Forme trigonométrique et exponentielle

A. 15 — |−9 + 12i| = √(81 + 144) = √225 = 15. Un module est toujours un réel positif : −9 est exclu d’emblée, et 21 ou 3 viennent de 9 + 12 ou de 12 − 9.

B. π — Son image est sur le demi-axe des abscisses négatives : l’angle vaut π à 2π près. L’argument 0 correspondrait à un réel strictement positif.

C. 3e^(iπ/2) — Le module vaut 3 et l’image est sur le demi-axe des ordonnées positives, donc l’argument est π/2 : 3i = 3e^(iπ/2). 3e^(−iπ/2) vaut −3i.

D. 1 — |e^(iθ)| = √(cos²θ + sin²θ) = 1 : le point image est sur le cercle trigonométrique, quel que soit θ.

B. (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 — En additionnant e^(iθ) = cos θ + i sin θ et e^(−iθ) = cos θ − i sin θ, les sinus s’éliminent : la somme vaut 2cos θ. Le dénominateur 2i est celui du sinus.

A. exactement cinq solutions — Les racines n-ièmes de l’unité sont les e^(2ikπ/n) pour k de 0 à n − 1 : il y en a exactement n, ici cinq, aux sommets d’un pentagone régulier.

D. arg(z) + arg(z′) — Le produit multiplie les modules et ajoute les arguments. La soustraction correspond au quotient, et un argument n’a rien à voir avec un module.

C. 2e^(−iπ/7) — Conjuguer conserve le module et change l’argument en son opposé : le conjugué de re^(iθ) est re^(−iθ). Le module 1/2 correspondrait à l’inverse.

B. π/3 — 7π/3 = 2π + π/3 : on retire un tour, et π/3 est dans ]−π ; π]. 7π/3 est une mesure du même angle, mais pas la principale.

A. −cos x — Les points associés à x et à π − x sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées : l’abscisse change de signe, l’ordonnée ne change pas.

D. cos a cos b − sin a sin b — C’est la formule d’addition du cosinus, avec un signe « − ». Le signe « + » donne cos(a − b), et sin a cos b + cos a sin b vaut sin(a + b).

A. des e^(iθ), avec θ réel — Un complexe de module 1 s’écrit 1 × e^(iθ) : 𝕌 est l’ensemble des e^(iθ), images du cercle trigonométrique. 1 et −1 en font partie, mais aussi i, e^(iπ/4)…

C. 2√2 e^(2iπ/3) — Le module vaut √(2 + 6) = 2√2, puis cos θ = −√2/(2√2) = −1/2 et sin θ = √6/(2√2) = √3/2 : l’angle est 2π/3, positif car la partie imaginaire l’est. 8 est le carré du module.

A. 256 — 1 + i = √2 e^(iπ/4), donc la puissance vaut (√2)¹⁶ e^(4iπ) = 2⁸ × 1 = 256, car 4π est un multiple de 2π.

D. 12,5 — |3 + 4i| = 5, donc le numérateur a pour module 5² = 25, et |2i| = 2 : le module du quotient vaut 25/2 = 12,5.

B. (1 − cos(2x))/2 — Le contrôle en x = 0 élimine (1 + cos(2x))/2, qui vaut 1 alors que sin²0 = 0 : c’est la linéarisation de cos²x. (cos(2x) − 1)/2 est négatif ou nul, alors qu’un carré est positif. Et dans (1 − cos x)/2, l’angle n’est pas doublé : en x = π, il vaut 1 au lieu de 0.

A. 4, 4e^(2iπ/3) et 4e^(4iπ/3) — 64 = 64e^(i0) : le module des solutions est la racine cubique de 64, soit 4, et les arguments sont les 2kπ/3. Les arguments π/3, π et 5π/3 sont ceux des solutions de z³ = −64.

C. 7π/12 — On soustrait les arguments : 5π/6 − π/4 = (10π − 3π)/12 = 7π/12. 13π/12 viendrait d’une somme, 5π/24 du produit des fractions 5/6 × 1/4.

B. 81 e^(2iπ/3) — Le module est élevé à la puissance 4 (3⁴ = 81) et l’argument est multiplié par 4 : 4 × π/6 = 2π/3. Multiplier le module par 4 ou diviser l’angle sont les deux confusions habituelles.

B. 2π/3 et −2π/3 — cos(2π/3) = −1/2 et cos x = cos a donne x = a ou x = −a à 2π près. π/3 et −π/3 sont les solutions de cos x = 1/2 ; −π/6 et −5π/6 celles de sin x = −1/2.

A. 120/169 — sin(2a) = 2 sin a cos a = 2 × 5/13 × 12/13 = 120/169. 119/169 est cos(2a) = cos²a − sin²a, et 10/13 vient de 2 sin a.

C. i — La relation fonctionnelle ajoute les arguments : e^(iπ/3 + iπ/6) = e^(iπ/2) = i. Les modules valent 1 et se multiplient : 2i est faux, et e^(iπ/18) multiplie les angles.

D. 1/e^(iθ) — e^(iθ) est de module 1, donc son conjugué est son inverse : e^(−iθ) = 1/e^(iθ). e^(i(π − θ)) = −e^(−iθ) est l’opposé du conjugué.

B. cos(5θ) + i sin(5θ) — C’est la formule de Moivre : (e^(iθ))⁵ = e^(5iθ). Les puissances ne se distribuent pas sur cos et sin.

B. vaut 7e^(5iπ/4) : ce n’est pas une forme exponentielle — Dans une forme exponentielle, le coefficient est le module, strictement positif. On corrige avec −1 = e^(iπ) : −7e^(iπ/4) = 7e^(i(π + π/4)) = 7e^(5iπ/4).

D. 2π/3 — Conjuguer donne −π/3, puis multiplier par −1 ajoute π : π − π/3 = 2π/3. Géométriquement, c’est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

A. 0 — C’est une somme géométrique de raison q = e^(2iπ/n) ≠ 1 : elle vaut (1 − qⁿ)/(1 − q), et qⁿ = 1 annule le numérateur. −1 serait la somme privée du terme 1.

C. les multiples de 3 — 1 + i√3 = 2e^(iπ/3), donc la puissance est réelle si et seulement si nπ/3 est un multiple de π, c’est-à-dire si 3 divise n. Les multiples de 6 conviennent, mais pas seulement eux : n = 3 donne −8.

D. si et seulement si arg(z) = arg(z′) [2π] — L’inégalité triangulaire donne ≤ ; il y a égalité pour des vecteurs de même direction et de même sens, donc des arguments égaux à 2π près. z = z′ n’est qu’un cas particulier, et z′ = −z donne |z + z′| = 0.

B. 6 — Pour tout complexe non nul a, l’équation zⁿ = a a exactement n solutions. Que −5 soit négatif n’y change rien : dans ℂ, un exposant pair n’interdit pas les solutions.

C. (3 sin x − sin(3x))/4 — Le dénominateur (2i)³ = −8i introduit un changement de signe : on obtient (3 sin x − sin(3x))/4. Contrôle en x = π/2 : (3 + 1)/4 = 1 = sin³(π/2).

A. 3 — Le module vérifie |z|⁴ = 81, donc |z| = 3, l’unique réel positif dont la puissance quatrième vaut 81. L’argument, lui, prend quatre valeurs.

B. 4c³ − 3c — La partie réelle de (c + is)³ est c³ − 3cs² = c³ − 3c(1 − c²) = 4c³ − 3c. Contrôle en θ = 0 : 4 − 3 = 1 = cos 0 ; 3c − 4c³ donnerait −1.

C. 1 — 1 × j × j² = j³ = 1. C’est la somme 1 + j + j² qui vaut 0.

D. −2cos(θ/2) — 1 + e^(iθ) = 2cos(θ/2)e^(iθ/2), et pour θ ∈ ]π ; 2π[, θ/2 ∈ ]π/2 ; π[ : cos(θ/2) < 0. Le module est la valeur absolue, −2cos(θ/2).

A. un réel strictement positif — D’après Euler, il vaut 2cos(π/7), et π/7 ∈ ]0 ; π/2[ donne cos(π/7) > 0. Sa valeur, environ 1,80, n’est pas de module 1. La différence e^(iπ/7) − e^(−iπ/7) serait imaginaire pure.