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Équations polynomiales

Rappels du second degré dans ℝ, équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, factorisation d’un polynôme par z − α quand α est racine, équations de degré 3 et 4 dont une racine est connue, un polynôme de degré n a au plus n racines.

À propos de cette page
Un QCM sur les équations polynomiales en trois niveaux de douze questions : second degré dans ℝ et dans ℂ, racines conjuguées et nombre de racines, puis factorisations et identification, enfin polynôme nul, racines multiples et polynômes à reconstruire. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Les solutions dans ℂ de z² + 36 = 0 sont :

    • A. 6 et −6
    • B. 6i et −6i
    • C. 36i et −36i
    • D. il n’y a aucune solution
    Réponse

    B. 6i et −6i — z² = −36 = (6i)², donc z = 6i ou z = −6i. Dans ℂ, une telle équation a toujours deux solutions.

  2. Si a, b, c sont réels et Δ = b² − 4ac < 0, l’équation az² + bz + c = 0 admet dans ℂ :

    • A. deux solutions réelles
    • B. une solution double réelle
    • C. aucune solution complexe
    • D. deux solutions conjuguées
    Réponse

    D. deux solutions conjuguées — Pour Δ < 0, les solutions sont (−b ± i√(−Δ))/(2a) : deux complexes conjugués non réels.

  3. Pour tous complexes z et a, z³ − a³ est égal à :

    • A. (z − a)(z² + az + a²)
    • B. (z − a)(z² − az + a²)
    • C. (z − a)(z² + 2az + a²)
    • D. (z − a)³
    Réponse

    A. (z − a)(z² + az + a²) — Formule zⁿ − aⁿ = (z − a)(zⁿ⁻¹ + azⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹) avec n = 3. (z − a)³ contient d’autres termes, en z²a et za².

  4. Un polynôme de degré 5 admet dans ℂ :

    • A. exactement 5 racines distinctes
    • B. au moins 5 racines distinctes
    • C. au plus 5 racines distinctes
    • D. au plus 4 racines distinctes
    Réponse

    C. au plus 5 racines distinctes — Un polynôme de degré n a au plus n racines ; il peut en avoir moins en cas de racine multiple, comme (z − 1)⁵.

  5. P est un polynôme à coefficients réels et P(4 − i) = 0. Alors, nécessairement :

    • A. P(−4 − i) = 0
    • B. P(−4 + i) = 0
    • C. P(4 + i) = 0
    • D. P(4) = 0
    Réponse

    C. P(4 + i) = 0 — Les coefficients étant réels, P(z̄) est le conjugué de P(z) : le conjugué 4 + i est aussi racine.

  6. P est un polynôme de degré 4 tel que P(3) = 0. Alors :

    • A. P(z) = (z − 3)Q(z), Q de degré 3
    • B. P(z) = (z + 3)Q(z), Q de degré 3
    • C. P(z) = (z − 3)Q(z), Q de degré 4
    • D. P(z) = 3Q(z), Q de degré 3
    Réponse

    A. P(z) = (z − 3)Q(z), Q de degré 3 — Si P(α) = 0, P(z) = (z − α)Q(z) avec deg Q = deg P − 1. Ici α = 3 : le facteur est z − 3, pas z + 3.

  7. Les solutions de z² + 4z + 29 = 0 sont :

    • A. 2 ± 5i
    • B. −2 ± 10i
    • C. −4 ± 5i
    • D. −2 ± 5i
    Réponse

    D. −2 ± 5i — Δ = 16 − 116 = −100 = (10i)², donc z = (−4 ± 10i)/2 = −2 ± 5i.

  8. Parmi ces nombres, lequel est racine de z³ + 3z² + 7z + 5 ?

    • A. 1
    • B. −1
    • C. 5
    • D. −5
    Réponse

    B. −1 — (−1)³ + 3(−1)² + 7(−1) + 5 = −1 + 3 − 7 + 5 = 0. Les autres valeurs donnent un résultat non nul (16 pour 1, par exemple).

  9. Dans ℝ, les solutions de 2x² − 7x + 3 = 0 sont :

    • A. 3 et 1/2
    • B. −3 et −1/2
    • C. 6 et 1
    • D. 3 et −1/2
    Réponse

    A. 3 et 1/2 — Δ = 49 − 24 = 25, donc x = (7 ± 5)/4, soit 3 et 1/2. Oublier le 2 de 2a donne 6 et 1.

  10. Le discriminant de 3x² + 4x − 2 vaut :

    • A. −8
    • B. 10
    • C. 40
    • D. 64
    Réponse

    C. 40 — Δ = 4² − 4 × 3 × (−2) = 16 + 24 = 40. Oublier le signe de c donne 16 − 24 = −8.

  11. La somme des solutions dans ℂ de 2z² − 6z + 7 = 0 vaut :

    • A. −3
    • B. 3
    • C. 7/2
    • D. 6
    Réponse

    B. 3 — Δ = 36 − 56 < 0, mais la somme vaut toujours −b/a = 6/2 = 3 (les parties imaginaires s’annulent). 7/2 est le produit.

  12. Pour lequel de ces trinômes le nombre 1 est-il une racine évidente ?

    • A. 4x² + 9x + 5
    • B. 4x² − 9x − 5
    • C. 5x² + 9x − 4
    • D. 4x² − 9x + 5
    Réponse

    D. 4x² − 9x + 5 — 1 est racine si et seulement si a + b + c = 0 : 4 − 9 + 5 = 0. Les autres sommes valent 18, −10 et 10.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Les solutions de 3z² − 2z + 1 = 0 sont :

    • A. (1 ± i√2)/6
    • B. (−1 ± i√2)/3
    • C. (1 ± i√2)/3
    • D. (2 ± i√2)/3
    Réponse

    C. (1 ± i√2)/3 — Δ = 4 − 12 = −8 = (2i√2)², donc z = (2 ± 2i√2)/6 = (1 ± i√2)/3.

  2. Le quotient de z³ − 1 par z − 1 est :

    • A. z² + z + 1
    • B. z² − z + 1
    • C. z² + 1
    • D. z² + z − 1
    Réponse

    A. z² + z + 1 — z³ − 1 = (z − 1)(z² + z + 1) : c’est la formule de zⁿ − 1 pour n = 3, avec la somme 1 + z + z².

  3. On a z⁴ − 256 = (z − 4)Q(z) avec Q(z) = 

    • A. z³ − 4z² + 16z − 64
    • B. z³ + 4z² + 16z + 16
    • C. z³ + 16z² + 4z + 64
    • D. z³ + 4z² + 16z + 64
    Réponse

    D. z³ + 4z² + 16z + 64 — 256 = 4⁴ ; la formule donne Q(z) = z³ + 4z² + 4²z + 4³ = z³ + 4z² + 16z + 64.

  4. On a z³ − 2z² + 9z − 18 = (z − 2)(z² + bz + c). Alors (b ; c) = 

    • A. (−4 ; 9)
    • B. (0 ; 9)
    • C. (0 ; −9)
    • D. (4 ; 9)
    Réponse

    B. (0 ; 9) — En développant : z³ + (b − 2)z² + (c − 2b)z − 2c. D’où b = 0 et c = 9 ; −2c = −18 est bien vérifié.

  5. Les solutions de z² − 6z + 25 = 0 ont pour module commun :

    • A. 25
    • B. 4
    • C. √7
    • D. 5
    Réponse

    D. 5 — Les solutions 3 ± 4i sont conjuguées et leur produit vaut c/a = 25 = zz̄ = |z|², donc |z| = 5.

  6. Une équation du second degré à coefficients réels admettant 7 − 2i pour solution est :

    • A. z² + 14z + 53 = 0
    • B. z² − 14z + 53 = 0
    • C. z² − 14z + 45 = 0
    • D. z² − 7z + 53 = 0
    Réponse

    B. z² − 14z + 53 = 0 — L’autre solution est 7 + 2i : somme 14, produit 49 + 4 = 53, d’où z² − 14z + 53 = 0.

  7. Combien de solutions réelles l’équation z³ + 4z − 5 = 0 possède-t-elle ?

    • A. une
    • B. aucune
    • C. deux
    • D. trois
    Réponse

    A. une — 1 est racine et z³ + 4z − 5 = (z − 1)(z² + z + 5) ; le discriminant de z² + z + 5 vaut −19 < 0. Une seule solution réelle.

  8. Pour P(z) = z⁴ + 2z³ − z + 3, on a P(i) = 

    • A. 4 + i
    • B. 2 − 3i
    • C. 4 − 3i
    • D. 4 + 3i
    Réponse

    C. 4 − 3i — i⁴ = 1 et 2i³ = −2i, donc P(i) = 1 − 2i − i + 3 = 4 − 3i.

  9. Dans ℝ, 2x² + x − 3 se factorise en :

    • A. (x + 1)(2x − 3)
    • B. (x − 1)(2x + 3)
    • C. 2(x − 1)(x + 3)
    • D. (2x − 1)(x + 3)
    Réponse

    B. (x − 1)(2x + 3) — 1 est racine évidente (2 + 1 − 3 = 0) et le produit des racines vaut −3/2 : les racines sont 1 et −3/2, d’où 2(x − 1)(x + 3/2) = (x − 1)(2x + 3).

  10. Le quotient de z⁵ + 1 par z + 1 est :

    • A. z⁴ + z³ + z² + z + 1
    • B. z⁴ − z³ + z² − z − 1
    • C. z⁴ + z³ − z² − z + 1
    • D. z⁴ − z³ + z² − z + 1
    Réponse

    D. z⁴ − z³ + z² − z + 1 — z⁵ + 1 = z⁵ − (−1)⁵ : avec a = −1, le quotient est z⁴ + (−1)z³ + (−1)²z² + (−1)³z + (−1)⁴.

  11. Les solutions dans ℂ de z⁴ − 5z² − 36 = 0 sont :

    • A. 3 et −3 seulement
    • B. 9, −9, 4i et −4i
    • C. 3, −3, 2i et −2i
    • D. 2, −2, 3i et −3i
    Réponse

    C. 3, −3, 2i et −2i — Avec Z = z² : Z² − 5Z − 36 = 0, Δ = 25 + 144 = 169, Z = 9 ou Z = −4. Puis z² = 9 donne ±3, et z² = −4 = (2i)² donne ±2i.

  12. Les racines réelles x₁ et x₂ de x² − 5x + 2 vérifient x₁x₂ + x₁ + x₂ = 

    • A. 7
    • B. 3
    • C. −3
    • D. 10
    Réponse

    A. 7 — Δ = 25 − 8 = 17 > 0 ; la somme vaut −b/a = 5 et le produit c/a = 2, donc 2 + 5 = 7.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Les solutions de z² − iz + 2 = 0 sont 2i et −i. Elles ne sont pas conjuguées car :

    • A. un coefficient n’est pas réel
    • B. le discriminant est positif
    • C. l’une des deux est fausse
    • D. le degré de l’équation est pair
    Réponse

    A. un coefficient n’est pas réel — La propriété des racines conjuguées suppose des coefficients réels ; ici le coefficient de z vaut −i. Vérification : (z − 2i)(z + i) = z² − iz + 2.

  2. Un polynôme de degré 3 à coefficients réels possède toujours :

    • A. exactement trois racines réelles
    • B. au plus une racine réelle
    • C. au moins une racine réelle
    • D. trois racines non réelles
    Réponse

    C. au moins une racine réelle — Les racines non réelles vont par paires conjuguées, et le théorème des valeurs intermédiaires garantit une racine réelle pour un degré impair.

  3. Les solutions de 2z² + 6z + 9 = 0 sont :

    • A. −3 ± 3i
    • B. (−3 ± 3i)/2
    • C. (−3 ± 3i)/4
    • D. (3 ± 3i)/2
    Réponse

    B. (−3 ± 3i)/2 — Δ = 36 − 72 = −36 = (6i)² ; z = (−6 ± 6i)/4 = (−3 ± 3i)/2. Oublier le 2a au dénominateur donne −3 ± 3i.

  4. Un polynôme P de degré au plus 2 s’annule en 1, en 2 et en 3. Alors :

    • A. P(z) = (z − 1)(z − 2)(z − 3)
    • B. P a exactement trois racines
    • C. P est constant non nul
    • D. P est le polynôme nul
    Réponse

    D. P est le polynôme nul — Un polynôme non nul de degré au plus 2 a au plus 2 racines ; avec trois racines, P est nul. (z − 1)(z − 2)(z − 3) est de degré 3.

  5. z³ + 64 est factorisable par :

    • A. z + 4
    • B. z − 4
    • C. z² + 4
    • D. z + 8
    Réponse

    A. z + 4 — z³ + 64 = z³ − (−4)³ = (z + 4)(z² − 4z + 16) : −4 est racine car (−4)³ = −64.

  6. Un polynôme unitaire de degré 3 à coefficients réels a pour racines −2 et 1 + i√2. Il s’écrit :

    • A. z³ + z + 6
    • B. z³ − z − 6
    • C. z³ − 4z² − z + 6
    • D. z³ − z + 6
    Réponse

    D. z³ − z + 6 — 1 − i√2 est aussi racine : (z − 1)² + 2 = z² − 2z + 3. Puis (z + 2)(z² − 2z + 3) = z³ − z + 6.

  7. P est de degré 4 à coefficients réels ; i et 3 − i sont racines de P. Il existe un réel k non nul tel que P(z) = 

    • A. k(z² + 1)(z² + 6z + 10)
    • B. k(z − i)(z − 3 + i)
    • C. k(z² + 1)(z² − 6z + 10)
    • D. k(z² − 1)(z² − 6z + 10)
    Réponse

    C. k(z² + 1)(z² − 6z + 10) — −i et 3 + i sont aussi racines ; (z − i)(z + i) = z² + 1 et (z − 3 + i)(z − 3 − i) = z² − 6z + 10. Quatre racines pour un degré 4 : il ne reste qu’un facteur constant.

  8. Combien de solutions distinctes l’équation z⁴ − 4z³ + 6z² − 4z + 1 = 0 a-t-elle dans ℂ ?

    • A. quatre
    • B. une seule
    • C. deux
    • D. aucune
    Réponse

    B. une seule — Le polynôme est (z − 1)⁴ : la seule solution est 1, racine d’ordre 4. « Au plus n racines » n’impose pas d’en avoir n distinctes.

  9. Pour quelles valeurs du réel m l’équation x² + mx + 1 = 0 a-t-elle deux solutions réelles distinctes ?

    • A. −2 < m < 2
    • B. m > 2 seulement
    • C. m < −4 ou m > 4
    • D. m < −2 ou m > 2
    Réponse

    D. m < −2 ou m > 2 — Δ = m² − 4 > 0 ⟺ m² > 4 ⟺ m < −2 ou m > 2. Pour −2 < m < 2, les deux solutions sont complexes conjuguées.

  10. z₁ et z₂ sont les solutions de z² + 2z + 5 = 0. Alors z₁² + z₂² = 

    • A. 14
    • B. −6
    • C. 6
    • D. −8i
    Réponse

    B. −6 — z₁ + z₂ = −2 et z₁z₂ = 5, donc z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² − 2z₁z₂ = 4 − 10 = −6. Contrôle : z = −1 ± 2i et (−1 + 2i)² = −3 − 4i.

  11. P est unitaire de degré 3 à coefficients réels, avec P(2i) = 0 et P(1) = 0. Alors P(0) = 

    • A. −4
    • B. 4
    • C. 2
    • D. −8
    Réponse

    A. −4 — −2i est aussi racine : P(z) = (z − 1)(z − 2i)(z + 2i) = (z − 1)(z² + 4), donc P(0) = −1 × 4 = −4.

  12. Pour z ≠ 1, 1 + z + z² + … + z⁹ est égal à :

    • A. (z⁹ − 1)/(z − 1)
    • B. (z¹⁰ − 1)/(z + 1)
    • C. (z¹⁰ − 1)/(z − 1)
    • D. (z⁹ − 1)/(z + 1)
    Réponse

    C. (z¹⁰ − 1)/(z − 1) — La somme a 10 termes : z¹⁰ − 1 = (z − 1)(1 + z + … + z⁹), d’où le quotient pour z ≠ 1.

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