Forme trigonométrique et exponentielle

1. a)Dans le repère orthonormé, $A(\cos a;\sin a)$ et $B(\cos b;\sin b)$, donc $\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (expression en coordonnées). D’autre part, $\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=OA\times OB\times \cos AOB$ avec $OA=OB=1$. Une mesure de l’angle orienté $(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})$ est $b-a$, et le cosinus de l’angle géométrique $AOB$ est égal à $\cos (b-a)$, car le cosinus est pair et $2\pi$-périodique. Donc $\cos (b-a)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, et $\cos (a-b)=\cos (b-a)$ par parité. (1)
2. b)$\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (angle associé $\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$). D’après la question 1 : $\cos {\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$ $=\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ $=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ $=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$. Le résultat est négatif, comme attendu pour un angle de $\left]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right[$. (1)
3. c)Par duplication, $\cos (2x)=2{\cos }^{2}x-1$ : l’équation s’écrit $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$. En posant $X=\cos x$ : $2X^2-X-1=(X-1)(2X+1)=0$, donc $\cos x=1$ ou $\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Dans $]-\pi ;\pi ]$ : $\cos x=1$ donne $x=0$ ; $\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ donne $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. $𝒮=\{-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}};0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\}$. (1)
4. d)${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a=1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$, et $\cos a<0$ sur $\left]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right[$ : $\cos a=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$. Puis $\cos (2a)=1-2{\sin }^{2}a=1-{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$ et $\sin (2a)=2\sin a\cos a=2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}\times (-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}})=-{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{9}}$. (1)

Repère — Une formule d’addition donne une valeur exacte dès que l’angle est une somme ou une différence d’angles remarquables.

1. a)$|z_A|=\sqrt{75+25}=10$, et $z_A=10(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i)$ : l’angle de cosinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et de sinus ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ est ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$. Donc $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z_A)={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}[2\pi ]$ et $z_A=10e^{5i\pi /6}$. (1)
2. b)$12e^{-i\pi /3}=12(\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}))=12({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)=6-6\sqrt{3}i$. (1)
3. c)Le coefficient $-4$ n’est pas un module. Avec $-1=e^{i\pi }$ : $-4e^{i\pi /9}=4e^{i(\pi +\frac{\pi }{9})}=4e^{10i\pi /9}$, et ${\displaystyle \frac{10\pi }{9}}-2\pi =-{\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$ : $-4e^{i\pi /9}=4e^{-8i\pi /9}$. (1)
4. d)$\left|z_A^3\right|={10}^3=1000$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(z_A^3\right)=3\times {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}={\displaystyle \frac{5\pi }{2}}$, soit ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ à $2\pi$ près. Donc $z_A^3=1000e^{i\pi /2}=1000i$. (1)

Repère — Le module se calcule d’abord ; l’argument est l’angle qui a à la fois le bon cosinus et le bon sinus.

1. a)$|w|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$ et $w=2\sqrt{2}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)$ : cosinus ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, sinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, donc $w=2\sqrt{2}{e}^{-i\pi /4}$. (1)
2. b)Par Moivre, $w^{10}={\left(2\sqrt{2}\right)}^{10}{e}^{-10i\pi /4}=2^{15}{e}^{-5i\pi /2}$. Or $-{\displaystyle \frac{5\pi }{2}}=-2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, donc $e^{-5i\pi /2}=e^{-i\pi /2}=-i$ et $w^{10}=32768\times (-i)=-32768i$. (1)
3. c)$w^n={\left(2\sqrt{2}\right)}^n{e}^{-in\pi /4}$, non nul, est imaginaire pur si et seulement si son argument vaut ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ à $\pi$ près. Pour $n=1$, $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ ne convient pas ; pour $n=2$, $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ convient. Le plus petit entier est $n=2$, et en effet $w^2=4-8i+4i^2=-8i$. (1)
4. d)$w^8={\left(2\sqrt{2}\right)}^8{e}^{-8i\pi /4}=2^{12}{e}^{-2i\pi }$. Comme $e^{-2i\pi }=1$, $w^8=4096$ : c’est un réel strictement positif, d’argument $0$ à $2\pi$ près. (1)

Repère — Une puissance se calcule en forme exponentielle : le module à la puissance n, l’argument multiplié par n.

1. a)D’après Euler, ${\cos }^{4}x={\displaystyle \frac{{(e^{ix}+e^{-ix})}^4}{2^4}}$. Le binôme (ligne $1,4,6,4,1$) donne ${(e^{ix}+e^{-ix})}^4=e^{4ix}+4e^{2ix}+6+4e^{-2ix}+e^{-4ix}$. En regroupant les termes conjugués, $e^{4ix}+e^{-4ix}=2\cos (4x)$ et $e^{2ix}+e^{-2ix}=2\cos (2x)$ : la somme vaut $2\cos (4x)+8\cos (2x)+6$. Donc ${\cos }^{4}x={\displaystyle \frac{2\cos (4x)+8\cos (2x)+6}{16}}={\displaystyle \frac{3+4\cos (2x)+\cos (4x)}{8}}$. (1)
2. b)Pour $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : $\cos \pi =-1$ et $\cos (2\pi )=1$, donc le membre de droite vaut ${\displaystyle \frac{3-4+1}{8}}=0$, et ${\cos }^4{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0$ : l’égalité est vérifiée. (1)
3. c)Une primitive est $F(x)={\displaystyle \frac{3x}{8}}+{\displaystyle \frac{\sin (2x)}{4}}+{\displaystyle \frac{\sin (4x)}{32}}$. $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ $={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{32}}\times (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$ $={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{64}}$ et $F(0)=0$. L’intégrale vaut ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{64}}$. (1)
4. d)En $x=0$, le membre de droite vaudrait ${\displaystyle \frac{3+4+1}{2}}=4$, alors que ${\cos }^{4}0=1$ : la formule est fausse. Le dénominateur correct est $2^4=16$ avant simplification, soit $8$ après : l’élève a oublié que la puissance porte aussi sur le dénominateur $2$ de la formule d’Euler. (1)

Repère — Après une linéarisation, un contrôle en x = 0 ou en x = π/2 détecte presque toutes les erreurs.

1. a)$|a|=\sqrt{512+512}=\sqrt{1024}=32$ et $a=32(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)$ : cosinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, sinus ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, donc $a=32e^{3i\pi /4}$. (1)
2. b)Avec $z=r{e}^{i\theta }$, $r>0$ : $z^5=a⟺r^5=32$ et $5\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2k\pi$ ($k$ entier), soit $r=2$ et $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{20}}+{\displaystyle \frac{2k\pi }{5}}$. Pour $k$ de $0$ à $4$ : $2e^{3i\pi /20}$, $2e^{11i\pi /20}$, $2e^{19i\pi /20}$, $2e^{27i\pi /20}$ et $2e^{7i\pi /4}$ ; au-delà, on retrouve les mêmes. (1)
3. c)Notons $z_0=2e^{3i\pi /20}$ et $q=e^{2i\pi /5}$ : les solutions sont les $z_0{q}^k$ pour $k$ de $0$ à $4$. Leur somme vaut $z_0(1+q+q^2+q^3+q^4)=z_0\times {\displaystyle \frac{1-q^5}{1-q}}$, licite car $q\ne 1$. Or $q^5=e^{2i\pi }=1$ : la somme est nulle. (1)
4. d)Les cinq points ont pour module $2$ : ils sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$. Leurs arguments sont espacés de ${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$ : la rotation de centre $O$ d’angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$ (multiplication par $q$) envoie chaque point sur le suivant. Les cinq côtés sont donc égaux, ainsi que les cinq angles : le pentagone est régulier, de centre $O$, inscrit dans le cercle de rayon $2$. (1)

Repère — Les n solutions de zⁿ = a ont le même module et des arguments espacés de 2π/n : elles forment un polygone régulier.