Comment résoudre une équation polynomiale en terminale maths expertes ?

On cherche une racine connue ou évidente α (souvent un petit entier, parfois une racine imaginaire pure), puis on factorise P(z) par z − α en identifiant les coefficients. On se ramène ainsi à une équation du second degré, que l'on résout dans ℂ avec le discriminant. Si les coefficients sont réels, toute racine non réelle apporte aussi son conjugué.

Comment résoudre une équation du second degré dans ℂ quand le discriminant est négatif ?

Si a, b, c sont réels et Δ = b² − 4ac < 0, on écrit Δ = (i√(−Δ))². L'équation a alors deux solutions complexes conjuguées : (−b + i√(−Δ))/(2a) et (−b − i√(−Δ))/(2a). Par exemple, z² − 6z + 13 = 0 a pour solutions 3 + 2i et 3 − 2i.

Comment factoriser un polynôme de degré 3 quand on connaît une racine ?

Si P(α) = 0, il existe un polynôme Q de degré 2 tel que P(z) = (z − α)Q(z). On écrit Q(z) = z² + bz + c (quand P est unitaire), on développe et on identifie les coefficients avec ceux de P ; le terme constant sert de vérification. Il reste à résoudre Q(z) = 0.

Pourquoi les racines d'un polynôme à coefficients réels vont-elles par paires conjuguées ?

Quand les coefficients sont réels, le conjugué de P(z) est P(z̄). Donc si P(z₀) = 0, alors P(z̄₀) = 0 : chaque racine non réelle apporte son conjugué. Ce n'est plus vrai dès qu'un coefficient n'est pas réel.

Combien de racines peut avoir un polynôme de degré n ?

Un polynôme de degré n ≥ 1 a au plus n racines distinctes dans ℂ. Il peut en avoir moins en cas de racine multiple : (z − 1)² est de degré 2 mais n'a qu'une racine. Conséquence : un polynôme de degré au plus n qui s'annule en n + 1 points est le polynôme nul.

Maths expertes (option Tle) Terminale

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Équations polynomiales à coefficients réels

Q: Comment factoriser un polynôme de degré 3 quand on connaît une racine ?

Si P(α) = 0, il existe un polynôme Q de degré 2 tel que P(z) = (z − α)Q(z). On écrit Q(z) = z² + bz + c (quand P est unitaire), on développe et on identifie les coefficients avec ceux de P ; le terme constant sert de vérification. Il reste à résoudre Q(z) = 0.

Q: Pourquoi les racines d'un polynôme à coefficients réels vont-elles par paires conjuguées ?

Quand les coefficients sont réels, le conjugué de P(z) est P(z̄). Donc si P(z₀) = 0, alors P(z̄₀) = 0 : chaque racine non réelle apporte son conjugué. Ce n'est plus vrai dès qu'un coefficient n'est pas réel.

Q: Combien de racines peut avoir un polynôme de degré n ?

Un polynôme de degré n ≥ 1 a au plus n racines distinctes dans ℂ. Il peut en avoir moins en cas de racine multiple : (z − 1)² est de degré 2 mais n'a qu'une racine. Conséquence : un polynôme de degré au plus n qui s'annule en n + 1 points est le polynôme nul.

Équations du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ, racines d'un polynôme, équations de degré 3 avec une racine connue

À propos de cette page

Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Équations polynomiales à coefficients réels » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, Racine d'un polynôme et factorisation par z − α. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).

L'essentiel

Polynôme, racine. Une fonction polynôme de degré

n

(

n ⩾ 1

) s'écrit

P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}

avec

a_{n} \neq 0

, où

z

décrit ℂ. Dans ce chapitre, les coefficients

a_{k}

sont réels. Un complexe

α

est une racine de

P

P (α) = 0

; résoudre

P (z) = 0

dans ℂ, c'est trouver toutes les racines.

Rappels (forme algébrique).

i^{2} = - 1

;

\overset{―}{z + z^{'}} = \overset{―}{z} + \overset{―}{z^{'}}

;

\overset{―}{z z^{'}} = \overset{―}{z} \overset{―}{z^{'}}

;

\overset{―}{z^{k}} = {\overset{―}{z}}^{k}

;

z \overset{―}{z} = | z |^{2}

; un réel est égal à son conjugué.

Quatre résultats structurent le chapitre : le second degré dans ℂ ; la factorisation de

z^{n} - a^{n}

; «

P (α) = 0

⟹

P

se factorise par

z - α

» ; « degré

n

⟹ au plus

n

racines ».

Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ

Théorème. Soit l'équation

a z^{2} + b z + c = 0

avec

a

b

c

réels,

a \neq 0

, et

Δ = b^{2} - 4 a c

Si $Δ > 0$ : deux solutions réelles $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ .
Si $Δ = 0$ : une solution réelle (double) $- \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_{1} = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ et $z_{2} = \overset{―}{z_{1}} = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ .

Pourquoi ? La forme canonique donne

a z^{2} + b z + c = a [{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]

. Si

Δ < 0

\frac{Δ}{4 a^{2}} = {(\frac{i \sqrt{- Δ}}{2 a})}^{2}

: on factorise une différence de deux carrés, comme dans ℝ.

Exemple.

z^{2} - 6 z + 13 = 0

Δ = 36 - 52 = - 16 = (4 i)^{2}

, donc

z = \frac{6 \pm 4 i}{2}

, soit

S = {3 + 2 i; 3 - 2 i}

Dans tous les cas,

a z^{2} + b z + c = a (z - z_{1}) (z - z_{2})

, avec

z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}

z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}

. Contrôle de l'exemple :

(3 + 2 i) + (3 - 2 i) = 6

(3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13

Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a

Propriété. Pour tout entier

n ⩾ 1

et tous complexes

z

a

z^{n} - a^{n} = (z - a) (z^{n - 1} + a z^{n - 2} + a^{2} z^{n - 3} + \dots + a^{n - 2} z + a^{n - 1}) = (z - a) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - 1 - k} .

Cas

a = 1

z^{n} - 1 = (z - 1) (1 + z + z^{2} + \dots + z^{n - 1})

Démonstration exigible. On développe :

(z - a) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - 1 - k} = \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - k} - \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k + 1} z^{n - 1 - k}

. Dans la seconde somme, on pose

j = k + 1

: elle devient

\sum_{j = 1}^{n} a^{j} z^{n - j}

. Les termes d'indice 1 à

n - 1

des deux sommes sont identiques et s'éliminent ; il reste le terme

k = 0

de la première,

z^{n}

, et le terme

j = n

de la seconde,

a^{n}

. D'où

z^{n} - a^{n}

Exemple.

z^{3} - 8 = z^{3} - 2^{3} = (z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)

. Pour

z^{2} + 2 z + 4

Δ = 4 - 16 = - 12 = (2 i \sqrt{3})^{2}

, d'où

z = - 1 \pm i \sqrt{3}

. Les solutions de

z^{3} = 8

sont

2

- 1 + i \sqrt{3}

- 1 - i \sqrt{3}

Racine d'un polynôme et factorisation par z − α

Théorème. Soit

P

un polynôme de degré

n ⩾ 1

α \in ℂ

P (α) = 0

si et seulement s'il existe un polynôme

Q

de degré

n - 1

tel que, pour tout

z

P (z) = (z - α) Q (z)

Démonstration exigible.

P (z) - P (α) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (z^{k} - α^{k})

(les termes constants s'éliminent). D'après le paragraphe 3, chaque

z^{k} - α^{k}

s'écrit

(z - α) Q_{k} (z)

avec

Q_{k}

de degré

k - 1

. Donc

P (z) - P (α) = (z - α) Q (z)

où

Q = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} Q_{k}

est de degré

n - 1

(de coefficient dominant

a_{n}

). Si

P (α) = 0

, on obtient

P (z) = (z - α) Q (z)

. Réciproquement, cette égalité donne

P (α) = 0 \times Q (α) = 0

Coefficients réels : racines conjuguées. Si les coefficients de

P

sont réels,

\overset{―}{P (z)} = P (\overset{―}{z})

. Donc si

P (α) = 0

, alors

P (\overset{―}{α}) = \overset{―}{0} = 0

. Pour

α

non réel,

P

se factorise par

(z - α) (z - \overset{―}{α}) = z^{2} - 2 R e (α) z + | α |^{2}

, trinôme à coefficients réels.

Exemple. Pour

α = 1 - i

(z - 1 + i) (z - 1 - i) = (z - 1)^{2} + 1 = z^{2} - 2 z + 2

Un polynôme de degré n a au plus n racines

Théorème. Un polynôme de degré

n ⩾ 1

admet au plus $n$ racines distinctes dans ℂ.

Démonstration (par récurrence). Degré 1 :

a z + b

(

a \neq 0

) a une seule racine,

- \frac{b}{a}

. Supposons la propriété vraie au degré

n - 1

et soit

P

de degré

n

. Si

P

n'a pas de racine, c'est fini. Sinon, soit

α

une racine :

P (z) = (z - α) Q (z)

avec

Q

de degré

n - 1

. Si

P (β) = 0

, alors

(β - α) Q (β) = 0

, donc

β = α

Q (β) = 0

. Comme

Q

a au plus

n - 1

racines,

P

en a au plus

1 + (n - 1) = n

Conséquences.

Un polynôme de degré au plus $n$ qui s'annule en $n + 1$ points distincts est le polynôme nul.
Deux polynômes de degré au plus $n$ égaux en $n + 1$ points sont égaux : ils ont les mêmes coefficients. C'est ce qui justifie l'identification des coefficients.
Un polynôme de degré impair à coefficients réels a au moins une racine réelle (théorème des valeurs intermédiaires : ses limites en $- \infty$ et $+ \infty$ sont de signes contraires).

La courbe de

x \mapsto x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15

ne coupe l'axe des abscisses qu'en

x = 3

: ce polynôme de degré 3 a une seule racine réelle ; ses deux autres racines sont complexes conjuguées (méthode 2).

Méthodes : résoudre une équation polynomiale

Méthode 1 — Résoudre $a z^{2} + b z + c = 0$ (coefficients réels)

Calculer $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ < 0$ , écrire $Δ = {(i \sqrt{- Δ})}^{2}$ .
Appliquer $z = \frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ et simplifier.
Contrôler avec la somme $- \frac{b}{a}$ ou le produit $\frac{c}{a}$ .

Exemple rédigé. Résoudre

4 z^{2} - 4 z + 5 = 0

Δ = 16 - 80 = - 64 = (8 i)^{2}

. Donc

z = \frac{4 \pm 8 i}{8} = \frac{1}{2} \pm i

. Contrôle : produit

{(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2} = \frac{5}{4} = \frac{c}{a}

S = {\frac{1}{2} + i; \frac{1}{2} - i}

Méthode 2 — Degré 3 : racine connue ou à deviner

Chercher une racine évidente $α$ : tester $0$ , $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ … (pour $P$ unitaire à coefficients entiers, une racine entière divise le terme constant).
Écrire $P (z) = (z - α) (z^{2} + b z + c)$ (si le coefficient de $z^{3}$ vaut 1).
Développer et identifier les coefficients ; la dernière équation sert de vérification.
Résoudre $z^{2} + b z + c = 0$ (méthode 1) et donner les trois solutions.

Exemple rédigé.

P (z) = z^{3} - 5 z^{2} + 11 z - 15

P (3) = 27 - 45 + 33 - 15 = 0

: 3 est racine. Pour tout

z

(z - 3) (z^{2} + b z + c) = z^{3} + (b - 3) z^{2} + (c - 3 b) z - 3 c

. Identification :

b - 3 = - 5

donc

b = - 2

;

c - 3 b = 11

donc

c = 5

; vérification :

- 3 c = - 15

. Ainsi

P (z) = (z - 3) (z^{2} - 2 z + 5)

. Puis

Δ = 4 - 20 = - 16 = (4 i)^{2}

, d'où

z = 1 \pm 2 i

S = {3; 1 + 2 i; 1 - 2 i}

On peut aussi poser la division de

P (z)

par

z - α

, comme une division de nombres entiers ; l'identification suffit en Terminale.

Méthode 3 — Degré 4 avec une racine non réelle connue

Vérifier que $P (z_{0}) = 0$ .
Coefficients réels : $\overset{―}{z_{0}}$ est aussi racine.
Écrire $P (z) = (z^{2} - 2 R e (z_{0}) z + | z_{0} |^{2}) (z^{2} + b z + c)$ et identifier.
Résoudre le second facteur et rassembler les quatre solutions.

Exemple rédigé.

P (z) = z^{4} - 2 z^{3} + 6 z^{2} - 8 z + 8

z_{0} = 2 i

(2 i)^{2} = - 4

(2 i)^{3} = - 8 i

(2 i)^{4} = 16

P (2 i) = 16 + 16 i - 24 - 16 i + 8 = 0

. Les coefficients étant réels,

- 2 i

est racine, et

P

se factorise par

(z - 2 i) (z + 2 i) = z^{2} + 4

(z^{2} + 4) (z^{2} + b z + c) = z^{4} + b z^{3} + (c + 4) z^{2} + 4 b z + 4 c

b = - 2

c = 2

; vérifications

4 b = - 8

4 c = 8

z^{2} - 2 z + 2 = 0

Δ = - 4 = (2 i)^{2}

z = 1 \pm i

S = {2 i; - 2 i; 1 + i; 1 - i}

Racine imaginaire pure cherchée : poser

z = i y

avec

y

réel, écrire

P (i y)

sous forme algébrique, puis annuler à la fois la partie réelle et la partie imaginaire.

Pièges et erreurs classiques

« $Δ < 0$ , donc pas de solution. » Vrai dans ℝ, faux dans ℂ : il y a deux solutions conjuguées.

Écrire $\sqrt{- 16}$ . Le symbole

\sqrt{}

est réservé aux réels positifs : on écrit

- 16 = (4 i)^{2}

Oublier le $2 a$ . Dans

\frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}

, le dénominateur porte sur toute l'expression, partie imaginaire comprise.

$z^{3} - a^{3} \neq (z - a)^{3}$ . Et pour une somme :

z^{3} + a^{3} = z^{3} - (- a)^{3} = (z + a) (z^{2} - a z + a^{2})

Racines conjuguées sans coefficients réels.

z^{2} - i z = z (z - i)

a pour racines

0

i

, mais pas

- i

: la propriété exige des coefficients réels.

« Degré $n$ , donc $n$ racines distinctes. » Faux :

z^{2} - 2 z + 1 = (z - 1)^{2}

n'a qu'une racine. On dit « au plus

n

».

Perdre la racine de départ. Après factorisation par

z - α

, l'ensemble des solutions contient

α

et les racines du quotient.

En bref

$a z^{2} + b z + c = 0$ à coefficients réels avec $Δ < 0$ : deux solutions conjuguées $\frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ .
$z^{n} - a^{n} = (z - a) (z^{n - 1} + a z^{n - 2} + \dots + a^{n - 1})$ .
$P (α) = 0 ⟺ P (z) = (z - α) Q (z)$ avec $\deg Q = \deg P - 1$ .
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ; à coefficients réels, ses racines non réelles vont par paires conjuguées.
Degré 3 ou 4 : racine connue ou devinée → factorisation par identification → second degré.

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