Équations polynomiales

1. a)$3-4+1=0$, donc $1$ est racine. Le produit des racines vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, donc l’autre racine est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ (contrôle par la somme : $1+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$). Factorisation : $3x^2-4x+1$ $=3(x-1)(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})$ $=(x-1)(3x-1)$. (1)
2. b)$\Delta =64-100=-36=(6i{)}^2$. Les coefficients sont réels et $\Delta <0$ : deux solutions conjuguées $z={\displaystyle \frac{-8\pm 6i}{2}}$, soit $𝒮=\{-4+3i;-4-3i\}$. Contrôle : produit $16+9=25$. (1)
3. c)$\Delta =16-20=-4=(2i{)}^2$, donc $z={\displaystyle \frac{4\pm 2i}{10}}$ et $𝒮=\left\{{\displaystyle \frac{2+i}{5}};{\displaystyle \frac{2-i}{5}}\right\}$. Contrôle : produit ${\displaystyle \frac{4+1}{25}}={\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$. (1)
4. d)« Pas de solution » n’est vrai que dans $ℝ$. Dans $ℂ$, un discriminant négatif s’écrit comme un carré : $-16=(4i{)}^2$. Les solutions sont $z={\displaystyle \frac{10\pm 4i}{2}}$, soit $𝒮=\{5+2i;5-2i\}$. Contrôle : produit $25+4=29$. (1)

Repère — Dans $ℂ$, une équation du second degré à coefficients réels a toujours des solutions : deux conjuguées si $\Delta <0$.

1. a)$343=7^3$. Avec $n=3$ et $a=7$ : $z^3-343=(z-7)(z^2+7z+49)$. (1)
2. b)Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : $z=7$ ou $z^2+7z+49=0$. Pour ce trinôme, $\Delta =49-196=-147={\left(7i\sqrt{3}\right)}^2$, donc $z={\displaystyle \frac{-7\pm 7i\sqrt{3}}{2}}$. $𝒮=\left\{7;{\displaystyle \frac{-7+7i\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{-7-7i\sqrt{3}}{2}}\right\}$. (1)
3. c)On écrit $Q(z)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n-1}{a}^k{z}^{n-1-k}}$ et on développe : $(z-a)Q(z)$ $={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n-1}{a}^k{z}^{n-k}}$ $-{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n-1}{a}^{k+1}{z}^{n-1-k}}$. Dans la seconde somme, on pose $j=k+1$ : elle s’écrit ${\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}^j{z}^{n-j}}$. Les termes d’indice $1$ à $n-1$ figurent dans les deux sommes et s’éliminent. Il reste le terme $k=0$ de la première, $z^n$, et le terme $j=n$ de la seconde, $a^n$ : le produit vaut $z^n-a^n$. (1)
4. d)$z^6=1⟺z^6-1=0$, et $z^6-1$ est un polynôme de degré $6$ : il a au plus $6$ racines, donc l’équation a au plus $6$ solutions. Comme $1^6=1$ et $(-1{)}^6=1$, les réels $1$ et $-1$ sont solutions. (1)

Repère — Pour résoudre $z^n=a^n$, on factorise par $z-a$ : une solution est $a$, les autres annulent le second facteur.

1. a)$P(-1)=-1+7-17+11=0$ : $-1$ est racine de $P$. (1)
2. b)Pour tout $z$, $(z+1)(z^2+bz+c)$ $=z^3+(b+1)z^2+(c+b)z+c$. Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : $b+1=7$, donc $b=6$ ; $c=11$ ; vérification : $c+b=17$. Ainsi $P(z)=(z+1)(z^2+6z+11)$. (1)
3. c)$z=-1$ ou $z^2+6z+11=0$. Pour ce trinôme, $\Delta =36-44=-8={\left(2i\sqrt{2}\right)}^2$, donc $z={\displaystyle \frac{-6\pm 2i\sqrt{2}}{2}}=-3\pm i\sqrt{2}$. $𝒮=\{-1;-3+i\sqrt{2};-3-i\sqrt{2}\}$. (1)
4. d)Les solutions $-3+i\sqrt{2}$ et $-3-i\sqrt{2}$ sont conjuguées, donc de même module. Leur produit vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}=11$ et $z\bar{z}=|z{|}^2$, d’où $|z{|}^2=11$ et $|z|=\sqrt{11}$. Contrôle : $9+2=11$. (1)

Repère — Pour deviner une racine entière d’un polynôme unitaire à coefficients entiers, on teste les diviseurs du terme constant.

1. a)$i^2=-1$, $i^3=-i$ et $i^4=1$, donc $P(i)=1+2i-18-2i+17=0$. (1)
2. b)Les coefficients de $P$ sont réels, donc $\overline{P(z)}=P\left(\bar{z}\right)$ pour tout $z$. Ainsi $P(-i)=P\left(\bar{i}\right)=\overline{P(i)}=\bar{0}=0$ : $-i$ est racine. (1)
3. c)$P$ se factorise par $(z-i)(z+i)=z^2+1$. Pour tout $z$, $(z^2+1)(z^2+az+b)$ $=z^4+a{z}^3+(b+1)z^2+az+b$. Identification : $a=-2$ et $b=17$ ; vérification : $b+1=18$. (1)
4. d)$z^2+1=0$ donne $z=\pm i$. $z^2-2z+17=0$ : $\Delta =4-68=-64=(8i{)}^2$, $z={\displaystyle \frac{2\pm 8i}{2}}=1\pm 4i$. $𝒮=\{i;-i;1+4i;1-4i\}$ : quatre solutions, le maximum pour un degré $4$. (1)

Repère — Racine non réelle $\alpha$ et coefficients réels : on factorise d’un coup par $(z-\alpha )(z-\bar{\alpha })$, trinôme à coefficients réels.

1. a)$(5i{)}^2=-25$ et $(5i{)}^3=-125i$, donc $P(5i)$ $=-125i-25k+125i+50$ $=50-25k$. (1)
2. b)$5i$ est racine si et seulement si $P(5i)=0$, c’est-à-dire $50-25k=0$, soit $k=2$. (1)
3. c)Pour $k=2$ : $P(z)=z^3+2z^2+25z+50$ $=z^2(z+2)+25(z+2)$ $=(z+2)(z^2+25)$. Puis $z^2+25=(z-5i)(z+5i)$. $𝒮=\{-2;5i;-5i\}$. (1)
4. d)Non. Un polynôme de degré $3$ a au plus $3$ racines. S’il s’annulait en quatre nombres distincts, ce serait le polynôme nul, qui n’est pas de degré $3$. (1)

Repère — « Au plus $n$ racines » : un polynôme de degré au plus $n$ qui a $n+1$ racines est nul.