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Nombres complexes et transformations du plan
Translations, rotations, homothéties et similitudes vues à travers les nombres complexes
À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Nombres complexes et transformations du plan » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Affixe d'un point et vecteur — rappels, Translation, Rotation, Homothétie. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
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Affixe d'un point et vecteur — rappels
On munit le plan d'un repère orthonormal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. À tout point $M$ de coordonnées $(x,y)$ on associe le nombre complexe $z_M = x+iy$ appelé affixe de $M$.
De même, au vecteur $\vec{w}=(a,b)$ on associe l'affixe $a+ib$.
Propriété fondamentale. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$. On a $\left|\overrightarrow{AB}\right| = |z_B - z_A|$ et $\left(\vec{u},\overrightarrow{AB}\right) = \arg(z_B - z_A)$.
Astuce. Toute égalité vectorielle se traduit directement en égalité complexe : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ équivaut à $z_B - z_A = z_D - z_C$.
Le module $|z|$ représente la distance à l'origine ; l'argument $\arg(z)$ représente l'angle orienté avec l'axe réel. Ces deux quantités permettent de lire toutes les transformations isométriques directes du plan.
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Translation
Définition. La translation de vecteur $\vec{t}$ d'affixe $b \in \mathbb{C}$ est l'application $t_b : M \mapsto M'$ définie par $$z_{M'} = z_M + b.$$
C'est une isométrie directe sans point fixe (si $b\neq 0$). Elle conserve toutes les distances et tous les angles.
Exemple. Soit $A$ d'affixe $2+i$ et $\vec{t}$ d'affixe $-1+3i$. L'image de $A$ par $t_{-1+3i}$ a pour affixe $(2+i)+(-1+3i)=1+4i$, soit le point $(1,4)$.
Attention ! La translation de vecteur $\vec{0}$ est l'identité ; elle admet tous les points comme « points fixes ».
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Rotation
Définition. La rotation de centre $\Omega$ d'affixe $z_\Omega$ et d'angle $\theta$ est l'application $r_{\Omega,\theta}$ définie par $$z_{M'} - z_\Omega = e^{i\theta}(z_M - z_\Omega).$$
En particulier, la rotation de centre $O$ d'angle $\theta$ s'écrit simplement $z' = e^{i\theta} z$.
Astuce. Pour retrouver l'angle : calcule $\arg\!\left(\dfrac{z_{M'}-z_\Omega}{z_M - z_\Omega}\right) = \theta$. Pour retrouver le centre, résous $z_\Omega - e^{i\theta}z_\Omega = z_{M'} - e^{i\theta}z_M$.
Exemple. Rotation de centre $O$, angle $\pi/2$ (rotation de $90°$). Si $M$ a pour affixe $z=3+i$, alors $z'=e^{i\pi/2}(3+i)=i(3+i)=3i+i^2=3i-1=-1+3i$. Le point $M'$ est donc $(-1,3)$.
Le cercle $|z|=\sqrt{10}$ passe par $M(3,1)$ et $M'(-1,3)$ — la rotation conserve le module.
Attention ! La rotation d'angle $0$ est l'identité ; la rotation d'angle $\pi$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$.
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Homothétie
Définition. L'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $z_\Omega$ et de rapport $k\in\mathbb{R}^*$ est l'application $h_{\Omega,k}$ définie par $$z_{M'} - z_\Omega = k(z_M - z_\Omega).$$
Si $k\gt 0$, $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $\Omega$. Si $k\lt 0$, $M'$ est du côté opposé. Si $k=1$, c'est l'identité. Si $k=-1$, c'est la symétrie centrale de centre $\Omega$.
Exemple. Homothétie de centre $\Omega(1,0)$ d'affixe $1$ et de rapport $2$. Pour $M$ d'affixe $3+2i$ : $z_{M'}-1 = 2((3+2i)-1)=2(2+2i)=4+4i$, donc $z_{M'}=5+4i$. Le point $M'$ est $(5,4)$.
Astuce. L'homothétie multiplie toutes les distances par $|k|$. Elle conserve les angles mais n'est pas une isométrie (sauf pour $|k|=1$).
| Transformation | Écriture complexe | Isométrie ? |
|---|---|---|
| Translation de vecteur $b$ | $z'=z+b$ | Oui |
| Rotation centre $\Omega$, angle $\theta$ | $z'-z_\Omega=e^{i\theta}(z-z_\Omega)$ | Oui |
| Homothétie centre $\Omega$, rapport $k$ | $z'-z_\Omega=k(z-z_\Omega)$ | Non (sauf $|k|=1$) |
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Similitude directe — définition et écriture complexe
Définition. Une similitude directe est toute transformation du plan de la forme $$z' = az + b$$ avec $a,b\in\mathbb{C}$, $a\neq 0$.
— Si $a=1$ : c'est une translation de vecteur $b$.
— Si $b=0$ et $a$ réel positif : c'est une homothétie de centre $O$.
— En général : c'est la composée d'une homothétie de rapport $|a|$ et d'une rotation d'angle $\arg(a)$, toutes deux de même centre.
— Si $a=1$ : c'est une translation de vecteur $b$.
— Si $b=0$ et $a$ réel positif : c'est une homothétie de centre $O$.
— En général : c'est la composée d'une homothétie de rapport $|a|$ et d'une rotation d'angle $\arg(a)$, toutes deux de même centre.
Le rapport (ou module) de la similitude est $|a|$ et son angle est $\arg(a)$.
Exemple. $z'=(1+i)z+2-i$. On a $a=1+i$, donc $|a|=\sqrt{2}$ (rapport) et $\arg(a)=\pi/4$ (angle de $45°$). La similitude a donc rapport $\sqrt{2}$ et angle $\pi/4$.
Attention ! Les similitudes indirectes ($z'=a\bar{z}+b$) ne sont pas au programme de Maths expertes Terminale sous cette forme généralisée. On travaille uniquement avec des similitudes directes.
Toute similitude directe $z'=az+b$ se décompose en rotation + homothétie de même centre, puis translation (absorbée dans le point fixe).
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Éléments caractéristiques d'une similitude directe
Soit $f : z' = az+b$ une similitude directe avec $a\neq 1$.
Point fixe (centre). Le centre $\Omega$ est l'unique point vérifiant $z_\Omega = az_\Omega + b$, soit $$z_\Omega = \frac{b}{1-a}.$$
Si $a=1$ (translation), il n'y a pas de point fixe.
Rapport et angle. Le rapport de la similitude est $k=|a|$ et son angle est $\theta = \arg(a)$.
Si $\theta=0$ (i.e. $a$ réel positif), c'est une homothétie directe.
Si $k=1$ (i.e. $|a|=1$), c'est une rotation.
Si $\theta=0$ (i.e. $a$ réel positif), c'est une homothétie directe.
Si $k=1$ (i.e. $|a|=1$), c'est une rotation.
Exemple. $f : z' = iz + 1-i$. On a $a=i$, $b=1-i$.
• $|a|=1$ : rapport $1$ (isométrie).
• $\arg(i)=\pi/2$ : rotation d'angle $\pi/2$.
• Centre : $z_\Omega = \dfrac{1-i}{1-i} = 1$. Donc $\Omega = (1,0)$.
Vérification : $i\cdot 1+(1-i)=i+1-i=1$ ✓.
• $|a|=1$ : rapport $1$ (isométrie).
• $\arg(i)=\pi/2$ : rotation d'angle $\pi/2$.
• Centre : $z_\Omega = \dfrac{1-i}{1-i} = 1$. Donc $\Omega = (1,0)$.
Vérification : $i\cdot 1+(1-i)=i+1-i=1$ ✓.
Méthode. Pour identifier une similitude :
- Lire $a$ et $b$ dans $z'=az+b$.
- Calculer $|a|$ (rapport) et $\arg(a)$ (angle).
- Calculer $z_\Omega = b/(1-a)$ (centre si $a\neq 1$).
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Composition de similitudes directes
Propriété. La composée de deux similitudes directes $f:z'=a_1z+b_1$ et $g:z'=a_2z+b_2$ est la similitude directe $$g\circ f : z' = a_2 a_1 z + a_2 b_1 + b_2.$$
En particulier :
- La composée de deux rotations de centre $O$ d'angles $\alpha$ et $\beta$ est la rotation d'angle $\alpha+\beta$ (car $e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$).
- La composée de deux similitudes de rapports $k_1$ et $k_2$ a pour rapport $k_1 k_2$.
Exemple. Soit $f:z'=iz+1$ et $g:z'=(1+i)z-1$.
$g\circ f : z' = (1+i)(iz+1)-1 = i(1+i)z+(1+i)-1 = (i+i^2)z+i = (i-1)z+i$.
Rapport : $|i-1|=\sqrt{2}$, angle : $\arg(i-1)=3\pi/4$, centre : $z_\Omega=\dfrac{i}{1-(i-1)}=\dfrac{i}{2-i}=\dfrac{i(2+i)}{5}=\dfrac{2i-1}{5}$.
$g\circ f : z' = (1+i)(iz+1)-1 = i(1+i)z+(1+i)-1 = (i+i^2)z+i = (i-1)z+i$.
Rapport : $|i-1|=\sqrt{2}$, angle : $\arg(i-1)=3\pi/4$, centre : $z_\Omega=\dfrac{i}{1-(i-1)}=\dfrac{i}{2-i}=\dfrac{i(2+i)}{5}=\dfrac{2i-1}{5}$.
Attention ! L'ordre de composition compte : $g\circ f \neq f\circ g$ en général.
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Applications géométriques
Les nombres complexes permettent de traiter élégamment des configurations géométriques classiques.
Triangle équilatéral. $A$, $B$, $C$ forment un triangle équilatéral direct si et seulement si il existe une rotation d'angle $\pm\pi/3$ de centre $A$ envoyant $B$ sur $C$, ce qui s'écrit : $$z_C - z_A = e^{\pm i\pi/3}(z_B - z_A).$$
Exemple. $A(0)$, $B(1)$. Le troisième sommet $C$ du triangle équilatéral direct $ABC$ vérifie $z_C = e^{i\pi/3}\cdot 1 = \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, soit $C\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$.
Astuce — critères utiles.
- $ABCD$ est un parallélogramme $\Leftrightarrow$ $z_A+z_C=z_B+z_D$.
- $ABCD$ est un carré direct $\Leftrightarrow$ $z_D-z_A = i(z_B-z_A)$.
- $ABC$ isocèle rectangle en $B$ direct $\Leftrightarrow$ $z_C-z_B = i(z_A-z_B)$.
Exemple de synthèse. On cherche la similitude directe qui envoie $A(1)$ sur $A'(i)$ et $B(2)$ sur $B'(1+2i)$.
$f:z'=az+b$ avec $az_A+b=z_{A'}$ et $az_B+b=z_{B'}$.
$a(z_B-z_A)=z_{B'}-z_{A'} \Rightarrow a(2-1)=(1+2i)-i=1+i \Rightarrow a=1+i$.
$b=i-(1+i)\cdot 1=i-1-i=-1$.
Donc $f:z'=(1+i)z-1$. Rapport $\sqrt{2}$, angle $\pi/4$, centre $z_\Omega=\dfrac{-1}{1-(1+i)}=\dfrac{-1}{-i}=\dfrac{1}{i}=-i$.
$f:z'=az+b$ avec $az_A+b=z_{A'}$ et $az_B+b=z_{B'}$.
$a(z_B-z_A)=z_{B'}-z_{A'} \Rightarrow a(2-1)=(1+2i)-i=1+i \Rightarrow a=1+i$.
$b=i-(1+i)\cdot 1=i-1-i=-1$.
Donc $f:z'=(1+i)z-1$. Rapport $\sqrt{2}$, angle $\pi/4$, centre $z_\Omega=\dfrac{-1}{1-(1+i)}=\dfrac{-1}{-i}=\dfrac{1}{i}=-i$.
En bref
- Translation de vecteur $b$ : $z'=z+b$.
- Rotation de centre $\Omega$, angle $\theta$ : $z'-z_\Omega = e^{i\theta}(z-z_\Omega)$.
- Homothétie de centre $\Omega$, rapport $k$ : $z'-z_\Omega = k(z-z_\Omega)$.
- Similitude directe : $z'=az+b$ ; rapport $|a|$, angle $\arg(a)$, centre $\frac{b}{1-a}$ (si $a\neq 1$).
- Composée de deux similitudes $f$ puis $g$ : $g\circ f(z)=a_2(a_1 z+b_1)+b_2$.
- Triangle équilatéral direct $ABC$ : $z_C-z_A = e^{\pm i\pi/3}(z_B-z_A)$.
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