Nombres complexes et géométrie

On considère les points $A$, $B$, $C$ d’affixes $z_A=2+5i$, $z_B=-4+i$ et $z_C=6-2i$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 3/2).

1. Affixe de $\overrightarrow{AB}$ : partie réelle et partie imaginaire
   $z_{\overrightarrow{AB}}$ $=z_B-z_A$ $=(-4+i)-(2+5i)$ $=-6-4i$.
2. Affixe du milieu $I$ de $[AC]$ : partie réelle et partie imaginaire
   $z_I$ $={\displaystyle \frac{z_A+z_C}{2}}$ $={\displaystyle \frac{8+3i}{2}}$ $=4+{\displaystyle \frac{3}{2}}i$.
3. Affixe du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ : partie réelle et partie imaginaire
   $z_A+z_B+z_C$ $=(2-4+6)+(5+1-2)i$ $=4+4i$, donc $z_G={\displaystyle \frac{4+4i}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}i$.
4. Affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme : partie réelle et partie imaginaire
   $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, soit $z_B-z_A=z_C-z_D$. Donc $z_D$ $=z_A+z_C-z_B$ $=(2+5i)+(6-2i)-(-4+i)$ $=12+2i$. Contrôle : $z_C-z_D=-6-4i=z_{\overrightarrow{AB}}$.

Soit $M$ le point d’affixe $z=-3+7i$. Donner l’affixe de chaque symétrique de $M$.

1. Symétrique par rapport à l’axe des abscisses : partie réelle et partie imaginaire
   C’est l’image du conjugué : $\bar{z}=-3-7i$ (même abscisse, ordonnée opposée).
2. Symétrique par rapport à $O$ : partie réelle et partie imaginaire
   Le symétrique par rapport à $O$ a pour affixe $-z=3-7i$ : les deux coordonnées changent de signe.
3. Symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : partie réelle et partie imaginaire
   Il a pour affixe $-\bar{z}=-(-3-7i)=3+7i$ : abscisse opposée, même ordonnée.

Produit scalaire et déterminant avec le conjugué. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que si $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{t}$ ont pour affixes $a$ et $b$, alors $\mathrm{R}\mathrm{e}(\bar{a}b)=\overrightarrow{w}·\overrightarrow{t}$. Application : pour $a=5+2i$ et $b=-1+3i$, $\overrightarrow{w}·\overrightarrow{t}=$
   Rédaction attendue. Posons $a=x+iy$ et $b=x\prime +iy\prime$, avec $x$, $y$, $x\prime$, $y\prime$ réels : $\overrightarrow{w}(x;y)$ et $\overrightarrow{t}(x\prime ;y\prime )$. Alors $\bar{a}b$ $=(x-iy)(x\prime +iy\prime )$ $=xx\prime +ixy\prime -ix\prime y-i^{2}yy\prime$ $=(xx\prime +yy\prime )+i(xy\prime -x\prime y)$. Comme $xx\prime +yy\prime$ et $xy\prime -x\prime y$ sont réels, $\mathrm{R}\mathrm{e}(\bar{a}b)=xx\prime +yy\prime =\overrightarrow{w}·\overrightarrow{t}$ (expression en repère orthonormé). Application : $\bar{a}b$ $=(5-2i)(-1+3i)$ $=-5+15i+2i-6i^2$ $=1+17i$, donc $\overrightarrow{w}·\overrightarrow{t}=1$ (contrôle : $5\times (-1)+2\times 3=1$).
2. Le réel $m$ tel que les vecteurs d’affixes $2+3i$ et $m-4i$ soient orthogonaux est
   Avec $a=2+3i$ et $b=m-4i$ : $\bar{a}b$ $=(2-3i)(m-4i)$ $=2m-8i-3mi+12i^2$ $=(2m-12)+i(-8-3m)$. Orthogonaux $⟺$ partie réelle nulle : $2m-12=0$, soit $m=6$.
3. Le réel $p$ tel que les vecteurs d’affixes $2+3i$ et $p-4i$ soient colinéaires est
   Colinéaires $⟺$ $\bar{a}b$ réel $⟺$ $det=-8-3p=0$ (même calcul que la question précédente avec $p$ à la place de $m$), soit $p=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$. Contrôle : $2\times (-4)-3\times (-{\displaystyle \frac{8}{3}})=0$.

On considère les points $A$, $B$, $C$ d’affixes $z_A=-3-2i$, $z_B=1-5i$ et $z_C=7+3i$.

1. Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $z_A+z_C=z_B+z_D$. Application : $z_D$ a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   Rédaction attendue. $ABCD$ est un parallélogramme $⟺$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ $⟺$ $z_B-z_A=z_C-z_D$ (deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même affixe) $⟺$ $z_A+z_C=z_B+z_D$. Autrement dit, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. Application : $z_D$ $=z_A+z_C-z_B$ $=(-3-2i)+(7+3i)-(1-5i)$ $=3+6i$.
2. Avec $a=z_B-z_A$ et $b=z_D-z_A$, calculer $\bar{a}b$, puis démontrer que $ABCD$ est un rectangle. Partie imaginaire de $\bar{a}b$ :
   Rédaction attendue. $a=4-3i$ et $b=6+8i$, donc $\bar{a}b$ $=(4+3i)(6+8i)$ $=24+32i+18i+24i^2$ $=50i$. Sa partie réelle, $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}$, est nulle : $(AB)⟂(AD)$. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle : $ABCD$ est un rectangle. La partie imaginaire vaut $50$.
3. Périmètre du rectangle $ABCD$ :
   $AB=|4-3i|=5$ et $AD=|6+8i|=10$, donc le périmètre vaut $2\times (5+10)=30$.

Calculer chaque distance en valeur exacte. Une racine carrée s’écrit avec √ (exemple : 2√7).

1. $A(3-i)$ et $B(-5+5i)$ : $AB=$
   $z_B-z_A=-8+6i$, donc $AB=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.
2. $C(-1+2i)$ et $D(4-10i)$ : $CD=$
   $z_D-z_C=5-12i$, donc $CD=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
3. $E(1+i)$ et $F(-2+7i)$ : $EF=$
   $z_F-z_E=-3+6i$, donc $EF=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

On considère les points $P$, $Q$, $R$ d’affixes $z_P=2-3i$, $z_Q=6-i$ et $z_R=i$. Une racine carrée s’écrit avec √.

1. $P{Q}^2=$ , $P{R}^2=$ et $Q{R}^2=$
   $z_Q-z_P=4+2i$ : $P{Q}^2=16+4=20$. $z_R-z_P=-2+4i$ : $P{R}^2=4+16=20$. $z_R-z_Q=-6+2i$ : $Q{R}^2=36+4=40$.
2. Le triangle $PQR$ est rectangle et isocèle en
   $PQ=PR$ : isocèle en $P$. De plus $P{Q}^2+P{R}^2=20+20=40=Q{R}^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $P$.
3. Centre du cercle circonscrit : affixe ; rayon
   Le triangle est rectangle en $P$ : le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse $[QR]$, d’affixe ${\displaystyle \frac{(6-i)+i}{2}}=3$, et le rayon vaut ${\displaystyle \frac{QR}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{40}}{2}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{2}}=\sqrt{10}$.

On considère $\Omega (-2+i)$ et les points $K(11+i)$, $L(3+13i)$ et $M(-14-4i)$.

1. Justifier que $\Omega$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $KLM$. Rayon de ce cercle :
   Rédaction attendue. $\Omega K=|(11+i)-(-2+i)|=|13|=13$ ; $\Omega L=|5+12i|=\sqrt{25+144}=13$ ; $\Omega M=|-12-5i|=\sqrt{144+25}=13$. Le point $\Omega$ est équidistant des trois sommets : il est sur les trois médiatrices, c’est le centre du cercle circonscrit au triangle $KLM$, de rayon $13$.
2. Le réel $y<0$ tel que le point d’affixe $3+yi$ soit sur ce cercle est
   $|(3+yi)-(-2+i)|=13$ $⟺$ $25+(y-1{)}^2=169$ $⟺$ $(y-1{)}^2=144$ $⟺$ $y-1=12$ ou $y-1=-12$. Donc $y=13$ ou $y=-11$ ; la valeur négative est $-11$.

Égalité du parallélogramme et nature d’un quadrilatère.

1. Démontrer que pour tous complexes $a$ et $b$ : $|a+b{|}^2+|a-b{|}^2=2(|a{|}^2+|b{|}^2)$. Application : un parallélogramme a des côtés de longueurs $5$ et $7$ et une diagonale de longueur $8$ ; le carré de l’autre diagonale vaut
   Rédaction attendue. Avec $|w{|}^2=w\bar{w}$ et le conjugué d’une somme : $|a+b{|}^2$ $=(a+b)(\bar{a}+\bar{b})$ $=a\bar{a}+a\bar{b}+\bar{a}b+b\bar{b}$ et $|a-b{|}^2$ $=a\bar{a}-a\bar{b}-\bar{a}b+b\bar{b}$. En ajoutant, les termes croisés s’éliminent : $|a+b{|}^2+|a-b{|}^2$ $=2a\bar{a}+2b\bar{b}$ $=2(|a{|}^2+|b{|}^2)$. Dans le parallélogramme $ABCD$, avec $a=z_{\overrightarrow{AB}}$ et $b=z_{\overrightarrow{AD}}$, les diagonales ont pour affixes $a+b$ ($\overrightarrow{AC}$) et $a-b$ ($\overrightarrow{DB}$) : la somme des carrés des diagonales vaut la somme des carrés des quatre côtés. Application : $8^2+d^2=2(25+49)=148$, donc $d^2=84$.
2. $K(-1-i)$, $L(3+i)$, $M(5+5i)$, $N(1+3i)$ : les quatre côtés de $KLMN$ ont pour carré ; les diagonales vérifient $K{M}^2=$ et $L{N}^2=$
   $z_L-z_K=4+2i$, $z_M-z_L=2+4i$, $z_N-z_M=-4-2i$, $z_K-z_N=-2-4i$ : les quatre côtés ont pour carré $20$. Diagonales : $z_M-z_K=6+6i$, $K{M}^2=72$ ; $z_N-z_L=-2+2i$, $L{N}^2=8$. Quatre côtés égaux : $KLMN$ est un losange ; diagonales de longueurs différentes : ce n’est pas un carré. Contrôle avec l’égalité précédente : $72+8=80=4\times 20$.

Donner chaque angle par sa mesure principale, dans $]-\pi ;\pi ]$. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 3π/4). On donne $A(1+2i)$, $B(4+5i)$, $C(2+3i)$ et $D(1+(3-\sqrt{3})i)$.

1. $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB})=$
   $z_B-z_A=3+3i=3\sqrt{2}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)$, d’argument ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.
2. $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{CD})=$
   $z_D-z_C=-1-\sqrt{3}i=2(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)$ : cosinus $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et sinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, l’angle est $-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.
3. $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})=$
   $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})$ $=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}{\displaystyle \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}$ $=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ $=-{\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$, qui est bien dans $]-\pi ;\pi ]$.

On considère $A(-2+3i)$, $B(6-i)$, $C(14-5i)$ et $D(-1+5i)$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. ${\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=$
   $z_B-z_A=8-4i$ et $z_C-z_A=16-8i=2(8-4i)$, donc le quotient vaut $2$ : il est réel, $A$, $B$, $C$ sont alignés (et $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$).
2. ${\displaystyle \frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}}$ a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   $z_D-z_A=1+2i$, donc ${\displaystyle \frac{1+2i}{8-4i}}$ $={\displaystyle \frac{(1+2i)(8+4i)}{64+16}}$ $={\displaystyle \frac{8+4i+16i-8}{80}}$ $={\displaystyle \frac{20i}{80}}$ $={\displaystyle \frac{1}{4}}i$. Imaginaire pur : $(AB)⟂(AD)$, le triangle $ABD$ est rectangle en $A$.
3. Aire du triangle $ABD$ :
   $AB=|8-4i|=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ et $AD=|1+2i|=\sqrt{5}$. Le triangle étant rectangle en $A$ : aire $={\displaystyle \frac{AB\times AD}{2}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{2}}=10$.

On considère les points $A$, $B$, $C$ d’affixes $a=1+2i$, $b=4+3i$ et $c=5i$.

1. ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$ : partie réelle et partie imaginaire
   ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$ $={\displaystyle \frac{-1+3i}{3+i}}$ $={\displaystyle \frac{(-1+3i)(3-i)}{9+1}}$ $={\displaystyle \frac{-3+i+9i+3}{10}}$ $=i$.
2. Justifier la nature du triangle $ABC$ par le module et par l’argument du quotient. Aire du triangle :
   Rédaction attendue. Le quotient vaut $i$. Son module vaut ${\displaystyle \frac{AC}{AB}}=|i|=1$, donc $AC=AB$ : le triangle est isocèle en $A$. Son argument vaut ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, et c’est une mesure de $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ : l’angle en $A$ est droit. Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$. Avec $AB=|3+i|=\sqrt{10}$ : aire $={\displaystyle \frac{AB\times AC}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$.
3. Centre $\Omega$ du cercle circonscrit : partie réelle et partie imaginaire
   Le triangle est rectangle en $A$ : le centre est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$, d’affixe ${\displaystyle \frac{(4+3i)+5i}{2}}=2+4i$. Le rayon vaut $|c-(2+4i)|=|-2+i|=\sqrt{5}$.
4. Pour le point $D(4+6i)$ : $\Omega D^2=$
   $\Omega D^2=|(4+6i)-(2+4i){|}^2=|2+2i{|}^2=8$. Le carré du rayon vaut $5$ : $8>5$, le point $D$ n’est pas sur le cercle, il est à l’extérieur.

On note $P$ et $Q$ les points d’affixes $p=4$ et $q=2+2\sqrt{3}i$. Écris π au clavier (ou pi), une racine carrée avec √.

1. Démontrer que le triangle $OPQ$ est équilatéral. Contrôle : ${\displaystyle \frac{q}{p}}=e^{i\theta }$ avec $\theta =$ (mesure principale)
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{q}{p}}$ $={\displaystyle \frac{2+2\sqrt{3}i}{4}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ $=e^{i\pi /3}$. Son module vaut ${\displaystyle \frac{OQ}{OP}}=1$, donc $OP=OQ$ ; son argument donne $(\overrightarrow{OP};\overrightarrow{OQ})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Le triangle $OPQ$ est isocèle en $O$ avec un angle au sommet de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ; ses angles à la base valent ${\displaystyle \frac{\pi -\pi /3}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ : il est équilatéral. Contrôle : $PQ=|-2+2\sqrt{3}i|=\sqrt{4+12}=4=OP$.
2. Le point $S$ tel que ${\displaystyle \frac{s}{p}}=e^{-i\pi /3}$ forme avec $O$ et $P$ un autre triangle équilatéral. Partie imaginaire de $s$ :
   $s=4e^{-i\pi /3}=4({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)=2-2\sqrt{3}i$ : c’est le symétrique de $Q$ par rapport à l’axe des abscisses ($s=\bar{q}$), et $OPS$ est équilatéral, parcouru dans l’autre sens.

Chaque ensemble de points $M(z)$ est un cercle : donner son centre et son rayon.

1. $|z-2+5i|=3$ : centre de partie réelle et de partie imaginaire ; rayon
   $|z-2+5i|=|z-(2-5i)|$ : c’est la distance de $M$ au point d’affixe $2-5i$. Cercle de centre $2-5i$ et de rayon $3$.
2. $|4z-12-8i|=20$ : centre de partie réelle et de partie imaginaire ; rayon
   On factorise : $|4z-12-8i|=4|z-(3+2i)|$. L’équation devient $|z-(3+2i)|=5$ : cercle de centre $3+2i$ et de rayon $5$ (et non $20$).
3. $|\bar{z}-5+2i|=6$ : centre de partie réelle et de partie imaginaire ; rayon
   $\bar{z}-5+2i=\overline{z-5-2i}$, et un complexe et son conjugué ont le même module : l’équation équivaut à $|z-(5+2i)|=6$. Cercle de centre $5+2i$ et de rayon $6$.

On considère l’ensemble $ℰ$ des points $M(z)$ tels que $|z+3i|=|z-8+i|$.

1. $ℰ$ est la médiatrice d’un segment ; son milieu a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   $|z-(-3i)|=|z-(8-i)|$ : $BM=CM$ avec $z_B=-3i$ et $z_C=8-i$. C’est la médiatrice de $[BC]$, qui passe par le milieu de $[BC]$, d’affixe ${\displaystyle \frac{-3i+8-i}{2}}=4-2i$.
2. Équation réduite de $ℰ$ : $y=$ $x$ +
   Avec $z=x+iy$ : $x^2+(y+3{)}^2=(x-8{)}^2+(y+1{)}^2$, soit $6y+9=-16x+64+2y+1$, d’où $4y=-16x+56$ et $y=-4x+14$. Contrôle : le milieu $(4;-2)$ vérifie $-16+14=-2$.

Poser $z=x+iy$ quand aucune lecture directe n’apparaît.

1. Démontrer que l’ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-1|=2|z+2|$ est un cercle. Son centre a pour affixe et son rayon vaut
   Rédaction attendue. Les deux membres sont positifs : l’égalité équivaut à l’égalité des carrés. Avec $z=x+iy$ : $(x-1{)}^2+y^2=4((x+2{)}^2+y^2)$ $⟺$ $x^2-2x+1+y^2=4x^2+16x+16+4y^2$ $⟺$ $3x^2+18x+3y^2+15=0$ $⟺$ $x^2+6x+y^2+5=0$ $⟺$ $(x+3{)}^2+y^2=4$. C’est le cercle de centre le point d’affixe $-3$ et de rayon $2$.
2. On note $P(6+8i)$ et $Q(-8+6i)$. Justifier que l’ensemble $\Gamma$ des points $M(z)$ tels que $|z-6-8i|=|z+8-6i|$ est la médiatrice de $[PQ]$ et qu’il passe par $O$. Contrôle : $OP=OQ=$
   Rédaction attendue. $|z-6-8i|=|z-(6+8i)|=|z-z_P|$ et $|z+8-6i|=|z-(-8+6i)|=|z-z_Q|$ : la condition s’écrit $MP=MQ$, donc $\Gamma$ est la médiatrice du segment $[PQ]$. Or $OP=|6+8i|=\sqrt{36+64}=10$ et $OQ=|-8+6i|=\sqrt{64+36}=10$ : le point $O$ est équidistant de $P$ et $Q$, donc $O\in \Gamma$.

On considère $A(2-4i)$ et $B(-3+i)$. Pour $M(z)$ distinct de $A$ et de $B$, on pose $Z={\displaystyle \frac{z-2+4i}{z+3-i}}$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que $Z$ est un réel non nul si et seulement si $M$ est sur la droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$. Pour le point $C(-8+6i)$, $Z=$
   Rédaction attendue. $z-2+4i=z-z_A$ et $z+3-i=z-z_B$, donc $Z={\displaystyle \frac{z-z_A}{z-z_B}}$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(Z)=(\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AM})[2\pi ]$. $Z$ est réel non nul $⟺$ $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(Z)=0[\pi ]$ $⟺$ $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ colinéaires $⟺$ $M\in (AB)$, avec $M\ne A$ ($Z\ne 0$) et $M\ne B$. Pour $C$ : $Z={\displaystyle \frac{-10+10i}{-5+5i}}=2$, réel non nul : $C$ est sur $(AB)$.
2. L’ensemble des $M$ tels que $Z$ soit imaginaire pur non nul est un cercle privé de $A$ et $B$ ; son centre a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   $Z$ imaginaire pur non nul $⟺$ $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(Z)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}[\pi ]$ $⟺$ l’angle $AMB$ est droit : cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$. Centre : milieu de $[AB]$, d’affixe ${\displaystyle \frac{(2-4i)+(-3+i)}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}i$.
3. Le carré du rayon de ce cercle vaut
   $AB=|z_B-z_A|=|-5+5i|=5\sqrt{2}$, donc le rayon vaut ${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$ et son carré ${\displaystyle \frac{50}{4}}={\displaystyle \frac{25}{2}}$.

On note $t$ la translation de vecteur d’affixe $-2+6i$, $h$ l’homothétie de centre $\Omega (1-4i)$ et de rapport $3$, et $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. On pose $z_M=5+2i$.

1. Image de $M$ par $t$ : partie réelle et partie imaginaire
   Une translation de vecteur d’affixe $b$ s’écrit $z\prime =z+b$, ici $z\prime =z-2+6i$. Donc $z_{M\prime }$ $=(5+2i)-2+6i$ $=3+8i$.
2. $h$ s’écrit $z\prime =3z+b$ : partie réelle de $b$ et partie imaginaire
   $z\prime -(1-4i)=3(z-(1-4i))$, donc $z\prime$ $=3z-3+12i+1-4i$ $=3z-2+8i$.
3. Image de $M$ par $h$ : partie réelle et partie imaginaire
   $3(5+2i)-2+8i$ $=15+6i-2+8i$ $=13+14i$.
4. Image de $M$ par $r$ : partie réelle et partie imaginaire
   $e^{-i\pi /2}=-i$ et le centre est $O$ : $z\prime =-iz$. Donc $-i(5+2i)=-5i-2i^2=2-5i$.
5. Le point $N$ dont l’image par $h$ a pour affixe $10-i$ : partie réelle et partie imaginaire
   On résout $3z-2+8i=10-i$ : $3z=12-9i$, donc $z=4-3i$. Contrôle : $3(4-3i)-2+8i=10-i$.

Reconnaître chaque transformation et donner ses éléments. Les angles sont donnés par leur mesure principale, dans $]-\pi ;\pi ]$. Écris π au clavier (ou pi).

1. $z\prime =-5z+12+6i$ est une homothétie de rapport ; son centre a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   $a=-5$ est réel et différent de $1$ : homothétie de rapport $-5$, de centre $\omega ={\displaystyle \frac{12+6i}{1-(-5)}}={\displaystyle \frac{12+6i}{6}}=2+i$. Contrôle : $-5(2+i)+12+6i=2+i$.
2. $z\prime =iz+3+i$ est une rotation d’angle ; son centre a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   $|i|=1$ et $i=e^{i\pi /2}$ : rotation d’angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Centre : $\omega ={\displaystyle \frac{3+i}{1-i}}={\displaystyle \frac{(3+i)(1+i)}{2}}={\displaystyle \frac{2+4i}{2}}=1+2i$. Contrôle : $i(1+2i)+3+i=1+2i$.

On considère la transformation $f$ qui, au point d’affixe $z$, associe le point d’affixe $z\prime =2iz+5$. Les angles sont donnés par leur mesure principale, dans $]-\pi ;\pi ]$. Écris π au clavier (ou pi).

1. Démontrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$. Affixe de $\Omega$ : partie réelle et partie imaginaire
   Rédaction attendue. Le point d’affixe $\omega$ est invariant si et seulement si $\omega =2i\omega +5$, soit $\omega (1-2i)=5$. Comme $1-2i\ne 0$, cette équation a une unique solution : $\omega ={\displaystyle \frac{5}{1-2i}}={\displaystyle \frac{5(1+2i)}{1+4}}=1+2i$.
2. En soustrayant $\omega =2i\omega +5$ à $z\prime =2iz+5$, on obtient $z\prime -\omega =2i(z-\omega )$ : $f$ est la similitude de centre $\Omega$, de rapport et d’angle
   $2i=2e^{i\pi /2}$, de module $2$ et d’argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : pour $M\ne \Omega$, $\Omega M\prime =2\Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M\prime })={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
3. Image $A\prime$ du point $A(5+3i)$ : partie réelle et partie imaginaire
   $z_{A\prime }$ $=2i(5+3i)+5$ $=10i-6+5$ $=-1+10i$. Contrôle : $\Omega A=|4+i|=\sqrt{17}$ et $\Omega A\prime =|-2+8i|=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ : on a bien $\Omega A\prime =2\Omega A$.

On note $h$ l’homothétie de centre $A(1+5i)$ et de rapport $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et $s$ la symétrie de centre $B(-2+i)$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $h$ s’écrit $z\prime =-{\displaystyle \frac{1}{2}}z+b$ : partie réelle de $b$ et partie imaginaire
   $z\prime -(1+5i)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(z-(1+5i))$, donc $z\prime$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}z+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+5i)+1+5i$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}z+{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{15}{2}}i$. Et $s$ : $z\prime =2z_B-z=-z-4+2i$.
2. Déterminer l’écriture de $s\circ h$ et démontrer que c’est une homothétie. Rapport ; centre de partie réelle et de partie imaginaire
   Rédaction attendue. $s\circ h(z)=s(h(z))$ $=-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}z+{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{15}{2}}i)-4+2i$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}z-{\displaystyle \frac{11}{2}}-{\displaystyle \frac{11}{2}}i$. Le coefficient $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ est réel et différent de $1$ : c’est une homothétie de rapport ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Son centre est l’unique point invariant : $\omega ={\displaystyle \frac{-\frac{11}{2}-\frac{11}{2}i}{1-\frac{1}{2}}}=-11-11i$.
3. $h\circ s$ est aussi une homothétie ; son centre a pour partie réelle et pour partie imaginaire
   $h\circ s(z)$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-z-4+2i)+{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{15}{2}}i$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}z+{\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{13}{2}}i$, de centre ${\displaystyle \frac{\frac{7}{2}+\frac{13}{2}i}{\frac{1}{2}}}=7+13i$. Les deux composées ont le même rapport mais des centres différents : $s\circ h\ne h\circ s$, la composition n’est pas commutative.

Valeurs exactes. Une racine carrée s’écrit avec √.

1. Les images des éléments de ${𝕌}_3$ forment un triangle équilatéral de côté
   Côté $|j-1|=|-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i|=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\sqrt{3}$, soit $r\sqrt{3}$ avec $r=1$.
2. Le carré de centre $O$ dont un sommet a pour affixe $2$ a pour aire
   Les sommets sont $2$, $2i$, $-2$, $-2i$ ; le côté vaut $|2i-2|=2\sqrt{2}$ ($r\sqrt{2}$ avec $r=2$), donc l’aire vaut ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8$.
3. Les images des éléments de ${𝕌}_6$ forment un hexagone régulier de périmètre
   Le côté d’un hexagone régulier est égal au rayon : $2\times 1\times \sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=1$. Périmètre : $6\times 1=6$.

Le triangle équilatéral $A_0{A}_1{A}_2$ a pour centre $\Omega (2+i)$ et pour sommet $A_0(2+5i)$ ; ses sommets se suivent dans le sens direct. Une racine carrée s’écrit avec √.

1. Les sommets $A_1$ et $A_2$ ont la même partie imaginaire, qui vaut
   $z_0-\omega =4i$ et $z_1-\omega =4i{e}^{2i\pi /3}=4i(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)=-2\sqrt{3}-2i$, donc $z_1=(2-2\sqrt{3})-i$. De même $z_2=\omega +4i{e}^{-2i\pi /3}=(2+2\sqrt{3})-i$. Partie imaginaire commune : $-1$.
2. Côté du triangle :
   $r=\Omega A_0=4$, donc le côté vaut $r\sqrt{3}=4\sqrt{3}$. Contrôle : $A_1{A}_2=|z_2-z_1|=4\sqrt{3}$.

On note $r$ la rotation de centre $\Omega (3-2i)$ et d’angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, et $A$ le point d’affixe $7+i$. On pose $B=r(A)$, $C=r(B)$ et $D=r(C)$.

1. $r$ s’écrit $z\prime =iz+b$ : partie réelle de $b$ et partie imaginaire
   $z\prime -(3-2i)=i(z-(3-2i))$, donc $z\prime$ $=iz-3i+2i^2+3-2i$ $=iz+1-5i$.
2. Affixe de $B$ : partie réelle et partie imaginaire ; affixe de $D$ : partie réelle et partie imaginaire
   $z_B$ $=i(7+i)+1-5i$ $=2i$. $z_C$ $=i(2i)+1-5i$ $=-1-5i$. $z_D$ $=i(-1-5i)+1-5i$ $=6-6i$.
3. Démontrer que $ABCD$ est un carré. Aire du carré :
   Rédaction attendue. Chaque sommet est l’image du précédent par la rotation de centre $\Omega$ et d’angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, donc $\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega D=|4+3i|=5$. De plus $z_C-\omega =i^2(z_A-\omega )=-(z_A-\omega )$ : $\Omega$ est le milieu de $[AC]$, et de même de $[BD]$. Les diagonales ont donc le même milieu et la même longueur $10$, et elles sont perpendiculaires car ${\displaystyle \frac{z_B-\omega }{z_A-\omega }}=i$ est imaginaire pur. Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires est un carré. Côté : $AB=|-7+i|=\sqrt{50}$, aire $50$.

On note $A_0$, $A_1$, …, $A_7$ les images des solutions $z_k=e^{ik\pi /4}$ ($k$ de $0$ à $7$) de l’équation $z^8=1$. Valeurs exactes, sauf mention contraire.

1. Partie réelle de $z_3$ :
   $z_3=e^{3i\pi /4}=\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i$.
2. Démontrer que $A_0{A}_1\dots A_7$ est un octogone régulier. Le carré de son côté vaut $2-$ et son périmètre, arrondi au centième, vaut
   Rédaction attendue. Les $z_k$ ont tous pour module $1$ : les $A_k$ sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. De plus $z_{k+1}=e^{i\pi /4}{z}_k$ : chaque sommet est l’image du précédent par la rotation de centre $O$ et d’angle ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Les huit points sont régulièrement répartis sur le cercle : $A_0{A}_1\dots A_7$ est un octogone régulier de centre $O$. Côté : $A_0{A}_1^2$ $={|{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i|}^2$ $={({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-1)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{2}+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $=2-\sqrt{2}$. Périmètre : $8\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 6,12$.
3. Démontrer que $A_0{A}_2{A}_4{A}_6$ est un carré. Son aire vaut
   Rédaction attendue. $z_0=1$, $z_2=i$, $z_4=-1$, $z_6=-i$ : chacun s’obtient à partir du précédent en multipliant par $i$, c’est-à-dire par la rotation de centre $O$ et d’angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Les diagonales $[A_0{A}_4]$ et $[A_2{A}_6]$ ont le même milieu $O$, la même longueur $2$, et sont perpendiculaires car ${\displaystyle \frac{z_2}{z_0}}=i$ est imaginaire pur : $A_0{A}_2{A}_4{A}_6$ est un carré, de côté $|i-1|=\sqrt{2}$ et d’aire $2$.