Angles : mesurer, construire, bissectrice

Vocabulaire de l’angle (sommet, côtés, notation), angle aigu, droit, obtus, plat ; mesurer un angle au rapporteur en degrés ; construire un angle de mesure donnée ; angles côte à côte ; bissectrice d’un angle

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Angles : mesurer, construire, bissectrice » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : reconnaître et nommer un angle (sommet, côtés, notation) ; angle aigu, droit, obtus, plat ; mesurer un angle au rapporteur en degrés ; construire un angle de mesure donnée ; additionner les mesures d'angles côte à côte ; définir et construire au rapporteur la bissectrice d'un angle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

Nature et mesure d'un angle

Ce qu’il faut savoir Un angle est formé par deux demi-droites de même origine. Leur origine commune est le sommet de l’angle ; les deux demi-droites sont ses côtés.
L’angle formé par [BA) et [BC) se note

A B C

(ou

C B A

) : la lettre du milieu est toujours le sommet. Sur une figure, on le marque par un petit arc.

Sur cette figure, le sommet est B et les côtés sont [BA) et [BC). Écrire $B A C$ serait faux : le sommet serait A.

Nature d’un angle

Un angle se mesure en degrés (symbole °). La mesure ne dépend pas de la longueur des côtés tracés : seule compte l’ouverture entre les deux côtés.

Ce qu’il faut savoir • Angle aigu : sa mesure est comprise entre 0° et 90° (moins qu’un angle droit).
• Angle droit : il mesure exactement 90°. On le code par un petit carré ; on le vérifie avec l’équerre (ou le coin d’une feuille).
• Angle obtus : sa mesure est comprise entre 90° et 180° (plus ouvert qu’un angle droit).
• Angle plat : il mesure exactement 180° ; ses deux côtés forment une droite.

Mesurer un angle au rapporteur

Ce qu’il faut savoir 1. Je place le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.
2. Je fais passer la ligne du 0 le long d’un côté.
3. Je lis, sur la graduation qui part de ce 0, le nombre par lequel passe l’autre côté (je prolonge ce côté s’il est trop court).
Un rapporteur a deux graduations qui vont en sens contraire : de 0 à 180 dans un sens, de 0 à 180 dans l’autre.

Exemples

Mesurer $M O N$ : le centre est sur O, le côté [OM) passe par le 0 de la graduation noire (à droite). Sur la graduation noire, [ON) passe par 40 (sur la bleue, on lirait 140).

L’angle est visiblement aigu, donc $M O N$ = 40°, et non 140°.

Autre cas : pour $R S T$ , le côté [SR) est sur le 0 de la graduation bleue (à gauche) et [ST) passe par 120 sur cette graduation (60 sur la noire). L’angle est obtus : $R S T$ = 120°.

Réflexe — avant de lire, je regarde la nature de l’angle : s’il est aigu, la mesure est plus petite que 90 ; s’il est obtus, elle est plus grande. Cela me dit quelle graduation est la bonne.

Attention — lire sur la mauvaise graduation donne 180° moins la vraie mesure (140° au lieu de 40°). Et un angle aux côtés tracés plus longs n’est pas plus grand : seule l’ouverture compte.

🎯 S’entraîner : Nature et mesure d'un angle1 niveau · méthode + exercices corrigés

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Construire un angle, bissectrice

Ce qu’il faut savoir Pour construire l’angle

x O y

= 65° :
1. Je trace un premier côté, la demi-droite [Ox).
2. Je place le centre du rapporteur sur O et le 0 sur [Ox).
3. Sur la graduation qui part de ce 0, je marque un point M en face de 65.
4. J’enlève le rapporteur et je trace la demi-droite [OM) : c’est le côté [Oy). Je marque l’angle et j’écris 65°.

Exemple

Le côté [Ox) part vers la droite : il est sur le 0 de la graduation noire, je marque M en face de 65 sur la graduation noire.

Contrôle : un angle de 65° est aigu ; si mon tracé est obtus, j’ai lu sur la mauvaise graduation.

Angles côte à côte

Ce qu’il faut savoir Si une demi-droite [Oz) est tracée à l’intérieur de l’angle

x O y

, elle le partage en deux angles côte à côte et leurs mesures s’ajoutent :

x O z

z O y

x O y

Exemple

$x O y$ est un angle plat : il mesure 180°. Comme $x O z$ = 70°, on calcule $z O y$ = 180 − 70 = 110°.

La bissectrice d’un angle

Ce qu’il faut savoir La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui part du sommet et partage l’angle en deux angles de même mesure. Chacun de ces deux angles mesure la moitié de l’angle.
Construction au rapporteur : je mesure l’angle, je divise sa mesure par 2, puis je construis, à partir d’un côté, un angle de cette moitié.

Exemple

$x O y$ mesure 110°. 110 ÷ 2 = 55 : je construis $x O z$ = 55° à partir de [Ox). La demi-droite [Oz) est la bissectrice : $x O z$ = $z O y$ = 55°.

On code les deux angles égaux par le même petit signe. Contrôle : 55 + 55 = 110 ✓

Réflexe — bissectrice = moitié : je divise la mesure de l’angle par 2. Pour un angle impair, la moitié a une virgule : 75 ÷ 2 = 37,5.

Attention — la bissectrice est une demi-droite qui part du sommet, pas un segment pris au hasard dans l’angle. On peut aussi l’obtenir par pliage, en pliant la feuille pour que les deux côtés se superposent.

🎯 S’entraîner : Construire un angle1 niveau · méthode + exercices corrigés

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Pour aller plus loin

À savoir — la bissectrice d’un angle a d’autres propriétés (elle est un axe de symétrie de l’angle ; chacun de ses points est à la même distance des deux côtés) : elles se verront en 5e.

À retenir

Un angle est formé par deux demi-droites de même origine, le sommet ; dans $A B C$ , le sommet est la lettre du milieu, B.
Aigu : moins de 90° · droit : 90° · obtus : entre 90° et 180° · plat : 180°.
Rapporteur : centre sur le sommet, 0 sur un côté, lecture sur la graduation qui part de ce 0 ; la nature de l’angle confirme la lecture.
Construire un angle : un côté, centre sur le sommet, 0 sur ce côté, un point en face de la mesure, puis le second côté.
Angles côte à côte : les mesures s’ajoutent. Bissectrice : demi-droite issue du sommet qui partage l’angle en deux angles égaux (la moitié chacun).

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un angle et comment le nommer ?

Un angle est formé par deux demi-droites de même origine : l'origine est le sommet, les demi-droites sont les côtés. L'angle formé par [BA) et [BC) se note ABC avec un chapeau : la lettre du milieu est toujours le sommet.

Quelle est la différence entre un angle aigu, droit, obtus et plat ?

Un angle aigu mesure moins de 90°, un angle droit exactement 90°, un angle obtus entre 90° et 180°, un angle plat exactement 180° (ses deux côtés forment une droite).

Comment mesurer un angle avec un rapporteur ?

On place le centre du rapporteur sur le sommet et le 0 sur un côté, puis on lit, sur la graduation qui part de ce 0, le nombre où passe l'autre côté. On vérifie avec la nature de l'angle : un angle aigu ne peut pas mesurer 140°.

Comment construire un angle de mesure donnée ?

On trace un premier côté, on place le centre du rapporteur sur son origine et le 0 sur ce côté, on marque un point en face de la mesure voulue, puis on trace la demi-droite qui part du sommet et passe par ce point.

Qu'est-ce que la bissectrice d'un angle ?

C'est la demi-droite qui part du sommet et partage l'angle en deux angles de même mesure. Pour la construire au rapporteur, on mesure l'angle, on divise par 2 et on construit un angle de cette moitié : pour 110°, deux angles de 55°.

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