Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Nombres complexes et transformations du plan
Translations, rotations, homothéties et similitudes vues à travers les nombres complexes
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Translations et rotations
/ 5 pts- Soit $A$ d'affixe $2+3i$ et $B$ d'affixe $-1+i$. Calculer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et la distance $AB$.
- On note $r$ la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $1$ et d'angle $\pi/2$. Écrire $r$ sous la forme $z'=az+b$ en précisant $a$ et $b$.
- Calculer l'image de $A$ par $r$.
Exercice 2 — Homothétie et similitude
/ 5 pts- Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1+i)$ et de rapport $2$. Écrire $h$ sous forme $z'=az+b$.
- Calculer l'image de $B(-1+i)$ par $h$.
- Soit $f:z'=(\sqrt{3}+i)z+2-2\sqrt{3}$. Déterminer le rapport, l'angle et l'affixe du centre de $f$.
Exercice 3 — Détermination d'une similitude
/ 5 pts- Déterminer la similitude directe $f:z'=az+b$ qui envoie $A(0)$ sur $A'(2)$ et $B(i)$ sur $B'(2+2i)$.
- Préciser le rapport, l'angle et le centre de $f$.
Exercice 4 — Composition et configuration
/ 5 pts- Soit $f:z'=iz+1$ et $g:z'=(1+i)z-1$. Calculer $g\circ f$ et identifier son type.
- Les points $A(1)$, $B(1+i)$, $C(i)$ forment-ils un carré direct ? Justifier avec les affixes.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Translations et rotations
Corrigé :
1. $z_B-z_A=(-1+i)-(2+3i)=-3-2i$. Distance : $AB=|-3-2i|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.
2. $a=e^{i\pi/2}=i$. $b=z_\Omega(1-a)=1\cdot(1-i)=1-i$. Donc $r:z'=iz+(1-i)$.
3. $z_{A'}=i(2+3i)+(1-i)=2i+3i^2+1-i=2i-3+1-i=i-2=-2+i$. L'image de $A$ est le point $(-2,1)$.
Exercice 2 — Homothétie et similitude
Corrigé :
1. $a=2$ (réel). $b=z_\Omega(1-2)=-(1+i)=-1-i$. Donc $h:z'=2z-1-i$.
2. $z_{B'}=2(-1+i)-1-i=-2+2i-1-i=-3+i$. Point $(-3,1)$.
3. $a=\sqrt{3}+i$. Rapport : $|\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2$. Angle : $\arg(\sqrt{3}+i)=\pi/6$. Centre : $z_\Omega=\frac{2-2\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3}+i)}=\frac{2(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}-i}$. Multiplier par le conjugué : $\frac{2(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}+i)}{(1-\sqrt{3})^2+1}=\frac{2(1-\sqrt{3})^2+2(1-\sqrt{3})i}{(1-\sqrt{3})^2+1}$. Numériquement $(1-\sqrt{3})^2=4-2\sqrt{3}$, dénominateur $=5-2\sqrt{3}$. (Résultat simplifié : $z_\Omega=\frac{2(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})-i}$ ← il est acceptable de laisser sous cette forme ou de donner la valeur approchée.)
Exercice 3 — Détermination d'une similitude
Corrigé :
1. On a $az_A+b=z_{A'}$ donc $b=2$. Et $az_B+b=z_{B'}$ donc $ai+2=2+2i$, soit $ai=2i$, donc $a=2$.
$f:z'=2z+2$. Vérification : $f(0)=2$✓, $f(i)=2i+2=2+2i$✓.
2. Rapport : $|a|=|2|=2$. Angle : $\arg(2)=0$ (homothétie directe). Centre : $z_\Omega=\frac{2}{1-2}=\frac{2}{-1}=-2$. Point fixe : $(-2,0)$.
$f$ est donc une homothétie de centre $(-2,0)$ de rapport $2$.
Exercice 4 — Composition et configuration
Corrigé :
1. $(g\circ f)(z)=(1+i)(iz+1)-1=(1+i)iz+(1+i)-1=(i+i^2)z+i=(i-1)z+i$.
$a=i-1=-1+i$, $|a|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, $\arg(-1+i)=3\pi/4$. Centre : $z_\Omega=\frac{i}{1-(-1+i)}=\frac{i}{2-i}=\frac{i(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2i+i^2}{5}=\frac{-1+2i}{5}$. C'est une similitude directe propre de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $3\pi/4$.
2. $\overrightarrow{AB}$ : affixe $z_B-z_A=i$. $\overrightarrow{AD}$ (en supposant $D=C$) : affixe $z_C-z_A=i-1$. $\frac{i-1}{i}=1-\frac{1}{i}=1+i$. $|1+i|=\sqrt{2}\neq 1$ : les côtés ne sont pas égaux, donc $A,B,C$ ne forment pas un carré. (On peut aussi vérifier : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont les mêmes modules $1$ et sont perpendiculaires puisque $\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{-1}{i}=i$ qui a argument $\pi/2$. Mais il faut 4 points pour un carré.)
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Nombres complexes et transformations du plan » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Translations et rotations/ 5 pts
- Exercice 2 — Homothétie et similitude/ 5 pts
- Exercice 3 — Détermination d'une similitude/ 5 pts
- Exercice 4 — Composition et configuration/ 5 pts
Notions évaluées
Affixe d'un point et vecteur — rappels, Translation, Rotation, Homothétie, Similitude directe — définition et écriture complexe, Éléments caractéristiques d'une similitude directe.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Nombres complexes et transformations du plan » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Nombres complexes et transformations du plan » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Affixe d'un point et vecteur — rappels, Translation, Rotation, Homothétie.
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