Droites : parallèles et perpendiculaires

Point, droite, demi-droite, segment : notations, appartenance et alignement ; droites sécantes, perpendiculaires et parallèles : codage, propriétés, tracés à l’équerre et distance d’un point à une droite

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benprofparticulier.frMathématiques · 6ᵉ

Droites, segments et angles

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Espace et géométrie · Droites)

La démarche pour tout exercice sur les droites

1. Je lis la figure. Je repère les points, les crochets des notations et les codages (petit carré, traits égaux).

2. J’écris ce que je sais. « On sait que… » avec les notations : $\in$ , $\notin$ , $⟂$ , $/ /$ .

3. Je cite la propriété, puis je conclus. « Or, si… alors… Donc… ». Je ne conclus jamais seulement « parce que ça se voit ».

Le réflexe — sur une figure, seul le codage prouve un angle droit ou deux longueurs égales : sinon, on vérifie avec l’équerre ou la règle.

Cas 1 · Point, droite, demi-droite, segment

Réflexe — un crochet du côté où le trait s’arrête, une parenthèse du côté où il continue ; des points alignés sont sur une même droite.

Exemple 1. Les points $D$ , $E$ , $F$ sont alignés dans cet ordre. Nommer la demi-droite d’origine $E$ qui contient $F$ . Le point $D$ lui appartient-il ?

Elle part de $E$ et passe par $F$ : c’est $[E F)$ .

$D$ est de l’autre côté de $E$ : $D \notin [E F)$ . En revanche $D \in [F E)$ .

Exemple 2. Le point $P$ appartient au segment $[M N]$ , $M N = 10$ cm et $M P = 3, 6$ cm. Calculer $P N$ .

$P \in [M N]$ : $P$ est entre $M$ et $N$ , donc $P N = M N - M P = 10 - 3, 6 = 6, 4$ cm.

Attention — $[A B)$ part de $A$ , $[B A)$ part de $B$ : ce ne sont pas les mêmes demi-droites.

Cas 2 · Sécantes, perpendiculaires, parallèles

Réflexe — je lis le codage, j’écris ce que je sais, je cite la propriété, je conclus.

Exemple 1. $(x) ⟂ (z)$ et $(y) ⟂ (z)$ . Que peut-on dire de $(x)$ et $(y)$ ?

On sait que $(x)$ et $(y)$ sont perpendiculaires à la même droite $(z)$ .

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc $(x) / / (y)$ .

Exemple 2. Mesurer la distance d’un point $M$ à une droite $(d)$ .

Un côté de l’angle droit de l’équerre le long de $(d)$ ; je fais glisser jusqu’à ce que l’autre côté passe par $M$ ; je trace la perpendiculaire, qui coupe $(d)$ en $H$ . Je mesure $M H$ : c’est la distance de $M$ à $(d)$ .

Attention — deux droites qui ne se coupent pas sur le dessin peuvent être sécantes plus loin : on les prolonge.

Les pièges

Écrire $[A B]$ pour une longueur : la longueur se note $A B$ , sans crochets.
Confondre $T \in [R S]$ et $T \in [R S)$ : la demi-droite continue après $S$ , le segment s’arrête en $S$ .
Affirmer un angle droit « à l’œil » : sans codage, on vérifie à l’équerre.
Deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles, pas perpendiculaires.

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