Droites : parallèles et perpendiculaires

Point, droite, demi-droite, segment : notations, appartenance et alignement ; droites sécantes, perpendiculaires et parallèles : codage, propriétés, tracés à l’équerre et distance d’un point à une droite

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Droites, segments et angles » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : nommer et noter un point, une droite, une demi-droite, un segment ; appartenance (∈, ∉) et points alignés ; droites sécantes, perpendiculaires, parallèles et leur codage ; propriétés des perpendiculaires et des parallèles ; tracer une perpendiculaire et une parallèle à l’équerre ; distance d’un point à une droite. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

Point, droite, demi-droite, segment

La géométrie commence par quatre objets de base. Ils n’ont pas la même « longueur » : il ne faut pas les confondre.

Ce qu’il faut savoir • Un point est une position précise ; on le marque d’une croix et on le nomme par une lettre majuscule : le point A.
• La droite (AB) passe par A et B ; elle est illimitée des deux côtés. On peut aussi la nommer par une lettre : la droite (d).
• La demi-droite [AB) part du point A, son origine, passe par B et continue sans fin du côté de B.
• Le segment [AB] s’arrête en A et en B, ses extrémités : c’est le seul des trois qui a une longueur, notée AB (sans crochets).

Le crochet indique que le trait s’arrête en ce point ; la parenthèse, qu’il continue. Par deux points distincts, il passe une seule droite.

Appartenir, être aligné

Ce qu’il faut savoir • Le symbole ∈ se lit « appartient à » et ∉ « n’appartient pas à ». Un point appartient à une droite quand il est dessus.
• Des points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite.

Exemples

Sur la figure : R ∈ (d), S ∈ (d), T ∈ (d), mais U ∉ (d).

Les points R, S et T sont alignés ; les points R, S et U ne le sont pas.

S est entre R et T : S ∈ [RT]. En revanche T ∉ [RS], mais T ∈ [RS) car la demi-droite continue après S.

La droite (d) peut aussi se nommer (RS), (ST) ou (RT) : c’est la même droite, nommée par deux de ses points.

Le milieu I du segment [AB] est le point de [AB] tel que AI = IB : il sera étudié dans le chapitre « Distances et cercles : milieu, cercle et disque ».

Réflexe — avant d’écrire une notation, je me demande où le trait s’arrête : un crochet du côté où il s’arrête, une parenthèse du côté où il continue.

Attention — [AB) et [BA) ne sont pas la même demi-droite : la première part de A, la seconde part de B. Et AB (sans crochets) est un nombre, la longueur du segment [AB].

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Sécantes, perpendiculaires, parallèles

Deux droites tracées dans le plan sont soit sécantes, soit parallèles ; les perpendiculaires sont des sécantes particulières.

Ce qu’il faut savoir • Deux droites sécantes se coupent en un seul point, leur point d’intersection.
• Deux droites perpendiculaires sont des droites sécantes qui forment un angle droit (90°). On écrit (d) ⊥ (d′).
• Deux droites parallèles ne se coupent jamais, même prolongées. On écrit (d) // (d′).

Sur une figure, l’angle droit se code par un petit carré. Sans ce codage, on ne peut pas affirmer que deux droites sont perpendiculaires : on vérifie avec l’équerre.

Exemples

Les deux bords opposés d’une feuille rectangulaire sont parallèles ; deux bords voisins sont perpendiculaires.

Les aiguilles d’une horloge à 3 h forment un angle droit : elles sont sur deux droites perpendiculaires.

Les propriétés à connaître

Ce qu’il faut savoir 1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
2. Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
3. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Rédaction

À gauche : on sait que (d₁) ⊥ (d) et (d₂) ⊥ (d). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles. Donc (d₁) // (d₂).

À droite : on sait que (d₁) // (d₂) et (d) ⊥ (d₁). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (d) ⊥ (d₂).

Tracer à l’équerre

La perpendiculaire à (d) passant par un point A

1. Je place un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (d).

2. Je fais glisser l’équerre le long de (d) jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit passe par A.

3. Je trace la droite le long de ce côté, puis je code l’angle droit.

La parallèle à (d) passant par un point A

1. Je trace la perpendiculaire (p) à (d) passant par A.

2. Je trace la perpendiculaire à (p) passant par A.

3. Cette droite est perpendiculaire à (p), comme (d) : d’après la propriété 1, elle est parallèle à (d).

Par un point donné, il passe une seule perpendiculaire à une droite et une seule parallèle à cette droite.

Distance d’un point à une droite

Ce qu’il faut savoir A est un point et (d) une droite. La perpendiculaire à (d) passant par A coupe (d) en un point H. La distance du point A à la droite (d) est la longueur AH. C’est la plus courte distance entre A et un point de (d) : pour tout autre point M de (d), AM est plus grande que AH.

Mesurer la distance de A à (d)

1. Je trace à l’équerre la perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe (d) en H.

2. Je mesure AH à la règle : c’est la distance de A à (d).

Sur la figure, les segments en pointillés [AM] et [AN] sont plus longs que [AH].

Réflexe — pour conclure, j’écris ce que je sais, je cite la propriété (« Or, si… alors… »), puis je conclus (« Donc… »).

Attention — une droite est illimitée : deux droites qui ne se coupent pas sur le dessin peuvent être sécantes plus loin. On les prolonge avant de conclure. Et deux droites perpendiculaires se coupent : elles ne sont jamais parallèles.

🎯 S’entraîner : Sécantes, perpendiculaires, parallèles1 niveau · méthode + exercices corrigés

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Pour aller plus loin

Les angles en résumé Un angle est formé par deux demi-droites de même origine, son sommet. L’angle

A B C

a pour sommet B, la lettre du milieu. Il se mesure en degrés (°) avec un rapporteur. Un angle aigu mesure moins de 90°, un angle droit 90°, un angle obtus entre 90° et 180°, un angle plat 180°.

Pour aller plus loin : voir le chapitre « Angles : mesurer, construire, bissectrice ».

À retenir

(AB) est une droite, illimitée des deux côtés ; [AB) une demi-droite d’origine A ; [AB] un segment d’extrémités A et B, de longueur AB.
∈ se lit « appartient à », ∉ « n’appartient pas à » ; des points alignés appartiennent à une même droite. Par deux points distincts passe une seule droite.
La distance d’un point A à une droite (d) est la longueur AH, où H est le point d’intersection de (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par A.
Sécantes : un seul point commun. Perpendiculaires (⊥) : sécantes avec un angle droit, codé par un petit carré. Parallèles (//) : jamais de point commun.
Deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles ; une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre ; deux parallèles à une même droite sont parallèles.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre (AB), [AB) et [AB] ?

(AB) est une droite, illimitée des deux côtés. [AB) est une demi-droite : elle part de A et continue sans fin du côté de B. [AB] est un segment : il s’arrête en A et en B, et sa longueur se note AB.

Que veulent dire les symboles ∈ et ∉ ?

∈ se lit « appartient à » : R ∈ (d) signifie que le point R est sur la droite (d). ∉ se lit « n’appartient pas à ». Des points alignés sont des points qui appartiennent à une même droite.

Qu’est-ce que la distance d’un point à une droite ?

C’est la longueur AH, où H est le point où la perpendiculaire à (d) passant par A coupe (d). On la trace à l’équerre, puis on mesure AH : c’est la plus courte distance entre A et un point de (d).

Quelle différence entre droites sécantes, perpendiculaires et parallèles ?

Des droites sécantes se coupent en un seul point. Des droites perpendiculaires (⊥) sont sécantes et forment un angle droit, codé par un petit carré. Des droites parallèles (//) ne se coupent jamais.

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont-elles parallèles ?

Oui. Si (d₁) ⊥ (d) et (d₂) ⊥ (d), alors (d₁) // (d₂). De même, une droite perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre, et deux droites parallèles à une même droite sont parallèles.

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