Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Nombres complexes et transformations du plan
Translations, rotations, homothéties et similitudes vues à travers les nombres complexes
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Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
L'affixe d'un point $M(3,-2)$ dans le repère orthonormal est :
- A. $3+2i$
- B. $3-2i$
- C. $-3+2i$
- D. $-2+3i$
Réponse
B. $3-2i$ — L'affixe de $(x,y)$ est $x+iy = 3+(-2)i = 3-2i$.
La translation de vecteur $\vec{t}$ d'affixe $b$ s'écrit :
- A. $z'=bz$
- B. $z'=z+b$
- C. $z'=z\cdot\bar{b}$
- D. $z'=\frac{z}{b}$
Réponse
B. $z'=z+b$ — Une translation additionne l'affixe du vecteur.
La rotation de centre $O$ d'angle $\theta$ s'écrit :
- A. $z'=z+e^{i\theta}$
- B. $z'=\bar{z}e^{i\theta}$
- C. $z'=e^{i\theta}z$
- D. $z'=iz+\theta$
Réponse
C. $z'=e^{i\theta}z$ — Rotation de centre $O$ : multiplication par $e^{i\theta}$.
Si $f:z'=3z+2i$, le rapport de la similitude $f$ est :
- A. $3$
- B. $2$
- C. $\sqrt{13}$
- D. $|2i|=2$
Réponse
A. $3$ — Le rapport est $|a|=|3|=3$.
La rotation d'angle $\pi/2$ appliquée à $z=1$ donne :
- A. $-1$
- B. $i$
- C. $1$
- D. $-i$
Réponse
B. $i$ — $e^{i\pi/2}\cdot 1 = i$.
L'homothétie de centre $O$ de rapport $2$ s'écrit :
- A. $z'=z+2$
- B. $z'=2\bar{z}$
- C. $z'=2z$
- D. $z'=z/2$
Réponse
C. $z'=2z$ — Homothétie de centre $O$ : multiplication par le rapport réel.
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est :
- A. $z_A+z_B$
- B. $z_A-z_B$
- C. $z_B-z_A$
- D. $\frac{z_A+z_B}{2}$
Réponse
C. $z_B-z_A$ — $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.
La translation de vecteur d'affixe $i$ envoie $M(1+2i)$ sur :
- A. $1+i$
- B. $1+3i$
- C. $2+2i$
- D. $i+2i$
Réponse
B. $1+3i$ — $(1+2i)+i=1+3i$.
Si $a=e^{i\pi/4}$, le rapport de la similitude $z'=az$ est :
- A. $\pi/4$
- B. $1$
- C. $\sqrt{2}$
- D. $\cos(\pi/4)$
Réponse
B. $1$ — $|e^{i\pi/4}|=1$ car tout exponentiel imaginaire a module $1$.
La rotation d'angle $0$ est :
- A. La symétrie centrale
- B. L'identité
- C. La symétrie axiale
- D. Une translation
Réponse
B. L'identité — $e^{0}=1$, donc $z'=z$ : c'est l'identité.
L'homothétie de rapport $-1$ de centre $\Omega$ est :
- A. Une rotation d'angle $\pi/2$
- B. Une translation
- C. La symétrie centrale de centre $\Omega$
- D. Une homothétie de rapport $1$
Réponse
C. La symétrie centrale de centre $\Omega$ — Rapport $-1$ : $z'-z_\Omega=-(z-z_\Omega)$, soit la symétrie centrale de centre $\Omega$.
Si $f:z'=iz$ et $M$ a pour affixe $-1+i$, l'affixe de $f(M)$ est :
- A. $-1-i$
- B. $i(-1+i)=-1i+i^2=-i-1$
- C. $1+i$
- D. $-1+i$
Réponse
B. $i(-1+i)=-1i+i^2=-i-1$ — $i(-1+i)=-i+i^2=-i-1=-1-i$.
Niveau moyen — 12 questions
Soit $f:z'=iz+(1-i)$. L'angle de $f$ est :
- A. $0$
- B. $\pi/4$
- C. $\pi/2$
- D. $\pi$
Réponse
C. $\pi/2$ — $a=i$, $\arg(i)=\pi/2$.
Soit $f:z'=iz+(1-i)$. L'affixe du centre de $f$ est :
- A. $1-i$
- B. $1$
- C. $1+i$
- D. $-1+i$
Réponse
B. $1$ — $z_\Omega=\frac{1-i}{1-i}=1$.
Le module de $z_A-z_B$ représente :
- A. L'angle $\widehat{AOB}$
- B. La distance $AB$
- C. L'abscisse de $A$
- D. Le milieu de $[AB]$
Réponse
B. La distance $AB$ — $|z_A-z_B|$ est la distance entre $A$ et $B$.
La similitude $f:z'=(1+i)z+2$ a pour rapport :
- A. $1$
- B. $\sqrt{2}$
- C. $2$
- D. $1+i$
Réponse
B. $\sqrt{2}$ — $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
Soit $g:z'=2e^{i\pi/3}z$. L'angle de $g$ est :
- A. $2$
- B. $\pi/6$
- C. $\pi/3$
- D. $2\pi/3$
Réponse
C. $\pi/3$ — $\arg(2e^{i\pi/3})=\pi/3$ (le module $2$ ne change pas l'argument).
La rotation de centre $\Omega(2,0)$ d'angle $\pi$ envoie $M(5,0)$ sur :
- A. $(5,0)$
- B. $(-1,0)$
- C. $(2,0)$
- D. $(-5,0)$
Réponse
B. $(-1,0)$ — $z_{M'}-2=e^{i\pi}(5-2)=-3$, donc $z_{M'}=2-3=-1$.
L'écriture complexe de l'homothétie de centre $\Omega(1)$ de rapport $3$ est :
- A. $z'=3z$
- B. $z'=3z-2$
- C. $z'=3z+1$
- D. $z'=3(z-1)+1$
Réponse
B. $z'=3z-2$ — $z'-1=3(z-1)$ donc $z'=3z-3+1=3z-2$.
$ABCD$ est un parallélogramme direct si et seulement si :
- A. $z_A-z_B=z_C-z_D$
- B. $z_A+z_C=z_B+z_D$
- C. $z_A z_C=z_B z_D$
- D. $|z_A|=|z_C|$
Réponse
B. $z_A+z_C=z_B+z_D$ — Diagonales confondues en leur milieu : $\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{z_B+z_D}{2}$.
Soit $f:z'=(1+i)z+b$ avec centre $\Omega(2i)$. L'affixe $b$ vaut :
- A. $2+2i$
- B. $2-2i$
- C. $2i$
- D. $-2+2i$
Réponse
A. $2+2i$ — $b=z_\Omega(1-a)=2i(1-(1+i))=2i(-i)=-2i^2=2$.
L'angle de la similitude directe $z'=(-1+i)z+3$ est :
- A. $\pi/4$
- B. $3\pi/4$
- C. $\pi/2$
- D. $-\pi/4$
Réponse
B. $3\pi/4$ — $\arg(-1+i)=\pi-\pi/4=3\pi/4$.
Quelle transformation est $f:z'=e^{i\pi}z+4=−z+4$ ?
- A. Translation
- B. Homothétie de rapport $1$
- C. Rotation d'angle $\pi$ de centre $2$
- D. Rotation d'angle $\pi$ de centre $4$
Réponse
C. Rotation d'angle $\pi$ de centre $2$ — $|a|=1$, angle $\pi$ : rotation. Centre : $\frac{4}{1-(-1)}=2$.
L'homothétie de centre $O$ de rapport $\sqrt{2}$ multiplie les distances par :
- A. $2$
- B. $\sqrt{2}$
- C. $1/\sqrt{2}$
- D. $\sqrt{2}/2$
Réponse
B. $\sqrt{2}$ — Le rapport d'une homothétie multiplie les distances par $|k|=\sqrt{2}$.
Niveau difficile — 13 questions
Soient $f:z'=iz+1$ et $g:z'=iz-1$. L'écriture de $g\circ f$ est :
- A. $z'=iz$
- B. $z'=-z+i-1$
- C. $z'=-z$
- D. $z'=iz+i-1$
Réponse
B. $z'=-z+i-1$ — $g(f(z))=i(iz+1)-1=i^2z+i-1=-z+i-1$.
Soit $h=g\circ f$ avec $a=-1$ (d'après question précédente). Quel est le type de $h$ ?
- A. Homothétie de rapport $1$
- B. Rotation d'angle $\pi$
- C. Translation
- D. Similitude non isométrique
Réponse
B. Rotation d'angle $\pi$ — $|{-1}|=1$ et $\arg(-1)=\pi$ : rotation d'angle $\pi$ (symétrie centrale).
$ABC$ est équilatéral direct si et seulement si :
- A. $z_C-z_A=i(z_B-z_A)$
- B. $z_C-z_A=e^{i\pi/3}(z_B-z_A)$
- C. $|z_A|=|z_B|=|z_C|$
- D. $z_A+z_B+z_C=0$
Réponse
B. $z_C-z_A=e^{i\pi/3}(z_B-z_A)$ — La rotation de $60°$ de $A$ autour de lui-même envoie $B$ sur $C$ dans le cas équilatéral direct.
La similitude $f:z'=az+b$ admet un point fixe unique si et seulement si :
- A. $a=0$
- B. $a=1$
- C. $a\neq 1$
- D. $b=0$
Réponse
C. $a\neq 1$ — Point fixe : $z_\Omega=b/(1-a)$, défini seulement si $a\neq 1$.
La composée de deux rotations de centre $O$ d'angles $\alpha$ et $\beta$ est :
- A. Une rotation d'angle $\alpha-\beta$
- B. Une rotation d'angle $\alpha\beta$
- C. Une rotation d'angle $\alpha+\beta$
- D. Une homothétie
Réponse
C. Une rotation d'angle $\alpha+\beta$ — $e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ : l'angle s'additionne.
La composée de deux homothéties de centre $O$ de rapports $k_1$ et $k_2$ est :
- A. Une homothétie de rapport $k_1+k_2$
- B. Une homothétie de rapport $k_1 k_2$
- C. Une translation
- D. Une similitude de rapport $|k_1-k_2|$
Réponse
B. Une homothétie de rapport $k_1 k_2$ — $k_1 z$ puis $k_2(k_1 z)=k_1 k_2 z$ : les rapports se multiplient.
Si $f:z'=az+b$ vérifie $f\circ f=\text{Id}$, alors nécessairement :
- A. $a=1$ et $b=0$
- B. $a^2=1$ et $a b+b=0$
- C. $|a|=1$
- D. $a=i$
Réponse
B. $a^2=1$ et $a b+b=0$ — $f(f(z))=a(az+b)+b=a^2z+ab+b=z$ implique $a^2=1$ et $b(a+1)=0$.
Un carré $ABCD$ direct se caractérise par :
- A. $z_B-z_A=i(z_D-z_A)$
- B. $z_D-z_A=i(z_B-z_A)$
- C. $z_B-z_A=i(z_C-z_A)$
- D. $z_C-z_A=i(z_B-z_A)$
Réponse
B. $z_D-z_A=i(z_B-z_A)$ — On passe de $\overrightarrow{AB}$ à $\overrightarrow{AD}$ par rotation $+\pi/2$ : $z_D-z_A=i(z_B-z_A)$.
Si $f:z'=(1+i)z+b$ est une rotation (isométrie), que peut-on dire du rapport ?
- A. Le rapport est $\sqrt{2}$
- B. Le rapport est $1$, ce qui est impossible ici
- C. Le rapport est $1+i$
- D. Ce n'est pas possible
Réponse
D. Ce n'est pas possible — $|1+i|=\sqrt{2}\neq 1$, donc $f$ ne peut pas être une rotation : c'est impossible.
Le centre d'une similitude directe $f:z'=az+b$ ($a\neq 1$) appartient à quel ensemble ?
- A. Droite réelle
- B. Plan complexe $\mathbb{C}$
- C. Cercle unité
- D. Droite imaginaire pure
Réponse
B. Plan complexe $\mathbb{C}$ — $z_\Omega=b/(1-a)\in\mathbb{C}$ quelconque.
Soit $f:z'=e^{i\pi/3}z+1-e^{i\pi/3}$. Le centre est :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $i$
- D. $e^{i\pi/3}$
Réponse
B. $1$ — $z_\Omega=\frac{1-e^{i\pi/3}}{1-e^{i\pi/3}}=1$.
Soit $f:z'=2iz-1+i$. La distance du point $A(0)$ à son image $A'$ vaut :
- A. $1$
- B. $\sqrt{2}$
- C. $2$
- D. $\sqrt{5}$
Réponse
B. $\sqrt{2}$ — $z_{A'}=2i\cdot 0-1+i=-1+i$, $|{-1+i}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.
Deux similitudes directes $f$ et $g$ de rapports $r_1$ et $r_2$ et d'angles $\theta_1,\theta_2$ : le rapport de $g\circ f$ est :
- A. $r_1+r_2$
- B. $r_1 r_2$
- C. $r_1/r_2$
- D. $|r_1-r_2|$
Réponse
B. $r_1 r_2$ — Le coefficient multiplicateur de $g\circ f$ est $a_2 a_1$, de module $|a_1||a_2|=r_1 r_2$.
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