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Forme algébrique et conjugué

L’ensemble ℂ et la forme algébrique a + ib, parties réelle et imaginaire, conjugué et ses propriétés, inverse, quotient et équations simples, module, formule du binôme dans ℂ.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés : l’impédance complexe d’un circuit RLC et son admittance, la suite zₙ₊₁ = zₙ² + c de l’ensemble de Mandelbrot avec une fonction Python, la recherche des racines carrées de −5 + 12i, et la démonstration de l’inégalité triangulaire avec l’identité du parallélogramme.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé en calcul dans ℂ : une impédance, un terme de suite, une équation, un module.
Je choisis la forme utile : forme algébrique pour additionner, identifier ou multiplier ; conjugué pour diviser ou prouver « réel » ; module pour une longueur ou une intensité.
Je pose $z = x + i y$ dès qu’il faut identifier, et j’écris le système de deux équations réelles.
Je démontre en citant la propriété : conjugué d’un produit, $| z |^{2} = z \overset{―}{z}$ , récurrence, formule du binôme.
Je contrôle chaque résultat : en remultipliant, en recalculant un module, ou en remplaçant dans l’équation de départ.

Problème 1 · Impédance complexe d’un circuit RLC★★★Facile

En électricité, un circuit RLC série en courant alternatif est décrit par son impédance complexe

Z

= R + i (L ω - \frac{1}{C ω})

, en ohms (Ω). L’intensité efficace vérifie

I = \frac{U}{| Z |}

, où

U

est la tension efficace en volts. On donne

R = 60

Ω,

L ω = 140

Ω,

\frac{1}{C ω} = 55

Ω et

U = 230

1. Forme algébrique de $Z$ : partie réelle et partie imaginaire
$Z = 60 + i (140 - 55) = 60 + 85 i$ . La partie réelle est la résistance, la partie imaginaire s’appelle la réactance.
2. Valeur approchée de $| Z |$ au dixième d’ohm : Ω
$| Z |$ $= \sqrt{60^{2} + 85^{2}}$ $= \sqrt{3 600 + 7 225}$ $= \sqrt{10 825}$ . Comme $10 825 = 25 \times 433$ , la valeur exacte est $5 \sqrt{433}$ , soit $| Z | \approx 104, 0$ Ω.
3. Intensité efficace $I$ , arrondie au centième d’ampère : A
$I$ $= \frac{230}{5 \sqrt{433}}$ $= \frac{46}{\sqrt{433}} \approx 2, 21$ A.
4. Les autres données étant inchangées, valeur de $\frac{1}{C ω}$ pour laquelle $Z$ est réel : Ω
$Z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle : $L ω - \frac{1}{C ω} = 0$ , soit $\frac{1}{C ω} = 140$ Ω. C’est la résonance : $Z = R = 60$ Ω.
5. L’admittance est $Y = \frac{1}{Z}$ . Sa partie réelle exacte, en fraction irréductible, vaut
$Y$ $= \frac{1}{60 + 85 i}$ $= \frac{60 - 85 i}{60^{2} + 85^{2}}$ $= \frac{60 - 85 i}{10 825}$ . En simplifiant par $5$ : $Y = \frac{12}{2 165} - \frac{17}{2 165} i$ (en siemens), soit $R e (Y) \approx 5, 5 \times 10^{- 3}$ .
6. Justifier que, quelles que soient $L ω$ et $\frac{1}{C ω}$ , $| Z | ⩾ R$ . La plus petite valeur possible de $| Z |$ est donc Ω
Rédaction attendue. Notons $X = L ω - \frac{1}{C ω}$ la réactance, qui est un réel. Alors $| Z |^{2} = R^{2} + X^{2}$ . Comme $X^{2} ⩾ 0$ , $| Z |^{2} ⩾ R^{2}$ , et $| Z |$ et $R$ sont positifs, donc $| Z | ⩾ R$ . L’égalité a lieu si et seulement si $X = 0$ (résonance) : la plus petite valeur de $| Z |$ est $R = 60$ Ω.

Problème 2 · Une suite définie par zₙ₊₁ = zₙ² + c★★★Moyen

Pour un nombre complexe

c

fixé, on définit la suite

(z_{n})

par

z_{0} = 0

et, pour tout entier naturel

n

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c

. On dit que

c

est « capturé » lorsque la suite

(| z_{n} |)

est bornée (cette suite sert à dessiner l’ensemble de Mandelbrot). Partie A :

c = i

. Partie B :

c = 1

1. Partie A. $z_{1} = i$ et $z_{2} = - 1 + i$ . Calculer $z_{3}$ : partie réelle et partie imaginaire
$z_{1} = 0^{2} + i = i$ ; $z_{2} = i^{2} + i = - 1 + i$ ; $z_{3}$ $= (- 1 + i)^{2} + i$ $= (1 - 2 i + i^{2}) + i$ $= - 2 i + i$ $= - i$ .
2. Partie A. Démontrer que $z_{n + 2} = z_{n}$ pour tout entier $n ⩾ 2$ , puis donner $z_{2026}$ : partie réelle et partie imaginaire
Rédaction attendue. $z_{4} = (- i)^{2} + i = - 1 + i = z_{2}$ . Pour $n ⩾ 2$ , notons $𝒫 (n)$ : « $z_{n + 2} = z_{n}$ ». Initialisation : $z_{4} = z_{2}$ . Hérédité : si $z_{n + 2} = z_{n}$ , alors $z_{n + 3}$ $= z_{n + 2}^{2} + i$ $= z_{n}^{2} + i$ $= z_{n + 1}$ , c’est $𝒫 (n + 1)$ . Conclusion : $z_{n + 2} = z_{n}$ pour tout $n ⩾ 2$ : à partir du rang $2$ , $z_{n} = z_{2}$ si $n$ est pair et $z_{n} = z_{3}$ si $n$ est impair. Comme $2 026$ est pair, $z_{2026} = z_{2} = - 1 + i$ .
3. Partie A. En déduire que la suite $(| z_{n} |)$ est bornée : pour tout $n$ , $| z_{n} | ⩽ M$ , où $M$ est le plus grand des modules des termes. $M =$
D’après la question précédente, la suite ne prend que les valeurs $z_{0} = 0$ , $z_{1} = i$ , $z_{2} = - 1 + i$ et $z_{3} = - i$ , de modules $0$ , $1$ , $\sqrt{2}$ et $1$ ; le plus grand est $\sqrt{2}$ . Donc $| z_{n} | ⩽ \sqrt{2}$ pour tout $n$ : la suite des modules est bornée, $c = i$ est capturé.
4. La fonction Python ci-dessous renvoie le rang du premier terme de module strictement supérieur à $2$ , et $0$ si les $60$ premiers termes restent de module au plus $2$ . Compléter la ligne manquante : z =
def rang_sortie(c): z = 0 for n in range(1, 61): z = ... if abs(z) > 2: return n return 0
La ligne traduit la relation de récurrence : z = z**2 + c. En Python, le nombre $i$ s’écrit 1j et abs calcule le module. Avec c = 1j, la fonction renvoie $0$ , ce qui confirme la partie A.
5. Partie B ( $c = 1$ ). Calculer $z_{3} =$ , puis démontrer par récurrence que $z_{n} ⩾ 2^{n - 1}$ pour tout $n ⩾ 2$ et conclure.
Rédaction attendue. Pour $c = 1$ , tous les termes sont des réels positifs : $z_{1} = 1$ , $z_{2} = 2$ , $z_{3} = 2^{2} + 1 = 5$ . Initialisation : $z_{2} = 2 = 2^{1}$ . Hérédité : si $z_{n} ⩾ 2^{n - 1}$ pour un $n ⩾ 2$ , alors, la fonction carré étant croissante sur $[0; + \infty [$ , $z_{n + 1}$ $= z_{n}^{2} + 1 ⩾ 2^{2 n - 2} + 1 > 2^{2 n - 2}$ . Or $n ⩾ 2$ donne $2 n - 2 ⩾ n$ , donc $2^{2 n - 2} ⩾ 2^{n}$ et $z_{n + 1} ⩾ 2^{n}$ . Conclusion : $z_{n} ⩾ 2^{n - 1}$ pour tout $n ⩾ 2$ . Comme $2^{n - 1}$ tend vers $+ \infty$ , la suite $(| z_{n} |)$ n’est pas bornée : $c = 1$ n’est pas capturé.

Problème 3 · Les racines carrées d’un nombre complexe★★★Moyen

On appelle racine carrée d’un complexe

Z

tout complexe

z

tel que

z^{2} = Z

(problème possible du programme). On cherche les racines carrées de

Z = - 5 + 12 i

, sous la forme

z = x + i y

avec

x

y

réels.

1. Démontrer que $z^{2} = Z$ équivaut à $x^{2} - y^{2} = - 5$ et $x y =$
Rédaction attendue. $z^{2} = (x + i y)^{2} = (x^{2} - y^{2}) + i (2 x y)$ , avec $x^{2} - y^{2}$ et $2 x y$ réels. Par identification, $z^{2}$ $= - 5 + 12 i$ $⟺ x^{2} - y^{2}$ $= - 5$ et $2 x y = 12$ , soit $x y = 6$ .
2. Si $z^{2} = Z$ , alors $| z |^{2} = | Z |$ . En déduire $x^{2} + y^{2} =$
Le module d’une puissance : $| z^{2} | = | z |^{2}$ , donc $| z |^{2} = | Z | = \sqrt{25 + 144} = 13$ , et $| z |^{2} = x^{2} + y^{2}$ .
3. En additionnant et en soustrayant les deux équations en $x^{2}$ et $y^{2}$ : $x^{2} =$ et $y^{2} =$
$(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2}) = 13 - 5$ donne $2 x^{2} = 8$ , $x^{2} = 4$ ; $(x^{2} + y^{2}) - (x^{2} - y^{2}) = 13 + 5$ donne $2 y^{2} = 18$ , $y^{2} = 9$ .
4. Justifier le choix des signes. La racine carrée de partie réelle positive a pour partie réelle et pour partie imaginaire
Rédaction attendue. $x^{2} = 4$ et $y^{2} = 9$ donnent $x = \pm 2$ et $y = \pm 3$ . Comme $x y = 6 > 0$ , $x$ et $y$ ont le même signe : les candidats sont $2 + 3 i$ et $- 2 - 3 i$ . Réciproquement, $(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i - 9 = - 5 + 12 i$ , et $(- 2 - 3 i)^{2} = (2 + 3 i)^{2}$ . Les deux racines carrées de $Z$ sont $2 + 3 i$ et $- 2 - 3 i$ ; celle de partie réelle positive est $2 + 3 i$ .
5. Un élève écrit « $\sqrt{- 5 + 12 i} = 2 + 3 i$ ». Expliquer pourquoi cette écriture est incorrecte. La somme des deux racines carrées vaut
Les deux racines sont opposées ( $z$ et $- z$ ont le même carré), donc leur somme vaut $0$ . Il n’y a aucun moyen naturel de choisir « la » racine parmi les deux : le symbole $\sqrt{}$ est réservé aux réels positifs et ne s’emploie pas pour un nombre complexe.

Problème 4 · L’inégalité triangulaire★★★Difficile

Dans tout le problème,

z

z'

sont deux nombres complexes (problème possible du programme). On utilise

| w |^{2} = w \overset{―}{w}

et les propriétés du conjugué.

1. Démontrer que pour tout complexe $w$ , $R e (w) ⩽ | w |$ . Contrôle : pour $w = - 3 + 4 i$ , $| w | - R e (w) =$
Rédaction attendue. Soit $w = a + i b$ ( $a$ , $b$ réels). Comme $b^{2} ⩾ 0$ , $a^{2} ⩽ a^{2} + b^{2}$ , donc, la racine carrée étant croissante, $| a | ⩽ \sqrt{a^{2} + b^{2}} = | w |$ . Et $a ⩽ | a |$ , donc $R e (w) ⩽ | w |$ . Contrôle : $| w | = 5$ et $R e (w) = - 3$ , donc $5 - (- 3) = 8$ .
2. Démontrer que $| z + z' |^{2}$ $= | z |^{2} + | z' |^{2} + 2 R e (z \overset{―}{z'})$ . Contrôle : pour $z = 1 + 2 i$ et $z' = 3 - i$ , $R e (z \overset{―}{z'}) =$
Rédaction attendue. $| z + z' |^{2}$ $= (z + z') \overset{―}{(z + z')}$ $= (z + z') (\overset{―}{z} + \overset{―}{z'})$ $= z \overset{―}{z} + z' \overset{―}{z'} + z \overset{―}{z'} + \overset{―}{z} z'$ . Or $\overset{―}{z} z' = \overset{―}{z \overset{―}{z'}}$ , donc $z \overset{―}{z'} + \overset{―}{z} z'$ $= w + \overset{―}{w}$ avec $w = z \overset{―}{z'}$ , qui vaut $2 R e (w)$ . Contrôle : $z \overset{―}{z'}$ $= (1 + 2 i) (3 + i)$ $= 3 + i + 6 i + 2 i^{2}$ $= 1 + 7 i$ , de partie réelle $1$ ; et en effet $| 4 + i |^{2} = 17 = 5 + 10 + 2 \times 1$ .
3. En déduire que $| z + z' | ⩽ | z | + | z' |$ . Si $| z | = 3$ et $| z' | = 7$ , le module $| z + z' |$ est au plus égal à
Rédaction attendue. D’après la première question, $R e (z \overset{―}{z'}) ⩽ | z \overset{―}{z'} |$ $= | z | | \overset{―}{z'} |$ $= | z | | z' |$ . Donc $| z + z' |^{2} ⩽ | z |^{2} + | z' |^{2} + 2 | z | | z' |$ $= (| z | + | z' |)^{2}$ . Les deux nombres $| z + z' |$ et $| z | + | z' |$ sont positifs, donc $| z + z' | ⩽ | z | + | z' |$ . Ici $| z + z' | ⩽ 10$ , valeur atteinte par exemple pour $z = 3$ et $z' = 7$ .
4. En écrivant $z' = (z + z') - z$ , montrer que $| z + z' | ⩾ | z' | - | z |$ . Si $| z | = 3$ et $| z' | = 7$ , $| z + z' |$ est au moins égal à
L’inégalité triangulaire appliquée à $(z + z')$ et $(- z)$ donne $| z' | ⩽ | z + z' | + | - z |$ $= | z + z' | + | z |$ , donc $| z + z' | ⩾ | z' | - | z | = 7 - 3 = 4$ , valeur atteinte pour $z = - 3$ et $z' = 7$ .
5. Démontrer que $| z + z' |^{2} + | z - z' |^{2}$ $= 2 (| z |^{2} + | z' |^{2})$ . Si $| z | = | z' | = 5$ et $| z + z' | = 8$ , alors $| z - z' | =$
Rédaction attendue. Comme à la deuxième question, $| z - z' |^{2}$ $= | z |^{2} + | z' |^{2} - 2 R e (z \overset{―}{z'})$ . En additionnant avec l’expression de $| z + z' |^{2}$ , les termes en $R e (z \overset{―}{z'})$ s’éliminent : la somme vaut $2 (| z |^{2} + | z' |^{2})$ (identité du parallélogramme). Ici $64 + | z - z' |^{2} = 2 \times 50 = 100$ , donc $| z - z' |^{2} = 36$ et $| z - z' | = 6$ .

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