Distances et cercles : milieu, cercle et disque

Longueur d’un segment et report au compas ; milieu d’un segment ; cercle (centre, rayon, diamètre, corde), disque et points situés à une distance donnée d’un point

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benprofparticulier.frMathématiques · 6ᵉ

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Espace et géométrie · Distances)

La démarche pour tout problème de distances

1. Je repère ce qu’on me donne. Une longueur, un point sur un segment, un milieu, un rayon ou un diamètre ? Je fais un schéma codé.

2. J’applique la bonne relation. $A M + M B = A B$ si $M$ est sur $[A B]$ ; $A I = A B \div 2$ pour un milieu ; $d = 2 \times r$ pour un cercle.

3. Je conclus avec l’unité. Pour situer un point, je compare sa distance au centre avec le rayon.

Le réflexe — « le point M est à 5 cm de O » se traduit toujours par « M est sur le cercle de centre O et de rayon 5 cm ».

1 · Mesurer, reporter, additionner des longueurs

Réflexe — à la règle, je fais la différence des deux graduations ; au compas, je règle l’écartement sur la longueur et je trace un arc.

Exemple. Sur une règle, $A$ est en face de $2, 5$ et $B$ en face de $9, 1$ . Le point $M$ de $[A B]$ vérifie $A M = 5$ cm. Calculer $A B$ puis $M B$ .

$A B = 9, 1 - 2, 5 = 6, 6$ cm.

$M$ est sur $[A B]$ : $A M + M B = A B$ , donc $M B = 6, 6 - 5 = 1, 6$ cm.

Attention — $A B$ sans crochets est un nombre (une longueur) ; $[A B]$ est le segment dessiné.

2 · Placer le milieu d’un segment

Réflexe — je divise la longueur par 2 et je place le point sur le segment, à cette distance d’une extrémité ; je code les deux moitiés.

Exemple. $A B = 12, 2$ cm. Placer le milieu $I$ de $[A B]$ .

$A I = 12, 2 \div 2 = 6, 1$ cm.

Je place $I$ sur $[A B]$ à $6, 1$ cm de $A$ et je code $[A I]$ et $[I B]$ avec le même signe.

Attention — deux conditions : $I$ est sur $[A B]$ et $A I = I B$ . L’une sans l’autre ne suffit pas.

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3 · Cercle, disque et points à une distance donnée

Réflexe — $d = 2 \times r$ et $r = d \div 2$ ; pour situer un point, je compare sa distance au centre avec le rayon.

Exemple 1. Un cercle de centre $O$ a pour diamètre $13, 4$ cm. Où se trouve un point $M$ tel que $O M = 7$ cm ?

Rayon : $r = 13, 4 \div 2 = 6, 7$ cm.

$7$ cm est plus grand que $6, 7$ cm : $M$ est à l’extérieur du cercle.

Exemple 2. Placer les points à $3$ cm de $A$ et à $2$ cm de $B$ , avec $A B = 4$ cm.

Je trace le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ cm, puis le cercle de centre $B$ et de rayon $2$ cm.

Ils se coupent en deux points : ce sont les deux points cherchés.

Attention — on compare une corde au diamètre, jamais au rayon ; et le cercle fait partie du disque.

Les pièges

Lire seulement la graduation en face de $B$ alors que $A$ n’est pas en face du $0$ .
Croire qu’un point à égale distance de $A$ et de $B$ est forcément le milieu : il doit aussi être sur $[A B]$ .
Confondre rayon et diamètre : le diamètre est le double du rayon.
Oublier qu’un point sur le cercle appartient au disque.

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