Je réserve ici
Maths expertes (option Tle) Terminale

Ressources · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Nombres complexes et géométrie

Rappels de géométrie repérée, affixes d’un point et d’un vecteur, distances et module, angles orientés et argument du quotient (c − a)/(b − a), alignement et orthogonalité, ensembles de points, translations, homothéties, rotations et exemples de similitudes, racines de l’unité et polygones réguliers.

À propos de cette page
Un QCM de géométrie avec les nombres complexes, en trois niveaux de douze questions : affixes, distances et écritures des transformations, puis centres, angles et médiatrices, enfin les pièges des arguments, des ensembles définis par un quotient et des polygones réguliers. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Si z_A = 3 + 7i et z_B = −2 + 4i, l’affixe du vecteur AB est :

    • A. −5 − 3i
    • B. 5 + 3i
    • C. −5 + 3i
    • D. 1 + 11i
    Réponse

    A. −5 − 3i — z_AB = z_B − z_A = (−2 + 4i) − (3 + 7i) = −5 − 3i : arrivée moins départ. 5 + 3i est l’affixe de BA, et 1 + 11i une somme.

  2. Si z_A = −2 + i et z_B = 1 + 5i, la distance AB vaut :

    • A. √7
    • B. 7
    • C. 5
    • D. 25
    Réponse

    C. 5 — z_B − z_A = 3 + 4i, donc AB = |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5. 25 est AB² (racine carrée oubliée) et 7 la somme 3 + 4.

  3. L’écriture complexe de la translation de vecteur d’affixe −3 + 2i est :

    • A. z′ = −3z + 2i
    • B. z′ = (−3 + 2i)z
    • C. z′ = z + 3 − 2i
    • D. z′ = z − 3 + 2i
    Réponse

    D. z′ = z − 3 + 2i — Une translation de vecteur d’affixe b s’écrit z′ = z + b, ici z′ = z − 3 + 2i. Un coefficient devant z donnerait une homothétie ou une rotation.

  4. Si z_A = 4 − 6i et z_B = −2 + 10i, le milieu de [AB] a pour affixe :

    • A. 2 + 4i
    • B. 1 + 2i
    • C. 3 − 8i
    • D. −3 + 8i
    Réponse

    B. 1 + 2i — (z_A + z_B)/2 = (2 + 4i)/2 = 1 + 2i : on divise la somme par 2. 2 + 4i est la somme non divisée.

  5. L’écriture complexe de la rotation de centre O et d’angle π est :

    • A. z′ = −z
    • B. z′ = iz
    • C. z′ = z̄
    • D. z′ = −iz
    Réponse

    A. z′ = −z — e^(iπ) = −1, donc z′ = −z : c’est la symétrie de centre O. z′ = iz est la rotation d’angle π/2, et z′ = z̄ une symétrie d’axe.

  6. L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z − 3 + i| = 2 est :

    • A. le cercle de centre −3 + i, rayon 2
    • B. le cercle de centre 3 − i, rayon 4
    • C. le cercle de centre 3 − i, rayon 2
    • D. le disque de centre 3 − i, rayon 2
    Réponse

    C. le cercle de centre 3 − i, rayon 2 — |z − (3 − i)| = 2 signifie ΩM = 2 avec ω = 3 − i : cercle de rayon 2. Le disque correspondrait à « ≤ 2 ».

  7. L’écriture complexe de l’homothétie de centre O et de rapport −4 est :

    • A. z′ = 4z
    • B. z′ = z − 4
    • C. z′ = −z/4
    • D. z′ = −4z
    Réponse

    D. z′ = −4z — z′ − 0 = k(z − 0) avec k = −4, donc z′ = −4z. z′ = z − 4 est une translation.

  8. Trois points A, B, C deux à deux distincts sont alignés si et seulement si (z_C − z_A)/(z_B − z_A) est :

    • A. un imaginaire pur
    • B. un nombre réel
    • C. de module 1
    • D. d’argument π/2
    Réponse

    B. un nombre réel — Le quotient est réel quand son argument vaut 0 modulo π, c’est-à-dire quand AB et AC sont colinéaires. Imaginaire pur ou d’argument π/2 : angle droit en A ; module 1 : AB = AC.

  9. Le symétrique du point d’affixe z par rapport à l’axe des abscisses a pour affixe :

    • A. −z
    • B. z̄
    • C. −z̄
    • D. iz
    Réponse

    B. z̄ — L’image du conjugué est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses : même partie réelle, partie imaginaire opposée. −z donne la symétrie de centre O, −z̄ celle d’axe des ordonnées.

  10. Le centre de gravité du triangle de sommets d’affixes 2i, 3 et −6 − 5i a pour affixe :

    • A. −3 − 3i
    • B. −3/2 − 3/2 i
    • C. 1 + i
    • D. −1 − i
    Réponse

    D. −1 − i — (2i + 3 − 6 − 5i)/3 = (−3 − 3i)/3 = −1 − i. On divise la somme par 3, et non par 2 comme pour un milieu.

  11. Pour A(2 − i) et B(5 + 2i), une mesure de l’angle orienté (u ; AB) est :

    • A. π/2
    • B. −π/4
    • C. π/4
    • D. 3π/4
    Réponse

    C. π/4 — z_B − z_A = 3 + 3i, d’argument π/4 (partie réelle et partie imaginaire égales et positives).

  12. Les images des éléments de 𝕌₄ = {1 ; i ; −1 ; −i} sont les sommets :

    • A. d’un carré de côté 1
    • B. d’un carré de côté 2
    • C. d’un losange qui n’est pas un carré
    • D. d’un carré de côté √2
    Réponse

    D. d’un carré de côté √2 — Les quatre points sont sur le cercle de rayon 1, chacun obtenu à partir du précédent en multipliant par i : c’est un carré, de côté |i − 1| = √2. Le côté 2 est la diagonale.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. La transformation z ↦ 3z − 4 + 8i est une homothétie dont le centre a pour affixe :

    • A. −2 + 4i
    • B. 2 − 4i
    • C. 4 − 8i
    • D. −4 + 8i
    Réponse

    B. 2 − 4i — ω = b/(1 − a) = (−4 + 8i)/(1 − 3) = (−4 + 8i)/(−2) = 2 − 4i. Contrôle : 3(2 − 4i) − 4 + 8i = 2 − 4i.

  2. L’image du point d’affixe 2 + 3i par la rotation de centre O et d’angle π/2 a pour affixe :

    • A. 3 − 2i
    • B. 2 − 3i
    • C. −3 + 2i
    • D. −2 − 3i
    Réponse

    C. −3 + 2i — z′ = i(2 + 3i) = 2i + 3i² = −3 + 2i. 3 − 2i correspond à l’angle −π/2.

  3. La transformation z ↦ −3iz + 1 a pour :

    • A. rapport 3 et angle π/2
    • B. rapport −3 et angle π/2
    • C. rapport 9 et angle −π/2
    • D. rapport 3 et angle −π/2
    Réponse

    D. rapport 3 et angle −π/2 — |−3i| = 3 et −3i = 3e^(−iπ/2) : rapport 3 et angle −π/2. Un rapport de similitude est un module, donc toujours positif.

  4. L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z − 1 − 4i| = |z − 5 − 4i| est :

    • A. la droite d’équation x = 3
    • B. la droite d’équation y = 3
    • C. la droite d’équation y = 4
    • D. le cercle de centre 3 + 4i, de rayon 2
    Réponse

    A. la droite d’équation x = 3 — C’est la médiatrice de [AB] avec z_A = 1 + 4i et z_B = 5 + 4i : A et B ont la même ordonnée, la médiatrice est verticale et passe par le milieu, d’affixe 3 + 4i.

  5. Si (z_C − z_A)/(z_B − z_A) = −2i, alors le triangle ABC vérifie :

    • A. (AB) ⊥ (AC) et AC = 2AB
    • B. il est équilatéral de côté 2
    • C. AC = AB et un angle de π/4 en A
    • D. A, B et C sont alignés
    Réponse

    A. (AB) ⊥ (AC) et AC = 2AB — |−2i| = 2 donne AC/AB = 2, et −2i est imaginaire pur, donc l’angle en A est droit.

  6. Le point invariant de z ↦ (1/3)z + 4 − 2i a pour affixe :

    • A. 2 − i
    • B. −6 + 3i
    • C. 6 − 3i
    • D. 12 − 6i
    Réponse

    C. 6 − 3i — ω = (4 − 2i)/(1 − 1/3) = (4 − 2i)/(2/3) = 3(4 − 2i)/2 = 6 − 3i.

  7. Un polygone régulier à n sommets est inscrit dans un cercle de rayon r. Son côté vaut :

    • A. r sin(2π/n)
    • B. 2r sin(2π/n)
    • C. 2r sin(π/n)
    • D. 2πr/n
    Réponse

    C. 2r sin(π/n) — Côté = r|e^(2iπ/n) − 1| = 2r sin(π/n), par la factorisation par l’angle moitié. 2πr/n est la longueur d’un arc, pas d’une corde.

  8. L’écriture complexe de la rotation de centre d’affixe −1 + 3i et d’angle −π/2 est :

    • A. z′ = −iz + 4 − 2i
    • B. z′ = iz − 4 + 2i
    • C. z′ = −iz − 2 + 4i
    • D. z′ = −iz − 4 + 2i
    Réponse

    D. z′ = −iz − 4 + 2i — z′ = −i(z − (−1 + 3i)) + (−1 + 3i) = −iz − i − 3 − 1 + 3i = −iz − 4 + 2i.

  9. Si z_B − z_A = 1 + i et z_D − z_C = −2 + 2i, une mesure de (AB ; CD) est :

    • A. π/2
    • B. −π/2
    • C. π/4
    • D. 3π/4
    Réponse

    A. π/2 — (z_D − z_C)/(z_B − z_A) = (−2 + 2i)/(1 + i) = 2i, d’argument π/2. Inverser le quotient donnerait −π/2. 3π/4 est l’argument de CD seul.

  10. L’ensemble des points M d’affixe z tels que |2z − 4 + 6i| = 8 est le cercle :

    • A. de centre 2 − 3i et de rayon 8
    • B. de centre −2 + 3i et de rayon 4
    • C. de centre 4 − 6i et de rayon 8
    • D. de centre 2 − 3i et de rayon 4
    Réponse

    D. de centre 2 − 3i et de rayon 4 — On factorise : |2z − 4 + 6i| = 2|z − (2 − 3i)|, donc |z − (2 − 3i)| = 4 : centre 2 − 3i, rayon 8/2 = 4.

  11. Les vecteurs w et t ont pour affixes a = 2 + i et b = −1 + 2i. Le nombre ā b vaut :

    • A. −4 + 3i
    • B. 5i
    • C. 5
    • D. −5i
    Réponse

    B. 5i — ā b = (2 − i)(−1 + 2i) = −2 + 4i + i − 2i² = 5i : partie réelle nulle, donc w ⊥ t. −4 + 3i est le produit ab sans conjugué, −5i le produit a b̄.

  12. Un hexagone régulier a pour centre Ω(1 − i) et pour sommet A(4 − i). Son périmètre vaut :

    • A. 36
    • B. 18
    • C. 9√3
    • D. 18√3
    Réponse

    B. 18 — Le rayon vaut ΩA = |3| = 3 ; dans un hexagone régulier, le côté est égal au rayon, donc le périmètre vaut 6 × 3 = 18.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. La transformation z ↦ −5z + 2 − i est :

    • A. une rotation d’angle π
    • B. une homothétie de rapport −5
    • C. une similitude d’angle π/2
    • D. une translation de vecteur d’affixe 2 − i
    Réponse

    B. une homothétie de rapport −5 — Le coefficient −5 est réel et différent de 1 : c’est une homothétie de rapport −5. Seul le rapport −1 serait aussi une rotation d’angle π.

  2. Pour A ≠ B et C ≠ D, arg((z_D − z_C)/(z_B − z_A)) est une mesure de l’angle :

    • A. (CD ; AB)
    • B. (u ; AB)
    • C. (AB ; CD)
    • D. (AC ; BD)
    Réponse

    C. (AB ; CD) — Le vecteur d’arrivée de l’angle est au numérateur : (AB ; CD). Inverser le quotient donnerait l’angle opposé (CD ; AB).

  3. Trois points distincts A, B, C sont alignés si et seulement si arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) est :

    • A. égal à 0 exactement
    • B. congru à 0 modulo 2π
    • C. congru à π/2 modulo π
    • D. congru à 0 modulo π
    Réponse

    D. congru à 0 modulo π — Un quotient réel négatif (argument π, A entre B et C) correspond aussi à des points alignés : la congruence est modulo π.

  4. Avec z_A = 3 et z_B = −2i, l’ensemble des M d’affixe z ≠ −2i tels que (z − 3)/(z + 2i) soit imaginaire pur non nul est :

    • A. la médiatrice du segment [AB] tout entière
    • B. la droite (AB) privée de A et de B
    • C. le cercle de diamètre [AB] privé de A et B
    • D. le cercle de centre A passant par le point B
    Réponse

    C. le cercle de diamètre [AB] privé de A et B — Un argument congru à π/2 modulo π signifie que l’angle AMB est droit : cercle de diamètre [AB], sans A (quotient non nul) ni B (dénominateur nul).

  5. Si f(z) = az + b avec a ≠ 1, le centre de f a pour affixe :

    • A. b/(a − 1)
    • B. b/(1 − a)
    • C. −b/(1 + a)
    • D. a/(1 − b)
    Réponse

    B. b/(1 − a) — On résout ω = aω + b, soit ω(1 − a) = b, d’où ω = b/(1 − a). Le choix b/(a − 1) est son opposé : erreur de signe.

  6. La composée de la rotation d’angle π/3 et de l’homothétie de rapport −2, de même centre Ω, est :

    • A. une similitude de rapport −2 et d’angle π/3
    • B. une rotation d’angle 4π/3
    • C. une homothétie de rapport 2 et de centre Ω
    • D. une similitude de rapport 2 et d’angle 4π/3
    Réponse

    D. une similitude de rapport 2 et d’angle 4π/3 — Le coefficient vaut −2e^(iπ/3) = 2e^(iπ)e^(iπ/3) = 2e^(4iπ/3) : rapport 2 (un module) et angle 4π/3.

  7. Pour n ≥ 3, les images des racines n-ièmes de l’unité forment :

    • A. un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1
    • B. un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle de centre O et de rayon n
    • C. un polygone régulier à n − 1 côtés, inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1
    • D. un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle de centre 1 et de rayon 1
    Réponse

    A. un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1 — Les n racines ont pour module 1 et se déduisent l’une de l’autre par la rotation de centre O et d’angle 2π/n. Le point d’affixe 1 est un sommet, pas le centre.

  8. Le triangle ABC est équilatéral, parcouru dans le sens direct, si et seulement si :

    • A. z_C − z_A = e^(iπ/2)(z_B − z_A)
    • B. z_C − z_A = e^(iπ/3)(z_B − z_A)
    • C. z_C + z_A = e^(iπ/3)(z_B + z_A)
    • D. z_C − z_A = (1/2)(z_B − z_A)
    Réponse

    B. z_C − z_A = e^(iπ/3)(z_B − z_A) — C est alors l’image de B par la rotation de centre A et d’angle π/3 : AB = AC et l’angle en A vaut π/3. L’angle π/2 donnerait un triangle rectangle isocèle.

  9. L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z̄ + 2 − i| = 3 est le cercle de rayon 3 et de centre d’affixe :

    • A. −2 + i
    • B. 2 − i
    • C. −2 − i
    • D. 2 + i
    Réponse

    C. −2 − i — z̄ + 2 − i est le conjugué de z + 2 + i, et un nombre et son conjugué ont le même module : |z − (−2 − i)| = 3. Le centre a pour affixe −2 − i.

  10. Pour A ≠ B, l’ensemble des points M d’affixe z ≠ z_B tels que (z − z_A)/(z − z_B) soit réel est :

    • A. la droite (AB) privée de A et B
    • B. la droite (AB) tout entière, A et B compris
    • C. la médiatrice du segment [AB]
    • D. la droite (AB) privée du point B
    Réponse

    D. la droite (AB) privée du point B — Le quotient est réel non nul sur (AB) privée de A et B ; en M = A il vaut 0, qui est réel : A est gardé. B reste exclu, car il annule le dénominateur.

  11. Pour M d’affixe z ≠ 0 et M′ d’affixe (1 + i)z, le triangle OMM′ est :

    • A. rectangle isocèle en O
    • B. équilatéral
    • C. rectangle en M′, non isocèle
    • D. rectangle isocèle en M
    Réponse

    D. rectangle isocèle en M — z′ − z = iz, donc MM′ = |z| = OM, et (z′ − z)/(0 − z) = −i, imaginaire pur : l’angle en M est droit. Le triangle est rectangle isocèle en M.

  12. Les sommets z₀, z₁, …, z_(n−1) d’un polygone régulier de centre Ω(ω), avec n ≥ 3, ont pour somme :

    • A. 0
    • B. nω
    • C. (n − 1)ω
    • D. ω/n
    Réponse

    B. nω — z_k = ω + (z₀ − ω)e^(2ikπ/n) ; la somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle, il reste nω. Elle vaut 0 seulement si le centre est O.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs