Ressources · 6ᵉ · Mathématiques
Symétrie axiale et médiatrice
Figures symétriques par pliage ; construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure, sur quadrillage et sans ; ce que la symétrie conserve ; axes de symétrie des figures usuelles ; médiatrice d’un segment : définition, équidistance, construction
À propos de cette page
Construire le symétrique d’une figure
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent exactement quand on plie la feuille le long de (d), comme les deux ailes d’un papillon ou une tache d’encre écrasée dans une feuille pliée. La droite (d) s’appelle l’axe de symétrie.
• le segment [AA′] est perpendiculaire à (d) ;
• (d) coupe [AA′] en son milieu : A et A′ sont à la même distance de (d), de part et d’autre.
Si le point est sur l’axe, son symétrique est lui-même : il ne bouge pas.
Pour construire le symétrique d’un segment ou d’un polygone, on construit les symétriques de ses sommets, puis on les relie dans le même ordre.
Sur un quadrillage
Quand l’axe suit une ligne du quadrillage, on compte les carreaux perpendiculairement à l’axe, à partir de l’axe.
A est à 5 carreaux à gauche de (d) : A′ est sur la même ligne, à 5 carreaux à droite de (d).
B est à 2 carreaux à gauche : B′ à 2 carreaux à droite. C est à 3 carreaux à gauche : C′ à 3 carreaux à droite.
On relie A′, B′, C′ : le triangle A′B′C′ est le symétrique du triangle ABC. Il est « retourné », comme dans un miroir.
Sans quadrillage
On utilise l’équerre et la règle graduée (ou le compas).
1. Avec l’équerre, je trace la perpendiculaire à (d) qui passe par A. Elle coupe (d) en H.
2. Avec la règle (ou le compas pointé en H), je reporte la longueur HA de l’autre côté de (d) : j’obtiens A′ avec HA′ = HA.
Autre méthode, au compas seul : je pique sur deux points de (d) et je trace deux arcs qui passent par A ; ils se recoupent de l’autre côté en A′.
Ce que la symétrie conserve
Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur ; le symétrique d’une droite est une droite ; le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
Si AB = 4,2 cm et si l’angle mesure 35°, alors A′B′ = 4,2 cm et l’angle mesure 35°.
Si A est à 1,5 cm de (d), A′ est aussi à 1,5 cm de (d), donc AA′ = 1,5 + 1,5 = 3 cm.
Réflexe — pour chaque sommet : je compte (ou je mesure) sa distance à l’axe, perpendiculairement à l’axe, et je reporte la même distance de l’autre côté.
Attention — on mesure la distance jusqu’à l’axe, pas jusqu’au bord de la feuille. Et la figure symétrique est retournée : si on la fait seulement glisser de l’autre côté sans la retourner, ce n’est pas son symétrique.
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Axes de symétrie et médiatrice d’un segment
| Figure | Axes de symétrie |
|---|---|
| Segment | 2 : sa médiatrice et la droite qui le porte |
| Triangle isocèle (non équilatéral) | 1 : la droite qui passe par le sommet principal et le milieu de la base |
| Triangle équilatéral | 3 : chacune passe par un sommet et le milieu du côté opposé |
| Rectangle (non carré) | 2 : les médiatrices de ses côtés |
| Losange (non carré) | 2 : ses diagonales |
| Carré | 4 : les 2 médiatrices des côtés et les 2 diagonales |
| Cercle | une infinité : toutes les droites qui passent par le centre |
Les lettres A, M, T ont un axe vertical ; B, C, D ont un axe horizontal ; H et X en ont 2 ; F, L, N, R n’en ont aucun.
La médiatrice d’un segment
Propriété : si un point est sur la médiatrice de [AB], alors il est à la même distance de A et de B. Et réciproquement : si MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB].
On le voit en pliant : A vient sur B, donc pour un point M du pli, la longueur MA vient se poser exactement sur MB. C’est aussi pourquoi l’axe de symétrie entre un point A et son symétrique A′ est la médiatrice de [AA′].
Au compas : je prends un écartement plus grand que la moitié de AB. Je trace un arc de centre A, au-dessus et au-dessous de [AB], puis, avec le même écartement, un arc de centre B. Les arcs se coupent en M et N. La droite (MN) est la médiatrice : M et N sont chacun à égale distance de A et de B.
À la règle et à l’équerre : je mesure [AB] et je place son milieu I, puis je trace la perpendiculaire à [AB] qui passe par I.
Avec AB = 6 cm : AI = IB = 6 ÷ 2 = 3 cm. Si M est sur la médiatrice et MA = 4,8 cm, alors MB = 4,8 cm.
Réflexe — pour trouver un axe de symétrie, je plie la figure dans ma tête : les deux moitiés doivent se recouvrir exactement. Pour une médiatrice, je vérifie les deux conditions : perpendiculaire ET milieu.
Attention — les diagonales d’un rectangle (non carré) ne sont pas des axes de symétrie : en pliant le long d’une diagonale, les deux moitiés ne se recouvrent pas. Et une perpendiculaire à [AB] qui ne passe pas par le milieu n’est pas la médiatrice.
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Pour aller plus loin
La distance d’un point à une droite, utilisée ici pour placer un symétrique, se mesure sur la perpendiculaire : voir le chapitre « Droites, segments et angles ».
Pour la suite — La symétrie par rapport à un point (symétrie centrale) se verra en 5e.
- Deux figures symétriques par rapport à (d) se superposent quand on plie le long de (d).
- Symétrique de A : [AA′] est perpendiculaire à (d) et (d) passe par le milieu de [AA′] ; un point de l’axe est son propre symétrique.
- Symétrique d’une figure : on construit les symétriques des sommets (en comptant les carreaux ou à l’équerre) et on les relie dans le même ordre.
- La symétrie conserve les longueurs, les angles, l’alignement, les périmètres et les aires.
- Axes : isocèle 1, équilatéral 3, rectangle non carré 2, losange non carré 2, carré 4, segment 2, cercle une infinité.
- Médiatrice de [AB] : perpendiculaire à [AB] en son milieu ; M est dessus si et seulement si MA = MB ; elle se trace au compas.
Questions fréquentes
Comment construire le symétrique d’un point par rapport à une droite ?
On trace la perpendiculaire à la droite (d) qui passe par le point A ; elle coupe (d) en H. On reporte la longueur HA de l’autre côté de (d) : le point obtenu A′ est le symétrique de A. Sur un quadrillage, on compte les carreaux de A jusqu’à l’axe et on en compte autant de l’autre côté.
Que conserve la symétrie axiale ?
Elle conserve les longueurs, les mesures d’angles, l’alignement, les périmètres et les aires. Le symétrique d’un segment de 5 cm mesure 5 cm, celui d’un angle de 40° mesure 40° : la figure est seulement retournée, comme dans un miroir.
Combien d’axes de symétrie ont les figures usuelles ?
Triangle isocèle : 1 ; triangle équilatéral : 3 ; rectangle non carré : 2 (les médiatrices des côtés) ; losange non carré : 2 (les diagonales) ; carré : 4 ; segment : 2 ; cercle : une infinité (toutes les droites qui passent par le centre).
Qu’est-ce que la médiatrice d’un segment ?
C’est la droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu. Tout point de la médiatrice de [AB] est à la même distance de A et de B, et tout point à égale distance de A et de B est sur la médiatrice.
Comment tracer la médiatrice d’un segment au compas ?
Avec un écartement plus grand que la moitié du segment, on trace deux arcs de centre A (au-dessus et au-dessous du segment), puis deux arcs de même rayon de centre B. Les arcs se coupent en deux points : la droite qui les relie est la médiatrice.
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