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Maths expertes (option Tle) Terminale

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Équations polynomiales à coefficients réels

Équations du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ, racines d'un polynôme, équations de degré 3 avec une racine connue

À propos de cette page
Ce devoir surveillé sur « Équations polynomiales à coefficients réels » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel, Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, Racine d'un polynôme et factorisation par z − α. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).
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Sujet et corrigé prêts à imprimer.

Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 120 min · Noté sur 20
120:00

Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Devoir surveillé · Maths expertes (option Tle)
Équations polynomiales à coefficients réels
Classe de Terminale
Durée : 120 min
Barème : / 20 points
Nom : ……………………………………………
Prénom : ……………………………………………

Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Télécharge le sujet en PDF, travaille sur une feuille sans aide, puis vérifie avec le corrigé téléchargeable ci-dessous.

Exercice 1 — Second degré dans ℂ

/ 4 pts
  1. Résoudre dans ℂ : z2+8z+25=0.
  2. Résoudre dans ℂ : 5z2−4z+1=0.
  3. Déterminer une équation du second degré à coefficients réels dont 6+i est solution.
  4. Un élève écrit : « Δ=−16<0, donc l'équation z2−10z+29=0 n'a pas de solution. » Expliquer l'erreur, puis résoudre l'équation dans ℂ.

Exercice 2 — Factorisation de zⁿ − aⁿ

/ 4 pts
  1. Factoriser z3−343 par z−7.
  2. Résoudre z3=343 dans ℂ.
  3. Factoriser z6−1 par z−1.
  4. Justifier que l'équation z6=1 a au plus six solutions dans ℂ, et en donner deux réelles.

Exercice 3 — Degré 3 : racine à deviner

/ 4 pts
  1. Soit P(z)=z3+7z2+17z+11. Déterminer une racine entière de P.
  2. Déterminer les réels b et c tels que, pour tout z, P(z)=(z+1)(z2+bz+c).
  3. Résoudre P(z)=0 dans ℂ.
  4. Montrer que les deux solutions non réelles ont le même module et le calculer.

Exercice 4 — Degré 4 : racine non réelle connue

/ 4 pts
  1. Soit P(z)=z4−2z3+18z2−2z+17. Calculer P(i).
  2. Justifier que −i est aussi racine de P.
  3. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout z, P(z)=(z2+1)(z2+az+b).
  4. Résoudre P(z)=0 dans ℂ.

Exercice 5 — Paramètre et nombre de racines

/ 4 pts
  1. Soit k un réel et P(z)=z3+kz2+25z+50. Exprimer P(5i) en fonction de k.
  2. En déduire la valeur de k pour laquelle 5i est racine de P.
  3. Pour cette valeur de k, factoriser P(z) et résoudre P(z)=0 dans ℂ.
  4. Existe-t-il un polynôme de degré 3 qui s'annule en 5i, −5i, −2 et 1 ? Justifier.

Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Équations polynomiales à coefficients réels » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

  • Exercice 1 — Second degré dans ℂ/ 4 pts
  • Exercice 2 — Factorisation de zⁿ − aⁿ/ 4 pts
  • Exercice 3 — Degré 3 : racine à deviner/ 4 pts
  • Exercice 4 — Degré 4 : racine non réelle connue/ 4 pts
  • Exercice 5 — Paramètre et nombre de racines/ 4 pts

Notions évaluées

L'essentiel, Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, Racine d'un polynôme et factorisation par z − α, Un polynôme de degré n a au plus n racines, Méthodes : résoudre une équation polynomiale.

Pour préparer ce contrôle

  1. Relire le cours.
  2. Refaire les exercices corrigés.
  3. Se tester avec le QCM (24 questions).
  4. Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet
Combien de temps dure ce contrôle sur « Équations polynomiales à coefficients réels » ?
120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?
Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Équations polynomiales à coefficients réels » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit L'essentiel, Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, Racine d'un polynôme et factorisation par z − α.
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