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Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle
Argument, module, formule d'Euler et applications : programme d'option Maths expertes Terminale.
À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Module d'un nombre complexe, Argument d'un nombre complexe, Forme trigonométrique, Formule d'Euler et forme exponentielle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
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Module d'un nombre complexe
Soit $z = a + ib$ un nombre complexe ($a, b \in \mathbb{R}$). On représente $z$ par le point $M(a;b)$ dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$.
Définition. Le module de $z = a+ib$ est le réel positif $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ Géométriquement, $|z| = OM$ (distance de l'origine au point image).
Propriétés. Pour tous complexes $z, z'$ :
- $|z| \geq 0$ ; $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$.
- $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$.
- $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ ($z' \neq 0$).
- $|\bar{z}| = |z|$ et $z \cdot \bar{z} = |z|^2$.
- Inégalité triangulaire : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$.
Exemple. Soit $z = 3 - 4i$. Alors $|z| = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Soit $z' = 1+i$. Alors $|z'| = \sqrt{2}$ et $|z \cdot z'| = 5\sqrt{2}$.
Soit $z' = 1+i$. Alors $|z'| = \sqrt{2}$ et $|z \cdot z'| = 5\sqrt{2}$.
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Argument d'un nombre complexe
Lorsque $z \neq 0$, le point image $M$ est distinct de l'origine. On repère sa position angulaire par rapport à l'axe des réels.
Définition. Un argument de $z \neq 0$ est tout réel $\theta$ vérifiant $$\cos\theta = \frac{a}{|z|}, \quad \sin\theta = \frac{b}{|z|}.$$ On note $\theta = \arg(z)$. L'argument est défini modulo $2\pi$ ; on choisit souvent la valeur dans $]-\pi;\pi]$ (argument principal).
Attention ! $\cos\theta = a/|z|$ seul ne suffit pas : il faut aussi vérifier $\sin\theta = b/|z|$ pour lever l'ambiguïté de signe. Ne jamais écrire $\theta = \arccos(a/|z|)$ sans contrôler le quadrant.
Propriétés de l'argument.
- $\arg(z \cdot z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$.
- $\arg(z/z') = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$.
- $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$.
- $\arg(z^n) = n\arg(z) \pmod{2\pi}$.
Exemple. $z = -1 + i\sqrt{3}$. Module : $|z| = 2$. $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ → 2e quadrant → $\arg(z) = \dfrac{2\pi}{3}$.
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Forme trigonométrique
En posant $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$, on écrit $z$ sous une forme normalisée reliant module et argument.
Définition. La forme trigonométrique de $z \neq 0$ est $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta), \quad r \gt 0, \; \theta \in \mathbb{R}.$$ Le couple $(r, \theta)$ est unique pour $\theta \in ]-\pi;\pi]$.
| Passage | Formules |
|---|---|
| Algébrique $\to$ trigonométrique | $r = \sqrt{a^2+b^2}$, puis $\cos\theta = a/r$, $\sin\theta = b/r$ |
| Trigonométrique $\to$ algébrique | $a = r\cos\theta$, $b = r\sin\theta$ |
Exemple. $z = \sqrt{3} + i$. $r = 2$. $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$ → $\theta = \frac{\pi}{6}$.
Forme trigonométrique : $z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$.
Forme trigonométrique : $z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$.
Valeurs remarquables.
- $1 = 1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)$
- $i = 1\cdot\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$
- $-1 = 1\cdot(\cos\pi + i\sin\pi)$
- $1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$
- $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} = 1\cdot\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$
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Formule d'Euler et forme exponentielle
La notation exponentielle exploite une identité fondamentale de l'analyse complexe.
Formule d'Euler. Pour tout réel $\theta$ : $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$ En particulier, $|e^{i\theta}| = 1$ et $\arg(e^{i\theta}) = \theta$. Les points $e^{i\theta}$ décrivent le cercle unité.
Forme exponentielle. Tout complexe $z \neq 0$ s'écrit $$z = r e^{i\theta}$$ où $r = |z| \gt 0$ et $\theta = \arg(z)$.
Identités remarquables.
- $e^{i\pi} + 1 = 0$ (identité d'Euler).
- $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$.
- $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.
- $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$.
Exemple. $z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}$. Conjugué : $\bar{z} = 2e^{-i\pi/3}$.
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Opérations en forme exponentielle
La forme exponentielle rend toutes les opérations sur les complexes très lisibles.
| Opération | Résultat |
|---|---|
| Produit | $r e^{i\theta} \cdot s e^{i\varphi} = rs\, e^{i(\theta+\varphi)}$ |
| Quotient | $\dfrac{r e^{i\theta}}{s e^{i\varphi}} = \dfrac{r}{s}\,e^{i(\theta-\varphi)}$ |
| Conjugué | $\overline{r e^{i\theta}} = r e^{-i\theta}$ |
| Puissance entière | $(r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ |
| Inverse | $\dfrac{1}{r e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$ |
Exemple (multiplication). $z_1 = 3e^{i\pi/4}$, $z_2 = 2e^{i\pi/3}$.
$z_1 z_2 = 6\,e^{i(\pi/4+\pi/3)} = 6\,e^{i7\pi/12}$.
$z_1 z_2 = 6\,e^{i(\pi/4+\pi/3)} = 6\,e^{i7\pi/12}$.
Exemple (puissance). $(1+i)^{10}$.
$1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ donc $(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}e^{i10\pi/4} = 32\,e^{i5\pi/2} = 32\,e^{i\pi/2} = 32i$.
$1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ donc $(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}e^{i10\pi/4} = 32\,e^{i5\pi/2} = 32\,e^{i\pi/2} = 32i$.
Attention ! Pour réduire un argument modulo $2\pi$, on le ramène dans $]-\pi;\pi]$. Ex : $e^{i3\pi/2} = e^{-i\pi/2}$ car $3\pi/2 - 2\pi = -\pi/2$.
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Formule de De Moivre et linéarisation
La formule de De Moivre est une conséquence directe des propriétés de la forme exponentielle.
Formule de De Moivre. Pour tout $n \in \mathbb{Z}$ et $\theta \in \mathbb{R}$ : $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).$$
Linéarisation : pour exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ en somme de cosinus et sinus de multiples de $\theta$, on pose $c = e^{i\theta}$ et on utilise :
Méthode.
- $c + c^{-1} = 2\cos\theta$ ; $c^n + c^{-n} = 2\cos(n\theta)$.
- $c - c^{-1} = 2i\sin\theta$ ; $c^n - c^{-n} = 2i\sin(n\theta)$.
Exemple. Linéariser $\cos^3\theta$.
$(2\cos\theta)^3 = (c+c^{-1})^3 = c^3+3c+3c^{-1}+c^{-3} = 2\cos(3\theta)+6\cos\theta$.
Donc $\cos^3\theta = \dfrac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}$.
$(2\cos\theta)^3 = (c+c^{-1})^3 = c^3+3c+3c^{-1}+c^{-3} = 2\cos(3\theta)+6\cos\theta$.
Donc $\cos^3\theta = \dfrac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}$.
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Racines n-ièmes d'un complexe
On cherche les complexes $z$ vérifiant $z^n = w$ pour $w \in \mathbb{C}$ non nul.
Théorème. Tout $w = \rho e^{i\varphi} \neq 0$ admet exactement $n$ racines $n$-ièmes : $$z_k = \rho^{1/n}\,e^{i\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1.$$ Ces $n$ racines sont régulièrement réparties sur le cercle de rayon $\rho^{1/n}$, formant un polygone régulier à $n$ côtés.
Racines cubiques de l'unité. $w = 1 = e^{i\cdot 0}$, $n=3$.
$z_k = e^{i2k\pi/3}$ pour $k = 0,1,2$ : $z_0=1$, $z_1 = e^{i2\pi/3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $z_2 = e^{i4\pi/3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
On note $j=e^{i2\pi/3}$ ; les racines sont $1, j, j^2$ avec $\mathbf{1+j+j^2=0}$.
$z_k = e^{i2k\pi/3}$ pour $k = 0,1,2$ : $z_0=1$, $z_1 = e^{i2\pi/3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $z_2 = e^{i4\pi/3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
On note $j=e^{i2\pi/3}$ ; les racines sont $1, j, j^2$ avec $\mathbf{1+j+j^2=0}$.
Méthode générale.
- Écrire $w$ sous forme exponentielle $\rho e^{i\varphi}$.
- Calculer $r_0 = \rho^{1/n}$ (module commun).
- Écrire les $n$ racines $z_k = r_0\,e^{i(\varphi+2k\pi)/n}$ pour $k=0,\ldots,n-1$.
- Simplifier les arguments et convertir si nécessaire.
En bref
- Module de $z=a+ib$ : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (distance à l'origine).
- Argument $\theta$ : $\cos\theta = a/|z|$ et $\sin\theta = b/|z|$ (modulo $2\pi$).
- Forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- Formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc $z = re^{i\theta}$.
- Produit/quotient : on multiplie/divise les modules, on additionne/soustrait les arguments.
- De Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.
- Racines $n$-ièmes : $n$ racines sur un cercle, $z_k = \rho^{1/n}e^{i(\varphi+2k\pi)/n}$.
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