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Forme trigonométrique et exponentielle

Rappels de trigonométrie et formules d’addition, argument et forme trigonométrique, ensemble 𝕌, notation e^(iθ) et forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler, linéarisation, racines n-ièmes de l’unité et équations zⁿ = a.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés : une spirale de points zₙ₊₁ = qzₙ avec une récurrence et une fonction Python de seuil, la somme de deux tensions sinusoïdales par les amplitudes complexes, l’équation ((z + i)/(z − i))³ = 1 avec les racines cubiques de l’unité, et la valeur exacte de cos(π/5) pour construire le pentagone régulier.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé en nombres complexes : une suite de points, une tension, une équation, un polygone.
Je choisis la forme utile : algébrique pour additionner, exponentielle pour multiplier, diviser ou élever à une puissance.
Je passe d’une forme à l’autre en calculant le module, puis l’angle qui a le bon cosinus et le bon sinus, et je ramène l’argument à sa mesure principale.
Je démontre en nommant l’outil : formule d’addition, relation fonctionnelle, Moivre, Euler, somme géométrique, récurrence.
Je contrôle : en revenant à la forme algébrique, en remplaçant dans l’équation ou en testant une valeur simple.

Problème 1 · Une spirale de points★★★Moyen

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

(O; \vec{u}, \vec{v})

, l’unité étant le centimètre. Un graphiste place les points

A_{n}

d’affixes

z_{n}

définies par

z_{0} = 16

et, pour tout entier naturel

n

z_{n + 1} = q z_{n}

avec

q = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}

. Il relie

A_{0}

A_{1}

A_{2}

… dans cet ordre. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $q = r e^{i θ}$ avec $r =$ et $θ =$
$| q | = \frac{\sqrt{1 + 3}}{4} = \frac{1}{2}$ et $q = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ : l’angle de cosinus $\frac{1}{2}$ et de sinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est $\frac{π}{3}$ . Donc $q = \frac{1}{2} e^{i π / 3}$ .
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $z_{n} = 16 {(\frac{1}{2})}^{n} e^{i n π / 3}$ . Contrôle : $z_{3} =$
Rédaction attendue. Notons $𝒫 (n)$ : « $z_{n} = 16 {(\frac{1}{2})}^{n} e^{i n π / 3}$ ». Initialisation : $16 \times 1 \times e^{0} = 16 = z_{0}$ , donc $𝒫 (0)$ est vraie. Hérédité : supposons $𝒫 (n)$ vraie pour un entier $n$ . Alors $z_{n + 1} = \frac{1}{2} e^{i π / 3} \times 16 {(\frac{1}{2})}^{n} e^{i n π / 3}$ $= 16 {(\frac{1}{2})}^{n + 1} e^{i (n + 1) π / 3}$ , car un produit multiplie les modules et ajoute les arguments : $𝒫 (n + 1)$ est vraie. Conclusion : $𝒫 (n)$ est vraie pour tout $n \in ℕ$ . Pour $n = 3$ : $z_{3} = 16 \times \frac{1}{8} \times e^{i π} = - 2$ .
3. Exprimer $O A_{n}$ en fonction de $n$ et donner la limite de la suite $(O A_{n})$ . Contrôle : $O A_{5} =$ cm
$O A_{n} = | z_{n} | = 16 {(\frac{1}{2})}^{n}$ , car $| e^{i n π / 3} | = 1$ . La suite $(O A_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ ; comme $0 < \frac{1}{2} < 1$ , elle tend vers $0$ : les points s’enroulent vers $O$ . $O A_{5} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ .
4. Le plus petit entier $n$ tel que $O A_{n} < 0, 01$ est
162n<0,01⟺2n>1600. Or 210=1024 et 211=2048, et la suite (2n) est croissante : le plus petit entier est n=11. Avec Python :
```
def seuil(eps):
    n = 0
    m = 16
    while m >= eps:
        m = m / 2
        n = n + 1
    return n
```
L’appel seuil(0.01) renvoie 11 ; la boucle s’arrête car les modules tendent vers 0.
5. Démontrer que, pour tout $n$ , $A_{n} A_{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{2} O A_{n}$ , puis que le triangle $O A_{n} A_{n + 1}$ est rectangle en $A_{n + 1}$ . Contrôle : $A_{0} A_{1}^{2} =$
Rédaction attendue. $A_{n} A_{n + 1} = | z_{n + 1} - z_{n} | = | z_{n} (q - 1) | = | z_{n} | \times | q - 1 |$ . Or $q - 1 = \frac{- 3 + i \sqrt{3}}{4}$ , donc $| q - 1 |^{2} = \frac{9 + 3}{16} = \frac{3}{4}$ et $| q - 1 | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : $A_{n} A_{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{2} O A_{n}$ . De plus $O A_{n + 1} = \frac{1}{2} O A_{n}$ . Alors $O A_{n + 1}^{2} + A_{n} A_{n + 1}^{2} = \frac{1}{4} O A_{n}^{2} + \frac{3}{4} O A_{n}^{2} = O A_{n}^{2}$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $O A_{n} A_{n + 1}$ est rectangle en $A_{n + 1}$ , le sommet opposé au côté $[O A_{n}]$ . Pour $n = 0$ : $A_{0} A_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 16 = 8 \sqrt{3}$ , donc $A_{0} A_{1}^{2} = 192$ .
6. Le plus petit entier $n > 3$ tel que $z_{n}$ soit un réel strictement négatif est
$z_{n} = 16 {(\frac{1}{2})}^{n} e^{i n π / 3}$ est un réel strictement négatif si et seulement si $\frac{n π}{3} = π + 2 k π$ ( $k$ entier), soit $n = 3 + 6 k$ : $3, 9, 15, \dots$ Après $3$ vient $n = 9$ , et $z_{9} = \frac{16}{512} \times e^{3 i π} = - \frac{1}{32}$ .

Problème 2 · Somme de deux signaux sinusoïdaux★★★Difficile

En électricité, une tension sinusoïdale

u (t) = A \cos (ω t + φ)

, avec

A > 0

, est codée par son amplitude complexe

U = A e^{i φ}

: on a alors

u (t) = R e (U e^{i ω t})

. Deux tensions de même pulsation

ω

sont branchées en série :

u_{1} (t) = 6 \cos (ω t)

u_{2} (t) = 6 \sqrt{3} \cos (ω t + \frac{π}{2})

, en volts. Les phases sont données dans

] - π; π]

. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. $U_{1}$ est un réel : $U_{1} =$ ; $U_{2}$ est un imaginaire pur, d’argument principal
Par identification avec $A e^{i φ}$ : $U_{1} = 6 e^{i 0} = 6$ et $U_{2} = 6 \sqrt{3} e^{i π / 2} = 6 \sqrt{3} i$ .
2. On pose $U = U_{1} + U_{2}$ . Module de $U$ : et argument principal de $U$ :
$U = 6 + 6 \sqrt{3} i$ (pour additionner, la forme algébrique). $| U | = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12$ et $U = 12 (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ : l’argument est $\frac{π}{3}$ , donc $U = 12 e^{i π / 3}$ .
3. Justifier que la tension $u = u_{1} + u_{2}$ a pour amplitude complexe $U$ , puis écrire $u (t)$ . Contrôle : $u (0) =$ V
Rédaction attendue. La partie réelle d’une somme est la somme des parties réelles : $u (t) = R e (U_{1} e^{i ω t}) + R e (U_{2} e^{i ω t})$ $= R e ((U_{1} + U_{2}) e^{i ω t})$ $= R e (12 e^{i π / 3} e^{i ω t})$ . Par la relation fonctionnelle, $12 e^{i π / 3} e^{i ω t} = 12 e^{i (ω t + \frac{π}{3})}$ , de partie réelle $12 \cos (ω t + \frac{π}{3})$ . Donc $u (t) = 12 \cos (ω t + \frac{π}{3})$ : amplitude $12$ V, phase $\frac{π}{3}$ . Contrôle : $u (0) = 12 \cos \frac{π}{3} = 6$ , et $u_{1} (0) + u_{2} (0) = 6 + 6 \sqrt{3} \cos \frac{π}{2} = 6$ .
4. Un élève affirme que l’amplitude de $u$ vaut $6 + 6 \sqrt{3} \approx 16, 4$ V. Expliquer son erreur. Contrôle : $| U_{1} | + | U_{2} | - | U |$ , arrondi au dixième, vaut V
Rédaction attendue. L’élève a additionné les modules des amplitudes complexes. Or le module d’une somme n’est pas la somme des modules : on a seulement $| U_{1} + U_{2} | ⩽ | U_{1} | + | U_{2} |$ , avec égalité lorsque $U_{1}$ et $U_{2}$ ont le même argument, c’est-à-dire lorsque les deux tensions sont en phase. Ici elles sont déphasées de $\frac{π}{2}$ : l’amplitude vaut $| U | = 12$ V. L’écart est $6 + 6 \sqrt{3} - 12 = 6 \sqrt{3} - 6 \approx 4, 4$ V.
5. Une troisième tension $u_{3}$ , de même pulsation, rend $u_{1} + u_{2} + u_{3}$ nulle à chaque instant. Sa phase est
Il faut $U_{3} = - U = - 12 e^{i π / 3}$ . Avec $- 1 = e^{i π}$ : $U_{3} = 12 e^{i (π + \frac{π}{3})} = 12 e^{4 i π / 3} = 12 e^{- 2 i π / 3}$ . Donc $u_{3} (t) = 12 \cos (ω t - \frac{2 π}{3})$ : amplitude $12$ V, phase $- \frac{2 π}{3}$ , en opposition de phase avec $u$ .
6. Montrer qu’il existe des instants où $u$ s’annule alors que ni $u_{1}$ ni $u_{2}$ ne s’annule. La plus petite valeur strictement positive de $ω t$ pour laquelle $u (t) = 0$ est
Rédaction attendue. $u (t) = 0 ⟺ \cos (ω t + \frac{π}{3}) = 0 ⟺ ω t + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k π$ ( $k$ entier), soit $ω t = \frac{π}{6} + k π$ ; la plus petite valeur strictement positive est $\frac{π}{6}$ . À cet instant, $u_{1} = 6 \cos \frac{π}{6} = 3 \sqrt{3}$ et $u_{2} = 6 \sqrt{3} \cos \frac{2 π}{3} = - 3 \sqrt{3}$ : aucune des deux n’est nulle, mais elles sont opposées.

Problème 3 · Une équation à quotient★★★Difficile

On cherche les nombres complexes

z \neq i

tels que

{(\frac{z + i}{z - i})}^{3} = 1

. Dans le plan complexe, on note

A

B

les points d’affixes

- i

i

M

le point d’affixe

z

, et

j = e^{2 i π / 3}

. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 5π/7).

1. Justifier que l’équation équivaut à $\frac{z + i}{z - i} \in {1; j; j^{2}}$ . Nombre de solutions fournies par le cas $\frac{z + i}{z - i} = 1$ :
Rédaction attendue. Pour $z \neq i$ , posons $Z = \frac{z + i}{z - i}$ . L’équation s’écrit $Z^{3} = 1$ , c’est-à-dire $Z \in 𝕌_{3} = {1; j; j^{2}}$ . Si $Z = 1$ , alors $z + i = z - i$ , donc $2 i = 0$ : c’est impossible. Ce cas ne fournit aucune solution.
2. Résoudre l’équation $z + i = j (z - i)$ . Sa solution $z_{1}$ est un réel, et $z_{1}^{2} =$
$z + i = j (z - i) ⟺ z (1 - j) = - i (1 + j)$ , et $1 - j \neq 0$ , donc $z_{1} = \frac{- i (1 + j)}{1 - j}$ . Or $1 + j = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = e^{i π / 3}$ et $1 - j = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ , de module $\sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ et d’argument $- \frac{π}{6}$ : $1 - j = \sqrt{3} e^{- i π / 6}$ . Ainsi $z_{1} = - i \times \frac{1}{\sqrt{3}} e^{i π / 2} = - \frac{i \times i}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , et $z_{1}^{2} = \frac{1}{3}$ .
3. En conjuguant l’égalité $z_{1} + i = j (z_{1} - i)$ , trouver la solution $z_{2}$ associée à $j^{2}$ . Produit $z_{1} z_{2} =$
$z_{1}$ est réel et $\overset{―}{j} = j^{2}$ : en conjuguant, $z_{1} - i = j^{2} (z_{1} + i)$ . En posant $z_{2} = - z_{1}$ , cela s’écrit $- z_{2} - i = j^{2} (- z_{2} + i)$ , soit $z_{2} + i = j^{2} (z_{2} - i)$ : $z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ est la solution associée à $j^{2}$ . Donc $z_{1} z_{2} = - \frac{1}{3}$ .
4. Démontrer, en interprétant le module du quotient comme un rapport de distances, que toute solution est réelle. Contrôle : nombre total de solutions de l’équation :
Rédaction attendue. Si $z$ est solution, ${| \frac{z + i}{z - i} |}^{3} = | 1 | = 1$ , donc $| \frac{z + i}{z - i} | = 1$ (un réel positif dont le cube vaut $1$ vaut $1$ ). Ainsi $| z - (- i) | = | z - i |$ , c’est-à-dire $M A = M B$ : $M$ est sur la médiatrice de $[A B]$ . Les points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, qui est donc cette médiatrice : $z$ est réel. Chacun des cas $j$ et $j^{2}$ donne une équation du premier degré à une seule solution, et le cas $1$ aucune : l’équation a exactement deux solutions, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ , toutes deux réelles.
5. Vérifier par le calcul que la solution réelle $z_{1}$ convient : $\frac{z_{1} + i}{z_{1} - i} = e^{i θ}$ avec $θ =$ (mesure principale)
$z_{1} + i = \frac{1}{\sqrt{3}} + i$ a pour module $\sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ , et $\frac{z_{1} + i}{2 / \sqrt{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ : $z_{1} + i = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{i π / 3}$ . Son conjugué est $z_{1} - i = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{- i π / 3}$ . Le quotient vaut $e^{i (\frac{π}{3} + \frac{π}{3})} = e^{2 i π / 3} = j$ , dont le cube vaut $e^{2 i π} = 1$ .

Problème 4 · Le pentagone régulier et cos(2π/5)★★★Difficile

Pour tout réel

θ

, on note

c = \cos θ

s = \sin θ

. On cherche la valeur exacte de

\cos \frac{π}{5}

, puis celle de

\cos \frac{2 π}{5}

, qui permet de construire le pentagone régulier dont les sommets sont les images des éléments de

𝕌_{5}

. On note

ω = e^{2 i π / 5}

. Pour une valeur approchée, utiliser la virgule.

1. En développant $(c + i s)^{5}$ par la formule du binôme, démontrer que $\cos (5 θ) = 16 c^{5} - 20 c^{3} + 5 c$ . Contrôle pour $θ = \frac{π}{3}$ : le membre de droite vaut
Rédaction attendue. Le binôme (ligne $1, 5, 10, 10, 5, 1$ ) donne $(c + i s)^{5} = c^{5} + 5 i c^{4} s - 10 c^{3} s^{2} - 10 i c^{2} s^{3} + 5 c s^{4} + i s^{5}$ (puissances de $i$ : $1, i, - 1, - i, 1, i$ ). D’après Moivre, $(c + i s)^{5} = \cos (5 θ) + i \sin (5 θ)$ ; on identifie les parties réelles : $\cos (5 θ) = c^{5} - 10 c^{3} s^{2} + 5 c s^{4}$ . On remplace $s^{2}$ par $1 - c^{2}$ : $\cos (5 θ) = c^{5} - 10 c^{3} (1 - c^{2}) + 5 c (1 - c^{2})^{2}$ $= c^{5} - 10 c^{3} + 10 c^{5} + 5 c - 10 c^{3} + 5 c^{5}$ $= 16 c^{5} - 20 c^{3} + 5 c$ . Pour $c = \frac{1}{2}$ : $\frac{16}{32} - \frac{20}{8} + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ , et en effet $\cos \frac{5 π}{3} = \cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .
2. En déduire que $x = \cos \frac{π}{5}$ vérifie $16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x + 1 = 0$ , puis vérifier que $16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x + 1$ $= (x + 1) {(4 x^{2} - 2 x - 1)}^{2}$ . Discriminant de $4 x^{2} - 2 x - 1$ :
Pour $θ = \frac{π}{5}$ , $\cos (5 θ) = \cos π = - 1$ , donc $16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x = - 1$ . Ensuite ${(4 x^{2} - 2 x - 1)}^{2}$ $= 16 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1$ , et en multipliant par $x + 1$ : $16 x^{5} - 16 x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + x$ $+ 16 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 1$ $= 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x + 1$ . Le discriminant de $4 x^{2} - 2 x - 1$ est $Δ = 4 + 16 = 20$ .
3. Démontrer que $\cos \frac{π}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ . Contrôle : ${(4 \cos \frac{π}{5} - 1)}^{2} =$
Rédaction attendue. Le produit $(x + 1) {(4 x^{2} - 2 x - 1)}^{2}$ (question 2) est nul si et seulement si $x = - 1$ ou $4 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ , dont les racines sont $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$ . Comme $\frac{π}{5} \in] 0; \frac{π}{2} [$ , $\cos \frac{π}{5} > 0$ : ni $- 1$ ni $\frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ , qui sont négatifs, ne conviennent. Donc $\cos \frac{π}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ , et $4 \cos \frac{π}{5} - 1 = \sqrt{5}$ a pour carré $5$ .
4. Calculer $\cos \frac{2 π}{5}$ par la formule de duplication. Valeur approchée au millième :
$\cos \frac{2 π}{5} = 2 \cos^{2} \frac{π}{5} - 1 = 2 \times \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{16} - 1 = \frac{6 + 2 \sqrt{5} - 8}{8} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \approx 0, 309$ .
5. Démontrer que $1 + 2 \cos \frac{2 π}{5} + 2 \cos \frac{4 π}{5} = 0$ , puis contrôler avec les valeurs exactes trouvées : $\cos \frac{2 π}{5} + \cos \frac{4 π}{5} =$
Rédaction attendue. $ω \neq 1$ et $ω^{5} = 1$ , donc $1 + ω + ω^{2} + ω^{3} + ω^{4} = \frac{1 - ω^{5}}{1 - ω} = 0$ . Comme $ω^{4} = e^{8 i π / 5} = e^{- 2 i π / 5} = \overset{―}{ω}$ et $ω^{3} = e^{- 4 i π / 5} = \overset{―}{ω^{2}}$ , les parties réelles donnent $1 + 2 \cos \frac{2 π}{5} + 2 \cos \frac{4 π}{5} = 0$ , donc $\cos \frac{2 π}{5} + \cos \frac{4 π}{5} = - \frac{1}{2}$ . Contrôle : $\cos \frac{4 π}{5} = - \cos \frac{π}{5} = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ , et $\frac{\sqrt{5} - 1}{4} - \frac{1 + \sqrt{5}}{4} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ .
6. Le côté du pentagone est $M_{0} M_{1} = | ω - 1 |$ . Justifier que $M_{0} M_{1}^{2} = 2 - 2 \cos \frac{2 π}{5}$ ; valeur approchée de $M_{0} M_{1}$ au millième :
$ω - 1 = (\cos \frac{2 π}{5} - 1) + i \sin \frac{2 π}{5}$ , donc $| ω - 1 |^{2} = \cos^{2} \frac{2 π}{5} - 2 \cos \frac{2 π}{5} + 1 + \sin^{2} \frac{2 π}{5} = 2 - 2 \cos \frac{2 π}{5}$ . Avec la valeur exacte : $M_{0} M_{1}^{2} = 2 - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1, 382$ , d’où $M_{0} M_{1} \approx 1, 176$ . Pour construire le pentagone, on place le point du cercle d’abscisse $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ et on reporte cette longueur.

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