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Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle

Argument, module, formule d'Euler et applications : programme d'option Maths expertes Terminale.

À propos de cette page
Ce QCM sur « Nombres complexes — forme trigonométrique et exponentielle » en terminale teste tes connaissances en maths expertes (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Module d'un nombre complexe, Argument d'un nombre complexe, Forme trigonométrique, Formule d'Euler et forme exponentielle. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths expertes (option tle) en terminale.

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Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Quel est le module de $z = 5 + 12i$ ?

    • A. 13
    • B. 17
    • C. 7
    • D. $\sqrt{13}$
    Réponse

    A. 13 — $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

  2. $|{-3i}| = $ ?

    • A. $-3$
    • B. $3$
    • C. $9$
    • D. $\sqrt{3}$
    Réponse

    B. $3$ — Le module est toujours positif : $\sqrt{0+9}=3$.

  3. La forme trigonométrique de $i$ est :

    • A. $\cos 0+i\sin 0$
    • B. $\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$
    • C. $\cos\pi+i\sin\pi$
    • D. $\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}$
    Réponse

    B. $\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$ — $|i|=1$ et $\arg(i)=\pi/2$.

  4. $\arg(-1)$ vaut :

    • A. $0$
    • B. $\pi/2$
    • C. $\pi$
    • D. $2\pi$
    Réponse

    C. $\pi$ — $-1$ est réel négatif, son argument est $\pi$.

  5. $e^{i\cdot 0} = $ ?

    • A. $0$
    • B. $1$
    • C. $i$
    • D. $-1$
    Réponse

    B. $1$ — $e^{i\cdot 0}=\cos 0+i\sin 0=1$.

  6. $|e^{i\theta}|$ vaut :

    • A. $\theta$
    • B. $0$
    • C. $1$
    • D. $e$
    Réponse

    C. $1$ — $|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1$.

  7. Pour $z = 2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$, la partie réelle est :

    • A. $\sqrt{3}$
    • B. $1$
    • C. $2$
    • D. $\pi/6$
    Réponse

    A. $\sqrt{3}$ — $2\cos(\pi/6)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

  8. $z \cdot \bar{z}$ vaut :

    • A. $0$
    • B. $|z|$
    • C. $|z|^2$
    • D. $2|z|$
    Réponse

    C. $|z|^2$ — $z\cdot\bar{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2$.

  9. $\arg(\bar{z})$ vaut (si $\arg(z)=\theta$) :

    • A. $\theta$
    • B. $-\theta$
    • C. $\theta+\pi$
    • D. $2\theta$
    Réponse

    B. $-\theta$ — Le conjugué a pour argument $-\theta$.

  10. Le module de $z/z'$ vaut :

    • A. $|z|-|z'|$
    • B. $|z|/|z'|$
    • C. $|z|+|z'|$
    • D. $|z|\cdot|z'|$
    Réponse

    B. $|z|/|z'|$ — $|z/z'|=|z|/|z'|$.

  11. $e^{i\pi}+1 = $ ?

    • A. $2$
    • B. $1$
    • C. $0$
    • D. $2i$
    Réponse

    C. $0$ — Identité d'Euler : $e^{i\pi}=-1$, donc $e^{i\pi}+1=0$.

  12. $\arg(z^n)$ vaut (si $\arg(z)=\theta$) :

    • A. $\theta/n$
    • B. $n\theta$
    • C. $\theta^n$
    • D. $n+\theta$
    Réponse

    B. $n\theta$ — $\arg(z^n)=n\arg(z) \pmod{2\pi}$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. $z_1=3e^{i\pi/3}$, $z_2=2e^{i\pi/6}$. $|z_1z_2|=$ ?

    • A. $5$
    • B. $6$
    • C. $1$
    • D. $\sqrt{6}$
    Réponse

    B. $6$ — $3\times 2=6$.

  2. $\arg(z_1z_2)$ avec $\arg z_1=\pi/3$, $\arg z_2=\pi/6$ :

    • A. $\pi/2$
    • B. $\pi/3$
    • C. $\pi$
    • D. $\pi/9$
    Réponse

    A. $\pi/2$ — $\pi/3+\pi/6=\pi/2$.

  3. $\left|\frac{6e^{i\pi/3}}{2e^{i\pi/6}}\right| = $ ?

    • A. $4$
    • B. $3$
    • C. $12$
    • D. $8$
    Réponse

    B. $3$ — $6/2=3$.

  4. $(\sqrt{2})^4 = $ ?

    • A. $2$
    • B. $4$
    • C. $8$
    • D. $\sqrt{8}$
    Réponse

    B. $4$ — $(2^{1/2})^4=2^2=4$.

  5. $(e^{i\pi/4})^4 = $ ?

    • A. $1$
    • B. $i$
    • C. $-1$
    • D. $-i$
    Réponse

    C. $-1$ — $e^{i\pi/4\times 4}=e^{i\pi}=-1$.

  6. Forme exponentielle de $-i$ :

    • A. $e^{i\pi}$
    • B. $e^{-i\pi/2}$
    • C. $e^{i\pi/2}$
    • D. $e^{i3\pi}$
    Réponse

    B. $e^{-i\pi/2}$ — $|-i|=1$ et $\arg(-i)=-\pi/2$.

  7. $(2e^{i\pi/6})^3 = $ ?

    • A. $8e^{i\pi/2}$
    • B. $6e^{i\pi/2}$
    • C. $8e^{i\pi/6}$
    • D. $8e^{i\pi}$
    Réponse

    A. $8e^{i\pi/2}$ — $2^3=8$, $3\times\pi/6=\pi/2$.

  8. $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{?}$

    • A. $2i$
    • B. $2$
    • C. $i$
    • D. $4$
    Réponse

    B. $2$ — $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$.

  9. $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{?}$

    • A. $2$
    • B. $2i$
    • C. $i$
    • D. $-2i$
    Réponse

    B. $2i$ — $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$ → $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

  10. Module de $2+2i$ :

    • A. $4$
    • B. $2\sqrt{2}$
    • C. $2$
    • D. $\sqrt{2}$
    Réponse

    B. $2\sqrt{2}$ — $\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.

  11. Argument de $-\sqrt{3}+i$ :

    • A. $\pi/6$
    • B. $5\pi/6$
    • C. $2\pi/3$
    • D. $-\pi/6$
    Réponse

    B. $5\pi/6$ — $|z|=2$, $\cos=-\sqrt{3}/2$, $\sin=1/2$ → 2e quadrant → $5\pi/6$.

  12. Argument de $\frac{z_1}{z_2}$ avec $\arg z_1=\pi$ et $\arg z_2=\pi/3$ :

    • A. $\pi/3$
    • B. $2\pi/3$
    • C. $4\pi/3$
    • D. $-\pi/3$
    Réponse

    B. $2\pi/3$ — $\pi-\pi/3=2\pi/3$.

Niveau difficile — 12 questions

  1. La partie réelle de $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ est :

    • A. $3\cos\theta-4\cos^3\theta$
    • B. $4\cos^3\theta-3\cos\theta$
    • C. $\cos^3\theta-3\cos\theta$
    • D. $3\cos^2\theta\sin\theta$
    Réponse

    B. $4\cos^3\theta-3\cos\theta$ — $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.

  2. Linéarisation de $\cos^2\theta$ :

    • A. $\frac{1-\cos 2\theta}{2}$
    • B. $\frac{1+\cos 2\theta}{2}$
    • C. $\frac{\cos 2\theta}{2}$
    • D. $\frac{1+2\cos 2\theta}{4}$
    Réponse

    B. $\frac{1+\cos 2\theta}{2}$ — $\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$.

  3. Nombre de racines 5e d'un complexe non nul :

    • A. $1$
    • B. $2$
    • C. $4$
    • D. $5$
    Réponse

    D. $5$ — Tout complexe non nul a exactement $n$ racines $n$-ièmes.

  4. Les racines $n$-ièmes de l'unité sont sur :

    • A. Un segment
    • B. Le cercle unité
    • C. Un cercle de rayon $n$
    • D. Un carré
    Réponse

    B. Le cercle unité — Ce sont les $e^{2ik\pi/n}$, tous de module 1.

  5. $\sin^3\theta = $ ?

    • A. $\frac{3\sin\theta+\sin 3\theta}{4}$
    • B. $\frac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}$
    • C. $\frac{\sin 3\theta-3\sin\theta}{4}$
    • D. $\frac{\sin 3\theta}{4}$
    Réponse

    B. $\frac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}$ — Linéarisation : $\sin^3\theta=\frac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}$.

  6. $(1+i)^{10} = $ ?

    • A. $32$
    • B. $32i$
    • C. $-32i$
    • D. $-32$
    Réponse

    B. $32i$ — $1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$, $(1+i)^{10}=32e^{i10\pi/4}=32e^{i\pi/2}=32i$.

  7. Si $j=e^{i2\pi/3}$, alors $1+j+j^2 = $ ?

    • A. $3$
    • B. $j$
    • C. $0$
    • D. $1$
    Réponse

    C. $0$ — Somme des racines cubiques de 1 = 0.

  8. Les racines 4e de 1 forment quel polygone ?

    • A. Triangle équilatéral
    • B. Carré
    • C. Pentagone
    • D. Hexagone
    Réponse

    B. Carré — 4 racines séparées de $\pi/2$ → carré.

  9. Partie réelle de $(\cos\theta+i\sin\theta)^4$ :

    • A. $\cos 4\theta$
    • B. $4\cos\theta\sin\theta$
    • C. $\cos^4\theta$
    • D. $4\cos^3\theta\sin\theta$
    Réponse

    A. $\cos 4\theta$ — De Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^4=\cos 4\theta+i\sin 4\theta$.

  10. $\int_0^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta = $ ?

    • A. $0$
    • B. $\pi/4$
    • C. $\pi/2$
    • D. $\pi$
    Réponse

    C. $\pi/2$ — $\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$ → $\int_0^\pi=\pi/2$.

  11. Module des racines 3e de $8$ :

    • A. $8$
    • B. $4$
    • C. $2$
    • D. $\sqrt[3]{4}$
    Réponse

    C. $2$ — $8^{1/3}=2$.

  12. Arguments des racines 6e de $1$ (parmi ces listes) :

    • A. $0,\pi/3,2\pi/3,\pi,4\pi/3,5\pi/3$
    • B. $0,\pi/6,\pi/3,\pi/2,2\pi/3,5\pi/6$
    • C. $0,\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$
    • D. $0,\pi/6,\pi/3,\pi,4\pi/3$
    Réponse

    A. $0,\pi/3,2\pi/3,\pi,4\pi/3,5\pi/3$ — $e^{2ik\pi/6}$ pour $k=0,\ldots,5$ → arguments $0,\pi/3,2\pi/3,\pi,4\pi/3,5\pi/3$.

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