Ressources · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Forme algébrique et conjugué

Q: Comment trouver la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe ?

On l’écrit sous la forme algébrique z = a + ib, avec a et b réels : on développe, on remplace i² par −1, puis on regroupe. La partie réelle est a, la partie imaginaire est b. Attention : la partie imaginaire est un réel, sans le i (pour 5 − 7i, elle vaut −7).

Q: À quoi sert le conjugué d’un nombre complexe ?

Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib. Il sert à rendre réel un dénominateur (car zz̄ = a² + b²) et à prouver qu’un nombre est réel (z̄ = z) ou imaginaire pur (z̄ = −z) sans calculer sa forme algébrique. Il est compatible avec la somme, le produit, l’inverse et les puissances.

Q: Comment mettre un quotient de nombres complexes sous forme algébrique ?

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient le réel a² + b², il ne reste qu’à développer le numérateur et à séparer partie réelle et partie imaginaire. Pour une équation avec z et z̄, on pose z = x + iy et on identifie.

Q: Comment calculer le module d’un nombre complexe ?

Pour z = a + ib, |z| = √(a² + b²), et |z|² = zz̄. Le module d’un produit est le produit des modules, celui d’une puissance est la puissance du module, celui d’un quotient est le quotient des modules : on calcule donc sans développer. Mais le module d’une somme n’est pas la somme des modules.

Q: Comment utiliser la formule du binôme avec des nombres complexes ?

Pour tous complexes a et b et tout entier n, (a + b)ⁿ est la somme des C(n, k) aᵏ bⁿ⁻ᵏ, avec les coefficients du triangle de Pascal. Pour (x + iy)ⁿ, on remplace les puissances de i (i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1) et on sépare les termes réels des termes en i.

L’ensemble ℂ et la forme algébrique a + ib, parties réelle et imaginaire, conjugué et ses propriétés, inverse, quotient et équations simples, module, formule du binôme dans ℂ.

À propos de cette page

Ce cours de maths expertes de Terminale présente le point de vue algébrique sur les nombres complexes en cinq parties : l’ensemble ℂ et la forme algébrique a + ib, le conjugué et ses propriétés, l’inverse, les quotients et les équations az = b ou avec z et z̄, le module, la formule du binôme dans ℂ. Les démonstrations exigibles (conjugué d’un produit, d’un inverse, d’une puissance, |z|² = zz̄, module d’un produit et d’une puissance, formule du binôme) y sont rédigées.

L’ensemble ℂ et la forme algébrique

Ce qu’il faut savoir

L’ensemble $ℂ$ (admis). Il existe un ensemble $ℂ$ , l’ensemble des nombres complexes, qui contient $ℝ$ , muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de $ℝ$ et suivent les mêmes règles de calcul, et qui contient un nombre noté $i$ tel que $i^{2} = - 1$ .

Forme algébrique. Tout nombre complexe $z$ s’écrit de façon unique $z = a + i b$ avec $a$ et $b$ réels. Le réel $a = R e (z)$ est la partie réelle, le réel $b = I m (z)$ est la partie imaginaire. Si $b = 0$ , $z$ est réel ; si $a = 0$ , $z$ est imaginaire pur ( $0$ est les deux à la fois).

Identification. L’unicité donne : $a + i b = a' + i b' ⟺ a = a'$ et $b = b'$ (avec $a$ , $b$ , $a'$ , $b'$ réels). En particulier, $a + i b = 0 ⟺ a = 0$ et $b = 0$ .

Opérations. Pour $z = a + i b$ et $z' = a' + i b'$ : $z + z' = (a + a') + i (b + b')$ et $z z' = (a a' - b b') + i (a b' + a' b)$ . On n’apprend pas cette formule : on développe et on remplace $i^{2}$ par $- 1$ . Les identités remarquables restent vraies, par exemple $(a + i b)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 i a b$ .

Produit nul. $z z' = 0 ⟺ z = 0$ ou $z' = 0$ , comme dans $ℝ$ .

Puissances de $i$ . $i^{0} = 1$ , $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ , puis le cycle recommence : $i^{n}$ ne dépend que du reste de la division de $n$ par $4$ .

$ℂ$ n’est pas ordonné. On n’écrit jamais $z < z'$ ni « $z$ positif » pour un complexe non réel : seuls les réels se comparent.

Exemples

Produit. $(3 + 2 i) (5 - 4 i)$ $= 15 - 12 i + 10 i - 8 i^{2}$ $= 15 - 2 i + 8$ $= 23 - 2 i$ : $R e = 23$ et $I m = - 2$ .

Carré. $(4 - i)^{2} = 16 - 8 i + i^{2} = 15 - 8 i$ .

Puissance de $i$ . $86 = 4 \times 21 + 2$ , donc $i^{86}$ $= {(i^{4})}^{21} \times i^{2}$ $= 1 \times (- 1)$ $= - 1$ .

Identification. On cherche les réels $x$ et $y$ tels que $(x + 2 y) + i (3 x - y) = 4 + 5 i$ . Comme $x + 2 y$ et $3 x - y$ sont réels, on identifie : $x + 2 y = 4$ et $3 x - y = 5$ . La seconde équation donne $y = 3 x - 5$ , puis $x + 6 x - 10 = 4$ , soit $x = 2$ et $y = 1$ .

Un peu d’histoire. D’après le programme officiel, des quantités complexes sont apparues chez les mathématiciens italiens de la Renaissance (Tartaglia, Cardan, Bombelli), qui cherchaient pour les équations polynomiales des formules analogues à celles du second degré.

Réflexe — Pour obtenir une forme algébrique : je développe, je remplace chaque $i^{2}$ par $- 1$ , puis je regroupe les termes sans $i$ (partie réelle) et les termes en $i$ (partie imaginaire). Pour une puissance $i^{n}$ , je divise $n$ par $4$ et je garde le reste.

Attention — La partie imaginaire est un réel : $I m (5 - 7 i) = - 7$ , et non $- 7 i$ . Et l’identification n’est permise que si les deux parties comparées sont réelles.

1 / 5

Le conjugué

Ce qu’il faut savoir

Définition. Le conjugué de $z = a + i b$ ( $a$ , $b$ réels) est $\overset{―}{z} = a - i b$ : on change le signe de la partie imaginaire seulement.

Premières propriétés. $\overset{―}{\overset{―}{z}} = z$ ; $z + \overset{―}{z} = 2 R e (z)$ ; $z - \overset{―}{z} = 2 i I m (z)$ ; $z \overset{―}{z} = a^{2} + b^{2}$ , qui est un réel positif ou nul.

Propriétés algébriques. Pour tous complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ :

$\overset{―}{z + z'}$ $= \overset{―}{z} + \overset{―}{z'}$ ; $\overset{―}{z z'}$ $= \overset{―}{z} \times \overset{―}{z'}$ ; $\overset{―}{z^{n}} = {(\overset{―}{z})}^{n}$ ; si $z \neq 0$ , $\overset{―}{(\frac{1}{z})}$ $= \frac{1}{\overset{―}{z}}$ ; si $z' \neq 0$ , $\overset{―}{(\frac{z}{z'})}$ $= \frac{\overset{―}{z}}{\overset{―}{z'}}$ .

Le conjugué d’une expression s’obtient donc en conjuguant chaque nombre qui y figure (démonstrations exigibles : produit, inverse, puissance).

Caractérisations. $z$ est réel $⟺ \overset{―}{z} = z$ ; $z$ est imaginaire pur $⟺ \overset{―}{z} = - z$ .

Exemples

Démonstration : conjugué d’un produit. Soit $z = a + i b$ et $z' = a' + i b'$ ( $a$ , $b$ , $a'$ , $b'$ réels). D’une part $z z' = (a a' - b b') + i (a b' + a' b)$ , donc $\overset{―}{z z'} = (a a' - b b') - i (a b' + a' b)$ . D’autre part $\overset{―}{z} \times \overset{―}{z'}$ $= (a - i b) (a' - i b')$ $= a a' - i a b' - i a' b + i^{2} b b'$ $= (a a' - b b') - i (a b' + a' b)$ . Les deux résultats sont égaux : $\overset{―}{z z'}$ $= \overset{―}{z} \times \overset{―}{z'}$ .

Démonstration : conjugué d’un inverse. Soit $z \neq 0$ . On a $z \times \frac{1}{z} = 1$ . En conjuguant, avec la propriété du produit : $\overset{―}{z} \times \overset{―}{(\frac{1}{z})}$ $= \overset{―}{1}$ $= 1$ . Donc $\overset{―}{z} \neq 0$ et $\overset{―}{(\frac{1}{z})}$ $= \frac{1}{\overset{―}{z}}$ .

Démonstration : conjugué d’une puissance (récurrence). Soit $z$ un complexe ; pour $n \in ℕ$ , on note $𝒫 (n)$ : « $\overset{―}{z^{n}} = {(\overset{―}{z})}^{n}$ ». Initialisation : $\overset{―}{z^{0}}$ $= \overset{―}{1}$ $= 1$ $= {(\overset{―}{z})}^{0}$ . Hérédité : si $\overset{―}{z^{n}} = {(\overset{―}{z})}^{n}$ pour un entier $n$ , alors $\overset{―}{z^{n + 1}}$ $= \overset{―}{z^{n} \times z}$ $= \overset{―}{z^{n}} \times \overset{―}{z}$ $= {(\overset{―}{z})}^{n} \times \overset{―}{z}$ $= {(\overset{―}{z})}^{n + 1}$ . Conclusion : $𝒫 (n)$ est vraie pour tout $n \in ℕ$ .

Prouver qu’un nombre est réel. Soit $w = (2 + 5 i)^{6} + (2 - 5 i)^{6}$ . Comme $2 - 5 i = \overset{―}{2 + 5 i}$ , on a $\overset{―}{w}$ $= \overset{―}{(2 + 5 i)^{6}} + \overset{―}{(2 - 5 i)^{6}}$ $= (2 - 5 i)^{6} + (2 + 5 i)^{6}$ $= w$ . Donc $w$ est réel, sans avoir développé une seule puissance.

Réflexe — Pour montrer qu’un nombre est réel ou imaginaire pur, je ne cherche pas sa forme algébrique : je calcule son conjugué en conjuguant chaque nombre. Si je retrouve le nombre, il est réel ; si je trouve son opposé, il est imaginaire pur.

Attention — $i$ se conjugue aussi : $\overset{―}{i z}$ $= \overset{―}{i} \times \overset{―}{z}$ $= - i \overset{―}{z}$ , et $\overset{―}{z + 3 i} = \overset{―}{z} - 3 i$ . Et un réel est son propre conjugué : $\overset{―}{2 z} = 2 \overset{―}{z}$ .

2 / 5

Inverse, quotient et équations

Ce qu’il faut savoir

Inverse. Tout complexe $z = a + i b$ non nul a un inverse. En multipliant en haut et en bas par $\overset{―}{z}$ , on obtient sa forme algébrique :
$\frac{1}{z}$ $= \frac{\overset{―}{z}}{z \overset{―}{z}}$ $= \frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}}$ $= \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - i \frac{b}{a^{2} + b^{2}}$ .

Quotient. Pour mettre $\frac{z}{z'}$ ( $z' \neq 0$ ) sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient le réel $z' \overset{―}{z'}$ .

Équation $a z = b$ . Si $a \neq 0$ , l’équation $a z = b$ a une unique solution, $z = \frac{b}{a}$ , que l’on met sous forme algébrique.

Équation avec $z$ et $\overset{―}{z}$ . On pose $z = x + i y$ avec $x$ et $y$ réels, donc $\overset{―}{z} = x - i y$ ; on écrit chaque membre sous forme algébrique, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations réelles.

Exemples

Inverse. $\frac{1}{5 - 3 i}$ $= \frac{5 + 3 i}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$ $= \frac{5 + 3 i}{25 + 9}$ $= \frac{5}{34} + \frac{3}{34} i$ .

Quotient. $\frac{3 - 5 i}{1 + 2 i}$ $= \frac{(3 - 5 i) (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$ $= \frac{3 - 6 i - 5 i + 10 i^{2}}{1 + 4}$ $= \frac{- 7 - 11 i}{5}$ , donc la partie réelle vaut $- \frac{7}{5}$ et la partie imaginaire $- \frac{11}{5}$ .

Équation $a z = b$ . $(3 + i) z = 10 i$ donne $z$ $= \frac{10 i}{3 + i}$ $= \frac{10 i (3 - i)}{9 + 1}$ $= \frac{30 i - 10 i^{2}}{10}$ $= \frac{10 + 30 i}{10}$ $= 1 + 3 i$ . Vérification : $(3 + i) (1 + 3 i) = 3 + 9 i + i + 3 i^{2} = 10 i$ .

Équation avec $z$ et $\overset{―}{z}$ . Résoudre $3 z - \overset{―}{z} = 4 + 8 i$ . On pose $z = x + i y$ ( $x$ , $y$ réels) : $3 (x + i y) - (x - i y) = 2 x + 4 i y$ . L’équation s’écrit $2 x + 4 i y = 4 + 8 i$ ; comme $2 x$ et $4 y$ sont réels, on identifie : $2 x = 4$ et $4 y = 8$ . L’unique solution est $z = 2 + 2 i$ .

Réflexe — Un $i$ au dénominateur ? Je multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur. Un $\overset{―}{z}$ dans l’équation ? Je pose $z = x + i y$ , j’écris les deux membres sous la forme « réel $+ i \times$ réel » et j’identifie.

Attention — On ne « divise » jamais par $i$ en le laissant au dénominateur : $\frac{1}{i}$ $= \frac{- i}{i \times (- i)}$ $= - i$ . Et une équation avec $\overset{―}{z}$ ne se résout pas en « isolant $z$ » : il faut passer par $x$ et $y$ .

3 / 5

Le module

Ce qu’il faut savoir

Définition. Le module de $z = a + i b$ ( $a$ , $b$ réels) est le réel positif $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Si $z$ est réel, son module est sa valeur absolue. $| z | = 0 ⟺ z = 0$ . Dans le plan muni d’un repère orthonormé, si $M$ a pour coordonnées $(a; b)$ , alors $| z | = O M$ .

Relation fondamentale (démonstration exigible) : $| z |^{2} = z \overset{―}{z}$ . On en déduit $| \overset{―}{z} | = | - z | = | z |$ .

Module et opérations (démonstrations exigibles pour le produit et la puissance). Pour tous complexes $z$ , $z'$ et tout entier naturel $n$ : $| z z' | = | z | \times | z' |$ ; $| z^{n} | = | z |^{n}$ ; si $z \neq 0$ , $| \frac{1}{z} | = \frac{1}{| z |}$ ; si $z' \neq 0$ , $| \frac{z}{z'} |$ $= \frac{| z |}{| z' |}$ .

Nombres de module 1. Pour $z \neq 0$ : $| z |$ $= 1$ $⟺ z \overset{―}{z}$ $= 1$ $⟺ \overset{―}{z}$ $= \frac{1}{z}$ .

Exemples

Démonstration de $| z |^{2} = z \overset{―}{z}$ . Pour $z = a + i b$ : $z \overset{―}{z}$ $= (a + i b) (a - i b)$ $= a^{2} - (i b)^{2}$ $= a^{2} - i^{2} b^{2}$ $= a^{2} + b^{2}$ $= | z |^{2}$ .

Démonstration de $| z z' | = | z | | z' |$ . D’après la relation précédente et le conjugué d’un produit : $| z z' |^{2}$ $= z z' \times \overset{―}{z z'}$ $= z z' \overset{―}{z} \overset{―}{z'}$ $= (z \overset{―}{z}) (z' \overset{―}{z'})$ $= | z |^{2} | z' |^{2}$ . Les nombres $| z z' |$ et $| z | | z' |$ sont positifs et ont le même carré : ils sont égaux.

Démonstration de $| z^{n} | = | z |^{n}$ (récurrence). $| z^{0} | = | 1 | = 1 = | z |^{0}$ . Si $| z^{n} | = | z |^{n}$ pour un entier $n$ , alors $| z^{n + 1} |$ $= | z^{n} \times z |$ $= | z^{n} | \times | z |$ $= | z |^{n} \times | z |$ $= | z |^{n + 1}$ . La propriété est vraie pour tout $n \in ℕ$ .

Sans développer. $| (2 - 3 i) (4 + i) |$ $= | 2 - 3 i | \times | 4 + i |$ $= \sqrt{13} \times \sqrt{17}$ $= \sqrt{221}$ . Et $| (1 - i)^{12} |$ $= {(\sqrt{2})}^{12}$ $= 2^{6}$ $= 64$ .

Réflexe — Devant un produit, un quotient ou une puissance, je calcule le module de chaque morceau avant tout développement. Pour comparer ou calculer des modules, je travaille avec les carrés : $| z |^{2} = z \overset{―}{z}$ évite les racines carrées.

Attention — Le module n’est pas compatible avec l’addition : pour $z = 4$ et $z' = 3 i$ , $| z + z' | = | 4 + 3 i | = 5$ alors que $| z | + | z' | = 7$ . On a seulement l’inégalité triangulaire $| z + z' | ⩽ | z | + | z' |$ (problème possible du programme, démontrée dans l’onglet Problèmes).

4 / 5

La formule du binôme dans ℂ

Ce qu’il faut savoir

Coefficients binomiaux. Pour $0 ⩽ k ⩽ n$ , $(\binom{n}{k})$ est le nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments ; $(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ . Relation de Pascal : pour $0 ⩽ k ⩽ n - 1$ , $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ $= (\binom{n + 1}{k + 1})$ . Ils se lisent dans le triangle de Pascal.

Formule du binôme dans $ℂ$ (démonstration exigible). Pour tous complexes $a$ et $b$ et tout entier naturel $n$ :
$(a + b)^{n}$ $= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}$ , c’est-à-dire
$(a + b)^{n}$ $= b^{n} + (\binom{n}{1}) a b^{n - 1} + \dots$ $+ (\binom{n}{n - 1}) a^{n - 1} b + a^{n}$ .

Usage. Pour $(x + i y)^{n}$ , on développe avec la formule, on remplace les puissances de $i$ , puis on sépare les termes réels (puissances paires de $i$ ) et les termes en $i$ (puissances impaires).

Exemples

Démonstration (récurrence sur $n$ ). Soit $a$ et $b$ deux complexes. Initialisation : $(a + b)^{0} = 1 = (\binom{0}{0}) a^{0} b^{0}$ . Hérédité : on suppose la formule vraie au rang $n$ . Alors $(a + b)^{n + 1} = (a + b) (a + b)^{n}$ , soit
$(a + b)^{n + 1}$ $= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k + 1} b^{n - k}$ $+ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}$ .
Dans la première somme, on pose $j = k + 1$ : elle vaut $\sum_{j = 1}^{n + 1} (\binom{n}{j - 1}) a^{j} b^{n + 1 - j}$ . On met à part $a^{n + 1}$ (dernier terme de la première somme) et $b^{n + 1}$ (premier terme de la seconde) ; pour $1 ⩽ j ⩽ n$ , le coefficient de $a^{j} b^{n + 1 - j}$ vaut $(\binom{n}{j - 1}) + (\binom{n}{j})$ $= (\binom{n + 1}{j})$ (Pascal). Comme $(\binom{n + 1}{0}) = (\binom{n + 1}{n + 1}) = 1$ , on obtient $(a + b)^{n + 1}$ $= \sum_{j = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{j}) a^{j} b^{n + 1 - j}$ . Conclusion : la formule est vraie pour tout $n$ . Elle n’utilise que les règles de calcul communes à $ℝ$ et $ℂ$ (commutativité, distributivité).

Application. Avec la ligne $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ du triangle :
$(1 + i)^{6}$ $= 1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 i^{3} + 15 i^{4} + 6 i^{5} + i^{6}$ $= 1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$ $= - 8 i$ .
Contrôle : $(1 + i)^{2} = 2 i$ , donc $(1 + i)^{6} = (2 i)^{3} = 8 i^{3} = - 8 i$ .

Une égalité entre coefficients. La partie réelle de $(1 + i)^{6}$ est nulle : on lit $1 - 15 + 15 - 1 = 0$ , c’est-à-dire $(\binom{6}{0}) - (\binom{6}{2}) + (\binom{6}{4}) - (\binom{6}{6})$ $= 0$ .

Réflexe — J’écris la ligne $n$ du triangle de Pascal, puis les puissances successives du second terme en remplaçant $i^{2}$ par $- 1$ , $i^{3}$ par $- i$ , $i^{4}$ par $1$ . Je regroupe ensuite les termes réels d’un côté, les termes en $i$ de l’autre.

Attention — $(a + b)^{n} \neq a^{n} + b^{n}$ : $(1 + i)^{2} = 2 i$ , et non $1 + i^{2} = 0$ . Et un signe moins se garde dans la puissance : $(1 - 2 i)^{3}$ se développe avec $b = - 2 i$ , donc $b^{2} = - 4$ et $b^{3} = 8 i$ .

5 / 5

Pour aller plus loin

Le plan complexe. Au point $M$ de coordonnées $(a; b)$ on associe son affixe $a + i b$ ; le conjugué correspond au symétrique par rapport à l’axe des abscisses et le module à la distance $O M$ . Arguments, forme trigonométrique et exponentielle sont traités dans Forme trigonométrique et exponentielle, les distances, angles et ensembles de points dans Nombres complexes et géométrie.

Équations polynomiales. Dans $ℂ$ , une équation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif a deux solutions conjuguées ; plus généralement, si un polynôme à coefficients réels admet $z_{0}$ pour racine, $\overset{―}{z_{0}}$ en est aussi une (on le démontre en conjuguant $P (z_{0}) = 0$ , voir les exercices du cas 2) ; la factorisation de $z^{n} - a^{n}$ , d’un polynôme dont on connaît une racine et la résolution des équations de degré 3 sont au programme du chapitre Équations polynomiales.

Problèmes possibles du programme. L’inégalité triangulaire, les racines carrées d’un nombre complexe (méthode algébrique) et les suites de nombres complexes ne sont pas exigibles : ils sont traités dans l’onglet Problèmes. La résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes est elle aussi un problème possible, hors des capacités attendues.

À retenir

Tout complexe s’écrit de façon unique $z = a + i b$ avec $a = R e (z)$ et $b = I m (z)$ réels ; $i^{2} = - 1$ et $i^{n}$ dépend du reste de $n$ modulo $4$ .
$\overset{―}{z} = a - i b$ ; le conjugué passe à la somme, au produit, à l’inverse, au quotient et aux puissances. $z$ réel $⟺ \overset{―}{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur $⟺ \overset{―}{z} = - z$ .
Quotient : multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur. Équation avec $z$ et $\overset{―}{z}$ : poser $z = x + i y$ et identifier.
$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $| z |^{2} = z \overset{―}{z}$ , $| z z' | = | z | | z' |$ , $| z^{n} | = | z |^{n}$ ; mais $| z + z' | \neq | z | + | z' |$ en général.
$(a + b)^{n}$ $= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}$ pour tous complexes $a$ et $b$ .

Questions fréquentes

Comment trouver la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe ?

On l’écrit sous la forme algébrique z = a + ib, avec a et b réels : on développe, on remplace i² par −1, puis on regroupe. La partie réelle est a, la partie imaginaire est b. Attention : la partie imaginaire est un réel, sans le i (pour 5 − 7i, elle vaut −7).

À quoi sert le conjugué d’un nombre complexe ?

Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib. Il sert à rendre réel un dénominateur (car zz̄ = a² + b²) et à prouver qu’un nombre est réel (z̄ = z) ou imaginaire pur (z̄ = −z) sans calculer sa forme algébrique. Il est compatible avec la somme, le produit, l’inverse et les puissances.

Comment mettre un quotient de nombres complexes sous forme algébrique ?

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient le réel a² + b², il ne reste qu’à développer le numérateur et à séparer partie réelle et partie imaginaire. Pour une équation avec z et z̄, on pose z = x + iy et on identifie.

Comment calculer le module d’un nombre complexe ?

Pour z = a + ib, |z| = √(a² + b²), et |z|² = zz̄. Le module d’un produit est le produit des modules, celui d’une puissance est la puissance du module, celui d’un quotient est le quotient des modules : on calcule donc sans développer. Mais le module d’une somme n’est pas la somme des modules.

Comment utiliser la formule du binôme avec des nombres complexes ?

Pour tous complexes a et b et tout entier n, (a + b)ⁿ est la somme des C(n, k) aᵏ bⁿ⁻ᵏ, avec les coefficients du triangle de Pascal. Pour (x + iy)ⁿ, on remplace les puissances de i (i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1) et on sépare les termes réels des termes en i.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs