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Équations polynomiales

Rappels du second degré dans ℝ, équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, factorisation d’un polynôme par z − α quand α est racine, équations de degré 3 et 4 dont une racine est connue, un polynôme de degré n a au plus n racines.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés : un polynôme de degré 3 dont les racines forment un carré, la recherche d’une racine entière avec un programme Python, l’équation x³ = 15x + 4 de Bombelli avec la formule de Cardan et les formules de Viète, un polynôme de degré 4 et des points sur un cercle, une famille d’équations à paramètre et un triangle équilatéral.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère le polynôme et son degré, et je note ce que l’énoncé donne : une racine, un paramètre, des points du plan.
Je factorise : racine évidente ou donnée, facteur conjugué si les coefficients sont réels, identification des coefficients.
Je résous chaque facteur du second degré et je rassemble toutes les solutions (au plus autant que le degré).
J’exploite les solutions : affixes de points, distances avec le module, somme et produit des racines, discussion selon le paramètre.
Je rédige les justifications en citant le résultat utilisé (racines conjuguées, factorisation par z − α, au plus n racines) et je contrôle chaque résultat.

Problème 1 · Racines d’un polynôme et carré dans le plan complexe★★★Facile

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

(O; \vec{u}, \vec{v})

. On rappelle que si

A

B

ont pour affixes

z_{A}

z_{B}

, le vecteur

\vec{A B}

a pour affixe

z_{B} - z_{A}

A B = | z_{B} - z_{A} |

. On considère

P (z) = z^{3} - 9 z^{2} + 33 z - 25

1. Vérifier que $1$ est racine de $P$ , puis déterminer les réels $b$ et $c$ tels que $P (z) = (z - 1) (z^{2} + b z + c)$ : $b =$ et $c =$
$P (1) = 1 - 9 + 33 - 25 = 0$ . Pour tout $z$ , $(z - 1) (z^{2} + b z + c)$ $= z^{3} + (b - 1) z^{2} + (c - b) z - c$ . Identification : $b - 1 = - 9$ , donc $b = - 8$ ; $c - b = 33$ , donc $c = 25$ ; vérification : $- c = - 25$ . $P (z) = (z - 1) (z^{2} - 8 z + 25)$ .
2. Parmi les solutions de $P (z) = 0$ dans $ℂ$ , celle de partie imaginaire positive a pour partie réelle et partie imaginaire
$z^{2} - 8 z + 25 = 0$ : $Δ = 64 - 100 = - 36 = (6 i)^{2}$ , donc $z = \frac{8 \pm 6 i}{2} = 4 \pm 3 i$ . $𝒮 = {1; 4 + 3 i; 4 - 3 i}$ .
3. On note $A$ , $B$ , $C$ les points d’affixes $1$ , $4 + 3 i$ et $4 - 3 i$ . Calculer $A B^{2} =$ et $B C =$ , puis montrer que $A B C$ est rectangle isocèle en $A$ .
Rédaction attendue. $A B = | z_{B} - z_{A} | = | 3 + 3 i |$ , donc $A B^{2} = 9 + 9 = 18$ ; $A C = | 3 - 3 i |$ , donc $A C^{2} = 18$ ; $B C = | z_{C} - z_{B} | = | - 6 i | = 6$ . Ainsi $A B = A C$ et $A B^{2} + A C^{2} = 18 + 18 = 36 = B C^{2}$ . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ ; il est isocèle en $A$ car $A B = A C$ .
4. L’affixe du point $D$ tel que $A B D C$ soit un carré est
$A B D C$ est un carré si et seulement si c’est un parallélogramme ( $\vec{A B} = \vec{C D}$ ) avec un angle droit en $A$ et deux côtés consécutifs égaux ; ces deux dernières conditions sont établies à la question précédente. $\vec{A B} = \vec{C D} ⟺ z_{D} - z_{C} = z_{B} - z_{A}$ , soit $z_{D} = z_{B} + z_{C} - z_{A} = 8 - 1 = 7$ .
5. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont sur un même cercle : son centre a pour affixe et son rayon vaut
Les diagonales d’un carré ont le même milieu : le centre est le milieu $Ω$ de $[A D]$ , d’affixe $\frac{1 + 7}{2} = 4$ , qui est aussi le milieu de $[B C]$ . Vérification : $Ω A = | 1 - 4 | = 3$ , $Ω D = | 7 - 4 | = 3$ , $Ω B = | 3 i | = 3$ et $Ω C = | - 3 i | = 3$ . Cercle de centre $Ω (4)$ et de rayon $3$ .

Problème 2 · Algorithmique : chercher une racine entière★★★Moyen

On considère

P (z) = z^{3} + 2 z^{2} + 2 z + 40

et le programme Python ci-dessous.

def P(z):
    return z**3 + 2*z**2 + 2*z + 40

for k in range(-40, 41):
    if k != 0 and 40 % k == 0 and P(k) == 0:
        print(k)

1. Montrer que si un entier $k$ est racine de $P$ , alors $k$ divise $40$ . Nombre de diviseurs entiers de $40$ , positifs et négatifs :
Rédaction attendue. $P (0) = 40 \neq 0$ , donc $k \neq 0$ . Si $P (k) = 0$ , alors $k^{3} + 2 k^{2} + 2 k = - 40$ , soit $k (k^{2} + 2 k + 2) = - 40$ . Comme $k^{2} + 2 k + 2$ est un entier, $k$ divise $40$ . Or $40 = 2^{3} \times 5$ a $8$ diviseurs positifs ( $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40$ ), donc $16$ diviseurs entiers en comptant les négatifs.
2. Vérifier que $- 4$ est racine de $P$ , puis $P (z) = (z + 4) (z^{2} + b z + c)$ avec $b =$ et $c =$
$P (- 4) = - 64 + 32 - 8 + 40 = 0$ . Pour tout $z$ , $(z + 4) (z^{2} + b z + c)$ $= z^{3} + (b + 4) z^{2} + (c + 4 b) z + 4 c$ . Identification : $b + 4 = 2$ , donc $b = - 2$ ; $c + 4 b = 2$ , donc $c = 10$ ; vérification : $4 c = 40$ .
3. Résoudre $P (z) = 0$ dans $ℂ$ : la solution de partie imaginaire positive a pour partie réelle et partie imaginaire
$z^{2} - 2 z + 10 = 0$ : $Δ = 4 - 40 = - 36 = (6 i)^{2}$ , $z = \frac{2 \pm 6 i}{2} = 1 \pm 3 i$ . $𝒮 = {- 4; 1 + 3 i; 1 - 3 i}$ .
4. Expliquer ce que fait le programme. Il affiche
La boucle parcourt les entiers $k$ de $- 40$ à $40$ . La condition retient les $k$ non nuls qui divisent $40$ (le reste 40 % k est nul, y compris pour $k$ négatif) et qui annulent $P$ : le programme affiche les racines entières de $P$ , en ne testant que les candidats permis par la première question. D’après la question précédente, la seule racine réelle est $- 4$ : le programme affiche -4.
5. On adapte le programme à $Q (z) = 3 z^{3} + z^{2} + 6 z + 2$ en testant les diviseurs entiers de $2$ : il n’affiche rien. Montrer pourtant que $Q$ a une racine réelle. Cette racine vaut
Rédaction attendue. Les diviseurs entiers de $2$ sont $\pm 1$ et $\pm 2$ : $Q (1) = 12$ , $Q (- 1) = - 3 + 1 - 6 + 2 = - 6$ , $Q (2) = 42$ , $Q (- 2) = - 24 + 4 - 12 + 2 = - 30$ ; aucun n’est racine. Pourtant $Q$ est continue sur $ℝ$ , $Q (- 1) = - 6 < 0$ et $Q (0) = 2 > 0$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $Q$ s’annule sur $] - 1; 0 [$ . Cette racine n’est pas entière : $Q (z) = z^{2} (3 z + 1) + 2 (3 z + 1) = (3 z + 1) (z^{2} + 2)$ , d’où $𝒮 = {- \frac{1}{3}; i \sqrt{2}; - i \sqrt{2}}$ . Quand le coefficient dominant n’est pas $1$ , une racine peut être une fraction.

Problème 3 · Bombelli et la formule de Cardan★★★Moyen

La formule de résolution des équations de degré 3 « par radicaux » a été publiée par Cardan dans l’Ars magna (1545). Dans son Algebra (1572), Bombelli l’applique à l’équation

x^{3} = 15 x + 4

: la formule fait apparaître

\sqrt{- 121}

, et Bombelli ose calculer avec ce nombre « impossible ». On étudie ici, dans

ℂ

, l’équation

(E)

z^{3} - 15 z - 4 = 0

1. Calculer $(2 + i)^{3}$ : partie réelle et partie imaginaire
$(2 + i)^{2} = 4 + 4 i + i^{2} = 3 + 4 i$ , puis $(2 + i)^{3} = (3 + 4 i) (2 + i) = 6 + 3 i + 8 i + 4 i^{2} = 2 + 11 i$ . Par conjugaison d’une puissance, $(2 - i)^{3} = 2 - 11 i$ .
2. On pose $u = 2 + i$ et $v = 2 - i$ . Montrer que $u + v$ est solution de $(E)$ en utilisant $(u + v)^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 u v (u + v)$ . On trouve $u v =$
Rédaction attendue. $u v = (2 + i) (2 - i) = 4 + 1 = 5$ et, d’après la question précédente, $u^{3} + v^{3} = (2 + 11 i) + (2 - 11 i) = 4$ . Donc $(u + v)^{3} = 4 + 15 (u + v)$ : le nombre $u + v = 4$ vérifie $z^{3} = 15 z + 4$ . Contrôle : $4^{3} = 64 = 15 \times 4 + 4$ . C’est ainsi que Bombelli obtient la solution $4$ , en passant par $u^{3} = 2 + \sqrt{- 121}$ (car $11 i$ est le nombre que l’on notait $\sqrt{- 121}$ ).
3. Déterminer $b$ et $c$ réels tels que $z^{3} - 15 z - 4 = (z - 4) (z^{2} + b z + c)$ : $b =$ et $c =$
$(z - 4) (z^{2} + b z + c) = z^{3} + (b - 4) z^{2} + (c - 4 b) z - 4 c$ . Identification avec $z^{3} + 0 z^{2} - 15 z - 4$ : $b - 4 = 0$ , donc $b = 4$ ; $c - 4 b = - 15$ , donc $c = 1$ ; vérification : $- 4 c = - 4$ .
4. Résoudre $(E)$ dans $ℂ$ . Nombre de solutions réelles : ; valeur approchée au centième de la plus petite :
$z^{2} + 4 z + 1 = 0$ : $Δ = 16 - 4 = 12 > 0$ , $z = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2} = - 2 \pm \sqrt{3}$ . $𝒮 = {4; - 2 + \sqrt{3}; - 2 - \sqrt{3}}$ : trois solutions réelles, et la plus petite est $- 2 - \sqrt{3} \approx - 3, 73$ . Paradoxe historique : les trois solutions sont réelles, mais la formule de Cardan oblige à passer par des nombres complexes.
5. Formules de Viète. Si $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ sont les trois solutions, justifier que $z^{3} - 15 z - 4 = (z - z_{1}) (z - z_{2}) (z - z_{3})$ et en déduire $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$ . Le produit $z_{1} z_{2} z_{3}$ vaut
Rédaction attendue. Les trois solutions $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ sont distinctes. Par factorisations successives (cas 4), $z^{3} - 15 z - 4 = (z - z_{1}) (z - z_{2}) (z - z_{3})$ , le coefficient de $z^{3}$ valant $1$ . En développant : $(z - z_{1}) (z - z_{2}) (z - z_{3})$ $= z^{3} - (z_{1} + z_{2} + z_{3}) z^{2} + (z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3}) z - z_{1} z_{2} z_{3}$ . Par identification : $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$ et $- z_{1} z_{2} z_{3} = - 4$ , donc $z_{1} z_{2} z_{3} = 4$ . Contrôle : $4 \times (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3}) = 4 \times (4 - 3) = 4$ .

Problème 4 · Polynôme de degré 4 et points cocycliques★★★Difficile

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. On rappelle que si

A

B

ont pour affixes

z_{A}

z_{B}

, le vecteur

\vec{A B}

a pour affixe

z_{B} - z_{A}

A B = | z_{B} - z_{A} |

. On considère

P (z) = z^{4} - 3 z^{2} + 12 z + 40

. Partie A : questions 1 à 3. Partie B : on note

A

B

C

D

les points d’affixes

2 + 2 i

2 - 2 i

- 2 + i

- 2 - i

1. Partie A. $(2 + 2 i)^{2} = k i$ avec $k =$ . Vérifier que $2 + 2 i$ est racine de $P$ .
$(2 + 2 i)^{2} = 4 + 8 i + 4 i^{2} = 8 i$ et $(2 + 2 i)^{4} = (8 i)^{2} = - 64$ . Donc $P (2 + 2 i)$ $= - 64 - 3 \times 8 i + 12 (2 + 2 i) + 40$ $= - 64 - 24 i + 24 + 24 i + 40 = 0$ .
2. Partie A. Justifier que $P (z)$ se factorise par $z^{2} - 4 z + 8$ , puis $P (z) = (z^{2} - 4 z + 8) (z^{2} + a z + b)$ avec $a =$ et $b =$
Rédaction attendue. Les coefficients de $P$ sont réels : $P (2 - 2 i) = \overset{―}{P (2 + 2 i)} = 0$ . Comme $P (2 + 2 i) = 0$ , $P (z) = (z - 2 - 2 i) Q (z)$ avec $Q$ de degré $3$ ; puis $0 = P (2 - 2 i) = - 4 i Q (2 - 2 i)$ , donc $Q (2 - 2 i) = 0$ et $Q (z) = (z - 2 + 2 i) R (z)$ avec $R$ de degré $2$ . Or $(z - 2 - 2 i) (z - 2 + 2 i) = (z - 2)^{2} - (2 i)^{2} = z^{2} - 4 z + 8$ . Ensuite $(z^{2} - 4 z + 8) (z^{2} + a z + b)$ $= z^{4} + (a - 4) z^{3} + (b - 4 a + 8) z^{2} + (8 a - 4 b) z + 8 b$ . Identification : $a - 4 = 0$ , donc $a = 4$ ; $b - 16 + 8 = - 3$ , donc $b = 5$ ; vérifications : $8 a - 4 b = 12$ et $8 b = 40$ .
3. Partie A. Résoudre $P (z) = 0$ : les deux solutions autres que $2 \pm 2 i$ ont pour partie réelle
$z^{2} - 4 z + 8 = 0$ : $Δ = - 16 = (4 i)^{2}$ , $z = 2 \pm 2 i$ . $z^{2} + 4 z + 5 = 0$ : $Δ = - 4 = (2 i)^{2}$ , $z = - 2 \pm i$ . $𝒮 = {2 + 2 i; 2 - 2 i; - 2 + i; - 2 - i}$ .
4. Partie B. Montrer que $A B D C$ est un trapèze isocèle. On trouve $B D^{2} =$
Rédaction attendue. $z_{B} - z_{A} = - 4 i$ et $z_{D} - z_{C} = - 2 i = \frac{1}{2} (z_{B} - z_{A})$ : $\vec{C D} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ , donc $(A B) ∥ (C D)$ avec $A B = 4$ et $C D = 2$ : $A B D C$ est un trapèze de bases $[A B]$ et $[C D]$ , et non un parallélogramme. Côtés non parallèles : $B D = | z_{D} - z_{B} | = | - 4 + i |$ , donc $B D^{2} = 16 + 1 = 17$ , et $A C = | z_{C} - z_{A} | = | - 4 - i |$ , donc $A C^{2} = 17$ . Ainsi $B D = A C = \sqrt{17}$ : le trapèze est isocèle.
5. Partie B. Soit $Ω$ le point d’affixe $ω$ réelle. $Ω A = Ω C$ si et seulement si $ω =$
$Ω A^{2} = | 2 + 2 i - ω |^{2} = (2 - ω)^{2} + 4$ et $Ω C^{2} = | - 2 + i - ω |^{2} = (2 + ω)^{2} + 1$ . Des distances positives sont égales si et seulement si leurs carrés le sont : $4 - 4 ω + ω^{2} + 4 = 4 + 4 ω + ω^{2} + 1$ $⟺ 3 = 8 ω ⟺ ω = \frac{3}{8}$ .
6. Partie B. En déduire que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont sur un même cercle de centre $Ω$ . Valeur approchée de son rayon au centième :
Rédaction attendue. Pour $ω = \frac{3}{8}$ réel : $Ω B = | \overset{―}{z_{A}} - ω | = | \overset{―}{z_{A} - ω} | = Ω A$ et, de même, $Ω D = Ω C$ . Avec la question précédente, $Ω A = Ω B = Ω C = Ω D$ . Rayon : $r^{2} = {(2 - \frac{3}{8})}^{2} + 4$ $= \frac{169}{64} + \frac{256}{64} = \frac{425}{64}$ , donc $r = \frac{5 \sqrt{17}}{8} \approx 2, 58$ .

Problème 5 · Une famille d’équations à paramètre★★★Difficile

Pour tout réel

m

, on considère

P_{m} (z) = z^{3} - (m + 1) z^{2} + (m + 4) z - 4

. Dans les questions 4 et 5, on rappelle que la distance entre les points d’affixes

z_{A}

z_{B}

est

| z_{B} - z_{A} |

1. Montrer que $1$ est racine de $P_{m}$ pour tout $m$ , puis $P_{m} (z) = (z - 1) (z^{2} + b z + c)$ avec $b =$ et $c =$ (en fonction de $m$ si besoin)
$P_{m} (1) = 1 - (m + 1) + (m + 4) - 4 = 0$ pour tout $m$ . Puis $(z - 1) (z^{2} + b z + c)$ $= z^{3} + (b - 1) z^{2} + (c - b) z - c$ . Identification : $b - 1 = - (m + 1)$ , donc $b = - m$ ; $c - b = m + 4$ , donc $c = 4$ ; vérification : $- c = - 4$ . $P_{m} (z) = (z - 1) (z^{2} - m z + 4)$ .
2. Discuter, selon $m$ , le nombre de solutions distinctes de $P_{m} (z) = 0$ . Nombre de valeurs de $m$ pour lesquelles il n’y en a que deux :
Rédaction attendue. Le trinôme $z^{2} - m z + 4$ a pour discriminant $Δ = m^{2} - 16$ , et il admet $1$ pour racine si et seulement si $1 - m + 4 = 0$ , soit $m = 5$ . Si $- 4 < m < 4$ : $Δ < 0$ , trois solutions distinctes, $1$ et deux complexes conjuguées non réelles. Si $m = 4$ : $(z - 2)^{2}$ , deux solutions, $1$ et $2$ . Si $m = - 4$ : $(z + 2)^{2}$ , deux solutions, $1$ et $- 2$ . Si $m < - 4$ ou $m > 4$ avec $m \neq 5$ : $Δ > 0$ , trois solutions réelles distinctes. Si $m = 5$ : $z^{2} - 5 z + 4 = (z - 1) (z - 4)$ , donc $P_{5} (z) = (z - 1)^{2} (z - 4)$ : deux solutions, $1$ (double) et $4$ . Trois valeurs donnent deux solutions : $- 4$ , $4$ et $5$ .
3. On suppose $- 4 < m < 4$ et on note $z_{1}$ , $z_{2}$ les solutions non réelles. Montrer sans les calculer que $| z_{1} | = | z_{2} | =$
Rédaction attendue. Le trinôme $z^{2} - m z + 4$ est à coefficients réels et de discriminant négatif, donc $z_{2} = \overset{―}{z_{1}}$ . Le produit des racines vaut $\frac{c}{a} = 4$ : $z_{1} \overset{―}{z_{1}} = | z_{1} |^{2} = 4$ , donc $| z_{1} | = | z_{2} | = 2$ .
4. Toujours pour $- 4 < m < 4$ , on note $A$ , $M_{1}$ , $M_{2}$ les points d’affixes $1$ , $z_{1}$ , $z_{2}$ , avec $I m (z_{1}) > 0$ . Montrer que $M_{1} M_{2}^{2} = 16 - m^{2}$ et $A M_{1}^{2} = 5 - m$ . Contrôle : pour $m = 2$ , $M_{1} M_{2}^{2} =$
Rédaction attendue. $Δ = - (16 - m^{2}) = {(i \sqrt{16 - m^{2}})}^{2}$ , donc $z_{1} = \frac{m}{2} + \frac{\sqrt{16 - m^{2}}}{2} i$ et $z_{2} = \overset{―}{z_{1}}$ . $M_{1} M_{2} = | z_{1} - z_{2} | = | i \sqrt{16 - m^{2}} | = \sqrt{16 - m^{2}}$ , d’où $M_{1} M_{2}^{2} = 16 - m^{2}$ . $A M_{1}^{2} = {(\frac{m}{2} - 1)}^{2} + \frac{16 - m^{2}}{4}$ $= \frac{m^{2}}{4} - m + 1 + 4 - \frac{m^{2}}{4} = 5 - m$ . Pour $m = 2$ : $M_{1} M_{2}^{2} = 16 - 4 = 12$ .
5. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles le triangle $A M_{1} M_{2}$ est équilatéral. La plus grande, arrondie au centième :
Rédaction attendue. $A M_{2} = | \overset{―}{z_{1}} - 1 | = | \overset{―}{z_{1} - 1} | = A M_{1}$ : le triangle est toujours isocèle en $A$ . Il est équilatéral si et seulement si $A M_{1} = M_{1} M_{2}$ , soit $5 - m = 16 - m^{2} ⟺ m^{2} - m - 11 = 0$ . $Δ = 1 + 44 = 45$ , donc $m = \frac{1 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$ . Or $\frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2} \approx 3, 85$ et $\frac{1 - 3 \sqrt{5}}{2} \approx - 2, 85$ appartiennent à $] - 4; 4 [$ : deux valeurs conviennent, la plus grande vaut environ $3, 85$ .

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