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Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Nombres complexes — forme algébrique et géométrie

Construction de ℂ, forme algébrique a + ib, module, argument et représentation dans le plan complexe (programme Maths expertes Tle)

À propos de cette page
Ce QCM sur « Nombres complexes — forme algébrique et géométrie » en terminale teste tes connaissances en maths expertes (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'ensemble ℂ des nombres complexes, Opérations algébriques dans ℂ, Conjugué d'un nombre complexe, Module d'un nombre complexe. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths expertes (option tle) en terminale.

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Les 37 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Quelle est la partie imaginaire de $z = 3 - 5i$ ?

    • A. 3
    • B. −5
    • C. 5
    • D. −3
    Réponse

    B. −5 — $z = 3 + (-5)i$ donc $\text{Im}(z) = -5$.

  2. $i^2$ est égal à :

    • A. 1
    • B. i
    • C. −1
    • D. −i
    Réponse

    C. −1 — Par définition, $i^2 = -1$.

  3. Le conjugué de $z = 2 + 7i$ est :

    • A. $2 - 7i$
    • B. $-2 + 7i$
    • C. $-2 - 7i$
    • D. $7 - 2i$
    Réponse

    A. $2 - 7i$ — On change le signe de la partie imaginaire : $\bar{z} = 2 - 7i$.

  4. Un imaginaire pur vérifie :

    • A. $\text{Im}(z) = 0$
    • B. $\text{Re}(z) = 0$ et $\text{Im}(z) \neq 0$
    • C. $z = \bar{z}$
    • D. $|z| = 0$
    Réponse

    B. $\text{Re}(z) = 0$ et $\text{Im}(z) \neq 0$ — Un imaginaire pur a une partie réelle nulle et une partie imaginaire non nulle.

  5. $(1 + i) + (2 - 3i) = $

    • A. $3 - 2i$
    • B. $3 + 2i$
    • C. $1 + 4i$
    • D. $-1 + 2i$
    Réponse

    A. $3 - 2i$ — $(1+2) + (1-3)i = 3 - 2i$.

  6. $|4 - 3i| = $

    • A. 7
    • B. 1
    • C. 5
    • D. 25
    Réponse

    C. 5 — $|4-3i| = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

  7. $i^4$ est égal à :

    • A. $-1$
    • B. $i$
    • C. $-i$
    • D. $1$
    Réponse

    D. $1$ — $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$.

  8. Quelle est la partie réelle de $z = -i$ ?

    • A. $-1$
    • B. $0$
    • C. $1$
    • D. $i$
    Réponse

    B. $0$ — $z = 0 + (-1)i$, donc $\text{Re}(z) = 0$.

  9. $z + \bar{z}$ est toujours :

    • A. Imaginaire pur
    • B. Réel
    • C. Nul
    • D. Complexe non réel
    Réponse

    B. Réel — $z + \bar{z} = (a+ib) + (a-ib) = 2a \in \mathbb{R}$.

  10. Dans le plan complexe, $z = 3 + 2i$ est représenté par le point :

    • A. $(2, 3)$
    • B. $(3, 2)$
    • C. $(-3, 2)$
    • D. $(3, -2)$
    Réponse

    B. $(3, 2)$ — L'abscisse est $\text{Re}(z) = 3$, l'ordonnée est $\text{Im}(z) = 2$.

  11. Le module de $z = -5$ (réel) est :

    • A. $-5$
    • B. $5$
    • C. $0$
    • D. $25$
    Réponse

    B. $5$ — $|-5| = 5$ (valeur absolue pour un réel).

  12. $z \cdot \bar{z} = $

    • A. $|z|$
    • B. $|z|^2$
    • C. $\text{Re}(z)^2$
    • D. $2|z|$
    Réponse

    B. $|z|^2$ — $z \cdot \bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. $(2+i)(3-2i) = $

    • A. $8 - i$
    • B. $4 + i$
    • C. $6 - i$
    • D. $8 + i$
    Réponse

    A. $8 - i$ — $(6 + 4) + (-4+3)i = ... $ : $6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 = 8 - i$.

  2. $\dfrac{1}{2+i} = $

    • A. $2 - i$
    • B. $\dfrac{2-i}{5}$
    • C. $\dfrac{2+i}{5}$
    • D. $\dfrac{1}{3}$
    Réponse

    B. $\dfrac{2-i}{5}$ — $\dfrac{1}{2+i} \cdot \dfrac{2-i}{2-i} = \dfrac{2-i}{5}$.

  3. Si $|z_1| = 6$ et $|z_2| = 3$, alors $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = $

    • A. 3
    • B. 2
    • C. 18
    • D. 9
    Réponse

    B. 2 — $\dfrac{|z_1|}{|z_2|} = \dfrac{6}{3} = 2$.

  4. $(1 - i)^2 = $

    • A. $2$
    • B. $-2i$
    • C. $2i$
    • D. $0$
    Réponse

    B. $-2i$ — $(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

  5. Quelle est la relation entre $|z|$ et $|\bar{z}|$ ?

    • A. $|\bar{z}| = -|z|$
    • B. $|\bar{z}| = |z|^2$
    • C. $|\bar{z}| = |z|$
    • D. $|\bar{z}| = \frac{1}{|z|}$
    Réponse

    C. $|\bar{z}| = |z|$ — $|\bar{z}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2} = |z|$.

  6. Si $z + \bar{z} = 6$ et $z - \bar{z} = 4i$, alors $z = $

    • A. $3 + 2i$
    • B. $6 + 4i$
    • C. $2 + 3i$
    • D. $3 - 2i$
    Réponse

    A. $3 + 2i$ — $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = 2$, donc $z = 3 + 2i$.

  7. $\overline{z_1 + z_2} = $

    • A. $\bar{z}_1 - \bar{z}_2$
    • B. $\bar{z}_1 + \bar{z}_2$
    • C. $z_1 + z_2$
    • D. $-(\bar{z}_1 + \bar{z}_2)$
    Réponse

    B. $\bar{z}_1 + \bar{z}_2$ — La conjugaison est distributive par rapport à l'addition.

  8. $|z|^2 - |\bar{z}|^2 = $

    • A. $2|z|$
    • B. $0$
    • C. $2a^2$
    • D. $2b^2$
    Réponse

    B. $0$ — $|z| = |\bar{z}|$, donc la différence est nulle.

  9. $z = \dfrac{3-4i}{i}$ en forme algébrique :

    • A. $-4-3i$
    • B. $3+4i$
    • C. $-4+3i$
    • D. $4-3i$
    Réponse

    A. $-4-3i$ — $\dfrac{3-4i}{i} \cdot \dfrac{-i}{-i} = \dfrac{-3i+4i^2}{1} = -4 - 3i$.

  10. Si $z \in \mathbb{R}$, alors :

    • A. $\bar{z} = -z$
    • B. $\bar{z} = iz$
    • C. $\bar{z} = z$
    • D. $\text{Im}(z) \neq 0$
    Réponse

    C. $\bar{z} = z$ — Un réel vérifie $z = \bar{z}$ car sa partie imaginaire est nulle.

  11. $(2+3i) \cdot \overline{(2+3i)} = $

    • A. $4-9$
    • B. $13$
    • C. $-5$
    • D. $4+9i^2$
    Réponse

    B. $13$ — $z\bar{z} = |z|^2 = 4 + 9 = 13$.

  12. L'axe imaginaire dans le plan complexe représente :

    • A. Les réels
    • B. Les imaginaires purs
    • C. Les complexes non nuls
    • D. Les conjugués
    Réponse

    B. Les imaginaires purs — L'axe des ordonnées (axe imaginaire) contient les points $z = iy$ ($y \in \mathbb{R}$), c'est-à-dire les imaginaires purs.

Niveau difficile — 13 questions

  1. Les racines carrées de $2i$ sont :

    • A. $1 + i$ et $-1 - i$
    • B. $1 - i$ et $-1 + i$
    • C. $i$ et $-i$
    • D. $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$
    Réponse

    A. $1 + i$ et $-1 - i$ — $(1+i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$. Donc les racines carrées sont $\pm(1+i)$.

  2. $z^2 + 2z + 5 = 0$ a pour discriminant :

    • A. $24$
    • B. $-16$
    • C. $-4$
    • D. $16$
    Réponse

    B. $-16$ — $\Delta = 4 - 20 = -16$.

  3. Les solutions de $z^2 + 2z + 5 = 0$ sont :

    • A. $-1 \pm 2i$
    • B. $1 \pm 2i$
    • C. $2 \pm i$
    • D. $-2 \pm i$
    Réponse

    A. $-1 \pm 2i$ — $z = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

  4. L'ensemble $|z - i| \leq 2$ représente :

    • A. Un cercle ouvert
    • B. L'intérieur d'un cercle (disque fermé)
    • C. Une droite
    • D. L'extérieur d'un cercle
    Réponse

    B. L'intérieur d'un cercle (disque fermé) — $|z - i| \leq 2$ est le disque de centre $i = (0,1)$ et de rayon 2 (fermé car inégalité large).

  5. Si $|z| = 1$, alors $z \cdot \bar{z} = $

    • A. $0$
    • B. $2$
    • C. $1$
    • D. $i$
    Réponse

    C. $1$ — $z\bar{z} = |z|^2 = 1^2 = 1$.

  6. Pour tout $z \in \mathbb{C}$, $|z + \bar{z}|$ est égal à :

    • A. $|z|$
    • B. $2|z|$
    • C. $2|\text{Re}(z)|$
    • D. $2|\text{Im}(z)|$
    Réponse

    C. $2|\text{Re}(z)|$ — $z + \bar{z} = 2a$ (réel), donc $|z + \bar{z}| = |2a| = 2|\text{Re}(z)|$.

  7. Si $z^2 = \bar{z}$, alors $|z|^3 = $

    • A. $|z|$
    • B. $|z|^2$
    • C. $0$ ou $1$
    • D. $|z|$
    Réponse

    C. $0$ ou $1$ — $|z^2| = |\bar{z}|$ donne $|z|^2 = |z|$, soit $|z|(|z|-1) = 0$. Donc $|z| = 0$ ou $|z| = 1$, et $|z|^3 = 0$ ou $1$.

  8. Le lieu $|z - 2| = |z|$ est :

    • A. Un cercle de centre 1
    • B. La droite $\text{Re}(z) = 1$
    • C. La droite $\text{Im}(z) = 1$
    • D. Un cercle de rayon 2
    Réponse

    B. La droite $\text{Re}(z) = 1$ — $|z-2|^2 = |z|^2$ → $(x-2)^2+y^2 = x^2+y^2$ → $x=1$. C'est la droite $\text{Re}(z) = 1$.

  9. Si $z_1$ et $z_2$ sont les racines de $z^2 - 6z + 10 = 0$, alors $|z_1| \cdot |z_2| = $

    • A. 6
    • B. $\sqrt{10}$
    • C. $10$
    • D. $\sqrt{36}$
    Réponse

    C. $10$ — $|z_1||z_2| = |z_1 z_2| = |c/a| = |10/1| = 10$ (produit des racines).

  10. $(\sqrt{3} + i)^2 = $

    • A. $2 + 2\sqrt{3}i$
    • B. $4$
    • C. $2\sqrt{3} + 2i$
    • D. $3 + i$
    Réponse

    A. $2 + 2\sqrt{3}i$ — $(\sqrt{3})^2 - 1 + 2\sqrt{3}i = 3 - 1 + 2\sqrt{3}i = 2 + 2\sqrt{3}i$.

  11. Pour $z \neq 0$, $\dfrac{|z|^2}{z}$ est égal à :

    • A. $\bar{z}$
    • B. $z$
    • C. $|z|$
    • D. $\dfrac{1}{z}$
    Réponse

    A. $\bar{z}$ — $\dfrac{|z|^2}{z} = \dfrac{z\bar{z}}{z} = \bar{z}$.

  12. L'ensemble des $z$ tels que $\text{Re}(z^2) = 0$ est :

    • A. L'axe réel et l'axe imaginaire
    • B. Le cercle unité
    • C. L'ensemble des imaginaires purs
    • D. L'axe réel
    Réponse

    A. L'axe réel et l'axe imaginaire — $z^2 = (a^2-b^2)+2abi$. $\text{Re}(z^2)=0$ → $a^2=b^2$ → $a=\pm b$. Ce sont les deux droites $y=x$ et $y=-x$ (axe réel et imaginaire orientés à 45°, ou les bissectrices).

  13. Si $P(z) = z^2 - (1+2i)z + (2i-1)$ et $z_0 = 1$ est racine, l'autre racine est :

    • A. $2i$
    • B. $2i-1$
    • C. $1-2i$
    • D. $-1$
    Réponse

    B. $2i-1$ — Produit des racines $= 2i - 1$. Si $z_1 = 1$, alors $z_2 = 2i - 1$.

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