $P (2 - 2 i) = \overset{―}{P (2 + 2 i)} = 0$ . Comme $P (2 + 2 i) = 0$ , $P (z) = (z - 2 - 2 i) Q (z)$ avec $Q$ de degré 3 ; puis $0 = P (2 - 2 i) = - 4 i Q (2 - 2 i)$ , donc $Q (2 - 2 i) = 0$ et $Q (z) = (z - 2 + 2 i) R (z)$ avec $R$ de degré 2. Or $(z - 2 - 2 i) (z - 2 + 2 i) = (z - 2)^{2} - (2 i)^{2} = z^{2} - 4 z + 8$ . Donc $P (z) = (z^{2} - 4 z + 8) R (z)$ .

3. $(z^{2} - 4 z + 8) (z^{2} + a z + b) = z^{4} + (a - 4) z^{3} + (b - 4 a + 8) z^{2} + (8 a - 4 b) z + 8 b$ . Identification avec $z^{4} + 0 z^{3} - 3 z^{2} + 12 z + 40$ : $a - 4 = 0$ , donc $a = 4$ ; $b - 16 + 8 = - 3$ , donc $b = 5$ ; vérifications : $8 a - 4 b = 32 - 20 = 12$ et $8 b = 40$ . $P (z) = (z^{2} - 4 z + 8) (z^{2} + 4 z + 5)$ .

4. $z^{2} - 4 z + 8 = 0$ : $Δ = 16 - 32 = - 16 = (4 i)^{2}$ , $z = 2 \pm 2 i$ . $z^{2} + 4 z + 5 = 0$ : $Δ = 16 - 20 = - 4 = (2 i)^{2}$ , $z = - 2 \pm i$ . $S = {2 + 2 i; 2 - 2 i; - 2 + i; - 2 - i}$ .

5. $z_{B} - z_{A} = - 4 i$ et $z_{D} - z_{C} = - 2 i = \frac{1}{2} (z_{B} - z_{A})$ : $\vec{C D} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ , donc $(A B) ∥ (C D)$ avec $A B = 4 \neq C D = 2$ : $A B D C$ est un trapèze de bases $[A B]$ et $[C D]$ (et non un parallélogramme). Côtés non parallèles : $B D = | z_{D} - z_{B} | = | - 4 + i | = \sqrt{17}$ et $A C = | z_{C} - z_{A} | = | - 4 - i | = \sqrt{17}$ . $A B D C$ est un trapèze isocèle (symétrique par rapport à l'axe réel, puisque $z_{B} = \overset{―}{z_{A}}$ et $z_{D} = \overset{―}{z_{C}}$ ).

6. $Ω A^{2} = | 2 + 2 i - ω |^{2} = (2 - ω)^{2} + 4$ et $Ω C^{2} = | - 2 + i - ω |^{2} = (2 + ω)^{2} + 1$ . Des distances positives sont égales si et seulement si leurs carrés le sont : $4 - 4 ω + ω^{2} + 4 = 4 + 4 ω + ω^{2} + 1 ⟺ 3 = 8 ω ⟺ < b > ω = \frac{3}{8} < / b >$ .

7. Pour $ω = \frac{3}{8}$ réel : $Ω B = | \overset{―}{z_{A}} - ω | = | \overset{―}{z_{A} - ω} | = Ω A$ et, de même, $Ω D = Ω C$ . Avec 6, $Ω A = Ω B = Ω C = Ω D$ : les quatre points sont sur le cercle de centre $Ω (\frac{3}{8})$ . Rayon : $r^{2} = {(2 - \frac{3}{8})}^{2} + 4 = \frac{169}{64} + \frac{256}{64} = \frac{425}{64}$ , donc $r = \frac{\sqrt{425}}{8} = \frac{5 \sqrt{17}}{8} \approx 2, 58$ .

Problème 4 — Une famille d'équations à paramètre

Difficile

Pour tout réel $m$ , on considère $P_{m} (z) = z^{3} - (m + 1) z^{2} + (m + 4) z - 4$ .

1. Montrer que 1 est racine de $P_{m}$ pour tout réel $m$ .
2. Déterminer $b$ et $c$ , en fonction de $m$ , tels que pour tout $z$ , $P_{m} (z) = (z - 1) (z^{2} + b z + c)$ .
3. Discuter, selon les valeurs de $m$ , le nombre de solutions distinctes de $P_{m} (z) = 0$ et leur nature (réelles ou non).
4. On suppose $- 4 < m < 4$ et on note $z_{1}$ , $z_{2}$ les solutions non réelles. Montrer, sans les calculer, que $| z_{1} | = | z_{2} | = 2$ .
5. Toujours pour $- 4 < m < 4$ , on note $A$ , $M_{1}$ , $M_{2}$ les points d'affixes $1$ , $z_{1}$ , $z_{2}$ , avec $I m (z_{1}) > 0$ . Montrer que $M_{1} M_{2}^{2} = 16 - m^{2}$ et $A M_{1}^{2} = 5 - m$ .
6. En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles le triangle $A M_{1} M_{2}$ est équilatéral.

1. $P_{m} (1) = 1 - (m + 1) + (m + 4) - 4 = 0$ pour tout $m$ .

2. $(z - 1) (z^{2} + b z + c) = z^{3} + (b - 1) z^{2} + (c - b) z - c$ . Identification : $b - 1 = - (m + 1)$ , donc $b = - m$ ; $c - b = m + 4$ , donc $c = 4$ ; vérification : $- c = - 4$ . $P_{m} (z) = (z - 1) (z^{2} - m z + 4)$ .

3. Le trinôme $z^{2} - m z + 4$ a pour discriminant $Δ = m^{2} - 16$ ; il admet 1 pour racine si et seulement si $1 - m + 4 = 0$ , soit $m = 5$ .

$- 4 < m < 4$ : $Δ < 0$ , une solution réelle (1) et deux solutions complexes conjuguées non réelles.
$m = 4$ : $z^{2} - 4 z + 4 = (z - 2)^{2}$ , deux solutions distinctes, 1 et 2. $m = - 4$ : $(z + 2)^{2}$ , solutions 1 et $- 2$ .
$m < - 4$ ou $m > 4$ avec $m \neq 5$ : $Δ > 0$ , trois solutions réelles distinctes (1 n'est pas racine du trinôme).
$m = 5$ : $z^{2} - 5 z + 4 = (z - 1) (z - 4)$ , donc $P_{5} (z) = (z - 1)^{2} (z - 4)$ : deux solutions distinctes, 1 (double) et 4.

4. Le trinôme est à coefficients réels, donc $z_{2} = \overset{―}{z_{1}}$ . Le produit des racines vaut $\frac{c}{a} = 4$ : $z_{1} \overset{―}{z_{1}} = | z_{1} |^{2} = 4$ , donc $| z_{1} | = | z_{2} | = 2$ .

5. $Δ = - (16 - m^{2}) = {(i \sqrt{16 - m^{2}})}^{2}$ , donc $z_{1} = \frac{m}{2} + \frac{\sqrt{16 - m^{2}}}{2} i$ et $z_{2} = \overset{―}{z_{1}}$ . $M_{1} M_{2} = | z_{1} - z_{2} | = | i \sqrt{16 - m^{2}} | = \sqrt{16 - m^{2}}$ , d'où $M_{1} M_{2}^{2} = 16 - m^{2}$ . $A M_{1}^{2} = {(\frac{m}{2} - 1)}^{2} + \frac{16 - m^{2}}{4} = \frac{m^{2}}{4} - m + 1 + 4 - \frac{m^{2}}{4} = < b > 5 - m < / b >$ .

6. $A M_{2} = | \overset{―}{z_{1}} - 1 | = | \overset{―}{z_{1} - 1} | = A M_{1}$ : le triangle est toujours isocèle en $A$ . Il est équilatéral si et seulement si $A M_{1} = M_{1} M_{2}$ , soit $5 - m = 16 - m^{2} ⟺ m^{2} - m - 11 = 0$ . $Δ = 1 + 44 = 45$ , donc $m = \frac{1 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$ . Or $\frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2} \approx 3, 85$ et $\frac{1 - 3 \sqrt{5}}{2} \approx - 2, 85$ appartiennent à $] - 4; 4 [$ . Deux valeurs : $m = \frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2}$ et $m = \frac{1 - 3 \sqrt{5}}{2}$ .

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