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Nombres complexes — forme algébrique et géométrie
Construction de ℂ, forme algébrique a + ib, module, argument et représentation dans le plan complexe (programme Maths expertes Tle)
À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Nombres complexes — forme algébrique et géométrie » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'ensemble ℂ des nombres complexes, Opérations algébriques dans ℂ, Conjugué d'un nombre complexe, Module d'un nombre complexe. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
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L'ensemble ℂ des nombres complexes
L'ensemble des nombres complexes ℂ est une extension de ℝ construite en adjoignant un élément $i$ vérifiant $i^2 = -1$.
Définition. Un nombre complexe est un objet de la forme $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$.
• $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle de $z$.
• $b = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire de $z$.
• $i$ est l'unité imaginaire vérifiant $i^2 = -1$.
La forme $z = a + ib$ s'appelle la forme algébrique de $z$.
• $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle de $z$.
• $b = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire de $z$.
• $i$ est l'unité imaginaire vérifiant $i^2 = -1$.
La forme $z = a + ib$ s'appelle la forme algébrique de $z$.
Deux complexes $z_1 = a_1 + ib_1$ et $z_2 = a_2 + ib_2$ sont égaux si et seulement si $a_1 = a_2$ et $b_1 = b_2$ (égalité de la partie réelle et de la partie imaginaire).
Vocabulaire. • Si $b = 0$, $z = a$ est un réel : $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
• Si $a = 0$ et $b \neq 0$, $z = ib$ est un imaginaire pur.
• $0 = 0 + 0 \cdot i$ est à la fois réel et imaginaire pur.
• Si $a = 0$ et $b \neq 0$, $z = ib$ est un imaginaire pur.
• $0 = 0 + 0 \cdot i$ est à la fois réel et imaginaire pur.
Exemple. $z = 3 - 2i$ : partie réelle $3$, partie imaginaire $-2$.
$z = -5i$ : imaginaire pur ($a = 0$, $b = -5$).
$z = -5i$ : imaginaire pur ($a = 0$, $b = -5$).
| Ensemble | Caractérisation | Exemples |
|---|---|---|
| $\mathbb{R}$ | $b = 0$ | $2 ; -\sqrt{3} ; \pi$ |
| Imaginaires purs | $a = 0,\ b \neq 0$ | $i ; -3i ; \frac{i}{2}$ |
| $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ | $b \neq 0$ | $1+i ; 2-3i$ |
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Opérations algébriques dans ℂ
Les opérations sur les complexes suivent les règles habituelles de l'algèbre, avec la simplification $i^2 = -1$.
Addition. $(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')$
Multiplication par un scalaire. $\lambda(a + ib) = \lambda a + i\lambda b$ ($\lambda \in \mathbb{R}$)
Multiplication. $(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$
Multiplication par un scalaire. $\lambda(a + ib) = \lambda a + i\lambda b$ ($\lambda \in \mathbb{R}$)
Multiplication. $(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$
Attention ! $(a + ib)^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ et non $a^2 + b^2$.
Exemple. Soient $z_1 = 2 + 3i$ et $z_2 = 1 - i$.
$z_1 + z_2 = 3 + 2i$
$z_1 \cdot z_2 = (2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$
$z_1 + z_2 = 3 + 2i$
$z_1 \cdot z_2 = (2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$
On retient les puissances de $i$ :
| $i^0$ | $i^1$ | $i^2$ | $i^3$ | $i^4$ |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $i$ | $-1$ | $-i$ | $1$ |
Astuce. Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4 : $i^n = i^{n \bmod 4}$. Ainsi $i^{13} = i^1 = i$, $i^{22} = i^2 = -1$.
Cliquez pour retourner — mémorisez les puissances de $i$ et quelques produits courants.
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Conjugué d'un nombre complexe
La notion de conjugué est centrale dans le calcul avec les complexes.
Définition. Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$.
Propriétés fondamentales (pour $z, z' \in \mathbb{C}$) :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Somme | $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ |
| Produit | $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ |
| Réel si | $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \bar{z}$ |
| Imaginaire pur si | $z$ imaginaire pur $\Leftrightarrow z = -\bar{z}$ |
| Partie réelle | $\text{Re}(z) = \dfrac{z + \bar{z}}{2}$ |
| Partie imaginaire | $\text{Im}(z) = \dfrac{z - \bar{z}}{2i}$ |
| Produit remarquable | $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}^+$ |
Application : division. Pour calculer $\dfrac{z_1}{z_2}$ ($z_2 \neq 0$), on multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$ :
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2} = \dfrac{z_1 \bar{z}_2}{|z_2|^2}$
$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2} = \dfrac{z_1 \bar{z}_2}{|z_2|^2}$
Exemple. $\dfrac{2 + i}{1 - 2i} = \dfrac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \dfrac{2 + 4i + i + 2i^2}{1 + 4} = \dfrac{2 + 5i - 2}{5} = \dfrac{5i}{5} = i$
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Module d'un nombre complexe
Le module généralise la valeur absolue des réels.
Définition. Le module de $z = a + ib$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geq 0$.
On a $|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$.
On a $|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$.
Propriétés du module :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Positivité | $|z| \geq 0$ et $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$ |
| Module du conjugué | $|\bar{z}| = |z|$ |
| Produit | $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ |
| Quotient | $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ ($z' \neq 0$) |
| Inégalité triangulaire | $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ |
| Réels | $z \in \mathbb{R} \Rightarrow |z| = |a|$ (valeur absolue) |
Exemple. $z = 3 - 4i$ : $|z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$|z^2| = |z|^2 = 25$, $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{5}$.
$|z^2| = |z|^2 = 25$, $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{5}$.
Attention ! $|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$ en général. Exemple : $|2 + (-2)| = 0 \neq 4 = |2| + |-2|$.
On a seulement l'inégalité triangulaire.
On a seulement l'inégalité triangulaire.
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Plan complexe et représentation géométrique
Tout nombre complexe $z = a + ib$ peut être représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O, \vec{u}, \vec{v})$ :
Plan complexe. On associe à $z = a + ib$ le point $M(a, b)$ ou le vecteur $\overrightarrow{OM}$ de composantes $(a, b)$.
• L'axe des abscisses est l'axe réel.
• L'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.
• Le module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ est la distance $OM$.
• L'axe des abscisses est l'axe réel.
• L'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.
• Le module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ est la distance $OM$.
Interprétations géométriques :
| Objet | Interprétation |
|---|---|
| $|z - z_0|$ | Distance entre le point d'affixe $z$ et celui d'affixe $z_0$ |
| $|z - z_0| = r$ | Cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$ |
| $|z - z_1| = |z - z_2|$ | Médiatrice du segment $[z_1 z_2]$ |
| $\bar{z}$ dans le plan | Symétrique de $M$ par rapport à l'axe réel |
Cercle de centre $1 + 2i$ et de rayon 2 dans le plan complexe (axe $x$ = axe réel, axe $y$ = axe imaginaire).
Exemple. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.
C'est la médiatrice du segment joignant les points d'affixes $1$ et $-i$, soit les points $A(1, 0)$ et $B(0, -1)$.
Milieu de $[AB]$ : $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$. Vecteur directeur de $[AB]$ : $(-1, -1)$. Équation : $x - y - 1 = 0$.
C'est la médiatrice du segment joignant les points d'affixes $1$ et $-i$, soit les points $A(1, 0)$ et $B(0, -1)$.
Milieu de $[AB]$ : $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$. Vecteur directeur de $[AB]$ : $(-1, -1)$. Équation : $x - y - 1 = 0$.
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Résolution d'équations dans ℂ
Dans ℂ, tout polynôme du second degré admet des racines, même si son discriminant est négatif.
Racines carrées d'un nombre complexe. Pour trouver $\sqrt{a + ib}$ ($b \neq 0$), on pose $z = x + iy$ et on résout $z^2 = a + ib$ :
$$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \\ x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} \end{cases}$$
$$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \\ x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} \end{cases}$$
Méthode pratique. De $x^2 + y^2 = |z|$ et $x^2 - y^2 = a$ : $x^2 = \dfrac{a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}$, $y^2 = \dfrac{-a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}$. Le signe de $y$ est celui de $b$.
Exemple. Trouver les racines carrées de $z_0 = -5 + 12i$.
$|z_0|^2 = 25 + 144 = 169$, donc $|z_0| = 13$.
$x^2 = \dfrac{-5+13}{2} = 4$, $y^2 = \dfrac{5+13}{2} = 9$.
Comme $b = 12 \gt 0$, $x$ et $y$ de même signe : $z = 2 + 3i$ ou $z = -2 - 3i$.
$|z_0|^2 = 25 + 144 = 169$, donc $|z_0| = 13$.
$x^2 = \dfrac{-5+13}{2} = 4$, $y^2 = \dfrac{5+13}{2} = 9$.
Comme $b = 12 \gt 0$, $x$ et $y$ de même signe : $z = 2 + 3i$ ou $z = -2 - 3i$.
Équation du second degré. $az^2 + bz + c = 0$ ($a \neq 0$) admet dans ℂ toujours deux racines (distinctes si $\Delta \neq 0$) :
• Si $\Delta = b^2 - 4ac \gt 0$ : deux racines réelles distinctes.
• Si $\Delta = 0$ : une racine double réelle $z = -b/(2a)$.
• Si $\Delta \lt 0$ : deux racines complexes conjuguées $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = b^2 - 4ac \gt 0$ : deux racines réelles distinctes.
• Si $\Delta = 0$ : une racine double réelle $z = -b/(2a)$.
• Si $\Delta \lt 0$ : deux racines complexes conjuguées $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Exemple. $z^2 - 2z + 5 = 0$. $\Delta = 4 - 20 = -16$.
$z = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.
Les deux racines sont $z_1 = 1 + 2i$ et $z_2 = 1 - 2i$, conjuguées l'une de l'autre.
$z = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.
Les deux racines sont $z_1 = 1 + 2i$ et $z_2 = 1 - 2i$, conjuguées l'une de l'autre.
En bref
- Tout complexe s'écrit $z = a + ib$ ($a, b \in \mathbb{R}$), avec $i^2 = -1$. Deux complexes sont égaux ssi leurs parties réelle et imaginaire sont égales.
- Conjugué : $\bar{z} = a - ib$. Division : multiplier par le conjugué du dénominateur.
- Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. On a $z\bar{z} = |z|^2$. Propriété : $|zz'| = |z||z'|$.
- Dans le plan complexe, $|z - z_0|$ est la distance entre les points d'affixes $z$ et $z_0$.
- Toute équation du 2nd degré admet deux racines dans ℂ (éventuellement complexes conjuguées si $\Delta \lt 0$).
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