Forme algébrique et conjugué

1. a)$(3-2i)(1+4i)$ $=3+12i-2i-8i^2$ $=3+10i+8$ $=11+10i$. (1)
2. b)$58=4\times 14+2$, donc $i^{58}$ $={\left(i^4\right)}^{14}\times i^2$ $=1\times (-1)$ $=-1$. (1)
3. c)$(1-3i{)}^2$ $=1-6i+9i^2$ $=1-6i-9$ $=-8-6i$ : partie réelle $-8$, partie imaginaire $-6$ (deux réels). (1)
4. d)On développe : $a(1+i)+b(2-3i)=(a+2b)+i(a-3b)$. Comme $a$ et $b$ sont réels, $a+2b$ et $a-3b$ sont réels : on identifie avec $7-3i$. $$\{\begin{array}{c}a+2b=7\hfill \\ a-3b=-3\hfill \end{array}$$ En soustrayant, $5b=10$, donc $b=2$, puis $a=7-4=3$. Vérification : $3+3i+4-6i=7-3i$. (1)

Repère — Une égalité entre deux complexes écrits sous forme algébrique donne deux égalités entre réels.

1. a)$\bar{z}=4+7i$. Puis $z+\bar{z}=2\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=8$ et $z\bar{z}=4^2+7^2=16+49=65$. (1)
2. b)Soit $u=a+ib$ et $u\prime =a\prime +ib\prime$ avec $a$, $b$, $a\prime$, $b\prime$ réels. D’une part $uu\prime =(aa\prime -bb\prime )+i(ab\prime +a\prime b)$, donc $\overline{uu\prime }=(aa\prime -bb\prime )-i(ab\prime +a\prime b)$. D’autre part $\bar{u}\times \overline{u\prime }$ $=(a-ib)(a\prime -ib\prime )$ $=aa\prime -iab\prime -ia\prime b+i^{2}bb\prime$ $=(aa\prime -bb\prime )-i(ab\prime +a\prime b)$. Les deux expressions sont égales : $\overline{uu\prime }$ $=\bar{u}\times \overline{u\prime }$. (1)
3. c)Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués et $\overline{\stackrel{―}{u}}=u$. Donc $\overline{u+\stackrel{―}{u}}$ $=\bar{u}+u$ $=u+\bar{u}$ : ce nombre est égal à son conjugué, il est réel. Et $\overline{u-\stackrel{―}{u}}$ $=\bar{u}-u$ $=-(u-\bar{u})$ : ce nombre est égal à l’opposé de son conjugué, il est imaginaire pur. (1)
4. d)$(m+3i)(2-i)$ $=2m-mi+6i-3i^2$ $=(2m+3)+i(6-m)$. Comme $m$ est réel, c’est la forme algébrique. Le nombre est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $2m+3=0$, soit $m=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. (Sa partie imaginaire vaut alors $6+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{15}{2}}\ne 0$.) (1)

Repère — Réel : égal à son conjugué. Imaginaire pur : égal à l’opposé de son conjugué.

1. a)On multiplie par le conjugué du dénominateur : ${\displaystyle \frac{5+8i}{2-3i}}$ $={\displaystyle \frac{(5+8i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}}$ $={\displaystyle \frac{10+15i+16i+24i^2}{4+9}}$ $={\displaystyle \frac{-14+31i}{13}}$ $=-{\displaystyle \frac{14}{13}}+{\displaystyle \frac{31}{13}}i$. (1)
2. b)Comme $2+i\ne 0$, l’équation a une unique solution : $z$ $={\displaystyle \frac{3-4i}{2+i}}$ $={\displaystyle \frac{(3-4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}}$ $={\displaystyle \frac{6-3i-8i+4i^2}{5}}$ $={\displaystyle \frac{2-11i}{5}}$ $={\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{11}{5}}i$. (1)
3. c)On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels ; alors $\bar{z}=x-iy$ et $z+3\bar{z}$ $=x+iy+3x-3iy$ $=4x-2iy$. L’équation s’écrit $4x-2iy=8-6i$. Comme $4x$ et $-2y$ sont réels, on identifie : $4x=8$ et $-2y=-6$, soit $x=2$ et $y=3$. L’unique solution est $z=2+3i$. Vérification : $2+3i+3(2-3i)=8-6i$. (1)
4. d)Soit $z\ne 0$. On a $z\times {\displaystyle \frac{1}{z}}=1$. En conjuguant les deux membres et en utilisant le conjugué d’un produit : $\bar{z}\times \overline{\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}$ $=\bar{1}$ $=1$. Ce produit vaut $1$, donc $\bar{z}\ne 0$, et en divisant par $\bar{z}$ : $\overline{\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}$ $={\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}$. (1)

Repère — Avec $\bar{z}$ dans une équation, on pose $z=x+iy$ et on identifie : on n’isole jamais $z$ directement.

1. a)$|2-i|=\sqrt{5}$ et $|1+3i|=\sqrt{10}$. Par les propriétés du module (produit et puissance) : $|(2-i{)}^4(1+3i)|$ $={\left(\sqrt{5}\right)}^4\times \sqrt{10}$ $=25\sqrt{10}$. (1)
2. b)Pour $z=a+ib$ ($a$, $b$ réels) : $z\bar{z}$ $=(a+ib)(a-ib)$ $=a^2-i^2{b}^2$ $=a^2+b^2$ $=|z{|}^2$. Ensuite, avec le conjugué d’un produit : $|zz\prime {|}^2$ $=zz\prime \overline{zz\prime }$ $=zz\prime \bar{z}\overline{z\prime }$ $=\left(z\bar{z}\right)(z\prime \overline{z\prime })$ $=|z{|}^2|z\prime {|}^2$ $={(|z||z\prime |)}^2$. Les réels $|zz\prime |$ et $|z||z\prime |$ sont positifs et ont le même carré, donc ils sont égaux. (1)
3. c)On pose $z=x+5i$ avec $x$ réel. Les modules étant positifs, $|z|$ $=|z-2|$ $⟺|z{|}^2$ $=|z-2{|}^2$ $⟺x^2+25$ $=(x-2{)}^2+25$ $⟺x^2$ $=x^2-4x+4$ $⟺x$ $=1$. Donc $z=1+5i$. Vérification : $|1+5i|=|-1+5i|=\sqrt{26}$. (1)
4. d)Comme $|z|=1$, $z\bar{z}=1$, donc $z\ne 0$ et $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$. Par conjugaison d’un quotient et d’une puissance : $\bar{w}$ $={\displaystyle \frac{\bar{z}}{{(1+\bar{z})}^2}}$ $={\displaystyle \frac{\frac{1}{z}}{{(1+\frac{1}{z})}^2}}$ $={\displaystyle \frac{\frac{1}{z}}{\frac{(z+1{)}^2}{z^2}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{z}}\times {\displaystyle \frac{z^2}{(1+z{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{z}{(1+z{)}^2}}$ $=w$. Le nombre $w$ est égal à son conjugué : il est réel. (1)

Repère — Pour un nombre de module $1$, on remplace $\bar{z}$ par ${\displaystyle \frac{1}{z}}$.

1. a)Pour tous complexes $a$, $b$ et tout $n\in \mathbb{N}$ : $(a+b{)}^n$ $={\displaystyle {\sum }_{k=0}^n{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}{a}^k{b}^{n-k}}$. La ligne $5$ du triangle de Pascal est $1,5,10,10,5,1$. (1)
2. b)Avec $a=2i$ et $b=1$ : $(1+2i{)}^5$ $={\displaystyle {\sum }_{k=0}^5{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)}(2i{)}^k}$. Les puissances valent $(2i{)}^2=-4$, $(2i{)}^3=-8i$, $(2i{)}^4=16$, $(2i{)}^5=32i$. Donc $(1+2i{)}^5$ $=1+5\times 2i+10\times (-4)$ $+10\times (-8i)+5\times 16+32i$, soit $(1+2i{)}^5$ $=1+10i-40-80i+80+32i$ $=41-38i$. (1)
3. c)D’une part $|1+2i{|}^{10}$ $={\left(\sqrt{5}\right)}^{10}$ $=5^5$ $=3125$. D’autre part $|1+2i{|}^{10}$ $={(|1+2i{|}^5)}^2$ $=|(1+2i{)}^5{|}^2$ $=|41-38i{|}^2$ $={41}^2+{38}^2$ $=1681+1444$ $=3125$. Les deux calculs concordent, ce qui confirme le résultat de la question 2. (1)
4. d)Par la formule du binôme, $(1+i{)}^{12}$ $={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{12}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{k}\right)}{i}^k}$. Les termes réels sont ceux où $k$ est pair, et $i^k$ vaut alors $1$ si $k$ est multiple de $4$, $-1$ sinon : la partie réelle de $(1+i{)}^{12}$ est exactement $S$. Autre calcul : $(1+i{)}^2=2i$, donc $(1+i{)}^{12}=(2i{)}^6=64i^6=-64$. Ce nombre est réel, donc $S=-64$ (en effet $1-66+495-924+495-66+1=-64$). (1)

Repère — Calculer une même puissance de deux façons donne des égalités entre coefficients binomiaux.