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Forme trigonométrique et exponentielle

Rappels de trigonométrie et formules d’addition, argument et forme trigonométrique, ensemble 𝕌, notation e^(iθ) et forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler, linéarisation, racines n-ièmes de l’unité et équations zⁿ = a.

À propos de cette page

Ce cours de maths expertes de Terminale présente le point de vue géométrique sur les nombres complexes en cinq parties : les rappels de trigonométrie de 1re avec les formules d’addition et de duplication, l’argument et la forme trigonométrique, la forme exponentielle re^(iθ), les formules de Moivre et d’Euler, les racines n-ièmes de l’unité. Les démonstrations exigibles (formule d’addition par le produit scalaire, description de 𝕌ₙ) sont rédigées, ainsi que la relation fonctionnelle et la formule de Moivre.

Rappels de trigonométrie et formules d’addition

Ce qu’il faut savoir

Rappels de 1re : le cercle trigonométrique. Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique a pour centre $O$ et pour rayon $1$ ; on le parcourt dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre). À tout réel $x$ correspond un point $M$ du cercle : $x$ est une mesure en radians de l’angle orienté $(\vec{u}; \vec{O M})$ . Les coordonnées de $M$ sont $(\cos x; \sin x)$ , d’où $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ et $- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ , $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ .

Mesure principale. Deux réels repèrent le même point si et seulement s’ils diffèrent d’un multiple de $2 π$ : $\cos (x + 2 k π) = \cos x$ et $\sin (x + 2 k π) = \sin x$ pour tout entier $k$ . Parmi toutes les mesures, une seule est dans $] - π; π]$ : c’est la mesure principale.

Valeurs remarquables. $\cos 0 = 1$ , $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , $\cos \frac{π}{2} = 0$ ; les sinus sont les mêmes valeurs dans l’ordre inverse ( $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ …).

Angles associés (lus sur le cercle par symétrie) : $\cos (- x) = \cos x$ et $\sin (- x) = - \sin x$ ; $\cos (π - x) = - \cos x$ et $\sin (π - x) = \sin x$ ; $\cos (π + x) = - \cos x$ et $\sin (π + x) = - \sin x$ ; $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ et $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ .

Rappel de Terminale (spécialité) : équations. $\cos x = \cos a ⟺ x = a + 2 k π$ ou $x = - a + 2 k π$ ; $\sin x = \sin a ⟺ x = a + 2 k π$ ou $x = π - a + 2 k π$ ( $k$ entier).

Formules d’addition (au programme de maths expertes ; démonstration exigible d’une des formules). Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ ; $\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ ;
$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ ; $\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ .

Formules de duplication ( $b = a$ ) : $\sin (2 a) = 2 \sin a \cos a$ et $\cos (2 a) = \cos^{2} a - \sin^{2} a$ $= 2 \cos^{2} a - 1$ $= 1 - 2 \sin^{2} a$ .

Exemples

Démonstration de $\cos (a - b)$ par le produit scalaire. Soit $A$ et $B$ les points du cercle trigonométrique associés aux réels $a$ et $b$ : $A (\cos a; \sin a)$ et $B (\cos b; \sin b)$ . Le repère étant orthonormé, $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ $= \cos a \cos b + \sin a \sin b$ . D’autre part, $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ $= O A \times O B \times \cos A O B$ avec $O A = O B = 1$ ; l’angle orienté $(\vec{O A}; \vec{O B})$ mesure $b - a$ à $2 π$ près, et le cosinus de l’angle géométrique $A O B$ est celui de $b - a$ (le cosinus est pair et $2 π$ -périodique). Donc $\cos (b - a) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ , et $\cos (a - b) = \cos (b - a)$ par parité.

Les autres formules s’en déduisent. En remplaçant $b$ par $- b$ : $\cos (a + b)$ $= \cos a \cos (- b) + \sin a \sin (- b)$ $= \cos a \cos b - \sin a \sin b$ . Avec $\sin x = \cos (\frac{π}{2} - x)$ : $\sin (a + b)$ $= \cos ((\frac{π}{2} - a) - b)$ $= \sin a \cos b + \cos a \sin b$ .

Mesure principale. $\frac{29 π}{6} = 4 π + \frac{5 π}{6}$ et $\frac{5 π}{6} \in] - π; π]$ : la mesure principale est $\frac{5 π}{6}$ , et $\cos \frac{29 π}{6} = \cos \frac{5 π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Valeur exacte. $\frac{7 π}{12} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$ , donc $\cos \frac{7 π}{12}$ $= \cos \frac{π}{3} \cos \frac{π}{4} - \sin \frac{π}{3} \sin \frac{π}{4}$ $= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$ $= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ , négatif comme attendu car $\frac{7 π}{12} > \frac{π}{2}$ .

Duplication. Si $\cos a = \frac{1}{4}$ , alors $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} a - 1$ $= \frac{2}{16} - 1$ $= - \frac{7}{8}$ , sans avoir besoin de $\sin a$ .

Réflexe — Pour une valeur exacte, j’écris l’angle comme somme ou différence d’angles remarquables ( $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ , $\frac{5 π}{12} = \frac{π}{6} + \frac{π}{4}$ …), puis j’applique la formule d’addition. Pour un angle « trop grand », je retire des multiples de $2 π$ jusqu’à la mesure principale.

Attention — Le cosinus n’est pas additif : $\cos (a + b) \neq \cos a + \cos b$ . Avec $a = b = \frac{π}{2}$ : $\cos π = - 1$ , alors que $\cos \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{2} = 0$ . Et dans $\cos (a + b)$ , le signe est « $-$ », dans $\cos (a - b)$ il est « $+$ ».

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Argument et forme trigonométrique

Ce qu’il faut savoir

Image et module (chapitre précédent). Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ . Au nombre $z = a + i b$ ( $a$ , $b$ réels) on associe le point $M (a; b)$ , son image ; $z$ est l’affixe de $M$ . Le module $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ est la distance $O M$ .

Argument. Soit $z \neq 0$ d’image $M$ . On appelle argument de $z$ toute mesure $θ$ de l’angle orienté $(\vec{u}; \vec{O M})$ . Si $r = | z |$ , c’est tout réel $θ$ tel que $\cos θ = \frac{a}{r}$ et $\sin θ = \frac{b}{r}$ . Un argument est défini à $2 π$ près : on écrit $a r g (z) = θ [2 π]$ . Le nombre $0$ n’a pas d’argument.

Forme trigonométrique. Tout complexe non nul s’écrit $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ avec $r = | z | > 0$ et $θ = a r g (z)$ . Réciproquement, si $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ avec $r > 0$ , alors $| z | = r$ et $θ$ est un argument de $z$ .

Égalité. Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et des arguments égaux à $2 π$ près.

Cas à reconnaître. $z$ réel strictement positif $⟺ a r g (z) = 0 [2 π]$ ; réel strictement négatif $⟺ a r g (z) = π [2 π]$ ; $z = b i$ avec $b > 0$ $⟺ a r g (z) = \frac{π}{2} [2 π]$ , avec $b < 0$ $⟺ a r g (z) = - \frac{π}{2} [2 π]$ . Plus généralement, pour $z \neq 0$ : $z$ est réel $⟺ a r g (z) = 0 [π]$ (un multiple de $π$ ) ; $z$ est imaginaire pur $⟺ a r g (z) = \frac{π}{2} [π]$ . Par symétrie : $a r g (\overset{―}{z}) = - a r g (z)$ et $a r g (- z) = a r g (z) + π$ , à $2 π$ près.

L’ensemble $𝕌$ . On note $𝕌$ l’ensemble des complexes de module $1$ : ce sont les $\cos θ + i \sin θ$ , dont les images forment le cercle trigonométrique. $𝕌$ est stable par produit et par passage à l’inverse, et pour $z \in 𝕌$ , $\frac{1}{z} = \overset{―}{z}$ .

Exemples

Forme trigonométrique de $z = - 3 + 3 i \sqrt{3}$ . $| z | = \sqrt{9 + 27}$ $= \sqrt{36}$ $= 6$ . On factorise : $z = 6 (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ . L’angle de cosinus $- \frac{1}{2}$ et de sinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est $\frac{2 π}{3}$ (deuxième quart du cercle). Donc $z = 6 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$ .

Sans calcul. $5 - 5 i$ : $| 5 - 5 i | = 5 \sqrt{2}$ , puis $\cos θ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin θ = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $a r g (5 - 5 i) = - \frac{π}{4} [2 π]$ . Et $- 7 i$ est un imaginaire pur de partie imaginaire négative : $| - 7 i | = 7$ , $a r g (- 7 i) = - \frac{π}{2} [2 π]$ .

Démonstration : $𝕌$ est stable. Si $| z | = | z' | = 1$ , alors $| z z' | = | z | \times | z' | = 1$ et $| \frac{1}{z} | = \frac{1}{| z |} = 1$ (propriétés du module). De plus $z \overset{―}{z} = | z |^{2} = 1$ , donc $\frac{1}{z} = \overset{―}{z}$ .

Réflexe — Je calcule $r = | z |$ , je factorise $z = r (\frac{a}{r} + i \frac{b}{r})$ , puis je cherche l’angle dont le cosinus et le sinus valent $\frac{a}{r}$ et $\frac{b}{r}$ ; je place le point dans le bon quart du cercle pour contrôler.

Attention — Le cosinus seul ne suffit pas : $\cos θ = \frac{1}{2}$ donne $\frac{π}{3}$ ou $- \frac{π}{3}$ , c’est le signe du sinus qui tranche ; une tangente seule a le même défaut, à $π$ près. Et dans $r (\cos θ + i \sin θ)$ , $r$ est strictement positif et le signe entre les deux termes est « $+$ » : $- 2 (\cos \frac{π}{7} + i \sin \frac{π}{7})$ et $\cos \frac{π}{7} - i \sin \frac{π}{7}$ ne sont pas des formes trigonométriques.

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Forme exponentielle et calculs

Ce qu’il faut savoir

Exponentielle imaginaire. Pour tout réel $θ$ , on note $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ . C’est un élément de $𝕌$ : $| e^{i θ} | = 1$ . À retenir : $e^{i 0} = 1$ , $e^{i π / 2} = i$ , $e^{i π} = - 1$ , $e^{- i π / 2} = - i$ , $e^{2 i π} = 1$ .

Relation fonctionnelle. Pour tous réels $θ$ et $θ'$ : $e^{i θ} \times e^{i θ'} = e^{i (θ + θ')}$ . On en déduit $\frac{1}{e^{i θ}} = e^{- i θ} = \overset{―}{e^{i θ}}$ , $\frac{e^{i θ}}{e^{i θ'}} = e^{i (θ - θ')}$ et, pour tout entier $n$ , ${(e^{i θ})}^{n} = e^{i n θ}$ : on calcule comme avec l’exponentielle réelle.

Forme exponentielle. Tout complexe non nul s’écrit $z = r e^{i θ}$ avec $r = | z | > 0$ et $θ = a r g (z)$ . Pour $r > 0$ , $r' > 0$ et $n$ entier :

$r e^{i θ} \times r' e^{i θ'} = r r' e^{i (θ + θ')}$ ; $\frac{r e^{i θ}}{r' e^{i θ'}} = \frac{r}{r'} e^{i (θ - θ')}$ ; $\overset{―}{r e^{i θ}} = r e^{- i θ}$ ; ${(r e^{i θ})}^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ .

Arguments. Pour $z$ et $z'$ non nuls, à $2 π$ près : $a r g (z z') = a r g (z) + a r g (z')$ , $a r g (\frac{z}{z'}) = a r g (z) - a r g (z')$ , $a r g (z^{n}) = n a r g (z)$ ; enfin $a r g (\overset{―}{z}) = - a r g (z)$ et $a r g (- z) = a r g (z) + π$ , car $- 1 = e^{i π}$ .

Module d’une somme. On a seulement l’inégalité triangulaire $| z + z' | ⩽ | z | + | z' |$ (chapitre précédent). Pour $z$ et $z'$ non nuls, on admet (c’est un problème possible du programme) qu’il y a égalité si et seulement si $a r g (z) = a r g (z') [2 π]$ : les deux vecteurs ont même direction et même sens.

Choisir la forme. Pour additionner : forme algébrique. Pour multiplier, diviser, élever à une puissance : forme exponentielle.

Exemples

Démonstration de la relation fonctionnelle. $e^{i θ} \times e^{i θ'}$ $= (\cos θ + i \sin θ) (\cos θ' + i \sin θ')$ $= (\cos θ \cos θ' - \sin θ \sin θ')$ $+ i (\sin θ \cos θ' + \cos θ \sin θ')$ . D’après les formules d’addition, c’est $\cos (θ + θ') + i \sin (θ + θ')$ $= e^{i (θ + θ')}$ .

Produit et quotient. $3 e^{i π / 8} \times 4 e^{3 i π / 8}$ $= 12 e^{i (\frac{π}{8} + \frac{3 π}{8})}$ $= 12 e^{i π / 2}$ $= 12 i$ . Et $\frac{10 e^{3 i π / 4}}{2 e^{i π / 6}}$ $= 5 e^{i (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{6})}$ $= 5 e^{7 i π / 12}$ .

D’une forme à l’autre. $4 e^{- 2 i π / 3}$ $= 4 (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ $= - 2 - 2 i \sqrt{3}$ . Dans l’autre sens, $- \sqrt{6} - i \sqrt{2}$ a pour module $\sqrt{6 + 2} = 2 \sqrt{2}$ , puis $\cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin θ = - \frac{1}{2}$ : $- \sqrt{6} - i \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} e^{- 5 i π / 6}$ .

Deux écritures, deux valeurs exactes. $(\sqrt{3} - i) (1 + i)$ $= (\sqrt{3} + 1) + i (\sqrt{3} - 1)$ . En exponentielle : $2 e^{- i π / 6} \times \sqrt{2} e^{i π / 4}$ $= 2 \sqrt{2} e^{i π / 12}$ . En identifiant les parties réelles : $2 \sqrt{2} \cos \frac{π}{12} = \sqrt{3} + 1$ , d’où $\cos \frac{π}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Réflexe — Produit, quotient, conjugué, puissance : je passe en forme exponentielle, je multiplie (ou divise) les modules et j’ajoute (ou je soustrais) les arguments, puis je ramène l’argument à sa mesure principale.

Attention — L’exponentielle ne transforme pas une somme : $e^{i θ} + e^{i θ'} \neq e^{i (θ + θ')}$ (avec $θ = θ' = 0$ : $2 \neq 1$ ). Et $- 5 e^{i π / 3}$ n’est pas une forme exponentielle : avec $- 1 = e^{i π}$ , on écrit $- 5 e^{i π / 3} = 5 e^{4 i π / 3} = 5 e^{- 2 i π / 3}$ .

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Formules de Moivre et d’Euler

Ce qu’il faut savoir

Formule de Moivre. Pour tout réel $θ$ et tout entier relatif $n$ : $(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos (n θ) + i \sin (n θ)$ , c’est-à-dire ${(e^{i θ})}^{n} = e^{i n θ}$ .

Formules d’Euler. Pour tout réel $θ$ : $\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}$ et $\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$ . On les obtient en ajoutant puis en soustrayant $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ et $e^{- i θ} = \cos θ - i \sin θ$ .

Trois usages.

1. Puissances : $(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ , sans jamais développer.

2. Exprimer $\cos (n θ)$ ou $\sin (n θ)$ en fonction de $\cos θ$ et $\sin θ$ : on développe $(\cos θ + i \sin θ)^{n}$ par la formule du binôme et on identifie les parties réelles (ou imaginaires) avec Moivre.

3. Linéariser $\cos^{n} x$ ou $\sin^{n} x$ , c’est-à-dire l’écrire comme somme de $\cos (k x)$ et de $\sin (k x)$ : on remplace par Euler, on développe par le binôme, puis on regroupe $e^{i k x} + e^{- i k x} = 2 \cos (k x)$ et $e^{i k x} - e^{- i k x} = 2 i \sin (k x)$ . Une somme de cosinus se primitive terme à terme : c’est l’outil pour intégrer une puissance.

Exemples

Démonstration de Moivre pour $n \in ℕ$ (récurrence). Soit $θ$ un réel ; on note $𝒫 (n)$ : « ${(e^{i θ})}^{n} = e^{i n θ}$ ». Initialisation : ${(e^{i θ})}^{0} = 1 = e^{i 0}$ . Hérédité : si $𝒫 (n)$ est vraie, alors ${(e^{i θ})}^{n + 1}$ $= {(e^{i θ})}^{n} \times e^{i θ}$ $= e^{i n θ} \times e^{i θ}$ $= e^{i (n + 1) θ}$ par la relation fonctionnelle. Conclusion : $𝒫 (n)$ est vraie pour tout $n \in ℕ$ . Pour $n = - m$ avec $m \in ℕ$ : ${(e^{i θ})}^{- m} = \frac{1}{e^{i m θ}} = e^{- i m θ}$ .

Une puissance. $- \sqrt{3} + i = 2 e^{5 i π / 6}$ , donc $(- \sqrt{3} + i)^{7}$ $= 2^{7} e^{35 i π / 6}$ . Or $\frac{35 π}{6} = 6 π - \frac{π}{6}$ , donc $(- \sqrt{3} + i)^{7}$ $= 128 e^{- i π / 6}$ $= 128 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i)$ $= 64 \sqrt{3} - 64 i$ .

$\cos (3 θ)$ en fonction de $\cos θ$ . Avec $c = \cos θ$ et $s = \sin θ$ , le binôme donne $(c + i s)^{3} = c^{3} + 3 i c^{2} s - 3 c s^{2} - i s^{3}$ . Par Moivre, la partie réelle est $\cos (3 θ)$ : $\cos (3 θ) = c^{3} - 3 c s^{2}$ $= c^{3} - 3 c (1 - c^{2})$ $= 4 c^{3} - 3 c$ .

Linéariser $\cos^{3} x$ . $\cos^{3} x$ $= \frac{{(e^{i x} + e^{- i x})}^{3}}{8}$ $= \frac{e^{3 i x} + 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + e^{- 3 i x}}{8}$ $= \frac{2 \cos (3 x) + 6 \cos x}{8}$ $= \frac{\cos (3 x) + 3 \cos x}{4}$ . Contrôle en $x = 0$ : $\frac{1 + 3}{4} = 1 = \cos^{3} 0$ .

Réflexe — Une puissance élevée ne se développe jamais : forme exponentielle, Moivre, puis mesure principale de l’argument. Une puissance de cosinus ou de sinus à intégrer : Euler, binôme, regroupement des termes conjugués, puis contrôle en $x = 0$ .

Attention — Dans la formule de $\sin θ$ , le dénominateur est $2 i$ , pas $2$ : il s’élève lui aussi à la puissance, par exemple $(2 i)^{3} = - 8 i$ et $(2 i)^{4} = 16$ . Ne pas confondre les sens : Euler sert à linéariser ( $\cos^{n} x$ vers une somme), Moivre et le binôme servent à écrire $\cos (n θ)$ comme un polynôme en $\cos θ$ .

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Racines n-ièmes de l’unité

Ce qu’il faut savoir

Racines $n$ -ièmes de l’unité. Soit $n ⩾ 1$ un entier. Une racine $n$ -ième de l’unité est un complexe $z$ tel que $z^{n} = 1$ . Leur ensemble, noté $𝕌_{n}$ , compte exactement $n$ éléments (démonstration exigible) :

$𝕌_{n} = {e^{\frac{2 i k π}{n}} : k \in {0; 1; \dots; n - 1}}$ .

En notant $ω = e^{2 i π / n}$ , ce sont les puissances $1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}$ .

Cas $n = 2$ , $3$ , $4$ . $𝕌_{2} = {1; - 1}$ ; $𝕌_{3} = {1; j; j^{2}}$ avec $j = e^{2 i π / 3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ , $j^{2} = \overset{―}{j}$ et $1 + j + j^{2} = 0$ ; $𝕌_{4} = {1; i; - 1; - i}$ .

Représentation. Les éléments de $𝕌_{n}$ sont de module $1$ et leurs arguments sont espacés de $\frac{2 π}{n}$ : pour $n ⩾ 3$ , leurs images sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont l’un des sommets est le point d’affixe $1$ .

Problèmes possibles du programme (non exigibles, traités ici car ils prolongent directement le cours) : pour $n ⩾ 2$ , la somme des éléments de $𝕌_{n}$ est nulle ; l’équation $z^{n} = a$ , avec $a = ρ e^{i α}$ et $ρ > 0$ , a exactement $n$ solutions $ρ^{1 / n} e^{i \frac{α + 2 k π}{n}}$ , $k \in {0; \dots; n - 1}$ .

Exemples

Démonstration : détermination de $𝕌_{n}$ . $0$ n’est pas solution ; on cherche $z = r e^{i θ}$ avec $r > 0$ . Alors $z^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ et $1 = 1 \times e^{i 0}$ . Par égalité des modules et des arguments, $z^{n} = 1 ⟺ r^{n} = 1$ et $n θ = 0 [2 π]$ $⟺ r = 1$ (car $r > 0$ ) et $θ = \frac{2 k π}{n}$ avec $k$ entier. Pour $k \in {0; \dots; n - 1}$ , les réels $\frac{2 k π}{n}$ sont dans $[0; 2 π [$ et deux à deux distincts ; deux réels distincts de $[0; 2 π [$ ne diffèrent pas d’un multiple de $2 π$ , donc ils donnent $n$ complexes distincts. Pour un entier $k$ quelconque, on écrit $k = q n + k'$ avec $0 ⩽ k' ⩽ n - 1$ (division euclidienne) : $e^{\frac{2 i k π}{n}} = e^{2 i q π} e^{\frac{2 i k' π}{n}} = e^{\frac{2 i k' π}{n}}$ , on ne trouve rien de nouveau.

Somme des racines. Pour $n ⩾ 2$ , $ω = e^{2 i π / n} \neq 1$ , donc $1 + ω + \dots + ω^{n - 1}$ $= \frac{1 - ω^{n}}{1 - ω}$ $= 0$ car $ω^{n} = 1$ . Pour $n = 3$ : $1 + j + j^{2} = 0$ .

Une équation $z^{n} = a$ . Résoudre $z^{3} = 8 i$ . On écrit $8 i = 8 e^{i π / 2}$ et $z = r e^{i θ}$ : $r^{3} = 8$ et $3 θ = \frac{π}{2} [2 π]$ , soit $r = 2$ et $θ = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}$ . Les trois solutions sont $2 e^{i π / 6} = \sqrt{3} + i$ , $2 e^{5 i π / 6} = - \sqrt{3} + i$ et $2 e^{3 i π / 2} = - 2 i$ . Contrôle : $(- 2 i)^{3} = - 8 i^{3} = 8 i$ .

Réflexe — Pour $z^{n} = a$ : j’écris $a$ en forme exponentielle, je pose $z = r e^{i θ}$ , j’identifie les modules ( $r^{n} = | a |$ ) et les arguments ( $n θ = a r g (a) + 2 k π$ ), puis je liste les solutions pour $k$ de $0$ à $n - 1$ .

Attention — Une équation $z^{n} = a$ ( $a \neq 0$ ) a exactement $n$ solutions dans $ℂ$ , pas une seule ; aller jusqu’à $k = n$ redonne la solution de $k = 0$ . Le module des solutions est la racine $n$ -ième positive de $| a |$ : pour $z^{3} = 125 e^{i α}$ , $r = 5$ , et non $125$ ni $\pm 5$ .

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Pour aller plus loin

Module. La définition $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , la relation $| z |^{2} = z \overset{―}{z}$ et les propriétés du module (produit, quotient, puissance) sont démontrées dans Forme algébrique et conjugué ; elles servent ici d’outils.

Géométrie. Pour deux points $A$ et $B$ d’affixes $z_{A}$ et $z_{B}$ , $A B = | z_{B} - z_{A} |$ et $a r g (z_{B} - z_{A})$ mesure l’angle $(\vec{u}; \vec{A B})$ ; le quotient $\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ donne le rapport $\frac{A C}{A B}$ et l’angle $(\vec{A B}; \vec{A C})$ . Alignement, orthogonalité, ensembles de points (cercles, médiatrices) et configurations des polygones réguliers sont traités dans Nombres complexes et géométrie.

Factorisation de $z^{n} - a^{n}$ . Les racines cubiques ou quatrièmes de l’unité s’obtiennent aussi en factorisant $z^{3} - 1$ ou $z^{4} - 1$ : voir Équations polynomiales.

Autres problèmes possibles du programme. Les lignes trigonométriques de $\frac{2 π}{5}$ et le pentagone régulier sont traités dans l’onglet Problèmes. La transformation de Fourier discrète, autre problème possible, n’est pas abordée ici.

À retenir

Formules d’addition : $\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ , $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ ; duplication : $\sin (2 a) = 2 \sin a \cos a$ , $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} a - 1$ .
Pour $z \neq 0$ : $z = r (\cos θ + i \sin θ) = r e^{i θ}$ avec $r = | z | > 0$ , et $θ$ tel que $\cos θ = \frac{a}{r}$ et $\sin θ = \frac{b}{r}$ ; un argument est défini à $2 π$ près.
$r e^{i θ} \times r' e^{i θ'} = r r' e^{i (θ + θ')}$ , $\overset{―}{r e^{i θ}} = r e^{- i θ}$ , ${(r e^{i θ})}^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ : on multiplie les modules, on ajoute les arguments.
Moivre : $(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos (n θ) + i \sin (n θ)$ . Euler : $\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}$ , $\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$ .
$z^{n} = 1$ a exactement $n$ solutions, les $e^{2 i k π / n}$ pour $k$ de $0$ à $n - 1$ , sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

Questions fréquentes

Comment retrouver les formules d’addition en trigonométrie ?

La formule de base est cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b, démontrée avec le produit scalaire de deux vecteurs du cercle trigonométrique. On en déduit cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b en changeant b en −b, puis sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Avec b = a, on obtient sin(2a) = 2 sin a cos a et cos(2a) = 2cos²a − 1.

Comment trouver un argument d’un nombre complexe ?

Pour z = a + ib non nul, on calcule le module r = √(a² + b²), puis on cherche l’angle θ tel que cos θ = a/r et sin θ = b/r en même temps. Le cosinus seul ne suffit pas : c’est le signe du sinus qui choisit entre θ et −θ. On donne souvent la mesure principale, dans ]−π ; π].

À quoi sert la forme exponentielle re^(iθ) ?

Elle rend les produits, quotients et puissances immédiats : on multiplie ou divise les modules et on ajoute ou soustrait les arguments, car e^(iθ) × e^(iθ′) = e^(i(θ + θ′)). Pour une somme, en revanche, on revient à la forme algébrique. Le coefficient r doit être strictement positif.

Quelle est la différence entre la formule de Moivre et les formules d’Euler ?

Moivre dit que (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) : elle sert à calculer des puissances et à écrire cos(nθ) en fonction de cos θ. Euler écrit cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i) : elle sert à linéariser cosⁿx ou sinⁿx, par exemple pour intégrer.

Combien de solutions a l’équation zⁿ = 1 dans ℂ ?

Exactement n : ce sont les racines n-ièmes de l’unité e^(2ikπ/n) pour k de 0 à n − 1. Leurs images sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, et pour n ≥ 2 leur somme est nulle. De même, zⁿ = a avec a non nul a exactement n solutions.

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