Forme algébrique et conjugué

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre (deux réels).

1. $A=(4-3i)(2+5i)$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(A)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)=$
   On développe puis on remplace $i^2$ par $-1$ : $A$ $=8+20i-6i-15i^2$ $=8+14i+15$ $=23+14i$.
2. $B=(1-i{)}^3$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(B)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(B)=$
   On calcule d’abord le carré : $(1-i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$. Puis $B$ $=(1-i)\times (-2i)$ $=-2i+2i^2$ $=-2-2i$.
3. $C=(6-i)-(2-5i)+3i$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(C)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(C)=$
   On regroupe : parties réelles $6-2=4$ ; parties imaginaires $5+3-1=7$. Donc $C=4+7i$.
4. $D=(5+i{)}^2$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(D)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(D)=$
   Identité remarquable : $(5+i{)}^2=25+10i+i^2=24+10i$.

Puissances de $i$ : écrire chaque nombre sous la forme $1$, $-1$, $i$ ou $-i$.

1. $i^{75}=$
   $75=4\times 18+3$, donc $i^{75}$ $={\left(i^4\right)}^{18}\times i^3$ $=1\times (-i)$ $=-i$.
2. $i^{42}=$
   $42=4\times 10+2$, donc $i^{42}=i^2=-1$.
3. $i^{2028}=$
   $2028=4\times 507$ (reste $0$), donc $i^{2028}={\left(i^4\right)}^{507}=1$.
4. $i^{37}=$
   $37=4\times 9+1$, donc $i^{37}=i^1=i$.

Identification. Dans les questions 2 et 3, on pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.

1. Les réels $x$ et $y$ tels que $(2x-y)+i(x+3y)=7-7i$ sont $x=$ et $y=$
   Comme $2x-y$ et $x+3y$ sont réels, on identifie : $2x-y=7$ et $x+3y=-7$. La première donne $y=2x-7$ ; la seconde devient $x+6x-21=-7$, soit $7x=14$ : $x=2$, puis $y=-3$.
2. Démontrer que $z^2$ est réel si et seulement si $x=0$ ou $y=0$. Contrôle : pour $x=5$ et $y=-2$, la partie imaginaire de $z^2$ vaut
   Rédaction attendue. $z^2$ $=(x+iy{)}^2$ $=x^2+2ixy+i^2{y}^2$ $=(x^2-y^2)+i(2xy)$. Comme $x$ et $y$ sont réels, $x^2-y^2$ et $2xy$ sont réels : c’est la forme algébrique de $z^2$, et $\mathrm{I}\mathrm{m}(z^2)=2xy$. Donc $z^2$ est réel $⟺2xy$ $=0$ $⟺x$ $=0$ ou $y=0$ (produit nul). Contrôle : $2xy=2\times 5\times (-2)=-20$ ; en effet $(5-2i{)}^2=25-20i+4i^2=21-20i$.
3. Pour $x=5$, la valeur strictement positive de $y$ telle que $z^2$ soit imaginaire pur est
   $z^2$ est imaginaire pur $⟺\mathrm{R}\mathrm{e}(z^2)$ $=x^2-y^2$ $=0$ $⟺(x-y)(x+y)$ $=0$. Pour $x=5$ : $y=5$ ou $y=-5$ ; la valeur positive est $5$, et alors $z^2=(5+5i{)}^2=50i$.
4. Nombre de réels $t$ tels que $(t+2i)(1+ti)$ soit réel :
   $(t+2i)(1+ti)$ $=t+t^{2}i+2i+2t{i}^2$ $=-t+(t^2+2)i$. Comme $t$ est réel, c’est la forme algébrique : le nombre est réel si et seulement si $t^2+2=0$, ce qui est impossible car $t^2+2⩾2$. Aucun réel ne convient.

Puissances et somme, sans calculatrice.

1. $(1+i{)}^{10}$ : partie réelle et partie imaginaire
   $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$, donc $(1+i{)}^{10}$ $={((1+i{)}^2)}^5$ $=(2i{)}^5$ $=32i^5$ $=32i$ (car $i^5=i^4\times i=i$).
2. $(1+i{)}^{11}$ : partie réelle et partie imaginaire
   $(1+i{)}^{11}$ $=(1+i{)}^{10}\times (1+i)$ $=32i(1+i)$ $=32i+32i^2$ $=-32+32i$.
3. Calculer, en justifiant, $S=1+i+i^2+\cdots +i^{1001}$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(S)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(S)=$
   Rédaction attendue. La somme compte $1002$ termes ($i^k$ pour $k$ allant de $0$ à $1001$). Pour tout entier $k$, $i^k+i^{k+1}+i^{k+2}+i^{k+3}$ $=i^k(1+i-1-i)$ $=0$ : quatre termes consécutifs ont une somme nulle. Comme $1002=4\times 250+2$, les $1000$ premiers termes ($k$ de $0$ à $999$) forment $250$ paquets de somme nulle. Il reste $i^{1000}+i^{1001}$ ; or $1000=4\times 250$, donc $i^{1000}=1$ et $i^{1001}=i$. Ainsi $S=1+i$.

On pose $z=-3+8i$.

1. $\bar{z}$ a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   On change le signe de la partie imaginaire seulement : $\bar{z}=-3-8i$.
2. $z+\bar{z}=$
   $z+\bar{z}$ $=2\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$ $=2\times (-3)$ $=-6$ : c’est un réel.
3. $z\bar{z}=$
   $z\bar{z}=(-3{)}^2+8^2=9+64=73$ : un réel positif.
4. $z-\bar{z}=$ $\times i$
   $z-\bar{z}$ $=2i\mathrm{I}\mathrm{m}(z)$ $=2i\times 8$ $=16i$ : c’est un imaginaire pur.
5. $\overline{(2-i)z}$ a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : $\overline{(2-i)z}$ $=(2+i)(-3-8i)$ $=-6-16i-3i-8i^2$ $=2-19i$.

Chaque nombre est-il réel, imaginaire pur, ou ni l’un ni l’autre ? Écris « réel », « imaginaire pur » ou « ni l’un ni l’autre ».

1. $u=(6+7i)+\overline{(6+7i)}$ :
   $u=z+\bar{z}$ avec $z=6+7i$ : $u=2\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=12$, réel.
2. $v=(1-4i)-\overline{(1-4i)}$ :
   $v$ $=z-\bar{z}$ $=2i\mathrm{I}\mathrm{m}(z)$ $=2i\times (-4)$ $=-8i$ : imaginaire pur.
3. $w=(3+i)(1+3i)$ :
   $w=3+9i+i+3i^2=0+10i=10i$ : imaginaire pur.
4. $s=(2+i{)}^2$ :
   $s=4+4i+i^2=3+4i$ : sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux non nulles.

Démonstrations du cours et application.

1. Démontrer que pour tout complexe $z$ et tout entier naturel $n$, $\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n$. Contrôle : pour $z=1+i$, la partie imaginaire de $\overline{z^2}$ est
   Rédaction attendue. Soit $z\in ℂ$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $𝒫(n)$ : « $\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n$ ». Initialisation : $\overline{z^0}$ $=\bar{1}$ $=1$ $={\left(\bar{z}\right)}^0$, donc $𝒫(0)$ est vraie. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $𝒫(n)$ soit vraie. Alors $\overline{z^{n+1}}$ $=\overline{z^n\times z}$ $=\overline{z^n}\times \bar{z}$ (conjugué d’un produit) $={\left(\bar{z}\right)}^n\times \bar{z}$ $={\left(\bar{z}\right)}^{n+1}$ : $𝒫(n+1)$ est vraie. Conclusion : par récurrence, $𝒫(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Contrôle : $z^2=(1+i{)}^2=2i$, donc $\overline{z^2}=-2i$ ; et ${\left(\bar{z}\right)}^2$ $=(1-i{)}^2$ $=-2i$ : partie imaginaire $-2$.
2. On pose $w=(4+i{)}^5+(4-i{)}^5$. Justifier que $w$ est réel, puis le calculer : $w=$
   Rédaction attendue. Comme $4-i=\overline{4+i}$, on a $(4-i{)}^5=\overline{(4+i{)}^5}$ (conjugué d’une puissance). Donc $w=(4+i{)}^5+\overline{(4+i{)}^5}$, et $\bar{w}$ $=\overline{(4+i{)}^5}+(4+i{)}^5$ $=w$ : $w$ est réel. De plus $w=2\mathrm{R}\mathrm{e}((4+i{)}^5)$. Or $(4+i{)}^2=15+8i$, $(4+i{)}^4$ $=(15+8i{)}^2$ $=225+240i-64$ $=161+240i$, puis $(4+i{)}^5$ $=(161+240i)(4+i)$ $=644+161i+960i+240i^2$ $=404+1121i$. Donc $w=2\times 404=808$.

Démonstrations avec le conjugué.

1. Soit $z$ un complexe tel que $z\bar{z}=1$ et $z\ne 1$. Démontrer que $w={\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}$ est imaginaire pur. Contrôle : pour $z=i$, la partie imaginaire de $w$ vaut
   Rédaction attendue. De $z\bar{z}=1$ on tire $z\ne 0$ et $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$. Par conjugaison d’un quotient : $\bar{w}$ $={\displaystyle \frac{1+\bar{z}}{1-\bar{z}}}$ $={\displaystyle \frac{1+\frac{1}{z}}{1-\frac{1}{z}}}$. On multiplie le numérateur et le dénominateur par $z\ne 0$ : $\bar{w}$ $={\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}$ $=-{\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}$ $=-w$. Comme $\bar{w}=-w$, $w$ est imaginaire pur. Contrôle : pour $z=i$ (on a bien $i\times (-i)=1$), $w$ $={\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}$ $={\displaystyle \frac{(1+i{)}^2}{2}}$ $={\displaystyle \frac{2i}{2}}$ $=i$, de partie imaginaire $1$.
2. Soit $P(z)=z^3+a{z}^2+bz+c$ avec $a$, $b$, $c$ réels. Démontrer que si $z_0$ est racine de $P$, alors $\overline{z_0}$ aussi. Application : $2i$ est racine de $z^3-z^2+4z-4$ ; une autre racine non réelle est
   Rédaction attendue. Supposons $P(z_0)=0$. En conjuguant (somme, produit et puissance) : $\overline{P(z_0)}$ $={\overline{z_0}}^3+\bar{a}{\overline{z_0}}^2+\bar{b}\overline{z_0}+\bar{c}$. Comme $a$, $b$, $c$ sont réels, ils sont égaux à leurs conjugués : $\overline{P(z_0)}=P(\overline{z_0})$. Or $\overline{P(z_0)}=\bar{0}=0$, donc $P(\overline{z_0})=0$. Application : les coefficients $1$, $-1$, $4$, $-4$ sont réels, donc $\overline{2i}=-2i$ est aussi racine. Vérification : $(-2i{)}^3-(-2i{)}^2+4(-2i)-4$ $=8i+4-8i-4$ $=0$.

Écrire sous forme algébrique : donner la partie réelle et la partie imaginaire. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 3/7).

1. ${\displaystyle \frac{3+4i}{2-i}}$ : partie réelle et partie imaginaire
   ${\displaystyle \frac{3+4i}{2-i}}$ $={\displaystyle \frac{(3+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}$ $={\displaystyle \frac{6+3i+8i+4i^2}{4+1}}$ $={\displaystyle \frac{2+11i}{5}}$ $={\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{11}{5}}i$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{-2+5i}}$ : partie réelle et partie imaginaire
   ${\displaystyle \frac{1}{-2+5i}}$ $={\displaystyle \frac{-2-5i}{(-2{)}^2+5^2}}$ $={\displaystyle \frac{-2-5i}{29}}$ $=-{\displaystyle \frac{2}{29}}-{\displaystyle \frac{5}{29}}i$.
3. ${\displaystyle \frac{4-2i}{i}}$ : partie réelle et partie imaginaire
   Le conjugué de $i$ est $-i$ et $i\times (-i)=1$ : ${\displaystyle \frac{4-2i}{i}}$ $=(4-2i)(-i)$ $=-4i+2i^2$ $=-2-4i$.
4. ${\displaystyle \frac{7+i}{1+i}}$ : partie réelle et partie imaginaire
   ${\displaystyle \frac{7+i}{1+i}}$ $={\displaystyle \frac{(7+i)(1-i)}{2}}$ $={\displaystyle \frac{7-7i+i-i^2}{2}}$ $={\displaystyle \frac{8-6i}{2}}$ $=4-3i$.

Résoudre dans $ℂ$ ; donner la partie réelle et la partie imaginaire de la solution.

1. $(1+2i)z=4+3i$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(z)=$
   $z$ $={\displaystyle \frac{4+3i}{1+2i}}$ $={\displaystyle \frac{(4+3i)(1-2i)}{5}}$ $={\displaystyle \frac{4-8i+3i-6i^2}{5}}$ $={\displaystyle \frac{10-5i}{5}}$ $=2-i$.
2. $iz+3=5i$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(z)=$
   $iz=-3+5i$, donc $z$ $={\displaystyle \frac{-3+5i}{i}}$ $=(-3+5i)(-i)$ $=3i-5i^2$ $=5+3i$. Vérification : $i(5+3i)+3=5i-3+3=5i$.
3. $(2-i)z-1=2z+3i$ : $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(z)=$
   On regroupe : $(2-i-2)z=1+3i$, soit $-iz=1+3i$. Donc $z$ $={\displaystyle \frac{1+3i}{-i}}$ $=(1+3i)\times i$ $=i+3i^2$ $=-3+i$ (car ${\displaystyle \frac{1}{-i}}=i$).

Équations avec $z$ et $\bar{z}$ : on pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.

1. Résoudre $2z+\bar{z}=9-4i$ en rédigeant : $x=$ et $y=$
   Rédaction attendue. On pose $z=x+iy$ avec $x$, $y$ réels ; alors $\bar{z}=x-iy$ et $2z+\bar{z}$ $=2x+2iy+x-iy$ $=3x+iy$. L’équation s’écrit $3x+iy=9-4i$. Comme $3x$ et $y$ sont réels, on identifie parties réelles et imaginaires : $3x=9$ et $y=-4$. L’équation a une unique solution : $z=3-4i$.
2. Résoudre $z+2i\bar{z}=1+8i$ : $x=$ et $y=$
   $z+2i\bar{z}$ $=x+iy+2i(x-iy)$ $=x+iy+2ix+2y$ $=(x+2y)+i(2x+y)$. On identifie : $x+2y=1$ et $2x+y=8$. La première donne $x=1-2y$, puis $2-4y+y=8$, soit $y=-2$ et $x=5$. Vérification : $5-2i+2i(5+2i)$ $=5-2i+10i-4$ $=1+8i$.
3. L’équation $z\bar{z}+2z=4+2i$ a deux solutions. Celle dont la partie réelle est positive a pour partie réelle
   $z\bar{z}+2z=x^2+y^2+2x+2iy$. On identifie : $x^2+y^2+2x=4$ et $2y=2$. Donc $y=1$, puis $x^2+2x+1=4$, soit $(x+1{)}^2=4$ : $x=1$ ou $x=-3$. Les solutions sont $1+i$ et $-3+i$ ; celle de partie réelle positive est $1+i$.

Inverse et quotients.

1. Démontrer que l’inverse de $z=a+ib\ne 0$ ($a$, $b$ réels) est ${\displaystyle \frac{a-ib}{a^2+b^2}}$. Application : la partie réelle de ${\displaystyle \frac{1}{-3+4i}}$ est
   Rédaction attendue. Comme $z\ne 0$, $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls, donc $a^2+b^2>0$. On calcule $(a+ib)\times {\displaystyle \frac{a-ib}{a^2+b^2}}$ $={\displaystyle \frac{a^2-i^2{b}^2}{a^2+b^2}}$ $={\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}}$ $=1$. Le produit vaut $1$ : ${\displaystyle \frac{a-ib}{a^2+b^2}}$ est bien l’inverse de $z$. Application : ${\displaystyle \frac{1}{-3+4i}}$ $={\displaystyle \frac{-3-4i}{9+16}}$ $=-{\displaystyle \frac{3}{25}}-{\displaystyle \frac{4}{25}}i$ ; partie réelle $-{\displaystyle \frac{3}{25}}=-0,12$.
2. $Q={\displaystyle \frac{1-i}{1+i}}=$
   $Q$ $={\displaystyle \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}}$ $={\displaystyle \frac{1-2i+i^2}{2}}$ $={\displaystyle \frac{-2i}{2}}$ $=-i$.
3. En déduire $Q^{2027}=$ (écris $1$, $-1$, $i$ ou $-i$)
   $Q^{2027}$ $=(-i{)}^{2027}$ $=(-1{)}^{2027}\times i^{2027}$ $=-i^{2027}$. Or $2027=4\times 506+3$, donc $i^{2027}=i^3=-i$ et $Q^{2027}=-(-i)=i$.

Calculer chaque module (valeur exacte).

1. $|-9+40i|=$
   $|-9+40i|$ $=\sqrt{(-9{)}^2+{40}^2}$ $=\sqrt{81+1600}$ $=\sqrt{1681}$ $=41$.
2. $|7-24i|=$
   $|7-24i|$ $=\sqrt{49+576}$ $=\sqrt{625}$ $=25$.
3. $|-6i|=$
   $-6i=0+(-6)i$, donc $|-6i|=\sqrt{0+36}=6$. Un module est toujours positif.
4. $|(3+4i)(5-12i)|=$
   Le module d’un produit est le produit des modules : $|3+4i|\times |5-12i|=5\times 13=65$, sans développer.
5. $\left|{\displaystyle \frac{8+6i}{3-4i}}\right|=$
   $\left|{\displaystyle \frac{8+6i}{3-4i}}\right|$ $={\displaystyle \frac{|8+6i|}{|3-4i|}}$ $={\displaystyle \frac{10}{5}}$ $=2$.

Sans développer : utiliser les propriétés du module. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $|(1-2i{)}^4|=$
   $|1-2i|=\sqrt{5}$, donc $|(1-2i{)}^4|={\left(\sqrt{5}\right)}^4=25$.
2. $|(3+i{)}^6|=$
   $|3+i|=\sqrt{10}$, donc $|(3+i{)}^6|$ $={\left(\sqrt{10}\right)}^6$ $={10}^3$ $=1000$.
3. $\left|{\displaystyle \frac{1}{12-5i}}\right|=$
   $|12-5i|=\sqrt{144+25}=13$, donc $\left|{\displaystyle \frac{1}{12-5i}}\right|$ $={\displaystyle \frac{1}{13}}$.
4. Si $|z|=3$, alors $|\bar{z}\times (-2z)|=$
   $|\bar{z}|=|z|=3$ et $|-2z|=2|z|=6$, donc le module du produit vaut $3\times 6=18$.

Démonstrations du cours.

1. Démontrer que $|z{|}^2=z\bar{z}$, puis que $|zz\prime |=|z|\times |z\prime |$. Contrôle : $|(1+4i)(2-5i){|}^2=$
   Rédaction attendue. Pour $z=a+ib$ ($a$, $b$ réels) : $z\bar{z}$ $=(a+ib)(a-ib)$ $=a^2-i^2{b}^2$ $=a^2+b^2$ $=|z{|}^2$. Ensuite, avec le conjugué d’un produit : $|zz\prime {|}^2$ $=(zz\prime )\overline{(zz\prime )}$ $=zz\prime \bar{z}\overline{z\prime }$ $=(z\bar{z})(z\prime \overline{z\prime })$ $=|z{|}^2|z\prime {|}^2$. Les réels $|zz\prime |$ et $|z||z\prime |$ sont positifs et ont le même carré, donc $|zz\prime |=|z||z\prime |$. Contrôle : $|1+4i{|}^2=17$ et $|2-5i{|}^2=29$, donc $|(1+4i)(2-5i){|}^2=17\times 29=493$.
2. Démontrer que pour $z\ne 0$, $|z|$ $=1$ $⟺\bar{z}$ $={\displaystyle \frac{1}{z}}$. Application : pour $z={\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}i$, la partie imaginaire de ${\displaystyle \frac{1}{z}}$ est
   Rédaction attendue. Soit $z\ne 0$. Comme $|z|⩾0$ : $|z|$ $=1$ $⟺|z{|}^2$ $=1$ $⟺z\bar{z}$ $=1$ $⟺\bar{z}$ $={\displaystyle \frac{1}{z}}$ (on divise par $z\ne 0$, ou on multiplie par $z$). Application : $|z{|}^2={\displaystyle \frac{9}{25}}+{\displaystyle \frac{16}{25}}=1$, donc ${\displaystyle \frac{1}{z}}$ $=\bar{z}$ $={\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}i$, de partie imaginaire $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$.
3. Le plus petit entier $n$ tel que $|(1+i{)}^n|>1000$ est
   $|(1+i{)}^n|$ $=|1+i{|}^n$ $={\left(\sqrt{2}\right)}^n$. Pour $n=2p$ pair, c’est $2^p$ : $2^9=512$ et $2^{10}=1024$. Pour $n=19$ : ${\left(\sqrt{2}\right)}^{19}$ $=2^9\sqrt{2}\approx 724$. Les modules croissent avec $n$ (car $\sqrt{2}>1$), donc le premier rang est $n=20$.

Module et conjugué.

1. Démontrer que pour tout complexe $z$, $|z+1{|}^2=|z{|}^2+2\mathrm{R}\mathrm{e}(z)+1$. Application : si $|z|=3$ et $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=-2$, alors $|z+1{|}^2=$
   Rédaction attendue. D’après $|w{|}^2=w\bar{w}$ et le conjugué d’une somme : $|z+1{|}^2$ $=(z+1)\overline{(z+1)}$ $=(z+1)(\bar{z}+1)$ $=z\bar{z}+z+\bar{z}+1$. Or $z\bar{z}=|z{|}^2$ et $z+\bar{z}=2\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$, d’où l’égalité. Application : $9+2\times (-2)+1=6$.
2. Le seul réel $x$ tel que $|x+2i|=2|x-i|$ est
   Les deux membres sont positifs : l’égalité équivaut à l’égalité des carrés, $x^2+4=4(x^2+1)$, soit $3x^2=0$, donc $x=0$. Vérification : $|2i|=2=2|-i|$.
3. Soit $z$ et $z\prime$ de module $1$ avec $zz\prime \ne -1$. Démontrer que ${\displaystyle \frac{z+z\prime }{1+zz\prime }}$ est réel. Contrôle : pour $z=i$ et $z\prime ={\displaystyle \frac{3+4i}{5}}$, ce nombre vaut
   Rédaction attendue. Comme $|z|=|z\prime |=1$, on a $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$ et $\overline{z\prime }={\displaystyle \frac{1}{z\prime }}$. Soit $u={\displaystyle \frac{z+z\prime }{1+zz\prime }}$. Alors $\bar{u}$ $={\displaystyle \frac{\bar{z}+\overline{z\prime }}{1+\bar{z}\overline{z\prime }}}$ $={\displaystyle \frac{\frac{1}{z}+\frac{1}{z\prime }}{1+\frac{1}{zz\prime }}}$. On multiplie le numérateur et le dénominateur par $zz\prime \ne 0$ : $\bar{u}={\displaystyle \frac{z\prime +z}{zz\prime +1}}=u$. Donc $u$ est réel. Contrôle : $z+z\prime ={\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{9}{5}}i$ et $1+zz\prime$ $=1+{\displaystyle \frac{3i-4}{5}}$ $={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}i$ ; le quotient vaut ${\displaystyle \frac{3+9i}{1+3i}}=3$.

Coefficients binomiaux (triangle de Pascal).

1. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=$
   Ligne $5$ du triangle : $1,5,10,10,5,1$. Donc ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=10$.
2. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)}=$
   Ligne $6$ : $1,6,15,20,15,6,1$. Donc ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)}=20$.
3. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)}=$
   Avec la relation de Pascal, ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)}$ $={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)}+{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)}$ $=7+21$ $=28$ (ou ${\displaystyle \frac{8\times 7}{2}}=28$).
4. Dans le développement de $(a+b{)}^7$, le coefficient de $a^2{b}^5$ est
   C’est ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)}={\displaystyle \frac{7\times 6}{2}}=21$ (ligne $7$ : $1,7,21,35,35,21,7,1$).

Développer avec la formule du binôme, puis donner la partie réelle et la partie imaginaire.

1. $(2+i{)}^3$ : partie réelle et partie imaginaire
   $(2+i{)}^3$ $=2^3+3\times 2^{2}i+3\times 2i^2+i^3$ $=8+12i-6-i$ $=2+11i$.
2. $(1+3i{)}^3$ : partie réelle et partie imaginaire
   $(1+3i{)}^3$ $=1+3(3i)+3(3i{)}^2+(3i{)}^3$ $=1+9i-27-27i$ $=-26-18i$.
3. $(1-i{)}^5$ : partie réelle et partie imaginaire
   Ligne $5$ : $1,5,10,10,5,1$, avec $b=-i$ : $b^2=-1$, $b^3=i$, $b^4=1$, $b^5=-i$. Donc $(1-i{)}^5$ $=1-5i-10+10i+5-i$ $=-4+4i$.

Démonstration et sommes de coefficients.

1. Démontrer par récurrence la formule du binôme dans $ℂ$. Application : dans $(z+i{)}^4$, le coefficient de $z^2$ est
   Rédaction attendue. Soit $a$, $b$ complexes ; pour $n\in \mathbb{N}$, $𝒫(n)$ : « $(a+b{)}^n$ $={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}$ ». Initialisation : $(a+b{)}^0=1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})$. Hérédité : si $𝒫(n)$ est vraie, $(a+b{)}^{n+1}$ $=(a+b)(a+b{)}^n$ $={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^{k+1}{b}^{n-k}+{\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n+1-k}$. En posant $j=k+1$ dans la première somme et en regroupant les termes en $a^j{b}^{n+1-j}$ pour $1⩽j⩽n$, la relation de Pascal $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$ $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{j}\right)$ donne $(a+b{)}^{n+1}$ $=a^{n+1}+{\sum }_{j=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{j}\right)a^j{b}^{n+1-j}+b^{n+1}$ $={\sum }_{j=0}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{j}\right)a^j{b}^{n+1-j}$ : $𝒫(n+1)$ est vraie. Conclusion : la formule est vraie pour tout $n$. Application : le terme en $z^2$ est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)z^2{i}^2=-6z^2$.
2. En calculant $(1+i{)}^8$ de deux façons, trouver ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)}-{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)}+{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)}-{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)}+{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8}\right)}$ $=$
   Par la formule du binôme, $(1+i{)}^8={\sum }_{k=0}^8(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k})i^k$ ; les termes réels sont ceux où $k$ est pair, avec $i^0=i^4=i^8=1$ et $i^2=i^6=-1$ : la partie réelle est la somme demandée. Autre calcul : $(1+i{)}^8$ $={((1+i{)}^2)}^4$ $=(2i{)}^4$ $=16$. Donc la somme vaut $16$ (en effet $1-28+70-28+1=16$).
3. De même, ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)}-{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)}+{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)}-{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7}\right)}$ $=$
   C’est la partie imaginaire de $(1+i{)}^8$ (termes où $k$ est impair : $i^1=i^5=i$, $i^3=i^7=-i$). Comme $(1+i{)}^8=16$ est réel, elle vaut $0$ (en effet $8-56+56-8=0$).

Soit $x$ et $y$ deux réels.

1. Démontrer que $\mathrm{R}\mathrm{e}((x+iy{)}^3)$ $=x^3-3x{y}^2$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}((x+iy{)}^3)$ $=3x^{2}y-y^3$. Contrôle : pour $x=1$ et $y=2$, la partie réelle vaut
   Rédaction attendue. Par la formule du binôme : $(x+iy{)}^3$ $=x^3+3x^2(iy)+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3$ $=x^3+3i{x}^{2}y-3x{y}^2-i{y}^3$, car $i^2=-1$ et $i^3=-i$. Comme $x$ et $y$ sont réels, $x^3-3x{y}^2$ et $3x^{2}y-y^3$ sont réels : $(x+iy{)}^3=(x^3-3x{y}^2)+i(3x^{2}y-y^3)$, d’où les deux égalités. Contrôle : $1-3\times 1\times 4=-11$ ; en effet $(1+2i{)}^3=-11-2i$.
2. Les réels $y$ tels que $(1+iy{)}^3$ soit réel sont $0$ et deux autres ; le plus grand vaut
   Avec $x=1$ : $\mathrm{I}\mathrm{m}=3y-y^3=y(3-y^2)$, nul si et seulement si $y=0$, $y=\sqrt{3}$ ou $y=-\sqrt{3}$. Le plus grand est $\sqrt{3}$ : $(1+i\sqrt{3}{)}^3=1-9=-8$.
3. Le plus grand réel $y$ tel que $(1+iy{)}^3$ soit imaginaire pur vaut
   $\mathrm{R}\mathrm{e}$ $=1-3y^2$ $=0$ $⟺y^2$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}$ $⟺y$ $=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$. Le plus grand est ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$.