Forme trigonométrique et exponentielle

Mesures principales et valeurs exactes. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. Mesure principale de ${\displaystyle \frac{19\pi }{4}}$ :
   ${\displaystyle \frac{19\pi }{4}}=4\pi +{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ et $4\pi$ représente deux tours complets : on les retire. La mesure principale est ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$, qui est bien dans $]-\pi ;\pi ]$.
2. Mesure principale de $-{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$ :
   $-{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}+2\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, qui est dans $]-\pi ;\pi ]$ : c’est la mesure principale.
3. $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=$
   ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
4. $\sin {\displaystyle \frac{13\pi }{6}}=$
   ${\displaystyle \frac{13\pi }{6}}=2\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, donc $\sin {\displaystyle \frac{13\pi }{6}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Angles associés : exprimer chaque nombre en fonction de cos x ou de sin x (exemple de réponse : −sin x).

1. $\cos (\pi -x)=$
   Les points associés à $x$ et à $\pi -x$ sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées : l’abscisse change de signe, donc $\cos (\pi -x)=-\cos x$.
2. $\sin (\pi +x)=$
   Les points associés à $x$ et à $\pi +x$ sont symétriques par rapport à $O$ : les deux coordonnées changent de signe, donc $\sin (\pi +x)=-\sin x$.
3. $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=$
   Les points associés à $x$ et à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ : abscisse et ordonnée s’échangent, donc $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$.
4. $\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=$
   Le sinus est impair : $\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=-\cos x$.

Formules d’addition et de duplication. Les réels $a$ et $b$ sont dans $\left]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right[$, avec $\cos a={\displaystyle \frac{3}{5}}$ et $\cos b={\displaystyle \frac{5}{13}}$. Donner chaque résultat sous forme de fraction.

1. $\sin a=$ et $\sin b=$
   ${\sin }^{2}a=1-{\cos }^{2}a=1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}$, et $\sin a>0$ car $a\in \left]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right[$ : $\sin a={\displaystyle \frac{4}{5}}$. De même ${\sin }^{2}b=1-{\displaystyle \frac{25}{169}}={\displaystyle \frac{144}{169}}$, donc $\sin b={\displaystyle \frac{12}{13}}$.
2. $\cos (a+b)=$
   $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ $={\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{5}{13}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{12}{13}}$ $={\displaystyle \frac{15-48}{65}}$ $=-{\displaystyle \frac{33}{65}}$.
3. $\sin (a-b)=$
   $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ $={\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{5}{13}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{12}{13}}$ $={\displaystyle \frac{20-36}{65}}$ $=-{\displaystyle \frac{16}{65}}$.
4. $\cos (2a)=$ et $\sin (2a)=$
   $\cos (2a)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a={\displaystyle \frac{9}{25}}-{\displaystyle \frac{16}{25}}=-{\displaystyle \frac{7}{25}}$ et $\sin (2a)=2\sin a\cos a=2\times {\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$. Contrôle : ${\left({\displaystyle \frac{7}{25}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{24}{25}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49+576}{625}}=1$.

Démontrer avec les formules d’addition. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$. Le plus petit réel $x⩾0$ en lequel $\cos x+\sin x$ atteint sa plus grande valeur est
   Rédaction attendue. D’après la formule d’addition, $\sqrt{2}\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ $=\sqrt{2}(\cos x\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\sin x\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ $=\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}(\cos x+\sin x)$ $=\cos x+\sin x$. Un cosinus vaut au plus $1$, donc $\cos x+\sin x⩽\sqrt{2}$, avec égalité si et seulement si $x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=2k\pi$, $k$ entier. Le plus petit réel positif qui convient est ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.
2. Démontrer que l’équation $\sin (2x)=\sin x$ équivaut à $\sin x(2\cos x-1)=0$, puis la résoudre dans $]-\pi ;\pi ]$. Nombre de solutions :
   Rédaction attendue. Par la formule de duplication, $\sin (2x)-\sin x=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)$. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Dans $]-\pi ;\pi ]$, $\sin x=0$ donne $x=0$ ou $x=\pi$ ; $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ donne $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Donc $𝒮=\{-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi \}$ : quatre solutions.
3. Sachant que $\cos (2x)={\displaystyle \frac{1}{9}}$, la valeur de ${\cos }^{2}x$ est
   $\cos (2x)=2{\cos }^{2}x-1$, donc ${\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1+\cos (2x)}{2}}$, soit ${\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{10}{9}}÷2={\displaystyle \frac{5}{9}}$.

Module et argument. On considère $z_1=-5+5i$, $z_2=7i$ et $z_3=-6$. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $|z_1{|}^2=$ et l’argument principal de $z_1$ est
   $|z_1{|}^2=(-5{)}^2+5^2=50$, donc $|z_1|=5\sqrt{2}$. On factorise : $z_1=5\sqrt{2}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)$. L’angle de cosinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et de sinus ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ est ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.
2. $|z_2|=$ et l’argument principal de $z_2$ est
   $z_2=7i$ est un imaginaire pur de partie imaginaire positive : son image est sur le demi-axe des ordonnées positives. Donc $|z_2|=7$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z_2)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}[2\pi ]$.
3. $|z_3|=$ et l’argument principal de $z_3$ est
   $z_3=-6$ est un réel strictement négatif : son image est sur le demi-axe des abscisses négatives. Donc $|z_3|=6$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z_3)=\pi [2\pi ]$.
4. Argument principal de $\overline{z_1}$ :
   Conjuguer change l’argument en son opposé : $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\overline{z_1}\right)=-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}[2\pi ]$. En effet, $\overline{z_1}=-5-5i$ a pour image le symétrique de celle de $z_1$ par rapport à l’axe des abscisses.

Lire le module et l’argument. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $2\sqrt{3}-2i$ : module et argument principal
   Le module vaut $\sqrt{12+4}=4$, et $2\sqrt{3}-2i=4({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i)$. Cosinus ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, sinus $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ négatif : l’angle est $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
2. $3-3i\sqrt{3}$ : module et argument principal
   Le module vaut $\sqrt{9+27}=6$, et $3-3i\sqrt{3}=6({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)$. Cosinus ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, sinus négatif : l’angle est $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
3. $-4-4i$ : argument principal
   $|-4-4i|=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$, puis $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{4}{4\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\sin \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. Les deux sont négatifs : l’angle est dans le troisième quart, c’est $-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.

Reconnaître une forme trigonométrique. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $z=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}-i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ : argument principal
   Le signe « $-$ » interdit de lire ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$. Par parité, $z=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{5}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{5}})$ : c’est la forme trigonométrique, de module $1$ et d’argument $-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$.
2. $z=-3(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}})$ : module et argument principal
   $-3$ n’est pas un module. Avec $\cos (\theta +\pi )=-\cos \theta$ et $\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$ : $z=3(\cos {\displaystyle \frac{9\pi }{8}}+i\sin {\displaystyle \frac{9\pi }{8}})$. Le module vaut $3$ et ${\displaystyle \frac{9\pi }{8}}-2\pi =-{\displaystyle \frac{7\pi }{8}}$.
3. $z=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+i\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ : argument principal
   $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Donc $z=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, d’argument ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ (et non ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$).
4. Démontrer que, pour tout $z\in 𝕌$, le nombre $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$ est réel. Contrôle : pour $z={\displaystyle \frac{28+45i}{53}}$, $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=$
   Rédaction attendue. Soit $z\in 𝕌$. Alors $z\bar{z}=|z{|}^2=1$, donc $z\ne 0$ et ${\displaystyle \frac{1}{z}}=\bar{z}$. Ainsi $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=z+\bar{z}=2\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$, qui est un réel. Pour $z={\displaystyle \frac{28+45i}{53}}$ : $|z{|}^2={\displaystyle \frac{784+2025}{2809}}=1$, donc $z\in 𝕌$ et $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=2\times {\displaystyle \frac{28}{53}}={\displaystyle \frac{56}{53}}$.

Arguments avec un paramètre. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. Démontrer que, pour tout $\theta \in ]0;\pi [$, le nombre $w=-\cos \theta +i\sin \theta$ a pour module $1$ et pour argument $\pi -\theta$. Pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$, l’argument principal de $w$ est
   Rédaction attendue. D’après les angles associés, $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$ et $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$. Donc $w=\cos (\pi -\theta )+i\sin (\pi -\theta )$ : c’est une forme trigonométrique (coefficient $1>0$, signe « $+$ »), donc $|w|=1$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(w)=\pi -\theta [2\pi ]$. Pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ : $\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{5}}={\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$, qui est déjà dans $]-\pi ;\pi ]$.
2. Pour $\theta \in ]-\pi ;0[$, on pose $u=2\sin \theta (\cos \theta +i\sin \theta )$. Justifier que $|u|=-2\sin \theta$ et que $\theta +\pi$ est un argument de $u$. Pour $\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, l’argument principal de $u$ est
   Rédaction attendue. Pour $\theta \in ]-\pi ;0[$, $\sin \theta <0$ : le coefficient $2\sin \theta$ est négatif, ce n’est pas un module. On écrit $u=(-2\sin \theta )(-\cos \theta -i\sin \theta )$ $=(-2\sin \theta )(\cos (\theta +\pi )+i\sin (\theta +\pi ))$, avec $-2\sin \theta >0$ : c’est une forme trigonométrique. Donc $|u|=-2\sin \theta$ et $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(u)=\theta +\pi [2\pi ]$. Pour $\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ : $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.
3. Pour $\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, le carré du module de $u$ vaut
   $|u|=-2\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=\sqrt{3}$, donc $|u{|}^2=3$.

De la forme exponentielle à la forme algébrique.

1. $6e^{i\pi /6}$ : partie imaginaire
   $6e^{i\pi /6}=6(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}})=6({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i)=3\sqrt{3}+3i$.
2. $10e^{i\pi }=$
   $e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1$, donc $10e^{i\pi }=-10$ : c’est un réel.
3. $8e^{5i\pi /3}$ : partie réelle
   ${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}=2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Ainsi $8e^{5i\pi /3}=4-4i\sqrt{3}$.
4. $4\sqrt{2}{e}^{-3i\pi /4}$ : partie réelle et partie imaginaire
   $\cos (-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})=\sin (-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, donc $4\sqrt{2}{e}^{-3i\pi /4}$ $=4\sqrt{2}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)$ $=-4-4i$.

Calculer en forme exponentielle. On pose $u=2e^{i\pi /5}$, $v=9e^{3i\pi /10}$ et $w=7e^{5i\pi /12}$. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $uv=18e^{i\theta }$ avec $\theta =$
   On multiplie les modules et on ajoute les arguments : ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}+{\displaystyle \frac{3\pi }{10}}={\displaystyle \frac{2\pi }{10}}+{\displaystyle \frac{3\pi }{10}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Donc $uv=18e^{i\pi /2}=18i$.
2. ${\displaystyle \frac{12e^{2i\pi /3}}{4e^{i\pi /4}}}=3e^{i\theta }$ avec $\theta =$
   On divise les modules (${\displaystyle \frac{12}{4}}=3$) et on soustrait les arguments : ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{8\pi -3\pi }{12}}={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.
3. ${\left(5e^{-i\pi /8}\right)}^4$ : partie imaginaire
   ${\left(5e^{-i\pi /8}\right)}^4=5^4{e}^{-4i\pi /8}=625e^{-i\pi /2}$, et $e^{-i\pi /2}=-i$ : le résultat est $-625i$.
4. ${\displaystyle \frac{1}{w}}$ : module et argument principal
   ${\displaystyle \frac{1}{w}}={\displaystyle \frac{1}{7}}{e}^{-5i\pi /12}$ : le module devient son inverse et l’argument son opposé. Le conjugué, lui, garde le module : $\bar{w}=7e^{-5i\pi /12}$.
5. Argument principal du produit $(-5+5i)\times 7i\times (-6)$ :
   Les arguments des trois facteurs sont ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ et $\pi$ (voir les exercices du cas 2). L’argument d’un produit est la somme des arguments : ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi ={\displaystyle \frac{9\pi }{4}}$, et ${\displaystyle \frac{9\pi }{4}}-2\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Le module vaut $5\sqrt{2}\times 7\times 6=210\sqrt{2}$, donc le produit vaut $210\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$.

Un quotient, deux valeurs exactes. On pose $Z={\displaystyle \frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}$. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $1-i=\sqrt{2}{e}^{i\alpha }$ et $\sqrt{3}+i=2e^{i\beta }$ avec $\alpha =$ et $\beta =$
   $1-i=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)$ : cosinus ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, sinus $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, donc $\alpha =-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Et $\sqrt{3}+i=2({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i)$, donc $\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
2. $Z=r{e}^{i\theta }$ : $r^2=$ et $\theta =$
   $r={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, donc $r^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$, et $\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{3\pi +2\pi }{12}}=-{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$. Donc $Z={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{-5i\pi /12}$.
3. Démontrer que $Z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{4}}i$, puis en déduire $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$. Contrôle : $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\times \sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}=$
   Rédaction attendue. On multiplie par le conjugué du dénominateur : $Z={\displaystyle \frac{(1-i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i-i\sqrt{3}+i^2}{4}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{4}}i$. Les deux formes de $Z$ ont les mêmes parties réelles : ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cos (-{\displaystyle \frac{5\pi }{12}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4}}$. Le cosinus est pair, donc $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$. De même, les parties imaginaires donnent ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\sin (-{\displaystyle \frac{5\pi }{12}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{4}}$ ; le sinus est impair, donc $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$. Contrôle : le produit vaut ${\displaystyle \frac{(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}{16}}={\displaystyle \frac{6-2}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Choisir la forme adaptée. On pose $a=1+i$ et $b=\sqrt{3}+i$. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $a^2\bar{b}$ : module et argument principal
   $a=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$ et $\bar{b}=2e^{-i\pi /6}$. Donc $a^2\bar{b}=2e^{i\pi /2}\times 2e^{-i\pi /6}=4e^{i\pi /3}$. Contrôle algébrique : $a^2=2i$ et $2i(\sqrt{3}-i)=2+2i\sqrt{3}$, de module $\sqrt{4+12}=4$.
2. ${\displaystyle \frac{a^4}{b^3}}$ : partie imaginaire
   $a^4={\left(\sqrt{2}\right)}^4{e}^{i\pi }=-4$ et $b^3=2^3{e}^{i\pi /2}=8i$. Donc ${\displaystyle \frac{a^4}{b^3}}={\displaystyle \frac{4}{8}}{e}^{i(\pi -\frac{\pi }{2})}={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{i\pi /2}={\displaystyle \frac{1}{2}}i$.
3. Démontrer, sans développer, que $a^6{b}^3$ est un réel strictement positif. Sa valeur est
   Rédaction attendue. $a=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$ et $b=2e^{i\pi /6}$. Par la formule des puissances et du produit en forme exponentielle : $a^6{b}^3$ $={\left(\sqrt{2}\right)}^6\times 2^3{e}^{i(\frac{6\pi }{4}+\frac{3\pi }{6})}$ $=8\times 8e^{i(\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{2})}$ $=64e^{2i\pi }$. Or $e^{2i\pi }=1$ : $a^6{b}^3=64$, réel strictement positif (son argument est $0$ à $2\pi$ près).
4. Le plus petit entier $n⩾1$ tel que $b^n$ soit un réel est
   $b^n=2^n{e}^{in\pi /6}$, non nul, est réel si et seulement si son argument est un multiple de $\pi$ : ${\displaystyle \frac{n\pi }{6}}=k\pi$, soit $n=6k$. Le plus petit est $n=6$, et $b^6=64e^{i\pi }=-64$.

Puissances avec la formule de Moivre : aucune puissance ne se développe.

1. ${(\sqrt{2}+i\sqrt{2})}^{12}=$
   $\sqrt{2}+i\sqrt{2}=2({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i)=2e^{i\pi /4}$. Donc la puissance vaut $2^{12}{e}^{12i\pi /4}=4096e^{3i\pi }$, et $3\pi =2\pi +\pi$ donne $e^{3i\pi }=-1$ : le résultat est $-4096$.
2. ${\left({\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}}\right)}^{2026}$ : partie réelle
   ${\displaystyle \frac{1-i\sqrt{3}}{2}}=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=e^{-i\pi /3}$. Par Moivre, la puissance vaut $e^{-2026i\pi /3}$. Or $2026=3\times 675+1$, donc ${\displaystyle \frac{2026\pi }{3}}=675\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=337\times 2\pi +{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$. Ainsi $e^{-2026i\pi /3}=e^{-4i\pi /3}=e^{2i\pi /3}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$.
3. Le plus petit entier $n⩾1$ tel que $(-1+i{)}^n$ soit un réel est
   $-1+i=\sqrt{2}{e}^{3i\pi /4}$, donc $(-1+i{)}^n={\left(\sqrt{2}\right)}^n{e}^{\mathrm{3in}\pi /4}$. Ce nombre non nul est réel si et seulement si ${\displaystyle \frac{3n\pi }{4}}$ est un multiple de $\pi$. Pour $n=1$, $2$, $3$, on obtient ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$, ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{9\pi }{4}}$ : aucun ne convient. Pour $n=4$, $3\pi$ convient : le plus petit est $n=4$, et $(-1+i{)}^4=(-2i{)}^2=-4$.
4. Le plus petit entier $n>10$ tel que $(-1+i{)}^n$ soit un imaginaire pur est
   Le nombre est imaginaire pur si et seulement si ${\displaystyle \frac{3n\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$, soit $3n=2+4k$. Alors $n$ est pair, $n=2m$, et $3m=1+2k$ : $m$ est impair. Donc $n=4p+2$ ($p$ entier naturel) : $2,6,10,14,\dots$ Le plus petit entier strictement supérieur à $10$ est $14$, et $(-1+i{)}^{14}=(-2i{)}^7=128i$.

Linéariser avec les formules d’Euler. Donner les coefficients sous forme de fractions.

1. ${\sin }^2(3x)=\alpha +\beta \cos (6x)$ avec $\alpha =$ et $\beta =$
   ${\sin }^2(3x)={\left({\displaystyle \frac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{2i}}\right)}^2$ $={\displaystyle \frac{e^{6ix}-2+e^{-6ix}}{-4}}$ $={\displaystyle \frac{2\cos (6x)-2}{-4}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (6x)$. Contrôle en $x=0$ : ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0={\sin }^{2}0$.
2. $\cos x\sin x=\gamma \sin (2x)$ avec $\gamma =$
   $\cos x\sin x={\displaystyle \frac{(e^{ix}+e^{-ix})(e^{ix}-e^{-ix})}{4i}}$ $={\displaystyle \frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{4i}}$ $={\displaystyle \frac{2i\sin (2x)}{4i}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2x)$. On retrouve la formule de duplication.
3. ${\cos }^{2}x\sin x=\alpha \sin x+\beta \sin (3x)$ avec $\alpha =$ et $\beta =$
   ${\cos }^{2}x\sin x={\displaystyle \frac{(e^{2ix}+2+e^{-2ix})(e^{ix}-e^{-ix})}{8i}}$. En développant : $e^{3ix}-e^{ix}+2e^{ix}-2e^{-ix}+e^{-ix}-e^{-3ix}$ $=(e^{3ix}-e^{-3ix})+(e^{ix}-e^{-ix})$ $=2i\sin (3x)+2i\sin x$. Donc ${\cos }^{2}x\sin x={\displaystyle \frac{\sin x+\sin (3x)}{4}}$. Contrôle en $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : ${\displaystyle \frac{1-1}{4}}=0={\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Linéariser pour intégrer. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, ${\sin }^{4}x={\displaystyle \frac{3-4\cos (2x)+\cos (4x)}{8}}$. Contrôle en $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : le membre de droite vaut
   Rédaction attendue. D’après Euler, $\sin x={\displaystyle \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$, donc ${\sin }^{4}x={\displaystyle \frac{{(e^{ix}-e^{-ix})}^4}{(2i{)}^4}}$ avec $(2i{)}^4=16i^4=16$. Le binôme (ligne $1,4,6,4,1$) donne ${(e^{ix}-e^{-ix})}^4$ $=e^{4ix}-4e^{2ix}+6-4e^{-2ix}+e^{-4ix}$ $=2\cos (4x)-8\cos (2x)+6$, en regroupant les termes conjugués. Donc ${\sin }^{4}x={\displaystyle \frac{2\cos (4x)-8\cos (2x)+6}{16}}={\displaystyle \frac{3-4\cos (2x)+\cos (4x)}{8}}$. En $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : $\cos \pi =-1$ et $\cos (2\pi )=1$, d’où ${\displaystyle \frac{3+4+1}{8}}=1={\sin }^4{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
2. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}xdx=}$
   Une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{3-4\cos (2x)+\cos (4x)}{8}}$ est $F(x)={\displaystyle \frac{3x}{8}}-{\displaystyle \frac{\sin (2x)}{4}}+{\displaystyle \frac{\sin (4x)}{32}}$. Comme $\sin \pi =\sin (2\pi )=0$, $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{3\pi }{16}}$ et $F(0)=0$. L’intégrale vaut ${\displaystyle \frac{3\pi }{16}}\approx 0,589$, positive comme la fonction intégrée.
3. ${\cos }^{2}x{\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{1-\cos (kx)}{8}}$ avec $k=$
   ${\cos }^{2}x{\sin }^{2}x=(\cos x\sin x{)}^2={\displaystyle \frac{{\sin }^2(2x)}{4}}$. Avec Euler, ${\sin }^{2}u={\displaystyle \frac{e^{2iu}-2+e^{-2iu}}{-4}}={\displaystyle \frac{1-\cos (2u)}{2}}$ ; pour $u=2x$ : ${\cos }^{2}x{\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1-\cos (4x)}{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos (4x)}{8}}$.
4. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /4}{\cos }^{2}x{\sin }^{2}xdx=}$
   Une primitive est $G(x)={\displaystyle \frac{x}{8}}-{\displaystyle \frac{\sin (4x)}{32}}$. Comme $\sin \pi =0$, $G\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{32}}$ et $G(0)=0$ : l’intégrale vaut ${\displaystyle \frac{\pi }{32}}\approx 0,098$.

Angle moitié et formule de Moivre. Un argument demandé est sa mesure principale, dans ]−π ; π]. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. Démontrer que, pour tout réel $\theta$, $1+e^{i\theta }=2\cos \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)e^{i\theta /2}$. L’argument principal de $1+e^{i\pi /5}$ est
   Rédaction attendue. On factorise par l’exponentielle de l’angle moitié : $1+e^{i\theta }=e^{i\theta /2}(e^{-i\theta /2}+e^{i\theta /2})$, et d’après Euler la parenthèse vaut $2\cos \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)$. Si $\theta \in ]-\pi ;\pi [$, alors ${\displaystyle \frac{\theta }{2}}\in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ et $\cos \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)>0$ : l’écriture est une forme exponentielle, de module $2\cos \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)$ et d’argument ${\displaystyle \frac{\theta }{2}}$. Pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ : $1+e^{i\pi /5}=2\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)e^{i\pi /10}$, d’argument ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$.
2. L’argument principal de $1+e^{4i\pi /3}$ est
   Ici ${\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ et $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$ : $1+e^{4i\pi /3}=-e^{2i\pi /3}=e^{i(\frac{2\pi }{3}+\pi )}=e^{5i\pi /3}$, de mesure principale $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Contrôle : $1+(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$.
3. En développant $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^4$ par la formule du binôme, démontrer que $\cos (4\theta )=8{\cos }^4\theta -8{\cos }^2\theta +1$. Contrôle : si $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$, alors $\cos (4\theta )=$
   Rédaction attendue. Notons $c=\cos \theta$ et $s=\sin \theta$. Le binôme donne $(c+is{)}^4=c^4+4i{c}^{3}s-6c^2{s}^2-4ic{s}^3+s^4$ (puissances de $i$ : $1,i,-1,-i,1$). D’après Moivre, $(c+is{)}^4=\cos (4\theta )+i\sin (4\theta )$ ; on identifie les parties réelles : $\cos (4\theta )=c^4-6c^2{s}^2+s^4$. On remplace $s^2$ par $1-c^2$ : $\cos (4\theta )=c^4-6c^2+6c^4+1-2c^2+c^4=8c^4-8c^2+1$. Pour $c={\displaystyle \frac{1}{3}}$ : ${\displaystyle \frac{8}{81}}-{\displaystyle \frac{72}{81}}+{\displaystyle \frac{81}{81}}={\displaystyle \frac{17}{81}}$.

Les ensembles ${𝕌}_n$. On note $j=e^{2i\pi /3}$.

1. Nombre d’éléments de ${𝕌}_6$ de partie réelle strictement négative :
   ${𝕌}_6=\{e^{ik\pi /3}:0⩽k⩽5\}$, de parties réelles $\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$ : $1,{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Trois sont strictement négatives ($k=2,3,4$).
2. $j^{2027}$ : partie réelle
   $j^3=e^{2i\pi }=1$ et $2027=3\times 675+2$, donc $j^{2027}={\left(j^3\right)}^{675}\times j^2=j^2=\bar{j}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$.
3. Le plus petit entier $n⩾1$ tel que $i\in {𝕌}_n$ est
   $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$ : $i^n=1$ pour la première fois avec $n=4$. En forme exponentielle, $i^n=e^{in\pi /2}=1⟺{\displaystyle \frac{n\pi }{2}}=2k\pi ⟺n=4k$.
4. Nombre d’éléments communs à ${𝕌}_4$ et à ${𝕌}_6$ :
   ${𝕌}_4=\{1;i;-1;-i\}$. Parmi ces nombres, seuls $1$ et $-1$ vérifient $z^6=1$ ($i^6=-1$ et $(-i{)}^6=-1$). Les éléments communs sont $1$ et $-1$, c’est-à-dire ${𝕌}_2$.

Les six solutions de $z^6=15625$. On remarquera que $15625=5^6$.

1. Module commun des solutions :
   $15625=15625e^{i0}$. En posant $z=r{e}^{i\theta }$ ($r>0$) : $r^6=5^6$ et $6\theta =2k\pi$, soit $r=5$ et $\theta ={\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$. Les solutions sont les $5e^{ik\pi /3}$ pour $k$ de $0$ à $5$.
2. Nombre de solutions de partie imaginaire strictement positive :
   La partie imaginaire de $5e^{ik\pi /3}$ est $5\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$, strictement positive pour $k=1$ et $k=2$ seulement : ${\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}i$ et $-{\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}i$.
3. Démontrer que la somme des six solutions est nulle. Contrôle par un autre calcul : le produit des six solutions vaut
   Rédaction attendue. Notons $q=e^{i\pi /3}$. Les solutions sont les $5q^k$ pour $k$ de $0$ à $5$, et leur somme vaut $5{\displaystyle {\sum }_{k=0}^5{q}^k}$. Comme $q\ne 1$, cette somme géométrique vaut $5\times {\displaystyle \frac{1-q^6}{1-q}}$ ; or $q^6=e^{2i\pi }=1$, donc la somme est nulle. Le produit : les modules se multiplient ($5^6=15625$) et les arguments s’ajoutent, $(0+1+2+3+4+5){\displaystyle \frac{\pi }{3}}=5\pi$, et $e^{5i\pi }=-1$ : le produit vaut $-15625$.
4. Les six points images forment un hexagone régulier. Son périmètre vaut
   Les points sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $5$, avec des arguments espacés de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Un côté mesure $|5e^{i\pi /3}-5|=|-{\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}i|=\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{4}}+{\displaystyle \frac{75}{4}}}=5$ : le périmètre vaut $6\times 5=30$.