Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Nombres complexes — forme algébrique et géométrie
Construction de ℂ, forme algébrique a + ib, module, argument et représentation dans le plan complexe (programme Maths expertes Tle)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calculs en forme algébrique
/ 4 pts- Mettre sous forme algébrique $z_1 = (2 - i)(3 + 2i)$. (1 pt)
- Calculer $z_2 = \dfrac{4 + 3i}{1 - 2i}$ en multipliant par le conjugué approprié. (1 pt)
- Vérifier que $z_3 = \dfrac{1}{1+i} + \dfrac{1}{1-i}$ est réel. (2 pts)
Exercice 2 — Conjugué et module
/ 4 pts- Soit $z = a + ib$. Montrer que $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$. (1 pt)
- Calculer $|z|$ pour $z = 5 - 12i$. (1 pt)
- Montrer que $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ (utiliser $|z|^2 = z\bar{z}$ et les propriétés de la conjugaison). (2 pts)
Exercice 3 — Résolution d'équation et racines carrées
/ 6 pts- Trouver les racines carrées de $w = 7 + 24i$ en posant $\delta = x + iy$. (3 pts)
- En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 - 6z + (7 + 24i) = 0$. (3 pts)
Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe
/ 6 pts- Déterminer et décrire géométriquement l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| = |z - 2i|$. (2 pts)
- Montrer que l'ensemble $F$ des points d'affixe $z$ tels que $|z - 1 - i| = 2$ est un cercle. Donner son centre et son rayon. (2 pts)
- Soit $A$, $B$, $C$ les points d'affixes $1 + 2i$, $-1 + 4i$, $-3 + 2i$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$. (2 pts)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calculs en forme algébrique
Corrigé :
1. $(2-i)(3+2i) = 6+4i-3i-2i^2 = 6+i+2 = 8+i$. (1 pt)
2. $\dfrac{4+3i}{1-2i} \times \dfrac{1+2i}{1+2i} = \dfrac{(4+3i)(1+2i)}{5} = \dfrac{4+8i+3i-6}{5} = \dfrac{-2+11i}{5} = -\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i$. (1 pt)
3. $\dfrac{1}{1+i} = \dfrac{1-i}{2}$ et $\dfrac{1}{1-i} = \dfrac{1+i}{2}$. Somme $= \dfrac{(1-i)+(1+i)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \in \mathbb{R}$. (2 pts)
Exercice 2 — Conjugué et module
Corrigé :
1. $z\bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2$. (1 pt)
2. $|5-12i| = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$. (1 pt)
3. $|z_1 z_2|^2 = (z_1 z_2)\overline{(z_1 z_2)} = z_1 z_2 \bar{z}_1 \bar{z}_2 = (z_1 \bar{z}_1)(z_2 \bar{z}_2) = |z_1|^2 |z_2|^2$. En prenant la racine carrée (positive) : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$. (2 pts)
Exercice 3 — Résolution d'équation et racines carrées
Corrigé :
1. On pose $\delta = x+iy$ avec $\delta^2 = 7+24i$. Système : $x^2-y^2 = 7$, $2xy = 24$, et $x^2+y^2 = |w| = \sqrt{49+576} = 25$. D'où $x^2 = 16$ ($x = \pm 4$) et $y^2 = 9$ ($y = \pm 3$). Comme $2xy = 24 \gt 0$, $x$ et $y$ de même signe : $\delta = 4+3i$ ou $\delta = -4-3i$. (3 pts)
2. $\Delta = 36 - 4(7+24i) = 36 - 28 - 96i = 8 - 96i$. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{8-96i}$... Méthode par calcul direct : les racines vérifient $z_1 + z_2 = 6$ et $z_1 z_2 = 7+24i$. En cherchant $z_1 = 3+t$, $z_2 = 3-t$ avec $t^2 = 9-(7+24i) = 2-24i$. Racines de $2-24i$ : $|\cdot|^2 = 4+576=580$... On peut aussi utiliser la formule directe. Résultat : $z_1 = 3 + (4+3i) = 7+3i$, $z_2 = 3-(4+3i) = -1-3i$. Vérification : somme $= 6$, produit $= (7+3i)(-1-3i) = -7-21i-3i-9i^2 = 2-24i \neq 7+24i$. (Note : $\Delta = 36-4(7+24i)=-4(1-9+24i)$... Correction : $\Delta = 36-4\cdot7 - 4\cdot24i = 8-96i$. Racines de $8-96i$ : $|8-96i| = \sqrt{64+9216} = \sqrt{9280} = 4\sqrt{580}$. Les solutions sont $z = \frac{6 \pm \sqrt{8-96i}}{2} = 3 \pm \frac{\sqrt{8-96i}}{2}$.) (3 pts)
Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe
Corrigé :
1. Posons $z = x+iy$. $|z-2|^2 = (x-2)^2+y^2$ et $|z-2i|^2 = x^2+(y-2)^2$. En égalisant : $(x-2)^2+y^2 = x^2+(y-2)^2$ → $-4x+4 = -4y+4$ → $x = y$. L'ensemble $E$ est la droite $\text{Re}(z) = \text{Im}(z)$, c'est-à-dire la médiatrice du segment joignant $2 = (2,0)$ et $2i = (0,2)$. (2 pts)
2. $|z-(1+i)| = 2$ est par définition un cercle de centre $1+i = (1,1)$ et de rayon $2$. (2 pts)
3. $BA = (1+2i)-(-1+4i) = 2-2i$, $|BA| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$.
$BC = (-3+2i)-(-1+4i) = -2-2i$, $|BC| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$.
$|BA| = |BC| = 2\sqrt{2}$, donc le triangle est isocèle en $B$. (2 pts)
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Nombres complexes — forme algébrique et géométrie » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calculs en forme algébrique/ 4 pts
- Exercice 2 — Conjugué et module/ 4 pts
- Exercice 3 — Résolution d'équation et racines carrées/ 6 pts
- Exercice 4 — Géométrie dans le plan complexe/ 6 pts
Notions évaluées
L'ensemble ℂ des nombres complexes, Opérations algébriques dans ℂ, Conjugué d'un nombre complexe, Module d'un nombre complexe, Plan complexe et représentation géométrique, Résolution d'équations dans ℂ.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
Voir tous les contrôles de maths expertes (option tle) Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés
Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Nombres complexes — forme algébrique et géométrie » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Nombres complexes — forme algébrique et géométrie » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit L'ensemble ℂ des nombres complexes, Opérations algébriques dans ℂ, Conjugué d'un nombre complexe, Module d'un nombre complexe.
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