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Équations polynomiales à coefficients réels

Équations du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ, racines d'un polynôme, équations de degré 3 avec une racine connue

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Équations polynomiales à coefficients réels » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en maths expertes (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, Factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, Racine d'un polynôme et factorisation par z − α. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser maths expertes (option tle) en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Second degré dans ℂ

Facile

Résoudre dans ℂ les équations suivantes.

a) $z^{2} + 4 z + 20 = 0$
b) $z^{2} - 3 z + 7 = 0$
c) $2 z^{2} + 2 z + 5 = 0$

a) $Δ = 4^{2} - 4 \times 1 \times 20 = 16 - 80 = - 64 < 0$ et $- 64 = (8 i)^{2}$ . Les coefficients étant réels, l'équation a deux solutions conjuguées : $z = \frac{- 4 \pm 8 i}{2} = - 2 \pm 4 i$ . $S = {- 2 + 4 i; - 2 - 4 i}$ . Contrôle : produit $4 + 16 = 20$ .

b) $Δ = (- 3)^{2} - 4 \times 7 = 9 - 28 = - 19 = {(i \sqrt{19})}^{2}$ . Donc $S = {\frac{3 + i \sqrt{19}}{2}; \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}}$ . Contrôle : produit $\frac{9 + 19}{4} = 7$ .

c) $Δ = 2^{2} - 4 \times 2 \times 5 = 4 - 40 = - 36 = (6 i)^{2}$ . Donc $z = \frac{- 2 \pm 6 i}{4} = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ . $S = {- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i; - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i}$ . Contrôle : produit $\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2} = \frac{c}{a}$ .

Exercice 2 — Factoriser zⁿ − aⁿ

Facile

a) Factoriser $z^{4} - 81$ par $z - 3$ .
b) Factoriser $z^{5} - 1$ par $z - 1$ .
c) Vérifier que $3 i$ est racine de $Q (z) = z^{3} + 3 z^{2} + 9 z + 27$ , puis résoudre $z^{4} = 81$ dans ℂ.

a) $81 = 3^{4}$ . La factorisation de $z^{n} - a^{n}$ avec $n = 4$ et $a = 3$ donne $z^{4} - 81 = (z - 3) (z^{3} + 3 z^{2} + 9 z + 27)$ .

b) Avec $n = 5$ et $a = 1$ : $z^{5} - 1 = (z - 1) (z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1)$ .

c) $(3 i)^{2} = - 9$ et $(3 i)^{3} = - 27 i$ , donc $Q (3 i) = - 27 i + 3 \times (- 9) + 9 \times 3 i + 27 = - 27 i - 27 + 27 i + 27 = 0$ : $3 i$ est racine de $Q$ . Les coefficients de $Q$ étant réels, $- 3 i$ l'est aussi. Par ailleurs $Q (z) = z^{2} (z + 3) + 9 (z + 3) = (z + 3) (z^{2} + 9)$ .

Ainsi $z^{4} - 81 = (z - 3) (z + 3) (z - 3 i) (z + 3 i)$ et $S = {3; - 3; 3 i; - 3 i}$ : quatre solutions, le maximum possible pour un degré 4.

Exercice 3 — Une racine donnée

Facile

On considère $P (z) = z^{3} - 4 z^{2} + 7 z - 28$ .

a) Vérifier que 4 est racine de $P$ .
b) Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $z$ , $P (z) = (z - 4) (z^{2} + b z + c)$ .
c) Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.

a) $P (4) = 64 - 4 \times 16 + 7 \times 4 - 28 = 64 - 64 + 28 - 28 = 0$ : 4 est racine de $P$ .

b) Pour tout $z$ , $(z - 4) (z^{2} + b z + c) = z^{3} + (b - 4) z^{2} + (c - 4 b) z - 4 c$ . Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : $b - 4 = - 4$ , donc $b = 0$ ; $c - 4 b = 7$ , donc $c = 7$ ; vérification : $- 4 c = - 28$ . $P (z) = (z - 4) (z^{2} + 7)$ .

c) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $z = 4$ ou $z^{2} = - 7 = {(i \sqrt{7})}^{2}$ , soit $z = \pm i \sqrt{7}$ . $S = {4; i \sqrt{7}; - i \sqrt{7}}$ .

Exercice 4 — Racine à deviner

Moyen

On considère $P (z) = z^{3} + z^{2} + 4 z - 6$ .

a) Déterminer une racine entière de $P$ .
b) Factoriser $P (z)$ sous la forme $(z - α) (z^{2} + b z + c)$ avec $α$ , $b$ , $c$ réels.
c) Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.
d) Vérifier que la somme des trois solutions est égale à $- 1$ .

a) $P (0) = - 6$ ; $P (1) = 1 + 1 + 4 - 6 = 0$ : 1 est racine de $P$ .

b) Pour tout $z$ , $(z - 1) (z^{2} + b z + c) = z^{3} + (b - 1) z^{2} + (c - b) z - c$ . Identification : $b - 1 = 1$ , donc $b = 2$ ; $c - b = 4$ , donc $c = 6$ ; vérification : $- c = - 6$ . $P (z) = (z - 1) (z^{2} + 2 z + 6)$ .

c) $z^{2} + 2 z + 6 = 0$ : $Δ = 4 - 24 = - 20 = {(2 i \sqrt{5})}^{2}$ , donc $z = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2} = - 1 \pm i \sqrt{5}$ . $S = {1; - 1 + i \sqrt{5}; - 1 - i \sqrt{5}}$ .

d) $1 + (- 1 + i \sqrt{5}) + (- 1 - i \sqrt{5}) = 1 - 2 = < b > - 1 < / b >$ . C'est l'opposé du coefficient de $z^{2}$ : en développant $(z - z_{1}) (z - z_{2}) (z - z_{3})$ , le coefficient de $z^{2}$ vaut $- (z_{1} + z_{2} + z_{3})$ .

Exercice 5 — Racines imaginaires pures

Moyen

On considère $P (z) = z^{4} + 4 z^{3} + 19 z^{2} + 24 z + 78$ .

a) Pour $y$ réel, écrire $P (i y)$ sous forme algébrique.
b) En déduire les racines imaginaires pures de $P$ .
c) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z$ , $P (z) = (z^{2} + 6) (z^{2} + a z + b)$ .
d) Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.

a) $(i y)^{2} = - y^{2}$ , $(i y)^{3} = - i y^{3}$ , $(i y)^{4} = y^{4}$ . Donc $P (i y) = y^{4} - 4 i y^{3} - 19 y^{2} + 24 i y + 78$ , soit $P (i y) = (y^{4} - 19 y^{2} + 78) + i (- 4 y^{3} + 24 y)$ , avec des parties réelle et imaginaire réelles.

b) $i y$ est racine si et seulement si les deux parties sont nulles. Partie imaginaire : $- 4 y (y^{2} - 6) = 0 ⟺ y = 0$ ou $y^{2} = 6$ . Pour $y = 0$ , la partie réelle vaut $78 \neq 0$ : exclu. Pour $y^{2} = 6$ : $36 - 114 + 78 = 0$ . Les racines imaginaires pures sont $i \sqrt{6}$ et $- i \sqrt{6}$ .

c) $(z^{2} + 6) (z^{2} + a z + b) = z^{4} + a z^{3} + (b + 6) z^{2} + 6 a z + 6 b$ . Identification : $a = 4$ ; $b + 6 = 19$ , donc $b = 13$ ; vérifications : $6 a = 24$ et $6 b = 78$ . $P (z) = (z^{2} + 6) (z^{2} + 4 z + 13)$ .

d) $z^{2} + 4 z + 13 = 0$ : $Δ = 16 - 52 = - 36 = (6 i)^{2}$ , $z = \frac{- 4 \pm 6 i}{2} = - 2 \pm 3 i$ . $S = {i \sqrt{6}; - i \sqrt{6}; - 2 + 3 i; - 2 - 3 i}$ .

Exercice 6 — Retrouver les coefficients

Moyen

$a$ et $b$ sont deux réels et $P (z) = z^{3} + a z^{2} + b z + 15$ . On sait que $2 + i$ est racine de $P$ .

a) Justifier que $2 - i$ est aussi racine de $P$ .
b) Développer $(z - 2 - i) (z - 2 + i)$ .
c) Justifier qu'il existe un complexe $c$ tel que, pour tout $z$ , $P (z) = (z^{2} - 4 z + 5) (z + c)$ , puis déterminer $c$ , $a$ et $b$ .
d) Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.

a) Les coefficients de $P$ sont réels, donc $\overset{―}{P (z)} = P (\overset{―}{z})$ . Ainsi $P (2 - i) = P (\overset{―}{2 + i}) = \overset{―}{P (2 + i)} = \overset{―}{0} = 0$ : $2 - i$ est racine.

b) $(z - 2 - i) (z - 2 + i) = (z - 2)^{2} - i^{2} = z^{2} - 4 z + 4 + 1 = < b > z^{2} - 4 z + 5 < / b >$ .

c) Comme $P (2 + i) = 0$ , $P (z) = (z - 2 - i) Q (z)$ avec $Q$ de degré 2 et de coefficient dominant 1. Puis $0 = P (2 - i) = (2 - i - 2 - i) Q (2 - i) = - 2 i Q (2 - i)$ , donc $Q (2 - i) = 0$ et $Q (z) = (z - 2 + i) (z + c)$ . D'où $P (z) = (z^{2} - 4 z + 5) (z + c)$ . Le terme constant donne $5 c = 15$ , donc $c = 3$ . En développant : $(z^{2} - 4 z + 5) (z + 3) = z^{3} + 3 z^{2} - 4 z^{2} - 12 z + 5 z + 15 = z^{3} - z^{2} - 7 z + 15$ . Donc $a = - 1$ et $b = - 7$ .

d) $S = {2 + i; 2 - i; - 3}$ .

Exercice 7 — L'équation z³ = −125

Moyen

a) Écrire $z^{3} + 125$ sous la forme $z^{3} - α^{3}$ avec $α$ réel.
b) En déduire une factorisation de $z^{3} + 125$ par un polynôme de degré 1.
c) Résoudre $z^{3} + 125 = 0$ dans ℂ.
d) Montrer que les trois solutions ont le même module.

a) $(- 5)^{3} = - 125$ , donc $z^{3} + 125 = z^{3} - (- 5)^{3}$ .

b) Avec la factorisation de $z^{n} - a^{n}$ pour $n = 3$ et $a = - 5$ : $z^{3} - (- 5)^{3} = (z + 5) (z^{2} + (- 5) z + (- 5)^{2})$ , soit $z^{3} + 125 = (z + 5) (z^{2} - 5 z + 25)$ . Contrôle : $z^{3} - 5 z^{2} + 25 z + 5 z^{2} - 25 z + 125 = z^{3} + 125$ .

c) $z = - 5$ ou $z^{2} - 5 z + 25 = 0$ . $Δ = 25 - 100 = - 75 = {(5 i \sqrt{3})}^{2}$ , d'où $z = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$ . $S = {- 5; \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}; \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}}$ .

d) $| - 5 | = 5$ et ${| \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2} |}^{2} = \frac{25 + 75}{4} = 25$ . Les trois solutions ont pour module 5 ; c'était prévisible : $| z |^{3} = | z^{3} | = 125$ impose $| z | = 5$ .

Exercice 8 — Degré 4 sans racine réelle

Difficile

On considère $P (z) = z^{4} - 16 z^{2} + 100$ .

a) Montrer que $P$ n'a aucune racine réelle.
b) Montrer que, pour tout $z$ , $P (z) = (z^{2} - 6 z + 10) (z^{2} + 6 z + 10)$ .
c) Résoudre $P (z) = 0$ dans ℂ.
d) On pose $Z = z^{2}$ . Résoudre $Z^{2} - 16 Z + 100 = 0$ , calculer $(3 + i)^{2}$ et expliquer le lien avec la question c).

a) Pour $x$ réel, $x^{4} - 16 x^{2} + 100 = (x^{2} - 8)^{2} - 64 + 100 = (x^{2} - 8)^{2} + 36 ⩾ 36 > 0$ . $P$ ne s'annule pas sur ℝ.

b) $(z^{2} + 10 - 6 z) (z^{2} + 10 + 6 z) = (z^{2} + 10)^{2} - 36 z^{2} = z^{4} + 20 z^{2} + 100 - 36 z^{2} = z^{4} - 16 z^{2} + 100 = P (z)$ .

c) $z^{2} - 6 z + 10 = 0$ : $Δ = 36 - 40 = - 4 = (2 i)^{2}$ , $z = 3 \pm i$ . $z^{2} + 6 z + 10 = 0$ : $Δ = - 4$ , $z = - 3 \pm i$ . $S = {3 + i; 3 - i; - 3 + i; - 3 - i}$ : quatre racines, aucune réelle, conformément à a).

d) $Δ^{'} = 256 - 400 = - 144 = (12 i)^{2}$ , donc $Z = \frac{16 \pm 12 i}{2} = 8 \pm 6 i$ . Or $(3 + i)^{2} = 9 + 6 i - 1 = 8 + 6 i$ et, de même, $(3 - i)^{2} = 8 - 6 i$ . Les solutions de c) sont exactement les complexes dont le carré vaut $8 + 6 i$ (soit $\pm (3 + i)$ ) ou $8 - 6 i$ (soit $\pm (3 - i)$ ) : les deux méthodes donnent les mêmes quatre solutions.

Exercice 9 — Au plus n racines

Difficile

a) Factoriser $z^{4} - 1$ par $z - 1$ , puis résoudre $z^{4} = 1$ dans ℂ.
b) Soit $P$ un polynôme de degré au plus 3 tel que $P (1) = P (- 1) = P (i) = P (- i) = 0$ . Montrer que $P$ est le polynôme nul.
c) En déduire que deux polynômes $A$ et $B$ de degré au plus 3 qui prennent les mêmes valeurs en $1$ , $- 1$ , $i$ et $- i$ sont égaux.
d) Un élève affirme : « $z^{2} + 1$ et $2 z^{2} + 2$ ont les mêmes racines, donc c'est le même polynôme. » Expliquer l'erreur.

a) $z^{4} - 1 = (z - 1) (z^{3} + z^{2} + z + 1)$ et $z^{3} + z^{2} + z + 1 = z^{2} (z + 1) + (z + 1) = (z + 1) (z^{2} + 1) = (z + 1) (z - i) (z + i)$ . $S = {1; - 1; i; - i}$ .

b) Raisonnons par l'absurde : si $P$ n'est pas nul, soit il est constant non nul (aucune racine), soit il est de degré $d \in {1, 2, 3}$ et a au plus $d ⩽ 3$ racines. Or $P$ a quatre racines distinctes : contradiction. $P$ est le polynôme nul.

c) $A - B$ est un polynôme de degré au plus 3 qui s'annule en $1$ , $- 1$ , $i$ , $- i$ . D'après b), $A - B = 0$ , donc $A = B$ (mêmes coefficients).

d) Le résultat de c) demande l'égalité des valeurs en un point de plus que le degré (ici 3 points pour un degré 2), pas l'égalité des racines. $(2 z^{2} + 2) - (z^{2} + 1) = z^{2} + 1$ ne s'annule qu'en $i$ et $- i$ : deux points seulement. D'ailleurs, en $z = 0$ , les valeurs sont 1 et 2. Les deux polynômes sont différents : ils sont seulement proportionnels.

Exercice 10 — Une équation symétrique de degré 4

Difficile

On considère $P (z) = z^{4} - 3 z^{3} + 4 z^{2} - 3 z + 1$ .

a) Vérifier que 0 n'est pas racine, puis montrer que, pour $z \neq 0$ , $P (z) = 0 ⟺ w^{2} - 3 w + 2 = 0$ , où $w = z + \frac{1}{z}$ .
b) Résoudre $w^{2} - 3 w + 2 = 0$ .
c) En déduire les solutions de $P (z) = 0$ dans ℂ.
d) Montrer que $P (z) = (z - 1)^{2} (z^{2} - z + 1)$ . Un polynôme de degré 4 peut-il n'avoir que trois racines distinctes ? Justifier.

a) $P (0) = 1 \neq 0$ . Pour $z \neq 0$ , on divise par $z^{2} \neq 0$ : $\frac{P (z)}{z^{2}} = z^{2} - 3 z + 4 - \frac{3}{z} + \frac{1}{z^{2}} = (z^{2} + \frac{1}{z^{2}}) - 3 (z + \frac{1}{z}) + 4$ . Or $w^{2} = z^{2} + 2 + \frac{1}{z^{2}}$ , donc $z^{2} + \frac{1}{z^{2}} = w^{2} - 2$ et $\frac{P (z)}{z^{2}} = w^{2} - 3 w + 2$ . Comme $z^{2} \neq 0$ , $P (z) = 0 ⟺ w^{2} - 3 w + 2 = 0$ .

b) $Δ = 9 - 8 = 1$ : $w = 1$ ou $w = 2$ .

c) $z + \frac{1}{z} = 2 ⟺ z^{2} - 2 z + 1 = 0 ⟺ (z - 1)^{2} = 0 ⟺ z = 1$ . $z + \frac{1}{z} = 1 ⟺ z^{2} - z + 1 = 0$ : $Δ = - 3 = (i \sqrt{3})^{2}$ , $z = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$ . $S = {1; \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}; \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$ .

d) $(z^{2} - 2 z + 1) (z^{2} - z + 1) = z^{4} - z^{3} + z^{2} - 2 z^{3} + 2 z^{2} - 2 z + z^{2} - z + 1 = z^{4} - 3 z^{3} + 4 z^{2} - 3 z + 1$ . Oui : le théorème dit « au plus $n$ racines », pas « exactement $n$ ». Ici 1 est racine double (facteur $(z - 1)^{2}$ ) : en comptant les multiplicités, $2 + 1 + 1 = 4$ .

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