Devoir surveillé : droites, cercles, angles et symétrie axiale

1. a)$S\in [RT]$ car $S$ est entre $R$ et $T$ ; $R\notin [ST]$ car $R$ n'est pas entre $S$ et $T$ ; $T\notin [SR)$ car cette demi-droite part de $S$ en direction de $R$, et $T$ est de l'autre côté de $S$. (1 pt : 0,5 pour deux bonnes réponses, 1 pour les trois) (1)
2. b)L'angle est obtus : sa mesure est comprise entre 90° et 180° (il n'est pas plat, car 172° est inférieur à 180°). (1 pt : 0,5 nature + 0,5 justification) (1)
3. c)Le rayon est la moitié du diamètre : $9,6÷2=4,8$. Le rayon mesure 4,8 cm. (1 pt : 0,5 méthode + 0,5 résultat) (1)
4. d)$(a)$ et $(b)$ sont parallèles, car si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. (1 pt : 0,5 conclusion + 0,5 propriété citée) (1)

Piège — dans la notation $[SR)$, la première lettre est l'origine : la demi-droite part de $S$ et passe par $R$. Les points situés de l'autre côté de $S$ n'en font pas partie.

1. a)$M$ est le milieu de $[EF]$, donc $EM=10,8÷2=5,4$ cm. (1 pt : 0,5 milieu = moitié + 0,5 calcul) (1)
2. b)Le rayon est la distance du centre à un point du cercle : $ME=5,4$ cm. Comme $M$ est le milieu de $[EF]$, $MF=5,4$ cm aussi : $F$ est à 5,4 cm du centre, donc $F$ appartient au cercle (et $[EF]$ est un diamètre). (1 pt : 0,5 rayon + 0,5 justification pour $F$) (1)
3. c)Non : $6>5,4$, donc $K$ est plus loin du centre que le rayon. $K$ est à l'extérieur du disque. (1 pt : 0,5 comparaison + 0,5 conclusion) (1)
4. d)$E$, $M$ et $F$ sont alignés et $M$ est entre $E$ et $F$ : l'angle $EMF$ est plat, il mesure 180°. Les angles $EMG$ et $GMF$ sont côte à côte, donc $GMF$ mesure $180-64=116$, soit 116°. C'est un angle obtus (entre 90° et 180°). (1 pt : 0,5 angle plat + calcul, 0,5 nature) (1)

Méthode — un point est sur le cercle si sa distance au centre est égale au rayon, dans le disque si elle est inférieure ou égale au rayon, à l'extérieur du disque si elle est plus grande.

1. a)Les angles $xOz$ et $zOy$ sont côte à côte, donc $xOy$ mesure $38+47=85$, soit 85°. C'est un angle aigu, car 85° est inférieur à 90°. (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 nature) (1)
2. b)On trace une demi-droite $[Ox)$. On pose le centre du rapporteur sur $O$ et la graduation 0 sur $[Ox)$ ; on lit 85° sur la graduation qui part de ce 0 et on marque un point ; on trace la demi-droite $[Oy)$ qui passe par ce point. (1 pt : 0,5 placement du rapporteur + 0,5 tracé exact à 1° près) (1)
3. c)La bissectrice partage l'angle en deux angles de même mesure : $85÷2=42,5$. L'angle $xOt$ mesure 42,5°. (1 pt : 0,5 propriété + 0,5 calcul) (1)
4. d)$xOz$ mesure 38°, moins que $xOt$ (42,5°) : $[Oz)$ est donc entre $[Ox)$ et $[Ot)$. Ainsi $zOt$ mesure $42,5-38=4,5$, soit 4,5°. (1 pt : 0,5 position de $[Oz)$ + 0,5 calcul) (1)

Erreur fréquente — lire la mauvaise graduation du rapporteur : on lit toujours sur l'échelle dont le 0 est posé sur le premier côté. Contrôle avec la nature : un angle visiblement aigu ne peut pas mesurer 95°.

1. a)$A^{\prime }$ est sur la même ligne horizontale que $A$, à 3 carreaux à droite de $(d)$ : le segment $[A{A}^{\prime }]$ est perpendiculaire à $(d)$, et $A$ et $A^{\prime }$ sont à la même distance de l'axe. (1 pt : 0,5 position + 0,5 explication) (1)
2. b)$B$ est sur l'axe, il est son propre symétrique : $B^{\prime }=B$. $C^{\prime }$ est à 1 carreau à gauche de $(d)$, sur la même ligne horizontale que $C$, donc 2 carreaux au-dessus de $B$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles : $A^{\prime }{C}^{\prime }=AC=4,5$ cm et l'angle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ mesure 52°. (1 pt : 0,5 pour les deux valeurs + 0,5 justification) (1)
4. d)H : 2 axes (l'axe vertical et l'axe horizontal) ; A : 1 axe (vertical) ; N : aucun axe, car aucun pliage ne fait se superposer les deux moitiés. (1 pt : 0,5 si deux lettres sont justes, 1 pour les trois) (1)

Astuce — sur quadrillage, on compte les carreaux perpendiculairement à l'axe, de part et d'autre ; un point situé sur l'axe ne bouge pas.

1. a)« La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. » (1 pt : 0,5 perpendiculaire + 0,5 milieu) (1)
2. b)On prend un écartement de compas supérieur à la moitié de $CD$ (plus de 3 cm, par exemple 4 cm). On trace deux arcs de centre $C$, puis deux arcs de centre $D$ avec le même écartement, de part et d'autre du segment ; ils se coupent en deux points. La droite qui passe par ces deux points est $(m)$. (1 pt : 0,5 même écartement + 0,5 les deux points joints) (1)
3. c)$PD=4,5$ cm : tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités de ce segment, donc $PD=PC$. (1 pt : 0,5 valeur + 0,5 propriété) (1)
4. d)$I$ est le milieu de $[CD]$, donc $CI=6÷2=3$ cm. $(m)$ est perpendiculaire à $(CD)$ en $I$ : $I$ est le pied de la perpendiculaire à $(CD)$ passant par $P$, donc la distance de $P$ à la droite $(CD)$ est $PI=3,4$ cm. (1 pt : 0,5 $CI$ + 0,5 distance justifiée) (1)

Méthode — la distance d'un point à une droite se mesure sur la perpendiculaire à la droite passant par ce point : c'est la plus courte de toutes les distances entre ce point et un point de la droite.

1. a)$[AB]$ passe par le centre $O$ et ses extrémités sont sur le bord : c'est un diamètre, donc $AB=24$ m. $O$ est le milieu de ce diamètre, donc $OA=24÷2=12$ m (c'est le rayon). (1 pt : 0,5 diamètre reconnu + 0,5 calcul) (1,25)
2. b)Le massif est sur l'allée, à 1,5 m du bord, donc à $12-1,5=10,5$ m de $O$. Comme $10,5>9$, il est hors de la zone arrosée : il n'est pas arrosé. (1 pt : 0,5 calcul de la distance + 0,5 conclusion) (1,25)
3. c)$A$, $O$ et $B$ sont alignés avec $O$ entre $A$ et $B$ : l'angle $AOB$ est plat (180°). Les angles $AOT$ et $TOB$ sont côte à côte, donc $TOB$ mesure $180-72=108$, soit 108°. C'est un angle obtus. (1,5 pt : 0,5 angle plat + 0,5 calcul + 0,5 nature) (1,25)
4. d)La bissectrice partage $TOB$ en deux angles égaux : $TOR$ mesure $108÷2=54$, soit 54°. $[OT)$ est entre $[OA)$ et $[OR)$, donc $AOR$ mesure $72+54=126$, soit 126°. (1,5 pt : 0,5 + 1) (1,25)

Méthode — dès que trois points sont alignés avec le sommet de l'angle au milieu, pense à l'angle plat : deux angles côte à côte qui le composent ont des mesures dont la somme vaut 180°.

1. a)Lou a tort : une droite est illimitée, elle ne s'arrête pas au bord de la feuille. Les deux droites peuvent se couper plus loin. Pour prouver qu'elles sont parallèles, il faut une propriété, par exemple montrer qu'elles sont perpendiculaires à une même droite. (1 pt : 0,5 réponse + 0,5 justification) (1)
2. b)Noé a raison : l'angle obtenu mesure $90+89=179$, soit 179°, qui est compris entre 90° et 180° ; c'est un angle obtus (presque plat, mais pas plat). (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 conclusion) (1)
3. c)Inès a raison : la symétrie axiale conserve les longueurs, quelle que soit la position du segment par rapport à l'axe (même s'il le coupe). (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)Sam a tort : dans un disque, le plus long segment possible est un diamètre, qui mesure $4\times 2=8$ cm. Comme $9>8$, un segment de 9 cm ne tient pas dans ce disque. (1 pt : 0,5 diamètre = 8 cm + 0,5 conclusion) (1)

Piège — ce qu'on voit sur la feuille ne suffit pas : des droites qui semblent ne pas se couper peuvent se couper plus loin. On justifie toujours par une propriété, jamais par l'impression visuelle.

1. a)La médiatrice passe par le milieu de $[AB]$ : $AI=8÷2=4$ cm. Elle est perpendiculaire à $[AB]$ : l'angle mesure 90°, c'est un angle droit. (1 pt : 0,5 tracé correct + 0,5 pour les deux réponses) (1)
2. b)$CA=CB$ : $C$ est sur la médiatrice de $[AB]$, et tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance de ses extrémités. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)$(AB)$ est perpendiculaire à $(d)$ (médiatrice) et $(p)$ est perpendiculaire à $(d)$ : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc $(p)$ est parallèle à $(AB)$. (1 pt : 0,5 conclusion + 0,5 propriété) (1)
4. d)On mesure $CA=5$ cm, donc $CB=5$ cm aussi. Périmètre : $5+5+8=18$ cm. (1 pt : 0,5 mesure à 1 mm près + 0,5 périmètre) (1)

Astuce — pour justifier que deux droites sont parallèles, cherche une droite à laquelle elles sont toutes les deux perpendiculaires : ici, la médiatrice joue ce rôle.

1. a)$D$ est sur l'axe, il est son propre symétrique : $D^{\prime }=D$. La symétrie conserve les longueurs : $A^{\prime }{D}^{\prime }=AD=5$ cm. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)Les longueurs sont conservées, donc le périmètre aussi : $3,5+4,2+2,8+5=15,5$ cm. (1 pt : 0,5 conservation + 0,5 calcul) (1)
3. c)La symétrie conserve les angles : $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ mesure 110°. C'est un angle obtus (entre 90° et 180°). (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)$B^{\prime }$ est le symétrique de $B$, donc $(d)$ est la médiatrice de $[B{B}^{\prime }]$ : elle est perpendiculaire à $[B{B}^{\prime }]$ en son milieu $H$. La distance de $B$ à $(d)$ est donc $BH=6,4÷2=3,2$ cm. (1 pt : 0,5 médiatrice + 0,5 calcul) (1)

Erreur fréquente — croire qu'un point de l'axe a un symétrique « de l'autre côté » : un point de l'axe ne bouge pas. Et l'axe est toujours la médiatrice du segment qui joint un point à son symétrique.

1. a)Les points à égale distance de $B_1$ et de $B_2$ sont sur la médiatrice de $[B_1{B}_2]$ : le bateau doit naviguer sur cette droite. (1 pt : 0,5 médiatrice + 0,5 justification) (1)
2. b)La zone éclairée est le disque de centre $P$ et de rayon 4 km. Comme $2,5<4$, le bateau est dans ce disque : il est éclairé. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)Sur la carte, on trace le cercle de centre $P$ et de rayon 4 cm. La médiatrice passe par $P$ (le milieu de $[B_1{B}_2]$), donc elle traverse ce cercle en 2 points, un de chaque côté de $P$. Il y a 2 points. (1 pt : 0,5 construction + 0,5 nombre justifié) (1)

Astuce — « à égale distance de deux points » fait penser à la médiatrice ; « à une distance donnée d'un point » fait penser au cercle. Les points cherchés sont à l'intersection des deux lignes.

1. a)Ces points sont à la fois sur le cercle de centre $A$ et de rayon 3 cm et sur le cercle de centre $B$ et de rayon 4 cm. En les traçant, on voit que les deux cercles se coupent en 2 points, situés de part et d'autre de la droite $(AB)$. Il y a 2 points. (1 pt : 0,5 les deux cercles + 0,5 deux points) (1)
2. b)$3+2=5=AB$ : le point $M$ du segment $[AB]$ tel que $AM=3$ cm convient, car $MB=5-3=2$ cm. Les deux cercles se touchent seulement en ce point (en dehors de $[AB]$, ils ne se rencontrent pas) : il y a 1 seul point. (1 pt : 0,5 le point $M$ + 0,5 un seul point) (1)
3. c)Sur $[AB]$, le cercle de centre $A$ s'arrête à 1 cm de $A$, et le cercle de centre $B$ à 3 cm de $B$, c'est-à-dire à 2 cm de $A$ : le petit cercle est entièrement en dehors du disque de centre $B$. Son point le plus proche de $B$ est à $5-1=4$ cm de $B$, plus que 3 cm. Les cercles ne se coupent pas : aucun point. (1 pt : 0,5 réponse + 0,5 justification) (1)
4. d)À égale distance de $A$ et de $B$ : sur la médiatrice de $[AB]$. À 4 cm de $A$ : sur le cercle de centre $A$ et de rayon 4 cm. Le milieu $I$ de $[AB]$ est sur la médiatrice, à 2,5 cm de $A$, donc à l'intérieur de ce disque ($2,5<4$) : la médiatrice traverse le cercle en 2 points, un de chaque côté de $(AB)$. Chacun est à 4 cm de $A$ et de $B$. Il y a 2 points. (1 pt : 0,5 les deux lignes + 0,5 deux points justifiés) (1)

Méthode — chaque condition de distance correspond à une ligne (un cercle, une médiatrice) : on trace ces lignes et on compte leurs points communs, sans oublier ceux situés de l'autre côté de $(AB)$.

1. a)$180-64=116$ et non 126. Ligne 1 : $zOy$ mesure 116° (angle plat partagé en deux angles côte à côte). Ligne 2 : $zOv$ mesure $116÷2=58$, soit 58°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux : il faut diviser par 2, pas multiplier. $xOu$ et $uOz$ mesurent chacun $64÷2=32$, soit 32°. (1 pt : 0,5 erreur expliquée + 0,5 correction) (1)
3. c)$[Oz)$ est entre $[Ou)$ et $[Ov)$ (l'une est dans l'angle $xOz$, l'autre dans $zOy$), donc les angles $uOz$ et $zOv$ sont côte à côte : $uOv$ mesure $32+58=90$, soit 90° ; c'est un angle droit. Le 191° de Léo était impossible : un angle obtus mesure moins de 180°, et ici l'angle est compris dans l'angle plat $xOy$. (1 pt : 0,5 calcul justifié + 0,5 nature et critique) (1)
4. d)Avec 100° : $zOy$ mesure 80°, $uOz$ mesure 50° et $zOv$ mesure 40°, donc $uOv$ mesure 90° encore. C'est toujours le cas : $uOv$ est la moitié de $xOz$ plus la moitié de $zOy$, c'est-à-dire la moitié de leur somme, qui vaut 180°. Donc $uOv$ mesure toujours 90° : les droites $(Ou)$ et $(Ov)$ sont perpendiculaires. (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 explication et perpendiculaires) (1)

Erreur fréquente — ne pas contrôler la vraisemblance : un angle obtus mesure entre 90° et 180°, donc un résultat de 191° doit alerter. Vérifier la nature d'un angle aide à repérer une erreur de calcul.

1. a)$TA=TB$, donc $T$ est sur la médiatrice de $[AB]$. À l'échelle : $AB=10÷2=5$ cm et $TA=13÷2=6,5$ cm. On trace $[AB]$ de 5 cm, on construit sa médiatrice au compas, puis un arc de cercle de centre $A$ et de rayon 6,5 cm : son point d'intersection avec la médiatrice, au-dessus de $(AB)$, est $T$. (1 pt : 0,5 médiatrice + 0,5 construction à l'échelle) (1)
2. b)$A$ est sur l'axe $(AB)$, il est son propre symétrique ; la symétrie conserve les longueurs, donc $PA=TA=13$ m. De même, $B$ est sur l'axe, donc $PB=TB$, et $TB=TA=13$ m car $T$ est sur la médiatrice de $[AB]$. Donc $PA=PB=13$ m. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)$PA=PB$, donc $P$ est sur la médiatrice de $[AB]$, comme $T$. Cette médiatrice passe aussi par le milieu $I$. Les trois points $T$, $I$ et $P$ sont donc sur une même droite : ils sont alignés. (1 pt : 0,5 $P$ sur la médiatrice + 0,5 conclusion) (1)
4. d)Distance réelle : $TI=6\times 2=12$ m. Comme $P$ est le symétrique de $T$ par rapport à $(AB)$, la droite $(AB)$ est la médiatrice de $[TP]$ : elle coupe $[TP]$ en son milieu, et ce point est $I$ (il est sur $(AB)$ et sur $(TP)$). Donc $TP=2\times 12=24$ m. (1 pt : 0,5 échelle + 0,5 milieu justifié) (1)

Astuce — un point de l'axe est son propre symétrique : c'est ce qui permet de transporter les longueurs $TA$ et $TB$ jusqu'au puits sans rien mesurer.

1. a)Faux. Contre-exemple : $AB=4$ cm et $M$ un point d'intersection des cercles de centres $A$ et $B$ de rayon 3 cm. Alors $MA=MB=3$ cm, mais $M$ n'est pas sur $[AB]$ (sinon on aurait $AB=3+3=6$ cm). $M$ est seulement sur la médiatrice de $[AB]$. (1 pt : 0,5 faux + 0,5 contre-exemple) (1)
2. b)Vrai. Un angle obtus mesure moins de 180° ; la bissectrice donne deux angles égaux à sa moitié, donc de mesure inférieure à $180÷2=90$ degrés : ce sont deux angles aigus. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)Faux. Toute droite qui porte un diamètre est un axe de symétrie du cercle : en pliant le long de n'importe quel diamètre, les deux moitiés se superposent. Un cercle a une infinité d'axes de symétrie. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)Vrai. $(a)\parallel (b)$ et $(c)⟂(a)$ : si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, donc $(c)⟂(b)$. Puis $(c)⟂(b)$ et $(e)⟂(b)$ : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc $(c)\parallel (e)$. (1 pt : 0,5 par étape) (1)

Piège — un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une affirmation est fausse, mais un exemple qui marche ne prouve pas qu'elle est vraie : il faut alors une propriété du cours.

1. a)$O$ et $[Oz)$ sont sur l'axe, donc l'angle $zOy$ est le symétrique de l'angle $zOx$ ; la symétrie conserve les angles : $zOy$ mesure 35°. $[Ox)$ et $[Oy)$ sont de part et d'autre de $(d)$, donc $[Oz)$ est entre elles et partage $xOy$ (70°) en deux angles égaux de 35° : $[Oz)$ est sa bissectrice. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)$[Oz)$ et $[Ow)$ sont opposées : l'angle $zOw$ est plat. Donc $xOw$ mesure $180-35=145$, soit 145° : c'est un angle obtus. (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 nature) (1)
3. c)Le symétrique de la demi-droite $[Ox)$ est $[Oy)$, donc $M^{\prime }$ est sur $[Oy)$. $O$ est sur l'axe, il est son propre symétrique, et les longueurs sont conservées : $O{M}^{\prime }=OM=4$ cm. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)$(d)$ est la médiatrice de $[M{M}^{\prime }]$, donc $(M{M}^{\prime })⟂(d)$ ; de même $(d)$ est la médiatrice de $[N{N}^{\prime }]$, donc $(N{N}^{\prime })⟂(d)$. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(M{M}^{\prime })\parallel (N{N}^{\prime })$. (1 pt : 0,5 les deux perpendiculaires + 0,5 propriété) (1)

Méthode — l'axe de symétrie est la médiatrice de chaque segment qui joint un point à son symétrique : tous ces segments sont perpendiculaires à l'axe, donc parallèles entre eux.