Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle
Argument, module, formule d'Euler et applications : programme d'option Maths expertes Terminale.
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Forme exponentielle d'un complexe
/ 4 pts- Soit $z = -1 - i$. Calculer $|z|$.
- Déterminer l'argument principal de $z$.
- Écrire $z$ sous forme exponentielle.
- En déduire la forme algébrique de $z^8$.
Exercice 2 — Produit et quotient de complexes
/ 4 pts- Soit $z_1 = 4e^{i5\pi/6}$ et $z_2 = 2e^{i\pi/6}$. Calculer $z_1 \cdot z_2$ sous forme exponentielle, puis algébrique.
- Calculer $z_1 / z_2$ sous forme exponentielle, puis algébrique.
- Que peut-on dire de la nature de $z_1/z_2$ ?
Exercice 3 — Formule de De Moivre
/ 5 pts- En développant $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ par le binôme de Newton, exprimer $\cos(3\theta)$ et $\sin(3\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$.
- En déduire une expression de $\cos(3\theta)$ uniquement en fonction de $\cos\theta$.
- Calculer $(\sqrt{3}+i)^6$ à l'aide de la forme exponentielle.
Exercice 4 — Racines cubiques d'un complexe
/ 4 pts- Déterminer les trois racines cubiques de $w = 8i$.
- Écrire chaque racine sous forme algébrique.
- Vérifier que la somme des trois racines est nulle.
Exercice 5 — Linéarisation et application
/ 3 pts- Linéariser $\cos^2\theta\sin\theta$ (exprimer comme somme de sinus ou cosinus de multiples de $\theta$).
- En déduire $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\sin\theta\,d\theta$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Forme exponentielle d'un complexe
Corrigé :
1. $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.
2. $\cos\theta=-1/\sqrt{2}$, $\sin\theta=-1/\sqrt{2}$ → 3e quadrant → $\theta=-3\pi/4$.
3. $z=\sqrt{2}\,e^{-i3\pi/4}$.
4. $z^8=(\sqrt{2})^8 e^{-i6\pi}=16\cdot e^{0}=16$. Donc $z^8=16$ (réel).
Exercice 2 — Produit et quotient de complexes
Corrigé :
1. $z_1z_2=8\,e^{i(5\pi/6+\pi/6)}=8e^{i\pi}=-8$. C'est un réel négatif.
2. $z_1/z_2=2\,e^{i(5\pi/6-\pi/6)}=2e^{i4\pi/6}=2e^{i2\pi/3}$. Algébrique : $2(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-1+i\sqrt{3}$.
3. $z_1/z_2=-1+i\sqrt{3}$ est un complexe non réel (partie imaginaire $\neq 0$). Le quotient $z_1z_2$ est réel car $\arg(z_1z_2)=\pi$.
Exercice 3 — Formule de De Moivre
Corrigé :
1. $(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta$.
Partie réelle : $\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$.
Partie imaginaire : $\sin(3\theta)=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$.
2. On substitue $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ : $\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.
3. $\sqrt{3}+i=2e^{i\pi/6}$, donc $(\sqrt{3}+i)^6=2^6e^{i\pi}=64\cdot(-1)=-64$.
Exercice 4 — Racines cubiques d'un complexe
Corrigé :
$8i=8e^{i\pi/2}$. Module des racines : $8^{1/3}=2$. Arguments : $\frac{\pi/2+2k\pi}{3}$ pour $k=0,1,2$.
$z_0=2e^{i\pi/6}=\sqrt{3}+i$.
$z_1=2e^{i5\pi/6}=-\sqrt{3}+i$.
$z_2=2e^{i3\pi/2}=2e^{-i\pi/2}=-2i$.
Somme : $(\sqrt{3}+i)+(-\sqrt{3}+i)+(-2i)=0+0i=0$. ✓
Exercice 5 — Linéarisation et application
Corrigé :
1. On utilise $\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$ :
$\cos^2\theta\sin\theta=\frac{\sin\theta+\cos 2\theta\sin\theta}{2}=\frac{\sin\theta+\frac{1}{2}(\sin 3\theta-\sin\theta)}{2}=\frac{\sin\theta}{4}+\frac{\sin 3\theta}{4}$.
Méthode alternative plus directe : Poser $u=\cos\theta$, $du=-\sin\theta\,d\theta$, alors $\int\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=-\int u^2\,du=-\frac{u^3}{3}+C=-\frac{\cos^3\theta}{3}+C$.
2. $\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=\left[-\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/2}=0-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$.
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Forme exponentielle d'un complexe/ 4 pts
- Exercice 2 — Produit et quotient de complexes/ 4 pts
- Exercice 3 — Formule de De Moivre/ 5 pts
- Exercice 4 — Racines cubiques d'un complexe/ 4 pts
- Exercice 5 — Linéarisation et application/ 3 pts
Notions évaluées
Module d'un nombre complexe, Argument d'un nombre complexe, Forme trigonométrique, Formule d'Euler et forme exponentielle, Opérations en forme exponentielle, Formule de De Moivre et linéarisation.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Module d'un nombre complexe, Argument d'un nombre complexe, Forme trigonométrique, Formule d'Euler et forme exponentielle.
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