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Forme algébrique et conjugué

L’ensemble ℂ et la forme algébrique a + ib, parties réelle et imaginaire, conjugué et ses propriétés, inverse, quotient et équations simples, module, formule du binôme dans ℂ.

À propos de cette page
Un QCM sur la forme algébrique des nombres complexes, en trois niveaux de douze questions : parties réelle et imaginaire, conjugué, module et puissances de i, puis quotients et équations, enfin les caractérisations, les contre-exemples et le binôme. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Quelle est la partie réelle du nombre complexe −4 + 9i ?

    • A. −4
    • B. 9
    • C. 4
    • D. −9
    Réponse

    A. −4 — Dans l’écriture a + ib, la partie réelle est a, ici −4 ; 9 est la partie imaginaire.

  2. Quel est le conjugué du nombre complexe 5 − 2i ?

    • A. −5 + 2i
    • B. 5 + 2i
    • C. −5 − 2i
    • D. 2 − 5i
    Réponse

    B. 5 + 2i — On change le signe de la partie imaginaire seulement : le conjugué de 5 − 2i est 5 + 2i.

  3. Le nombre i⁶ est égal à :

    • A. i
    • B. 1
    • C. −1
    • D. −i
    Réponse

    C. −1 — 6 = 4 + 2, donc i⁶ = i⁴ × i² = 1 × (−1) = −1.

  4. Le module du nombre complexe 3 − 4i vaut :

    • A. 1
    • B. 7
    • C. √7
    • D. 5
    Réponse

    D. 5 — |3 − 4i| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5 : on additionne les carrés, jamais les nombres eux-mêmes.

  5. Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe 7i − 2 ?

    • A. 7
    • B. 7i
    • C. −2
    • D. −2 + 7i
    Réponse

    A. 7 — Le nombre s’écrit −2 + 7i : sa partie imaginaire est le réel 7, sans le facteur i.

  6. Le produit (2 + i)(2 − i) est égal à :

    • A. 3
    • B. 5
    • C. 4 − i
    • D. 4 + i
    Réponse

    B. 5 — C’est un nombre multiplié par son conjugué : 2² + 1² = 5, le carré du module.

  7. Pour tout nombre complexe z, le produit z z̄ est :

    • A. un imaginaire pur
    • B. un réel strictement négatif
    • C. un réel positif ou nul
    • D. égal au carré de z
    Réponse

    C. un réel positif ou nul — Si z = a + ib, z z̄ = a² + b², somme de deux carrés de réels : un réel positif ou nul.

  8. Le conjugué du nombre complexe i est :

    • A. i²
    • B. i
    • C. 2i
    • D. −i
    Réponse

    D. −i — i = 0 + 1 × i, donc son conjugué est 0 − 1 × i = −i.

  9. La somme (3 + i) + (−5 + 4i) est égale à :

    • A. −2 + 3i
    • B. −2 + 5i
    • C. 8 + 5i
    • D. 2 + 5i
    Réponse

    B. −2 + 5i — On ajoute séparément les parties réelles et les parties imaginaires : (3 − 5) + (1 + 4)i = −2 + 5i.

  10. Lequel de ces nombres est imaginaire pur ?

    • A. −7i
    • B. 7
    • C. 1 + i
    • D. i²
    Réponse

    A. −7i — −7i a une partie réelle nulle. Le nombre i² vaut −1 : il est réel.

  11. Le carré (1 + i)² est égal à :

    • A. 2
    • B. 0
    • C. 2 + 2i
    • D. 2i
    Réponse

    D. 2i — (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.

  12. Dans le développement de (a + b)⁵ par la formule du binôme, le coefficient de a²b³ est :

    • A. 5
    • B. 10
    • C. 15
    • D. 20
    Réponse

    B. 10 — C’est le coefficient binomial « 2 parmi 5 », qui vaut 10 (ligne 1, 5, 10, 10, 5, 1 du triangle de Pascal).

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. La forme algébrique de (1 + 2i)² est :

    • A. 1 + 4i
    • B. 5
    • C. 3 + 4i
    • D. −3 + 4i
    Réponse

    D. −3 + 4i — (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = −3 + 4i : le terme 4i² vaut −4 et change la partie réelle.

  2. La forme algébrique de 1/(1 − i) est :

    • A. (1 − i)/2
    • B. 1 + i
    • C. (1 + i)/2
    • D. −(1 + i)/2
    Réponse

    C. (1 + i)/2 — On multiplie par le conjugué : 1/(1 − i) = (1 + i)/((1 − i)(1 + i)) = (1 + i)/2.

  3. Le module de (2 + i)/(1 − 3i) est égal à :

    • A. 2
    • B. √2/2
    • C. √2
    • D. 1/2
    Réponse

    B. √2/2 — |2 + i|/|1 − 3i| = √5/√10 = 1/√2 = √2/2 : le module d’un quotient est le quotient des modules.

  4. Si z = 3 − i, alors z + 2z̄ est égal à :

    • A. 9 − i
    • B. 3 − 3i
    • C. 9 + i
    • D. 6 + 2i
    Réponse

    C. 9 + i — z̄ = 3 + i, donc z + 2z̄ = 3 − i + 6 + 2i = 9 + i.

  5. La solution de l’équation (1 − i)z = 2 est :

    • A. 1 − i
    • B. 1 + i
    • C. 2 + 2i
    • D. −1 + i
    Réponse

    B. 1 + i — z = 2/(1 − i) = 2(1 + i)/2 = 1 + i. Contrôle : (1 − i)(1 + i) = 2.

  6. Si z + z̄ = 6 et z − z̄ = 4i, alors z est égal à :

    • A. 6 + 4i
    • B. 3 − 2i
    • C. 3 + 2i
    • D. 2 + 3i
    Réponse

    C. 3 + 2i — z + z̄ = 2 Re(z) = 6 donne Re(z) = 3 ; z − z̄ = 2i Im(z) = 4i donne Im(z) = 2. Donc z = 3 + 2i.

  7. Le module de (1 − i)¹⁴ est égal à :

    • A. 14
    • B. 16 384
    • C. 7
    • D. 128
    Réponse

    D. 128 — |1 − i| = √2, donc |(1 − i)¹⁴| = (√2)¹⁴ = 2⁷ = 128.

  8. La partie imaginaire de (2 − i)(3 + 2i) est :

    • A. 1
    • B. 7
    • C. i
    • D. 8
    Réponse

    A. 1 — (2 − i)(3 + 2i) = 6 + 4i − 3i − 2i² = 8 + i : la partie imaginaire est le réel 1.

  9. La forme algébrique de (1 + i)³ est :

    • A. 2 + 2i
    • B. 1 + 3i
    • C. −2 − 2i
    • D. −2 + 2i
    Réponse

    D. −2 + 2i — (1 + i)² = 2i, donc (1 + i)³ = 2i(1 + i) = 2i + 2i² = −2 + 2i.

  10. Le conjugué de (2 + i)/(3 − i) est :

    • A. (2 − i)/(3 + i)
    • B. (2 + i)/(3 + i)
    • C. (2 − i)/(3 − i)
    • D. (−2 + i)/(3 + i)
    Réponse

    A. (2 − i)/(3 + i) — Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués : on conjugue le numérateur et le dénominateur.

  11. Si |z| = 5, alors le produit z z̄ vaut :

    • A. 5
    • B. 10
    • C. 25
    • D. √5
    Réponse

    C. 25 — z z̄ = |z|² = 5² = 25.

  12. Pour x et y réels, la partie réelle de (x + iy)² est :

    • A. x² + y²
    • B. x² − y²
    • C. 2xy
    • D. x² − y² + 2xy
    Réponse

    B. x² − y² — (x + iy)² = x² + 2ixy + i²y² = (x² − y²) + 2xy i : la partie réelle est x² − y².

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Pour tout complexe z non nul, le quotient z / z̄ est :

    • A. toujours un nombre réel
    • B. toujours de module 1
    • C. toujours un imaginaire pur
    • D. toujours égal à 1
    Réponse

    B. toujours de module 1 — |z / z̄| = |z| / |z̄| = 1 car |z̄| = |z|. Il n’est réel que dans des cas particuliers, par exemple si z est réel.

  2. Un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si :

    • A. Re(z) = Im(z)
    • B. z̄ = z
    • C. |z| = Im(z)
    • D. z̄ = −z
    Réponse

    D. z̄ = −z — z̄ = −z équivaut à 2 Re(z) = 0, donc à Re(z) = 0. La condition z̄ = z caractérise, elle, les réels.

  3. Pour z = 1 et z′ = i, le module |z + z′| est égal à :

    • A. √2
    • B. 2
    • C. 1
    • D. √2/2
    Réponse

    A. √2 — |1 + i| = √2 alors que |z| + |z′| = 2 : le module d’une somme n’est pas la somme des modules.

  4. Un polynôme à coefficients complexes non tous réels admet 2 − i pour racine. On peut affirmer :

    • A. 2 + i en est aussi une racine
    • B. son degré est nécessairement pair
    • C. rien ne garantit que 2 + i soit racine
    • D. ses racines sont deux à deux conjuguées
    Réponse

    C. rien ne garantit que 2 + i soit racine — La propriété des racines conjuguées repose sur des coefficients réels, égaux à leurs conjugués ; sinon elle tombe.

  5. Pour tous complexes z et z′, la quantité z z̄′ + z̄ z′ est égale à :

    • A. 2 Re(z z̄′)
    • B. 2i Im(z z̄′)
    • C. |z + z′|²
    • D. 2|z| × |z′|
    Réponse

    A. 2 Re(z z̄′) — Les deux termes sont conjugués l’un de l’autre, et w + w̄ = 2 Re(w).

  6. Dans un calcul, on trouve le nombre −5i. Écrire « −5i < 0 » :

    • A. est correct, car −5i est négatif
    • B. revient à écrire |−5i| < 0
    • C. n’a aucun sens dans ℂ
    • D. signifie que Im(−5i) < 0
    Réponse

    C. n’a aucun sens dans ℂ — Les nombres complexes non réels ne se comparent pas : on ne parle du signe que d’un réel.

  7. Pour tout entier naturel n, le conjugué de (1 + i)ⁿ est :

    • A. (1 − i)ⁿ
    • B. −(1 + i)ⁿ
    • C. (−1 − i)ⁿ
    • D. (1 + i)⁻ⁿ
    Réponse

    A. (1 − i)ⁿ — Le conjugué d’une puissance est la puissance du conjugué, et le conjugué de 1 + i est 1 − i.

  8. Si z est un complexe de module 1, alors 1/z est égal à :

    • A. −z
    • B. z
    • C. z̄
    • D. −z̄
    Réponse

    C. z̄ — z z̄ = |z|² = 1, donc z̄ = 1/z.

  9. Les solutions dans ℂ de l’équation z² = −1 sont :

    • A. i uniquement
    • B. i et −i
    • C. −1 uniquement
    • D. il n’y en a aucune
    Réponse

    B. i et −i — z² + 1 = (z − i)(z + i), et un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : z = i ou z = −i.

  10. Pour tous complexes z et z′, Re(z z′) est égal à :

    • A. Re(z) Re(z′)
    • B. Re(z) Re(z′) − Im(z) Im(z′)
    • C. Re(z) Re(z′) + Im(z) Im(z′)
    • D. Re(z) + Re(z′)
    Réponse

    B. Re(z) Re(z′) − Im(z) Im(z′) — Avec z = a + ib et z′ = a′ + ib′ : z z′ = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b). Pour z = z′ = i, Re(i²) = −1 alors que Re(i) Re(i) = 0.

  11. Pour tout entier n, la somme des « k parmi n » × iᵏ, pour k de 0 à n, est égale à :

    • A. 2ⁿ
    • B. iⁿ
    • C. (1 − i)ⁿ
    • D. (1 + i)ⁿ
    Réponse

    D. (1 + i)ⁿ — C’est la formule du binôme avec a = i et b = 1 : (i + 1)ⁿ.

  12. Le plus petit entier n ≥ 1 tel que (1 + i)ⁿ soit un réel strictement négatif est :

    • A. 2
    • B. 4
    • C. 6
    • D. 8
    Réponse

    B. 4 — (1 + i)² = 2i (imaginaire pur), (1 + i)³ = −2 + 2i, (1 + i)⁴ = (2i)² = −4 : n = 4.

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