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120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Nombres complexes et géométrie » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale.

Maths expertes (option Tle) Terminale

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Nombres complexes et géométrie

Rappels de géométrie repérée, affixes d’un point et d’un vecteur, distances et module, angles orientés et argument du quotient (c − a)/(b − a), alignement et orthogonalité, ensembles de points, translations, homothéties, rotations et exemples de similitudes, racines de l’unité et polygones réguliers.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, sans calculatrice, avec son corrigé rédigé : un carré défini par ses affixes, angle et alignement par le quotient, quatre ensembles de points, écritures d’une homothétie, d’une rotation et d’une similitude, triangle équilatéral de 𝕌₃ et hexagone régulier de centre Ω.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Nombres complexes et géométrie

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Affixes et nature d’un quadrilatère ★★

(4 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct. On donne $z_{A} = 1 + 6 i$ , $z_{B} = 7 + 2 i$ et $z_{C} = 3 - 4 i$ . Les longueurs sont demandées en valeur exacte.

a)Déterminer les affixes des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{B C}$ .
b)Calculer les longueurs $A B$ , $B C$ et $A C$ .
c)Déterminer la nature du triangle $A B C$ en justifiant.
d)Déterminer l’affixe du point $D$ tel que $A B C D$ soit un parallélogramme, puis démontrer que $A B C D$ est un carré.

Exercice 2 – Angles, rapports et alignement ★★

(4 pts)

On donne $z_{P} = - 3 - 2 i$ , $z_{Q} = 5 + 2 i$ , $z_{R} = - 1 + 4 i$ et $z_{S} = - 15 - 8 i$ .

a)Calculer $Z = \frac{z_{R} - z_{P}}{z_{Q} - z_{P}}$ sous forme algébrique.
b)En déduire une mesure en radians de l’angle orienté $(\vec{P Q}; \vec{P R})$ .
c)Calculer le rapport $\frac{P R}{P Q}$ en valeur exacte.
d)Démontrer que les points $P$ , $Q$ et $S$ sont alignés, et préciser lequel des trois est situé entre les deux autres.

Exercice 3 – Ensembles de points ★★

(4 pts)

Déterminer et décrire précisément chacun des ensembles de points $M$ d’affixe $z$ suivants.

a) $𝒜$ : $| z + 5 - 3 i | = 6$ .
c) $𝒞$ : $| i z + 3 - 2 i | = 4$ .
b) $ℬ$ : $| z - 2 - 7 i | = | z + 4 + i |$ ; donner l’affixe d’un point de $ℬ$ .
d) $𝒟$ : l’ensemble des points $M$ d’affixe $z \neq 3 i$ tels que $\frac{z - 4}{z - 3 i}$ soit un réel non nul.

Exercice 4 – Transformations ★★★

(4 pts)

On note $Ω$ le point d’affixe $- 4 - i$ .

a)Donner l’écriture complexe de l’homothétie de centre $Ω$ et de rapport $- 3$ .
b)Donner l’écriture complexe de la rotation de centre $Ω$ et d’angle $\frac{π}{2}$ , puis l’affixe de l’image du point $O$ .
c)Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g : z \mapsto (- 1 - i \sqrt{3}) z + 2 + i \sqrt{3}$ .
d)Soit $f : z \mapsto (2 + 2 i) z + 5$ . Démontrer que $f$ a un unique point invariant $Ω'$ , puis, pour $A (3 i)$ et $A' = f (A)$ , vérifier que $Ω' A' = | 2 + 2 i | \times Ω' A$ .

Exercice 5 – Triangle équilatéral et hexagone régulier ★★★

(4 pts)

On note $j = e^{2 i π / 3}$ . Les résultats sont demandés en valeur exacte.

a)Donner la forme algébrique de $j$ et de $j^{2}$ , puis démontrer que les points d’affixes $1$ , $j$ , $j^{2}$ forment un triangle équilatéral de centre de gravité $O$ .
b)L’hexagone régulier $A_{0} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ , parcouru dans le sens direct, a pour centre $Ω (2 - 3 i)$ et pour sommet $A_{0} (2 + 3 i)$ . Justifier que $z_{A_{1}} - ω = e^{i π / 3} (z_{A_{0}} - ω)$ et calculer $z_{A_{1}}$ .
c)Calculer la longueur $A_{0} A_{1}$ , puis le périmètre de l’hexagone.
d)Démontrer que le triangle $Ω A_{0} A_{1}$ est équilatéral, puis calculer l’aire de l’hexagone.

Bon courage !

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Corrigé et barème – Nombres complexes et géométrie

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Exercice 1 – Affixes et nature d’un quadrilatère ★★

(4 pts)

a) $z_{\vec{A B}} = z_{B} - z_{A} = (7 + 2 i) - (1 + 6 i) = 6 - 4 i$ et $z_{\vec{B C}} = z_{C} - z_{B} = (3 - 4 i) - (7 + 2 i) = - 4 - 6 i$ . (1)
b) $A B = | 6 - 4 i | = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ ; $B C = | - 4 - 6 i | = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ ; $z_{C} - z_{A} = 2 - 10 i$ , donc $A C = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} = 2 \sqrt{26}$ . (1)
c) $B A = B C$ : le triangle est isocèle en $B$ . De plus $A B^{2} + B C^{2} = 52 + 52 = 104 = A C^{2}$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en $B$ . Le triangle $A B C$ est rectangle isocèle en $B$ . (1)
d) $A B C D$ est un parallélogramme $⟺$ $\vec{A B} = \vec{D C}$ $⟺$ $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B} = (1 + 6 i) + (3 - 4 i) - (7 + 2 i) = - 3$ . Le parallélogramme $A B C D$ a un angle droit en $B$ (question 3) : c’est un rectangle ; il a deux côtés consécutifs égaux, $B A = B C$ : c’est un losange. Un rectangle qui est un losange est un carré. Contrôle : $A D = | - 3 - (1 + 6 i) | = | - 4 - 6 i | = 2 \sqrt{13} = A B$ . (1)

Repère — Pour comparer des longueurs, on compare leurs carrés : la réciproque de Pythagore se teste sans racine carrée.

Exercice 2 – Angles, rapports et alignement ★★

(4 pts)

a) $z_{R} - z_{P} = 2 + 6 i$ et $z_{Q} - z_{P} = 8 + 4 i$ . On multiplie par le conjugué du dénominateur : $Z = \frac{(2 + 6 i) (8 - 4 i)}{64 + 16} = \frac{16 - 8 i + 48 i + 24}{80} = \frac{40 + 40 i}{80} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ . (1)
b) $Z = \frac{1 + i}{2}$ et $1 + i = \sqrt{2} e^{i π / 4}$ , donc $a r g (Z) = \frac{π}{4} [2 π]$ . Comme $a r g (Z)$ est une mesure de $(\vec{P Q}; \vec{P R})$ : $(\vec{P Q}; \vec{P R}) = \frac{π}{4} [2 π]$ . (1)
c) $\frac{P R}{P Q} = | Z | = \frac{| 1 + i |}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . (1)
d) $z_{S} - z_{P} = (- 15 - 8 i) - (- 3 - 2 i) = - 12 - 6 i = - \frac{3}{2} (8 + 4 i) = - \frac{3}{2} (z_{Q} - z_{P})$ , donc $\frac{z_{S} - z_{P}}{z_{Q} - z_{P}} = - \frac{3}{2}$ . Ce quotient est réel : $P$ , $Q$ et $S$ sont alignés (un quotient réel négatif convient : l’argument vaut $π$ , et l’alignement se lit modulo $π$ ). De plus $\vec{P S} = - \frac{3}{2} \vec{P Q}$ : les vecteurs sont de sens contraires, donc $P$ est situé entre $Q$ et $S$ . (1)

Repère — Le quotient (z_R − z_P)/(z_Q − z_P) donne d’un coup le rapport des longueurs (module) et l’angle en P (argument).

Exercice 3 – Ensembles de points ★★

(4 pts)

a) $| z + 5 - 3 i | = | z - (- 5 + 3 i) |$ : c’est la distance de $M$ au point d’affixe $- 5 + 3 i$ . $𝒜$ est le cercle de centre le point d’affixe $- 5 + 3 i$ et de rayon $6$ . (1)
b)La condition s’écrit $| z - (2 + 7 i) | = | z - (- 4 - i) |$ : $M$ est équidistant des points d’affixes $2 + 7 i$ et $- 4 - i$ . $ℬ$ est la médiatrice de ce segment ; elle passe par son milieu, d’affixe $\frac{(2 + 7 i) + (- 4 - i)}{2} = - 1 + 3 i$ . (1)
c)On factorise par $i$ : $i z + 3 - 2 i = i (z + \frac{3 - 2 i}{i}) = i (z - 2 - 3 i)$ , car $\frac{3 - 2 i}{i} = (3 - 2 i) (- i) = - 2 - 3 i$ . Comme $| i | = 1$ , l’équation devient $| z - (2 + 3 i) | = 4$ : $𝒞$ est le cercle de centre le point d’affixe $2 + 3 i$ et de rayon $4$ . (1)
d)Avec $z_{A} = 4$ et $z_{B} = 3 i$ , le quotient $\frac{z - z_{A}}{z - z_{B}}$ a pour argument $(\vec{B M}; \vec{A M})$ . Il est réel non nul si et seulement si cet angle vaut $0$ modulo $π$ et $M \neq A$ , c’est-à-dire si $M$ est sur la droite $(A B)$ , distinct de $A$ et de $B$ . $𝒟$ est la droite $(A B)$ privée des points $A$ et $B$ . (1)

Repère — Avant de lire un ensemble, on écrit chaque module sous la forme |z − z_A| : le coefficient de z se factorise, et son module disparaît s’il vaut 1.

Exercice 4 – Transformations ★★★

(4 pts)

a) $z' - (- 4 - i) = - 3 (z - (- 4 - i))$ , donc $z' = - 3 z - 12 - 3 i - 4 - i = - 3 z - 16 - 4 i$ . (1)
b) $e^{i π / 2} = i$ : $z' - (- 4 - i) = i (z - (- 4 - i))$ , donc $z' = i z + 4 i + i^{2} - 4 - i = i z - 5 + 3 i$ . L’image de $O$ a pour affixe $i \times 0 - 5 + 3 i = - 5 + 3 i$ ; contrôle : $| (- 5 + 3 i) - (- 4 - i) | = | - 1 + 4 i | = \sqrt{17} = | 4 + i | = Ω O$ . (1)
c) $a = - 1 - i \sqrt{3}$ : $| a | = \sqrt{1 + 3} = 2$ et $a = 2 (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 2 e^{- 2 i π / 3}$ . Comme $a \neq 1$ , le centre a pour affixe $ω = \frac{b}{1 - a} = \frac{2 + i \sqrt{3}}{2 + i \sqrt{3}} = 1$ . $g$ est la similitude directe de centre le point d’affixe $1$ , de rapport $2$ et d’angle $- \frac{2 π}{3}$ ; contrôle : $g (1) = - 1 - i \sqrt{3} + 2 + i \sqrt{3} = 1$ . (1)
d) $ω' = (2 + 2 i) ω' + 5$ $⟺$ $ω' (- 1 - 2 i) = 5$ . Comme $- 1 - 2 i \neq 0$ , il y a une unique solution : $ω' = \frac{5}{- 1 - 2 i} = \frac{5 (- 1 + 2 i)}{1 + 4} = - 1 + 2 i$ . Ensuite $z_{A'} = (2 + 2 i) (3 i) + 5 = 6 i - 6 + 5 = - 1 + 6 i$ . $Ω' A = | 3 i - (- 1 + 2 i) | = | 1 + i | = \sqrt{2}$ et $Ω' A' = | (- 1 + 6 i) - (- 1 + 2 i) | = | 4 i | = 4$ ; or $| 2 + 2 i | = 2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ : l’égalité est vérifiée. (1)

Repère — Pour z′ = az + b avec a ≠ 1, le centre est le point invariant ω = b/(1 − a) ; le module de a multiplie les distances au centre.

Exercice 5 – Triangle équilatéral et hexagone régulier ★★★

(4 pts)

a) $j = \cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ et $j^{2} = e^{4 i π / 3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ . Côtés : $| j - 1 | = | - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i | = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ , de même $| j^{2} - 1 | = \sqrt{3}$ , et $| j - j^{2} | = | \sqrt{3} i | = \sqrt{3}$ : le triangle est équilatéral. Enfin $1 + j + j^{2} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) i = 0$ , donc le centre de gravité a pour affixe $\frac{1 + j + j^{2}}{3} = 0$ : c’est $O$ . (1)
b)Dans un hexagone régulier de centre $Ω$ , parcouru dans le sens direct, chaque sommet est l’image du précédent par la rotation de centre $Ω$ et d’angle $\frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}$ : $z_{A_{1}} - ω = e^{i π / 3} (z_{A_{0}} - ω)$ . Or $z_{A_{0}} - ω = 6 i$ , donc $z_{A_{1}} = 2 - 3 i + 6 i (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 2 - 3 i + 3 i - 3 \sqrt{3} = 2 - 3 \sqrt{3}$ . (1)
c) $z_{A_{1}} - z_{A_{0}} = - 3 \sqrt{3} - 3 i$ , donc $A_{0} A_{1} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$ (c’est aussi $2 r \sin \frac{π}{6}$ avec $r = 6$ ). Les six côtés sont égaux : périmètre $6 \times 6 = 36$ . (1)
d) $Ω A_{0} = | 6 i | = 6$ , $Ω A_{1} = | z_{A_{1}} - ω | = | 6 i | \times | e^{i π / 3} | = 6$ et $A_{0} A_{1} = 6$ : le triangle $Ω A_{0} A_{1}$ est équilatéral de côté $6$ . Sa hauteur vaut $6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ , donc son aire vaut $\frac{6 \times 3 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3}$ . L’hexagone se découpe en six triangles équilatéraux identiques : son aire vaut $6 \times 9 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3}$ . (1)

Repère — Un polygone régulier de centre Ω se construit en faisant tourner z − ω, et non z, d’un angle 2π/n.

Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Nombres complexes et géométrie » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Affixes et nature d’un quadrilatère ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Angles, rapports et alignement ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Ensembles de points ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Transformations ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Triangle équilatéral et hexagone régulier ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Repère orthonormé direct, affixe d’un point et d’un vecteur, milieu, centre de gravité, parallélogramme, image du conjugué et symétries, produit scalaire et déterminant avec le conjugué, module et distance, nature d’un triangle ou d’un quadrilatère, cercle circonscrit, argument et angle orienté, quotient (c − a)/(b − a), alignement, orthogonalité, triangle rectangle isocèle et équilatéral, cercle, disque, médiatrice, ensembles définis par un quotient, translation, homothétie, rotation, point invariant, similitude directe (exemples), composée de transformations, racines n-ièmes de l’unité, polygone régulier, côté 2r sin(π/n).

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Nombres complexes et géométrie » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
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Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Nombres complexes et géométrie » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit 1 · L'essentiel : affixes des points et des vecteurs, 2 · Modules, distances et premiers ensembles de points, 3 · Arguments, angles, alignement et orthogonalité, 4 · Translations, rotations et homothéties.

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