Point, droite, demi-droite, segment : notations, appartenance et alignement ; droites sécantes, perpendiculaires et parallèles : codage, propriétés, tracés à l’équerre et distance d’un point à une droite
À propos de cette page
Ces problèmes corrigés sur « Droites, segments et angles » en sixième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de sixième et se résolvent étape par étape. Au programme : nommer et noter un point, une droite, une demi-droite, un segment ; appartenance (∈, ∉) et points alignés ; droites sécantes, perpendiculaires, parallèles et leur codage ; propriétés des perpendiculaires et des parallèles ; tracer une perpendiculaire et une parallèle à l’équerre ; distance d’un point à une droite. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation.
5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».
Résoudre un problème : la méthode
Je lis tout l’énoncé et je repère les données utiles (et leurs unités).
Je choisis la méthode du cours qui convient (le « cas » indiqué sous le problème peut m’aider).
Je fais les calculs ou la figure, étape par étape.
Je vérifie que le résultat est vraisemblable (ordre de grandeur, figure, unité).
Je réponds par une phrase, avec l’unité.
Problème 1 · Le plan de la cour de récréation★★★Facile
Sur le plan de la cour, les allées sont représentées par des droites.
1. Deux allées ne se croisent jamais, même prolongées. Comment sont ces deux droites ?
Deux droites qui ne se coupent jamais sont parallèles.
2. Une troisième allée croise l’une d’elles en formant un coin bien carré. Comment sont ces deux droites ?
Un coin bien carré est un angle droit : ces deux droites sont perpendiculaires.
3. Le segment qui relie le portail au préau mesure 18 m. À quelle distance du portail se trouve son milieu, en m ?
Le milieu est à égale distance des deux extrémités : 18 ÷ 2 = 9 m du portail.
Problème 2 · Points et droites★★★Facile
Inès place trois points P, Q, R sur une droite (d), dans cet ordre, avec PQ = 2,5 cm et QR = 4 cm. Puis elle place un point S qui n’appartient pas à (d).
1. Combien de segments différents ont pour extrémités deux des points P, Q, R ?
Ce sont [PQ], [QR] et [PR] : 3 segments.
2. Quelle est la longueur PR, en cm ?
Q est entre P et R : PR = PQ + QR = 2,5 + 4 = 6,5 cm.
3. Combien de droites différentes passent par deux des points P, Q, R ?
P, Q, R sont alignés : (PQ), (QR) et (PR) sont la même droite (d). Une seule droite.
4. Combien de droites différentes passent par deux des quatre points P, Q, R, S ?
La droite (d), plus les trois droites (SP), (SQ) et (SR), car S ∉ (d). En tout 1 + 3 = 4 droites.
Problème 3 · Construire à l’équerre★★★Moyen
Sur ton cahier, trace une droite (d). On veut placer un point A dont la distance à la droite (d) est 4 cm. 1) Trace une droite (p) perpendiculaire à (d) ; elle coupe (d) en H. Place A sur (p), à la bonne distance de H. 2) Trace la droite (d′) parallèle à (d) passant par A.
1. Quelle longueur AH dois-tu obtenir, en cm ?
Construction 1) : je place un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (d) et je trace (p) le long de l’autre côté ; je code l’angle droit en H. (p) est perpendiculaire à (d) en H, donc la distance de A à (d) est AH : je place A sur (p) avec AH = 4 cm.
2. Que peut-on dire des droites (p) et (d′) ? Elles sont
Construction 2) : je trace la perpendiculaire à (p) passant par A ; c’est (d′), parallèle à (d) car (d) et (d′) sont perpendiculaires à (p). On sait donc que (d′) // (d) et (p) ⊥ (d). Or une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre. Donc (p) ⊥ (d′).
3. Combien de droites parallèles à (d) passent par le point A ?
Par un point donné, il passe une seule parallèle à une droite : c’est (d′).
Problème 4 · Le plan d’architecte★★★Difficile
Sur un plan, un mur est représenté par le segment [AB], qui mesure 12 m. Une cloison part du milieu I de [AB], perpendiculairement au mur. Un couloir est parallèle au mur [AB], et la cloison le traverse.
1. À quelle distance du point A se trouve la cloison, en m ?
I est le milieu de [AB] : AI = 12 ÷ 2 = 6 m.
2. Une deuxième cloison, elle aussi perpendiculaire au mur, part d’un point situé à 2 m de A. Comment sont les deux cloisons ?
Les deux cloisons sont perpendiculaires à la même droite, le mur [AB]. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc les deux cloisons sont parallèles.
3. Quel angle la cloison forme-t-elle avec le couloir, en degrés ?
On sait que le couloir est parallèle au mur et que la cloison est perpendiculaire au mur. Or une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre. Donc la cloison est perpendiculaire au couloir : 90°.
Problème 5 · Le quartier quadrillé★★★Difficile
Sur le plan d’un quartier, les rues sont des droites. La rue des Lilas est parallèle à la rue des Roses. L’avenue du Port est perpendiculaire à la rue des Lilas. Le boulevard de l’Est est perpendiculaire à l’avenue du Port. Le passage Vert est parallèle à l’avenue du Port. Réponds par « parallèles » ou « perpendiculaires ».
1. L’avenue du Port et la rue des Roses sont
Lilas // Roses et Port ⊥ Lilas. Or une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre. Donc Port ⊥ Roses.
2. Le boulevard de l’Est et la rue des Lilas sont
Est ⊥ Port et Lilas ⊥ Port : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc Est // Lilas.
3. Le passage Vert et la rue des Roses sont
Vert // Port, et Port ⊥ Roses (question 1). Une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre : Roses ⊥ Vert.
4. Le boulevard de l’Est et la rue des Roses sont
Est // Lilas (question 2) et Lilas // Roses : deux droites parallèles à une même droite sont parallèles. Donc Est // Roses.
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