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Distances et cercles : milieu, cercle et disque
Longueur d’un segment et report au compas ; milieu d’un segment ; cercle (centre, rayon, diamètre, corde), disque et points situés à une distance donnée d’un point
À propos de cette page
Longueurs, milieu, cercle et disque
Tout ce chapitre repose sur une idée : la distance entre deux points, c’est-à-dire la longueur du segment qui les relie. On apprend à la mesurer, à la reporter, à la partager en deux (le milieu) et à la garder constante autour d’un point (le cercle).
1. Longueur d’un segment et report au compas
On la mesure avec une règle graduée : on place le 0 sur A et on lit la graduation en face de B. Si A n’est pas en face du 0, on fait la différence des deux graduations.
Le compas reporte une longueur sans la mesurer : on règle son écartement sur AB (pointe sur A, mine sur B), on pique la pointe ailleurs et on trace un arc de cercle.
Si un point M est sur le segment [AB], alors AM + MB = AB.
Sur la règle ci-dessus, A est en face de 1 et B en face de 7,4 : AB = 7,4 − 1 = 6,4 cm.
Reporter AB = 3,5 cm sur la demi-droite [Ox) : écartement du compas = AB, pointe sur O ; l’arc coupe [Ox) en M. Alors OM = AB = 3,5 cm.
Construire un segment [EF] de longueur AB + CD, avec AB = 2,8 cm et CD = 4,1 cm : je reporte AB à partir de E sur une demi-droite, puis CD juste à la suite. EF = 2,8 + 4,1 = 6,9 cm.
M est un point de [AB], avec AB = 6 cm et AM = 2,3 cm : MB = AB − AM = 6 − 2,3 = 3,7 cm.
Réflexe — je ne lis jamais seulement la graduation en face de B : je regarde d’abord où est A, puis je fais la différence.
Attention — AM + MB = AB seulement si M est sur le segment [AB]. Si M est à côté du segment, le chemin de A à B en passant par M est plus long que AB.
2. Le milieu d’un segment
Chaque moitié mesure la moitié de AB : AI = IB = AB ÷ 2, et donc AB = 2 × AI.
Sur une figure, on code les longueurs égales avec le même petit signe.
Pour placer le milieu : je mesure AB, je divise par 2, puis je place I à cette distance de A, sur [AB].
AB = 9,6 cm et I est le milieu de [AB]. Or si un point est le milieu d’un segment, alors il le partage en deux longueurs égales. Donc AI = IB = 9,6 ÷ 2 = 4,8 cm. Je place I sur [AB] à 4,8 cm de A, et je code les deux moitiés.
I est le milieu de [AB] et AI = 5,3 cm : AB = 2 × 5,3 = 10,6 cm.
Sur la règle de la partie 1 (A en face de 1, AB = 6,4 cm) : la moitié vaut 6,4 ÷ 2 = 3,2 cm, donc le milieu de [AB] est en face de 1 + 3,2 = 4,2.
Réflexe — pour affirmer qu’un point est le milieu, je vérifie les deux conditions : il est sur le segment, et il est à la même distance des deux extrémités.
Attention — sur la figure, KA = KB, mais K n’est pas sur [AB] : K n’est pas le milieu de [AB]. À l’inverse, un point du segment n’est pas forcément le milieu : il faut aussi les deux longueurs égales.
3. Le cercle et le disque
• Le centre est le point O.
• Un rayon est un segment qui joint le centre à un point du cercle ; sa longueur r s’appelle aussi le rayon.
• Un diamètre est un segment qui joint deux points du cercle en passant par le centre (le centre est son milieu) ; sa longueur est d = 2 × r, et donc r = d ÷ 2.
• Une corde est un segment qui joint deux points du cercle. Le diamètre est la plus longue des cordes.
Le disque de centre O et de rayon r est formé de tous les points situés à une distance de O inférieure ou égale à r : c’est le cercle et tout son intérieur (la partie colorée).
Un cercle de rayon 4,5 cm a pour diamètre 2 × 4,5 = 9 cm. Un cercle de diamètre 8,6 cm a pour rayon 8,6 ÷ 2 = 4,3 cm.
Cercle de centre O et de rayon 3 cm : OM = 2,4 cm, plus petit que 3 cm, donc M est à l’intérieur du cercle (dans le disque) ; ON = 3 cm, donc N est sur le cercle ; OP = 3,6 cm, plus grand que 3 cm, donc P est à l’extérieur.
Placer un point C à 4 cm de A et à 3 cm de B, avec AB = 5 cm. Les points à 4 cm de A sont sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm ; les points à 3 cm de B sont sur le cercle de centre B et de rayon 3 cm. C est sur les deux cercles : ils se coupent en deux points, donc il y a deux positions possibles, C et C′.
Réflexe — pour savoir où se trouve un point par rapport à un cercle, je compare sa distance au centre avec le rayon : plus petite, intérieur ; égale, sur le cercle ; plus grande, extérieur.
Attention — une corde se compare au diamètre, pas au rayon : dans un cercle de rayon 2 cm, une corde de 3 cm existe, car 3 cm est plus petit que le diamètre 4 cm. Et si deux cercles ne se coupent pas, aucun point n’est sur les deux à la fois.
🎯 S’entraîner : Milieu, longueurs et cercle3 niveaux · méthode + exercices corrigés
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- AB (sans crochets) est la longueur du segment [AB] : à la règle, différence des deux graduations ; au compas, on la reporte sans la mesurer.
- Si M est sur le segment [AB], alors AM + MB = AB.
- I milieu de [AB] : I est sur [AB] et AI = IB = AB ÷ 2 (donc AB = 2 × AI).
- Cercle de centre O et de rayon r : tous les points à la distance r de O. Diamètre d = 2 × r, la plus longue des cordes.
- Disque : les points à une distance de O inférieure ou égale à r. OM < r : intérieur ; OM = r : sur le cercle ; OM > r : extérieur.
Questions fréquentes
Comment mesurer la longueur d’un segment avec une règle ?
On place le 0 de la règle sur une extrémité et on lit la graduation en face de l’autre. Si le 0 n’est pas sur A, on fait la différence : A en face de 2, B en face de 9,3, donc AB = 9,3 − 2 = 7,3 cm.
À quoi sert le compas pour reporter une longueur ?
Il copie une longueur sans la mesurer : on règle l’écartement sur AB (pointe sur A, mine sur B), puis on pique ailleurs et on trace un arc. Le point obtenu est à la distance AB de la pointe.
Comment trouver le milieu d’un segment ?
On mesure le segment, on divise par 2, puis on place le point sur le segment à cette distance d’une extrémité : pour AB = 12,6 cm, le milieu I est à 6,3 cm de A. Il faut I sur [AB] et AI = IB.
Quelle différence entre rayon, diamètre et corde ?
Un rayon joint le centre à un point du cercle. Une corde joint deux points du cercle. Un diamètre est une corde qui passe par le centre : c’est la plus longue, et il mesure 2 fois le rayon.
Quelle différence entre un cercle et un disque ?
Le cercle de centre O et de rayon r est formé des points situés exactement à r de O. Le disque contient en plus tout l’intérieur : ce sont les points à r ou moins de O. Pour r = 5 cm, un point à 4 cm de O est dans le disque mais pas sur le cercle.
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