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Équations polynomiales

Q: Comment résoudre une équation du second degré dans ℂ ?

Pour az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels, on calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ ≥ 0, les solutions sont celles de 1re. Si Δ < 0, on écrit Δ = (i√(−Δ))² et les deux solutions sont z = (−b ± i√(−Δ))/(2a) : elles sont conjuguées. On contrôle avec le produit c/a ou la somme −b/a.

Q: Comment factoriser zⁿ − aⁿ ?

Pour tout entier n ≥ 1, zⁿ − aⁿ = (z − a)(zⁿ⁻¹ + azⁿ⁻² + … + aⁿ⁻²z + aⁿ⁻¹). Le second facteur contient toutes les puissances, de zⁿ⁻¹ à aⁿ⁻¹, avec des signes « + ». Par exemple z⁴ − 625 = (z − 5)(z³ + 5z² + 25z + 125). Pour une somme comme z³ + 8, on écrit 8 = −(−2)³ : z³ + 8 = (z + 2)(z² − 2z + 4).

Q: Comment résoudre une équation de degré 3 dont on connaît une racine ?

Si P(α) = 0, P(z) se factorise par z − α : on écrit P(z) = (z − α)(az² + bz + c), on développe et on identifie les coefficients. On résout ensuite le facteur du second degré, et on n’oublie pas α dans l’ensemble des solutions.

Q: Pourquoi un polynôme à coefficients réels a-t-il des racines conjuguées ?

Si les coefficients de P sont réels, le conjugué de P(z) est P(z̄). Donc si P(α) = 0, alors P(ᾱ) est le conjugué de 0, c’est-à-dire 0. Les racines non réelles vont par paires conjuguées, et P se factorise par (z − α)(z − ᾱ) = z² − 2Re(α)z + |α|².

Q: Combien de solutions une équation polynomiale de degré n peut-elle avoir ?

Au plus n. Elle peut en avoir moins, en cas de racine multiple : (z − 1)³ = 0 n’a qu’une solution. Conséquence utile : un polynôme de degré au plus n qui s’annule en n + 1 nombres distincts est le polynôme nul, et deux polynômes de degré au plus n égaux en n + 1 nombres sont égaux.

Rappels du second degré dans ℝ, équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, factorisation d’un polynôme par z − α quand α est racine, équations de degré 3 et 4 dont une racine est connue, un polynôme de degré n a au plus n racines.

À propos de cette page

Ce cours de maths expertes de Terminale traite les équations polynomiales à coefficients réels en cinq parties : les rappels de 1re sur le second degré dans ℝ, le second degré dans ℂ avec ses deux solutions conjuguées, la factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, la factorisation d’un polynôme par z − α quand α est racine (équations de degré 3 et 4), et le théorème « au plus n racines ». Les trois démonstrations exigibles sont rédigées.

Rappels de 1re : le second degré dans ℝ

Ce qu’il faut savoir

Trinôme. Pour $a$ , $b$ , $c$ réels avec $a \neq 0$ , le discriminant de $a x^{2} + b x + c$ est $Δ = b^{2} - 4 a c$ . La forme canonique s’écrit $a x^{2} + b x + c$ $= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]$ : c’est d’elle que viennent toutes les formules.

Résolution de $a x^{2} + b x + c = 0$ dans $ℝ$ (1re). Si $Δ > 0$ : deux solutions $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ . Si $Δ = 0$ : une solution (double) $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ . Si $Δ < 0$ : aucune solution réelle.

Factorisation. Si $Δ > 0$ , $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ; si $Δ = 0$ , $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{0})^{2}$ .

Somme et produit. Quand les racines existent : $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Racine évidente : $1$ est racine si et seulement si $a + b + c = 0$ ; l’autre racine est alors $\frac{c}{a}$ .

Se ramener au second degré. Pour $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ (équation bicarrée), on pose $X = x^{2}$ .

Exemples

$Δ > 0$ . $5 x^{2} - 7 x - 6 = 0$ : $Δ = 49 + 120 = 169 = 13^{2}$ , d’où $x_{1} = \frac{7 - 13}{10} = - \frac{3}{5}$ et $x_{2} = \frac{7 + 13}{10} = 2$ . Factorisation : $5 x^{2} - 7 x - 6$ $= 5 (x + \frac{3}{5}) (x - 2)$ $= (5 x + 3) (x - 2)$ .

$Δ = 0$ . $9 x^{2} - 30 x + 25 = 0$ : $Δ = 900 - 900 = 0$ , une seule solution $x_{0} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ , et $9 x^{2} - 30 x + 25 = (3 x - 5)^{2}$ .

Racine évidente. $4 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ : $4 - 7 + 3 = 0$ , donc $1$ est solution ; le produit des solutions vaut $\frac{3}{4}$ , donc l’autre est $\frac{3}{4}$ .

$Δ < 0$ . $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ : $Δ = 16 - 28 = - 12 < 0$ . Aucune solution réelle… mais deux solutions complexes, calculées au cas suivant.

Réflexe — Je mets l’équation sous la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ , je teste $1$ ( $a + b + c = 0$ ?) et $- 1$ ( $a - b + c = 0$ ?), sinon je calcule $Δ$ en mettant les nombres négatifs entre parenthèses. Je contrôle avec la somme $- \frac{b}{a}$ ou le produit $\frac{c}{a}$ .

Attention — Pour $b = - 7$ , $b^{2} = (- 7)^{2} = 49$ , pas $- 49$ . Dans la factorisation, on garde le coefficient $a$ devant. Et « $Δ < 0$ » veut dire « pas de solution dans $ℝ$ » : dans $ℂ$ , il y en a deux.

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Le second degré à coefficients réels dans ℂ

Ce qu’il faut savoir

Polynôme. Une fonction polynôme de degré $n ⩾ 1$ s’écrit $P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}$ avec $a_{n} \neq 0$ , où $z$ décrit $ℂ$ . Dans ce chapitre, les coefficients $a_{k}$ sont réels. Un complexe $α$ est une racine de $P$ si $P (α) = 0$ .

Théorème. Soit $a z^{2} + b z + c = 0$ avec $a$ , $b$ , $c$ réels, $a \neq 0$ , et $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

• Si $Δ > 0$ : deux solutions réelles $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ .

• Si $Δ = 0$ : une solution réelle (double) $- \frac{b}{2 a}$ .

• Si $Δ < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_{1} = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ et $z_{2} = \overset{―}{z_{1}} = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ .

Dans tous les cas, $a z^{2} + b z + c = a (z - z_{1}) (z - z_{2})$ , avec $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ et $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$ . Si $Δ < 0$ , le produit vaut $z_{1} \overset{―}{z_{1}} = | z_{1} |^{2}$ : les deux solutions ont pour module $\sqrt{\frac{c}{a}}$ .

Exemples

Démonstration (cas $Δ < 0$ ). Par la forme canonique, $a z^{2} + b z + c = 0$ $⟺ {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}}$ . Comme $Δ < 0$ , $\frac{Δ}{4 a^{2}} = {(\frac{i \sqrt{- Δ}}{2 a})}^{2}$ , puisque $i^{2} = - 1$ . Or $Z^{2} = W^{2}$ $⟺ (Z - W) (Z + W) = 0$ $⟺ Z = W$ ou $Z = - W$ (produit nul dans $ℂ$ ). Donc $z + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ , ce qui donne les deux solutions annoncées, conjuguées car $a$ , $b$ et $\sqrt{- Δ}$ sont réels.

Suite de l’exemple du cas 1. $z^{2} - 4 z + 7 = 0$ : $Δ = - 12 = {(2 i \sqrt{3})}^{2}$ , donc $z = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ , soit $𝒮 = {2 + i \sqrt{3}; 2 - i \sqrt{3}}$ . Contrôle : produit $4 + 3 = 7 = \frac{c}{a}$ .

Solutions entières. $z^{2} - 6 z + 13 = 0$ : $Δ = 36 - 52 = - 16 = (4 i)^{2}$ , donc $z = \frac{6 \pm 4 i}{2}$ et $𝒮 = {3 + 2 i; 3 - 2 i}$ . Contrôle : $(3 + 2 i) + (3 - 2 i) = 6$ et $(3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13$ .

Ne pas oublier $2 a$ . $4 z^{2} - 4 z + 5 = 0$ : $Δ = 16 - 80 = - 64 = (8 i)^{2}$ , donc $z = \frac{4 \pm 8 i}{8} = \frac{1}{2} \pm i$ . Contrôle : ${(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2} = \frac{5}{4} = \frac{c}{a}$ .

Équation bicarrée dans $ℂ$ . $z^{4} + 5 z^{2} + 4 = 0$ . On pose $Z = z^{2}$ : $Z^{2} + 5 Z + 4 = 0$ , et $- 1$ est racine évidente ( $1 - 5 + 4 = 0$ ), l’autre est $\frac{4}{- 1} = - 4$ . Puis $z^{2} = - 1 = i^{2}$ ou $z^{2} = - 4 = (2 i)^{2}$ : $𝒮 = {i; - i; 2 i; - 2 i}$ . Dans $ℝ$ , il n’y aurait aucune solution.

Réflexe — Si $Δ < 0$ , j’écris $Δ$ comme un carré : $- 16 = (4 i)^{2}$ , $- 12 = {(2 i \sqrt{3})}^{2}$ . J’applique $z = \frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ , je simplifie, puis je contrôle avec le produit $\frac{c}{a} = | z_{1} |^{2}$ .

Attention — On n’écrit jamais $\sqrt{- 16}$ : le symbole $\sqrt{}$ est réservé aux réels positifs. Et le dénominateur $2 a$ divise toute l’expression, partie imaginaire comprise.

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Factoriser zⁿ − aⁿ par z − a

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Pour tout entier $n ⩾ 1$ et tous complexes $z$ et $a$ :

$z^{n} - a^{n} = (z - a) Q (z)$ , avec $Q (z) = z^{n - 1} + a z^{n - 2}$ $+ a^{2} z^{n - 3} + \dots$ $+ a^{n - 2} z + a^{n - 1}$ , c’est-à-dire $Q (z) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - 1 - k}$ .

Cas $a = 1$ . $z^{n} - 1$ $= (z - 1) (1 + z + z^{2} + \dots + z^{n - 1})$ . Pour $z \neq 1$ , on en tire $1 + z + \dots + z^{n - 1} = \frac{z^{n} - 1}{z - 1}$ .

Premiers cas. $z^{2} - a^{2} = (z - a) (z + a)$ ; $z^{3} - a^{3}$ $= (z - a) (z^{2} + a z + a^{2})$ ; $z^{4} - a^{4}$ $= (z - a) (z^{3} + a z^{2} + a^{2} z + a^{3})$ .

Conséquence. $a$ est une racine de $z^{n} - a^{n}$ : l’équation $z^{n} = a^{n}$ a la solution $z = a$ , et les autres sont les racines du second facteur.

Exemples

Démonstration (exigible). On développe : $(z - a) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - 1 - k}$ $= \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - k}$ $- \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k + 1} z^{n - 1 - k}$ . Dans la seconde somme, on pose $j = k + 1$ : elle devient $\sum_{j = 1}^{n} a^{j} z^{n - j}$ . Les termes d’indice $1$ à $n - 1$ des deux sommes sont les mêmes et s’éliminent. Il reste le terme $k = 0$ de la première somme, $z^{n}$ , et le terme $j = n$ de la seconde, $a^{n}$ : le produit vaut $z^{n} - a^{n}$ .

Résoudre $z^{3} = 8$ . $z^{3} - 8 = z^{3} - 2^{3} = (z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)$ . Pour $z^{2} + 2 z + 4 = 0$ : $Δ = 4 - 16 = - 12 = {(2 i \sqrt{3})}^{2}$ , d’où $z = - 1 \pm i \sqrt{3}$ . Les solutions de $z^{3} = 8$ sont $2$ , $- 1 + i \sqrt{3}$ et $- 1 - i \sqrt{3}$ .

Une somme de cubes. $z^{3} + a^{3} = z^{3} - (- a)^{3}$ : avec $- a$ à la place de $a$ , $z^{3} + a^{3} = (z + a) (z^{2} - a z + a^{2})$ .

Réflexe — J’écris le terme constant comme une puissance $n$ -ième : $8 = 2^{3}$ , $625 = 5^{4}$ , $- 8 = (- 2)^{3}$ . Le second facteur commence par $z^{n - 1}$ ; à chaque terme, la puissance de $z$ baisse de $1$ et celle de $a$ monte de $1$ , jusqu’à $a^{n - 1}$ .

Attention — $z^{3} - a^{3} \neq (z - a)^{3}$ : le cube $(z - a)^{3}$ contient des termes en $z^{2} a$ et $z a^{2}$ . Et dans le second facteur de $z^{n} - a^{n}$ , tous les signes sont des « $+$ ».

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Racine connue : factoriser par z − α

Ce qu’il faut savoir

Théorème. Soit $P$ un polynôme de degré $n ⩾ 1$ et $α \in ℂ$ . $P (α) = 0$ si et seulement s’il existe un polynôme $Q$ de degré $n - 1$ tel que, pour tout complexe $z$ , $P (z) = (z - α) Q (z)$ . Le coefficient dominant de $Q$ est celui de $P$ .

Identification. On admet (programme) que si une fonction polynôme est nulle, tous ses coefficients sont nuls. Donc deux polynômes égaux pour tout $z$ ont les mêmes coefficients : c’est ce qui permet de trouver $Q$ en développant puis en identifiant.

Coefficients réels : racines conjuguées. Si les coefficients de $P$ sont réels, $\overset{―}{P (z)} = P (\overset{―}{z})$ (conjugué d’une somme, d’un produit, d’une puissance, et $\overset{―}{a_{k}} = a_{k}$ ). Si $P (α) = 0$ , alors $P (\overset{―}{α}) = \overset{―}{0} = 0$ . Pour $α$ non réel, $P$ se factorise par $(z - α) (z - \overset{―}{α})$ $= z^{2} - 2 R e (α) z + | α |^{2}$ , trinôme à coefficients réels.

Racine à deviner. Si l’énoncé ne donne pas de racine, on teste $0$ , $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ … Pour un polynôme à coefficients entiers dont le terme constant n’est pas nul, une racine entière est un diviseur de ce terme constant (démontré sur un exemple dans le problème « Chercher une racine entière »).

Racine imaginaire pure cherchée. On pose $z = i y$ avec $y$ réel, on écrit $P (i y)$ sous forme algébrique et on annule à la fois la partie réelle et la partie imaginaire.

Exemples

Démonstration (exigible). Écrivons $P (z) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ . Alors $P (z) - P (α)$ $= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (z^{k} - α^{k})$ (les termes constants s’éliminent). D’après le cas 3, chaque $z^{k} - α^{k}$ s’écrit $(z - α) Q_{k} (z)$ avec $Q_{k}$ de degré $k - 1$ . Donc $P (z) - P (α) = (z - α) Q (z)$ , où $Q = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} Q_{k}$ est de degré $n - 1$ , de coefficient dominant $a_{n}$ . Si $P (α) = 0$ , on obtient $P (z) = (z - α) Q (z)$ . Réciproquement, cette égalité donne $P (α) = 0 \times Q (α) = 0$ .

Degré 3, racine à trouver. $P (z) = z^{3} - 5 z^{2} + 11 z - 15$ . $P (3) = 27 - 45 + 33 - 15 = 0$ : $3$ est racine. Pour tout $z$ , $(z - 3) (z^{2} + b z + c)$ $= z^{3} + (b - 3) z^{2} + (c - 3 b) z - 3 c$ . Identification : $b - 3 = - 5$ , donc $b = - 2$ ; $c - 3 b = 11$ , donc $c = 5$ ; vérification : $- 3 c = - 15$ . Ainsi $P (z) = (z - 3) (z^{2} - 2 z + 5)$ . Puis $Δ = 4 - 20 = - 16 = (4 i)^{2}$ , d’où $z = 1 \pm 2 i$ : $𝒮 = {3; 1 + 2 i; 1 - 2 i}$ .

Facteur conjugué. Pour $α = 1 - i$ : $(z - 1 + i) (z - 1 - i)$ $= (z - 1)^{2} - i^{2}$ $= z^{2} - 2 z + 2$ .

Degré 4, racine non réelle connue. $P (z) = z^{4} - 2 z^{3} + 6 z^{2} - 8 z + 8$ et $z_{0} = 2 i$ . Comme $(2 i)^{2} = - 4$ , $(2 i)^{3} = - 8 i$ et $(2 i)^{4} = 16$ : $P (2 i)$ $= 16 + 16 i - 24 - 16 i + 8$ $= 0$ . Les coefficients étant réels, $- 2 i$ est aussi racine, et $P$ se factorise par $(z - 2 i) (z + 2 i) = z^{2} + 4$ . Or $(z^{2} + 4) (z^{2} + b z + c)$ $= z^{4} + b z^{3} + (c + 4) z^{2} + 4 b z + 4 c$ : $b = - 2$ et $c = 2$ (vérifications : $4 b = - 8$ et $4 c = 8$ ). Enfin $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ donne $Δ = - 4 = (2 i)^{2}$ et $z = 1 \pm i$ : $𝒮 = {2 i; - 2 i; 1 + i; 1 - i}$ .

Réflexe — Racine à trouver : je teste les petits diviseurs du terme constant. Racine connue $α$ : j’écris $P (z) = (z - α) (z^{2} + b z + c)$ (si le coefficient de $z^{3}$ vaut $1$ ), je développe, j’identifie, et la dernière équation sert de vérification. Racine non réelle connue et coefficients réels : je factorise directement par $z^{2} - 2 R e (α) z + | α |^{2}$ .

Attention — La propriété des racines conjuguées exige des coefficients réels : $z^{2} - 3 i z = z (z - 3 i)$ a pour racines $0$ et $3 i$ , mais pas $- 3 i$ . Et l’ensemble des solutions contient $α$ et les racines du quotient : on ne perd pas la racine de départ.

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Au plus n racines

Ce qu’il faut savoir

Théorème. Un polynôme de degré $n ⩾ 1$ admet au plus $n$ racines distinctes dans $ℂ$ . Autrement dit, le nombre de solutions d’une équation polynomiale est inférieur ou égal à son degré.

Conséquences. Un polynôme de degré au plus $n$ qui s’annule en $n + 1$ nombres distincts est le polynôme nul. Deux polynômes de degré au plus $n$ égaux en $n + 1$ nombres distincts sont égaux (on applique ce qui précède à leur différence) : ils ont les mêmes coefficients.

Racine multiple. Le théorème dit « au plus » : si $P (z) = (z - α)^{2} Q (z)$ , la racine $α$ est double et compte pour une seule solution. Quand on a trouvé $n$ racines distinctes d’un polynôme de degré $n$ , on les a toutes.

Coefficients réels. Les racines non réelles vont par paires conjuguées. Un polynôme de degré impair à coefficients réels a au moins une racine réelle (ses limites en $- \infty$ et $+ \infty$ sont de signes contraires : théorème des valeurs intermédiaires).

Exemples

Démonstration (exigible, par récurrence sur le degré). Pour $n ⩾ 1$ , notons $𝒫 (n)$ : « tout polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ». Initialisation : $a z + b$ avec $a \neq 0$ a une seule racine, $- \frac{b}{a}$ . Hérédité : supposons $𝒫 (n)$ vraie et soit $P$ de degré $n + 1$ . Si $P$ n’a pas de racine, c’est fini. Sinon, soit $α$ une racine : $P (z) = (z - α) Q (z)$ avec $Q$ de degré $n$ (cas 4). Si $P (β) = 0$ , alors $(β - α) Q (β) = 0$ , donc $β = α$ ou $Q (β) = 0$ . Comme $Q$ a au plus $n$ racines, $P$ en a au plus $1 + n$ . Conclusion : $𝒫 (n)$ est vraie pour tout $n ⩾ 1$ .

Un seul polynôme possible. $A (z) = 2 z^{2} - z + 3$ vérifie $A (0) = 3$ , $A (1) = 4$ et $A (2) = 9$ . Si $B$ est de degré au plus $2$ avec les mêmes valeurs en $0$ , $1$ et $2$ , alors $A - B$ , de degré au plus $2$ , s’annule en trois nombres : c’est le polynôme nul, et $B = A$ .

Racine double. $z^{3} - 3 z + 2$ $= (z - 1)^{2} (z + 2)$ (on développe : $(z^{2} - 2 z + 1) (z + 2)$ $= z^{3} - 3 z + 2$ ). Ce polynôme de degré $3$ n’a que deux racines distinctes : $1$ (double) et $- 2$ .

Une seule racine réelle. Le polynôme $z^{3} - 5 z^{2} + 11 z - 15$ du cas 4 a trois racines, $3$ et $1 \pm 2 i$ : sa courbe sur $ℝ$ ne coupe l’axe des abscisses qu’en $x = 3$ .

Réflexe — Pour montrer que j’ai toutes les solutions, je compte : $n$ racines distinctes pour un degré $n$ , c’est le maximum. Pour montrer qu’un polynôme est nul ou que deux polynômes sont égaux, je compte les nombres où ils s’annulent ou coïncident : il en faut un de plus que le degré.

Attention — « Degré $n$ , donc $n$ racines distinctes » est faux : $(z - 4)^{2}$ n’a qu’une racine. Et deux polynômes qui ont les mêmes racines ne sont pas forcément égaux : $z^{2} + 9$ et $3 z^{2} + 27$ ont les mêmes racines, $3 i$ et $- 3 i$ , mais ne prennent pas la même valeur en $0$ .

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Pour aller plus loin

Racines $n$ -ièmes de l’unité. Les solutions de $z^{n} = 1$ s’écrivent avec la forme exponentielle $e^{i θ}$ : elles sont étudiées dans Forme trigonométrique et exponentielle, et leurs images forment un polygone régulier (Nombres complexes et géométrie). Ici, on les obtient pour $n = 3$ ou $4$ par la factorisation de $z^{n} - 1$ .

Coefficients complexes. Les racines carrées d’un nombre complexe et le second degré à coefficients complexes sont des « problèmes possibles » du programme : voir les problèmes de Forme algébrique et conjugué. Dans ce chapitre, les coefficients sont toujours réels.

Formules de Viète et équation de degré 3. En développant $(z - z_{1}) (z - z_{2}) (z - z_{3})$ , on lit la somme et le produit des racines dans les coefficients (formules de Viète). La résolution « par radicaux » de l’équation de degré 3 a été publiée par Cardan dans l’Ars magna (1545) ; Bombelli l’applique en 1572 à $x^{3} = 15 x + 4$ et doit calculer avec des racines carrées de nombres négatifs. Ces deux « problèmes possibles » sont traités dans l’onglet Problèmes.

À retenir

Second degré à coefficients réels : $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; si $Δ < 0$ , deux solutions conjuguées $\frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ , de produit $\frac{c}{a}$ et de somme $- \frac{b}{a}$ .
$z^{n} - a^{n} = (z - a) Q (z)$ avec $Q (z) = z^{n - 1} + a z^{n - 2}$ $+ \dots + a^{n - 1}$ ; en particulier $z^{3} - a^{3} = (z - a) (z^{2} + a z + a^{2})$ .
$P (α) = 0$ $⟺ P (z) = (z - α) Q (z)$ avec $\deg Q = \deg P - 1$ ; on trouve $Q$ en développant et en identifiant.
Coefficients réels : si $α$ est racine, $\overset{―}{α}$ aussi, et $P$ se factorise par $z^{2} - 2 R e (α) z + | α |^{2}$ .
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ; degré au plus $n$ et $n + 1$ racines : c’est le polynôme nul.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du second degré dans ℂ ?

Pour az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels, on calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ ≥ 0, les solutions sont celles de 1re. Si Δ < 0, on écrit Δ = (i√(−Δ))² et les deux solutions sont z = (−b ± i√(−Δ))/(2a) : elles sont conjuguées. On contrôle avec le produit c/a ou la somme −b/a.

Comment factoriser zⁿ − aⁿ ?

Pour tout entier n ≥ 1, zⁿ − aⁿ = (z − a)(zⁿ⁻¹ + azⁿ⁻² + … + aⁿ⁻²z + aⁿ⁻¹). Le second facteur contient toutes les puissances, de zⁿ⁻¹ à aⁿ⁻¹, avec des signes « + ». Par exemple z⁴ − 625 = (z − 5)(z³ + 5z² + 25z + 125). Pour une somme comme z³ + 8, on écrit 8 = −(−2)³ : z³ + 8 = (z + 2)(z² − 2z + 4).

Comment résoudre une équation de degré 3 dont on connaît une racine ?

Si P(α) = 0, P(z) se factorise par z − α : on écrit P(z) = (z − α)(az² + bz + c), on développe et on identifie les coefficients. On résout ensuite le facteur du second degré, et on n’oublie pas α dans l’ensemble des solutions.

Pourquoi un polynôme à coefficients réels a-t-il des racines conjuguées ?

Si les coefficients de P sont réels, le conjugué de P(z) est P(z̄). Donc si P(α) = 0, alors P(ᾱ) est le conjugué de 0, c’est-à-dire 0. Les racines non réelles vont par paires conjuguées, et P se factorise par (z − α)(z − ᾱ) = z² − 2Re(α)z + |α|².

Combien de solutions une équation polynomiale de degré n peut-elle avoir ?

Au plus n. Elle peut en avoir moins, en cas de racine multiple : (z − 1)³ = 0 n’a qu’une solution. Conséquence utile : un polynôme de degré au plus n qui s’annule en n + 1 nombres distincts est le polynôme nul, et deux polynômes de degré au plus n égaux en n + 1 nombres sont égaux.

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