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Équations polynomiales à coefficients réels

Équations du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ, racines d'un polynôme, équations de degré 3 avec une racine connue

À propos de cette page

Ce QCM sur « Équations polynomiales à coefficients réels » en terminale teste tes connaissances en maths expertes (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel, Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, Racine d'un polynôme et factorisation par z − α. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths expertes (option tle) en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Les solutions dans ℂ de $z^{2} + 36 = 0$ sont :
- A. $6$ et $- 6$
- B. $6 i$ et $- 6 i$
- C. $36 i$ et $- 36 i$
- D. aucune solution
Réponse
B. $6 i$ et $- 6 i$ — $z^{2} = - 36 = (6 i)^{2}$ , donc $z = 6 i$ ou $z = - 6 i$ . Dans ℂ, une telle équation a toujours deux solutions.
Si $a$ , $b$ , $c$ sont réels et $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ , l'équation $a z^{2} + b z + c = 0$ admet dans ℂ :
- A. deux solutions conjuguées
- B. deux solutions réelles
- C. une unique solution double réelle
- D. aucune solution complexe
Réponse
A. deux solutions conjuguées — Pour $Δ < 0$ , les solutions sont $\frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ : deux complexes conjugués non réels.
Pour tous complexes $z$ et $a$ , $z^{3} - a^{3}$ est égal à :
- A. $(z - a) (z^{2} - a z + a^{2})$
- B. $(z - a) (z^{2} + 2 a z + a^{2})$
- C. $(z - a) (z^{2} + a z + a^{2})$
- D. $(z - a)^{3}$
Réponse
C. $(z - a) (z^{2} + a z + a^{2})$ — Formule $z^{n} - a^{n} = (z - a) (z^{n - 1} + a z^{n - 2} + \dots + a^{n - 1})$ avec $n = 3$ . $(z - a)^{3}$ contient d'autres termes, en $z^{2} a$ et $z a^{2}$ .
Un polynôme de degré 5 admet dans ℂ :
- A. exactement 5 racines distinctes
- B. au moins 5 racines distinctes
- C. au plus 4 racines distinctes
- D. au plus 5 racines distinctes
Réponse
D. au plus 5 racines distinctes — Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ; il peut en avoir moins en cas de racine multiple, comme $(z - 1)^{5}$ .
$P$ est un polynôme à coefficients réels et $P (4 - i) = 0$ . Alors, nécessairement :
- A. $P (- 4 - i) = 0$
- B. $P (4 + i) = 0$
- C. $P (- 4 + i) = 0$
- D. $P (4) = 0$
Réponse
B. $P (4 + i) = 0$ — Les coefficients étant réels, $P (\overset{―}{z}) = \overset{―}{P (z)}$ : le conjugué $4 + i$ est aussi racine.
$P$ est un polynôme de degré 4 tel que $P (3) = 0$ . Alors :
- A. $P (z) = (z - 3) Q (z)$ avec $Q$ de degré 3
- B. $P (z) = (z + 3) Q (z)$ avec $Q$ de degré 3
- C. $P (z) = (z - 3) Q (z)$ avec $Q$ de degré 4 au moins
- D. $P (z) = 3 Q (z)$ avec $Q$ de degré 3
Réponse
A. $P (z) = (z - 3) Q (z)$ avec $Q$ de degré 3 — Si $P (α) = 0$ , $P (z) = (z - α) Q (z)$ avec $\deg Q = \deg P - 1$ . Ici $α = 3$ : le facteur est $z - 3$ , pas $z + 3$ .
Les solutions de $z^{2} + 4 z + 29 = 0$ sont :
- A. $2 \pm 5 i$
- B. $- 2 \pm 10 i$
- C. $- 4 \pm 5 i$
- D. $- 2 \pm 5 i$
Réponse
D. $- 2 \pm 5 i$ — $Δ = 16 - 116 = - 100 = (10 i)^{2}$ , donc $z = \frac{- 4 \pm 10 i}{2} = - 2 \pm 5 i$ .
Parmi ces nombres, lequel est racine de $z^{3} + 3 z^{2} + 7 z + 5$ ?
- A. $1$
- B. $5$
- C. $- 1$
- D. $- 5$
Réponse
C. $- 1$ — $(- 1)^{3} + 3 (- 1)^{2} + 7 (- 1) + 5 = - 1 + 3 - 7 + 5 = 0$ . Les autres valeurs donnent un résultat non nul (16 pour 1, par exemple).

Niveau moyen — 8 questions

Les solutions de $3 z^{2} - 2 z + 1 = 0$ sont :
- A. $\frac{1 \pm i \sqrt{2}}{6}$
- B. $\frac{- 1 \pm i \sqrt{2}}{3}$
- C. $\frac{2 \pm i \sqrt{2}}{3}$
- D. $\frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$
Réponse
D. $\frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$ — $Δ = 4 - 12 = - 8 = (2 i \sqrt{2})^{2}$ , donc $z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6} = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$ .
Le quotient de $z^{3} - 1$ par $z - 1$ est :
- A. $z^{2} - z + 1$
- B. $z^{2} + 1$
- C. $z^{2} + z + 1$
- D. $z^{2} + z - 1$
Réponse
C. $z^{2} + z + 1$ — $z^{3} - 1 = (z - 1) (z^{2} + z + 1)$ : c'est la formule de $z^{n} - 1$ pour $n = 3$ , avec la somme $1 + z + z^{2}$ .
On a $z^{4} - 256 = (z - 4) Q (z)$ avec $Q (z) =$
- A. $z^{3} + 4 z^{2} + 16 z + 64$
- B. $z^{3} - 4 z^{2} + 16 z - 64$
- C. $z^{3} + 4 z^{2} + 16 z + 16$
- D. $z^{3} + 16 z^{2} + 4 z + 64$
Réponse
A. $z^{3} + 4 z^{2} + 16 z + 64$ — $256 = 4^{4}$ ; la formule donne $Q (z) = z^{3} + 4 z^{2} + 4^{2} z + 4^{3} = z^{3} + 4 z^{2} + 16 z + 64$ .
On a $z^{3} - 2 z^{2} + 9 z - 18 = (z - 2) (z^{2} + b z + c)$ . Alors $(b; c) =$
- A. $(- 4; 9)$
- B. $(0; 9)$
- C. $(0; - 9)$
- D. $(4; 9)$
Réponse
B. $(0; 9)$ — En développant : $z^{3} + (b - 2) z^{2} + (c - 2 b) z - 2 c$ . D'où $b = 0$ et $c = 9$ ; $- 2 c = - 18$ est bien vérifié.
Les solutions de $z^{2} - 6 z + 25 = 0$ ont pour module commun :
- A. $5$
- B. $25$
- C. $4$
- D. $\sqrt{7}$
Réponse
A. $5$ — Les solutions $3 \pm 4 i$ sont conjuguées et leur produit vaut $\frac{c}{a} = 25 = z \overset{―}{z} = | z |^{2}$ , donc $| z | = 5$ .
Une équation du second degré à coefficients réels admettant $7 - 2 i$ pour solution est :
- A. $z^{2} + 14 z + 53 = 0$
- B. $z^{2} - 14 z + 45 = 0$
- C. $z^{2} - 7 z + 53 = 0$
- D. $z^{2} - 14 z + 53 = 0$
Réponse
D. $z^{2} - 14 z + 53 = 0$ — L'autre solution est $7 + 2 i$ : somme 14, produit $49 + 4 = 53$ , d'où $z^{2} - 14 z + 53 = 0$ .
Combien de solutions réelles l'équation $z^{3} + 4 z - 5 = 0$ possède-t-elle ?
- A. aucune
- B. une
- C. deux
- D. trois
Réponse
B. une — 1 est racine et $z^{3} + 4 z - 5 = (z - 1) (z^{2} + z + 5)$ ; le discriminant de $z^{2} + z + 5$ vaut $- 19 < 0$ . Une seule solution réelle.
Pour $P (z) = z^{4} + 2 z^{3} - z + 3$ , on a $P (i) =$
- A. $4 + i$
- B. $2 - 3 i$
- C. $4 - 3 i$
- D. $4 + 3 i$
Réponse
C. $4 - 3 i$ — $i^{4} = 1$ et $2 i^{3} = - 2 i$ , donc $P (i) = 1 - 2 i - i + 3 = 4 - 3 i$ .

Niveau difficile — 8 questions

Les solutions de $z^{2} - i z + 2 = 0$ sont $2 i$ et $- i$ . Elles ne sont pas conjuguées car :
- A. un coefficient n'est pas réel
- B. le discriminant est positif
- C. l'une des deux est fausse
- D. le degré de l'équation est pair
Réponse
A. un coefficient n'est pas réel — La propriété des racines conjuguées suppose des coefficients réels ; ici le coefficient de $z$ vaut $- i$ . Vérification : $(z - 2 i) (z + i) = z^{2} - i z + 2$ .
Un polynôme de degré 3 à coefficients réels possède toujours :
- A. exactement trois racines réelles
- B. au moins une racine réelle
- C. au plus une racine réelle
- D. trois racines non réelles
Réponse
B. au moins une racine réelle — Les racines non réelles vont par paires conjuguées, et le théorème des valeurs intermédiaires garantit une racine réelle pour un degré impair.
Les solutions de $2 z^{2} + 6 z + 9 = 0$ sont :
- A. $- 3 \pm 3 i$
- B. $\frac{- 3 \pm 3 i}{4}$
- C. $\frac{3 \pm 3 i}{2}$
- D. $\frac{- 3 \pm 3 i}{2}$
Réponse
D. $\frac{- 3 \pm 3 i}{2}$ — $Δ = 36 - 72 = - 36 = (6 i)^{2}$ ; $z = \frac{- 6 \pm 6 i}{4} = \frac{- 3 \pm 3 i}{2}$ . Oublier le $2 a$ au dénominateur donne $- 3 \pm 3 i$ .
Un polynôme $P$ de degré au plus 2 s'annule en 1, en 2 et en 3. Alors :
- A. $P (z) = (z - 1) (z - 2) (z - 3)$
- B. $P$ a exactement trois racines
- C. $P$ est le polynôme nul
- D. $P$ est constant non nul
Réponse
C. $P$ est le polynôme nul — Un polynôme non nul de degré au plus 2 a au plus 2 racines ; avec trois racines, $P$ est nul. $(z - 1) (z - 2) (z - 3)$ est de degré 3.
$z^{3} + 64$ est factorisable par :
- A. $z - 4$
- B. $z + 4$
- C. $z^{2} + 4$
- D. $z + 8$
Réponse
B. $z + 4$ — $z^{3} + 64 = z^{3} - (- 4)^{3} = (z + 4) (z^{2} - 4 z + 16)$ : $- 4$ est racine car $(- 4)^{3} = - 64$ .
Un polynôme unitaire de degré 3 à coefficients réels a pour racines $- 2$ et $1 + i \sqrt{2}$ . Il s'écrit :
- A. $z^{3} + z + 6$
- B. $z^{3} - z - 6$
- C. $z^{3} - 4 z^{2} - z + 6$
- D. $z^{3} - z + 6$
Réponse
D. $z^{3} - z + 6$ — $1 - i \sqrt{2}$ est aussi racine : $(z - 1)^{2} + 2 = z^{2} - 2 z + 3$ . Puis $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 3) = z^{3} - z + 6$ .
$P$ est de degré 4 à coefficients réels ; $i$ et $3 - i$ sont racines de $P$ . Il existe un réel $k$ non nul tel que $P (z) =$
- A. $k (z^{2} + 1) (z^{2} - 6 z + 10)$
- B. $k (z^{2} + 1) (z^{2} + 6 z + 10)$
- C. $k (z - i) (z - 3 + i)$
- D. $k (z^{2} - 1) (z^{2} - 6 z + 10)$
Réponse
A. $k (z^{2} + 1) (z^{2} - 6 z + 10)$ — $- i$ et $3 + i$ sont aussi racines ; $(z - i) (z + i) = z^{2} + 1$ et $(z - 3 + i) (z - 3 - i) = z^{2} - 6 z + 10$ . Quatre racines pour un degré 4 : il ne reste qu'un facteur constant.
Combien de solutions distinctes l'équation $z^{4} - 4 z^{3} + 6 z^{2} - 4 z + 1 = 0$ a-t-elle dans ℂ ?
- A. quatre distinctes
- B. deux
- C. une seule
- D. aucune
Réponse
C. une seule — Le polynôme est $(z - 1)^{4}$ : la seule solution est 1, racine d'ordre 4. « Au plus $n$ racines » n'impose pas d'en avoir $n$ distinctes.

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