Symétrie axiale et médiatrice

Figures symétriques par pliage ; construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure, sur quadrillage et sans ; ce que la symétrie conserve ; axes de symétrie des figures usuelles ; médiatrice d’un segment : définition, équidistance, construction

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Symétrie axiale et médiatrice » en sixième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de sixième et se résolvent étape par étape. Au programme : reconnaître des figures symétriques par pliage ; construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure par rapport à une droite, sur quadrillage et sans ; utiliser la conservation des longueurs, des angles, des périmètres et des aires ; trouver les axes de symétrie d’une figure ; définir, utiliser et construire la médiatrice d’un segment. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis tout l’énoncé et je repère les données utiles (et leurs unités).
Je choisis la méthode du cours qui convient (le « cas » indiqué sous le problème peut m’aider).
Je fais les calculs ou la figure, étape par étape.
Je vérifie que le résultat est vraisemblable (ordre de grandeur, figure, unité).
Je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le miroir du jardin★★★Facile

Une statue est posée à

2

m d’un grand miroir vertical. Son reflet est son symétrique par rapport au miroir. La statue mesure

1, 8

m de haut.

1. À quelle distance du miroir se trouve le reflet, en m ?
La symétrie conserve la distance à l’axe : le reflet est à $2$ m derrière le miroir.
2. Quelle est la hauteur du reflet, en m ?
La symétrie conserve les longueurs : $1, 8$ m.
3. Quelle distance sépare la statue de son reflet, en m ?
$2$ m de chaque côté du miroir : $2 + 2 = 4$ m.

Problème 2 · Le logo symétrique★★★Facile

Un logo admet un axe de symétrie vertical. Le point

A

du logo est à

4

cm de cet axe ;

A^{'}

est son symétrique. Le logo contient un segment

[A B]

6

cm, un angle de

50 °

et un point

C

placé exactement sur l’axe.

1. À quelle distance de l’axe se trouve $A^{'}$ , en cm ?
Même distance à l’axe, de l’autre côté : $4$ cm.
2. Quelle est la longueur du segment symétrique $[A^{'} B^{'}]$ , en cm ?
La symétrie conserve les longueurs : $6$ cm.
3. Quelle est la mesure de l’angle symétrique de l’angle de $50 °$ , en degrés ?
La symétrie conserve aussi les angles : $50 °$ .
4. Quelle distance sépare $C$ de son symétrique $C^{'}$ , en cm ?
Un point de l’axe est son propre symétrique : $C^{'} = C$ , la distance est $0$ .

Problème 3 · Le vitrail★★★Moyen

Un vitrail est un cercle. À l’intérieur, un motif en forme de triangle équilatéral de

20

cm de côté a un sommet en haut ; le centre du cercle est aussi le centre du triangle.

1. Combien d’axes de symétrie possède le motif triangulaire ?
Un triangle équilatéral a $3$ axes : chacun passe par un sommet et le milieu du côté opposé.
2. La droite verticale qui passe par le sommet du haut est un axe du motif. À quelle distance de cet axe se trouve chacun des deux sommets du bas, en cm ?
L’axe passe par le milieu du côté du bas, qui mesure $20$ cm. Les deux sommets du bas sont symétriques : chacun est à $20 \div 2 = 10$ cm de l’axe.
3. Combien d’axes de symétrie possède le cercle seul ?
Toute droite qui passe par le centre est un axe de symétrie du cercle : il y en a une infinité.
4. Combien d’axes de symétrie le vitrail complet (cercle + motif) possède-t-il ?
Il faut un axe commun aux deux figures. Les $3$ axes du triangle passent par son centre, qui est le centre du cercle : ce sont aussi des axes du cercle. Une autre droite par le centre n’est pas un axe du triangle. Donc $3$ axes.

Problème 4 · Construire sur papier le symétrique d’un triangle★★★Moyen

Sur une feuille blanche, trace un triangle

A B C

tel que

A B = 5

cm,

B C = 4

cm et

A C = 6

cm, puis une droite (d) qui ne coupe pas le triangle. Construis le triangle

A^{'} B^{'} C^{'}

, symétrique de

A B C

par rapport à (d), à l’équerre et à la règle.

1. Mesure $A^{'} B^{'}$ sur ta figure, en cm.
Construction : pour chaque sommet, je trace à l’équerre la perpendiculaire à (d) qui passe par ce sommet ; elle coupe (d) en un point H ; je reporte à la règle la longueur du sommet à H de l’autre côté de (d). Je relie A′, B′, C′.
La symétrie conserve les longueurs : $A^{'} B^{'} = A B = 5$ cm.
2. Mesure $B^{'} C^{'}$ , en cm.
$B^{'} C^{'} = B C = 4$ cm. Si ta mesure est très différente, un sommet n’est pas à la bonne distance de (d) ou pas sur la perpendiculaire.
3. Quel est le périmètre du triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ , en cm ?
$A^{'} C^{'} = A C = 6$ cm, donc périmètre $= 5 + 4 + 6 = 15$ cm, le même que celui de $A B C$ .

Problème 5 · Le trésor des deux palmiers★★★Difficile

Sur une île, deux palmiers

A

B

sont à

8

m l’un de l’autre. Un trésor est enterré à

5

m de chacun des deux palmiers. Fais un plan à l’échelle

1

cm pour

1

m : trace

[A B]

8

cm.

1. Le trésor est à la même distance de $A$ et de $B$ . Sur quelle droite se trouve-t-il ? La de $[A B]$ .
Un point à égale distance de $A$ et de $B$ est sur la médiatrice de $[A B]$ .
2. Construis la médiatrice de $[A B]$ au compas, puis les points de cette droite situés à $5$ cm de $A$ . Combien de points conviennent ?
Arcs de centre $A$ et $B$ de même rayon (plus de $4$ cm), on relie leurs deux points d’intersection : c’est la médiatrice.
Le cercle de centre $A$ et de rayon $5$ cm la coupe en $2$ points, un de chaque côté de $[A B]$ : il y a $2$ emplacements possibles.
3. Mesure sur ton plan la distance d’un de ces points à $B$ , en cm.
Le point est sur la médiatrice : il est à la même distance de $B$ que de $A$ , $5$ cm.
4. Mesure la distance de ce point au milieu $I$ de $[A B]$ , en cm. Quelle distance réelle, en m, faut-il creuser à partir de $I$ ?
Sur un plan bien construit, on mesure $3$ cm. Avec $1$ cm pour $1$ m, le trésor est à $3$ m de $I$ , sur la médiatrice.

Problème 6 · Le cerf-volant★★★Difficile

Le cerf-volant

A B C D

est construit ainsi : la diagonale

(A C)

est la médiatrice de la diagonale

[B D]

; elles se coupent en

I

. On sait que

A B = 30

cm et

B C = 50

cm.

1. Quelle est la longueur $A D$ , en cm ?
$A$ est sur la médiatrice de $[B D]$ , donc $A D = A B = 30$ cm.
2. Quelle est la longueur $C D$ , en cm ?
$C$ est aussi sur la médiatrice de $[B D]$ : $C D = C B = 50$ cm.
3. Quel est le périmètre du cerf-volant, en cm ?
$30 + 50 + 50 + 30 = 160$ cm.
4. Combien le cerf-volant a-t-il d’axes de symétrie ?
La droite $(A C)$ est un axe : $B$ et $D$ sont symétriques par rapport à elle, $A$ et $C$ sont sur l’axe. Si $(B D)$ était un axe, $A$ aurait pour symétrique $C$ et $B$ ne bougerait pas, donc on aurait $B A = B C$ ; or $30 \neq 50$ . Donc $1$ seul axe.
5. Quelle est la mesure de l’angle $A I B$ , en degrés ?
La médiatrice $(A C)$ est perpendiculaire à $[B D]$ : l’angle $A I B$ est droit, $90 °$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs