Nombres complexes et géométrie

Rappels de 2nde et de 1re (repère orthonormé). Pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$, milieu de $[AB]$ : $\left({\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}};{\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}\right)$, et $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Pour $\overrightarrow{w}(x;y)$ et $\overrightarrow{t}(x\prime ;y\prime )$ : ils sont colinéaires si et seulement si $det(\overrightarrow{w},\overrightarrow{t})=xy\prime -x\prime y=0$, orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{w}·\overrightarrow{t}=xx\prime +yy\prime =0$. Le cercle de centre $\Omega (a;b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Affixes. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Le point $M(x;y)$ a pour affixe le nombre complexe $z_M=x+iy$, et $M$ est l’image de $z_M$. Le vecteur $\overrightarrow{w}(x;y)$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{w}}=x+iy$. Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même affixe.

Le dictionnaire. Pour tous points $A$, $B$, $C$ et tout réel $k$ :

• $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ (arrivée moins départ) ;
• $z_{\overrightarrow{w}+\overrightarrow{t}}=z_{\overrightarrow{w}}+z_{\overrightarrow{t}}$ et $z_{k\overrightarrow{w}}=k{z}_{\overrightarrow{w}}$ ;
• le milieu de $[AB]$ a pour affixe ${\displaystyle \frac{z_A+z_B}{2}}$ et le centre de gravité du triangle $ABC$ a pour affixe ${\displaystyle \frac{z_A+z_B+z_C}{3}}$.

Image du conjugué. Si $M$ a pour affixe $z$, le point d’affixe $\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des abscisses ; celui d’affixe $-z$ est son symétrique par rapport à $O$ ; celui d’affixe $-\bar{z}$, son symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Produit scalaire et déterminant en complexes (lien avec la 1re, à savoir redémontrer). Si $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{t}$ ont pour affixes $a$ et $b$ : $\bar{a}b=\overrightarrow{w}·\overrightarrow{t}+idet(\overrightarrow{w},\overrightarrow{t})$. Donc $\overrightarrow{w}⟂\overrightarrow{t}$ si et seulement si $\bar{a}b$ est imaginaire pur, et $\overrightarrow{w}$, $\overrightarrow{t}$ colinéaires si et seulement si $\bar{a}b$ est réel.

Module et distance. Si $M$ a pour affixe $z=x+iy$, alors $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=OM$. Pour deux points $A$ et $B$ : $AB=|z_B-z_A|$ ; pour un vecteur : $\Vert \overrightarrow{w}\Vert =|z_{\overrightarrow{w}}|$.

Outils du module (chapitre « Forme algébrique ») : $|z{|}^2=z\bar{z}$, $|zz\prime |=|z|\times |z\prime |$, $\left|{\displaystyle \frac{z}{z\prime }}\right|={\displaystyle \frac{|z|}{|z\prime |}}$ pour $z\prime \ne 0$, et $|\bar{z}|=|-z|=|z|$.

Nature d’une figure. On compare les longueurs : deux côtés égaux (isocèle), trois (équilatéral), quatre côtés égaux (losange). La réciproque du théorème de Pythagore prouve un angle droit. Un point $\Omega$ tel que $\Omega A=\Omega B=\Omega C$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ ; si le triangle est rectangle en $A$, ce centre est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$.

Argument et angle orienté. Pour $z\ne 0$ d’image $M$ : $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OM})[2\pi ]$. Pour $A\ne B$ : $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z_B-z_A)=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB})[2\pi ]$.

Angle de deux vecteurs. Pour $A\ne B$ et $C\ne D$ : $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left({\displaystyle \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\right)[2\pi ]$ : le vecteur d’arrivée est au numérateur.

Le quotient $Z={\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}$, pour $A$, $B$, $C$ deux à deux distincts : $|Z|={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(Z)=(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})[2\pi ]$. On en déduit :

• $A$, $B$, $C$ alignés $⟺$ $Z$ réel $⟺$ $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(Z)=0[\pi ]$ ;
• $(AB)⟂(AC)$ $⟺$ $Z$ imaginaire pur $⟺$ $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(Z)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}[\pi ]$ ;
• $AB=AC$ $⟺$ $|Z|=1$ ; si $Z=i$ ou $Z=-i$, le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ ; si $Z=e^{i\pi /3}$ (ou $e^{-i\pi /3}$), il est équilatéral.

Plus généralement, pour $A\ne B$ et $C\ne D$ : $(AB)\parallel (CD)$ si et seulement si ${\displaystyle \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}$ est réel, et $(AB)⟂(CD)$ si et seulement s’il est imaginaire pur.

Soit $\Omega$ d’affixe $\omega$, $r>0$, $A$ et $B$ deux points distincts, et $M$ d’affixe $z$.

• $|z-\omega |=r$ $⟺$ $\Omega M=r$ : cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ ; $|z-\omega |⩽r$ : disque fermé ; $|z-\omega |<r$ : intérieur du disque.
• $|z-z_A|=|z-z_B|$ $⟺$ $AM=BM$ : médiatrice de $[AB]$.
• Pour $M$ distinct de $A$ et de $B$, le quotient $Z={\displaystyle \frac{z-z_A}{z-z_B}}$ vérifie $|Z|={\displaystyle \frac{AM}{BM}}$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(Z)=(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MA})[2\pi ]$. Donc : $Z$ réel non nul $⟺$ $M$ est sur la droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$ ; $Z$ imaginaire pur non nul $⟺$ l’angle $AMB$ est droit $⟺$ $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$. Le point $B$ est toujours exclu (dénominateur nul) ; $A$ donne $Z=0$, qui est à la fois réel et imaginaire pur : on le garde si l’énoncé ne dit pas « non nul ».

Avant de lire un module, on l’écrit sous la forme $|z-z_A|$ : on factorise le coefficient de $z$, $|kz+c|=|k|\times |z+{\displaystyle \frac{c}{k}}|$ pour $k\ne 0$, et l’on se débarrasse d’un conjugué avec $|\bar{z}-c|=|\overline{z-\stackrel{―}{c}}|=|z-\bar{c}|$.

Sans lecture géométrique directe, on pose $z=x+iy$ et l’on traduit la condition en une équation en $x$ et $y$ : droite $ax+by+c=0$ ou cercle $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Le programme ne liste pas les transformations parmi les capacités attendues ; leurs écritures complexes sont des outils pour étudier les configurations (carrés, triangles équilatéraux, polygones réguliers). Le point $M$ d’affixe $z$ a pour image $M\prime$ d’affixe $z\prime$.

• Translation de vecteur $\overrightarrow{w}$ d’affixe $b$ : $z\prime =z+b$.
• Homothétie de centre $\Omega (\omega )$ et de rapport $k$ réel non nul : $z\prime -\omega =k(z-\omega )$. Le rapport $-1$ donne la symétrie de centre $\Omega$ : $z\prime =2\omega -z$.
• Rotation de centre $\Omega (\omega )$ et d’angle $\theta$ : $z\prime -\omega =e^{i\theta }(z-\omega )$. Angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : on multiplie par $i$ ; angle $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : par $-i$ ; angle $\pi$ : par $-1$.
• Composer : pour $s\circ h$ (« $h$ puis $s$ »), on remplace $z$ dans l’écriture de $s$ par l’écriture de $h$.

Les écritures $z\prime =az+b$, sur exemples ($a$ complexe non nul). Si $a=1$, c’est une translation. Si $a\ne 1$, il existe un unique point invariant $\Omega$, d’affixe $\omega ={\displaystyle \frac{b}{1-a}}$, et $z\prime -\omega =a(z-\omega )$ : donc $\Omega M\prime =|a|\Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M\prime })=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(a)$ pour $M\ne \Omega$. Si $a$ est réel, c’est l’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $a$ ; si $|a|=1$, la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(a)$ ; sinon, on parle de similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $|a|$ et d’angle $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(a)$ : elle multiplie les distances par $|a|$ et conserve les angles orientés.

Rappel (démontré dans « Forme trigonométrique ») : les racines $n$-ièmes de l’unité sont les $e^{2ik\pi /n}$, pour $k$ de $0$ à $n-1$. ${𝕌}_2=\{1;-1\}$, ${𝕌}_3=\{1;j;j^2\}$ avec $j=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ et $1+j+j^2=0$, ${𝕌}_4=\{1;i;-1;-i\}$.

Polygone régulier. Pour $n⩾3$, les images des éléments de ${𝕌}_n$ sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ ; on passe d’un sommet au suivant par la rotation de centre $O$ et d’angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$, c’est-à-dire en multipliant par $e^{2i\pi /n}$. Pour $n=3$ : triangle équilatéral ; $n=4$ : carré.

Centre quelconque. Le polygone régulier de centre $\Omega (\omega )$, de rayon $r$ et de sommet $A_0$ a pour sommets les points $A_k$ tels que $z_k-\omega =(z_0-\omega )e^{2ik\pi /n}$, $k$ de $0$ à $n-1$ : chaque sommet est l’image du précédent par la rotation de centre $\Omega$ et d’angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$.

Côté : $A_k{A}_{k+1}=r|e^{2i\pi /n}-1|=2r\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}$. Pour $n=3$, $4$, $6$ : $r\sqrt{3}$, $r\sqrt{2}$, $r$. L’hexagone régulier se découpe en six triangles équilatéraux de côté $r$.

Centre de gravité : $z_0+z_1+\cdots +z_{n-1}=n\omega$, car la somme des racines $n$-ièmes de l’unité est nulle pour $n⩾2$ ; le point d’affixe ${\displaystyle \frac{z_0+\cdots +z_{n-1}}{n}}$ est le centre $\Omega$.