Devoir surveillé : puissances, racine carrée et nombres premiers

1. a)$4^3=4\times 4\times 4=64$ ; $(-2{)}^5=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=-32$ (base négative, exposant impair : résultat négatif, et $2^5=32$) ; $9^0=1$. (0,5 pt pour $4^3$ + 0,5 pt pour les deux autres) (1)
2. b)$6^4\times 6^3=6^7$ ($4+3=7$ facteurs égaux à $6$) ; ${\displaystyle \frac{{11}^8}{{11}^5}}={11}^3$ (on simplifie $5$ facteurs, il en reste $8-5=3$) ; ${10}^6\times {10}^{-8}={10}^{-2}$ (car $6+(-8)=-2$). (0,5 pt pour les deux premières + 0,5 pt pour la dernière) (1)
3. c)La puissance d'abord : $B=50-3\times 16$, puis le produit : $B=50-48$, enfin $B=2$. (1 pt ; 0 si l'on calcule $3\times 2$ ou $50-3$ en premier) (1)
4. d)$64=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=2^6$ (on accepte aussi $4^3$ ou $8^2$) ; $125=5\times 5\times 5=5^3$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — dans $3\times 2^4$, la puissance passe avant la multiplication : on ne calcule pas $6^4$. Et $2^4$ vaut $16$, pas $8$ : l'exposant compte les facteurs, il ne multiplie pas.

1. a)${10}^{-4}=0,0001$ (4 chiffres après la virgule, le dernier étant le $1$) ; $2,9\times {10}^3=2900$ (virgule décalée de $3$ rangs vers la droite) ; $57\times {10}^{-2}=0,57$ (virgule décalée de $2$ rangs vers la gauche). (0,5 pt pour ${10}^{-4}$ + 0,5 pt pour les deux autres) (1)
2. b)$48500=4,85\times {10}^4$ : la virgule se place après le $4$, elle s'est décalée de $4$ rangs, et le nombre est grand (exposant positif). $0,0062=6,2\times {10}^{-3}$ : la virgule se place après le $6$, décalage de $3$ rangs, et le nombre est plus petit que $1$ (exposant négatif). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$7$ km $=7\times {10}^3$ m (kilo $={10}^3$), déjà en notation scientifique. $25$ µm $=25\times {10}^{-6}$ m $=2,5\times {10}^1\times {10}^{-6}$ m $=2,5\times {10}^{-5}$ m (micro $={10}^{-6}$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Les trois nombres sont en notation scientifique : on compare d'abord les exposants. $-3<-2<-1$, donc $8\times {10}^{-3}<5\times {10}^{-2}<1,2\times {10}^{-1}$ (en effet $0,008<0,05<0,12$). (1 pt) (1)

Piège — avec des exposants négatifs, le plus grand exposant est celui qui est le plus proche de $0$ : $8\times {10}^{-3}$ est plus petit que $5\times {10}^{-2}$, même si $8>5$.

1. a)$\sqrt{64}=8$ car $8^2=64$ ; $\sqrt{121}=11$ car ${11}^2=121$ ; $\sqrt{0,09}=0,3$ car $0,3^2=0,09$ (et $8$, $11$, $0,3$ sont positifs). (0,5 pt pour les deux premières + 0,5 pt pour $\sqrt{0,09}$) (1)
2. b)${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$ : c'est la définition de la racine carrée, inutile de calculer $\sqrt{7}$. $(-6{)}^2=36$, donc $\sqrt{(-6{)}^2}=\sqrt{36}=6$ (une racine carrée est positive, ce n'est pas $-6$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$36<42<49$, c'est-à-dire $6^2<42<7^2$, donc $6<\sqrt{42}<7$. (1 pt) (1)
4. d)$C=3\times \sqrt{49}-2^3=3\times 7-8=21-8=13$. (1 pt : 0,5 pour $\sqrt{49}=7$ et $2^3=8$, 0,5 pour le résultat) (1)

Méthode — pour encadrer $\sqrt{a}$, on place $a$ entre deux carrés parfaits consécutifs de la table ; leurs racines carrées encadrent $\sqrt{a}$.

1. a)$2$ est premier (seuls diviseurs : $1$ et $2$) ; $31$ est premier (il n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, et $7^2=49$ dépasse $31$). $1$ n'est pas premier (un seul diviseur) ; $21=3\times 7$ et $49=7\times 7$ ne sont pas premiers. (1 pt ; 0,5 pt retiré par erreur) (1)
2. b)$157$ est impair ; $1+5+7=13$ n'est pas dans la table de $3$ ; il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ ; $157=7\times 22+3$ et $157=11\times 14+3$. Le nombre premier suivant est $13$, et ${13}^2=169$ dépasse $157$ : on s'arrête. $157$ est premier. (1 pt ; 0,5 pt si l'on oublie de tester $7$ ou $11$) (1)
3. c)$168=2\times 84=2\times 2\times 42=2\times 2\times 2\times 21$, donc $168=2^3\times 3\times 7$ ; $280=2\times 140=2\times 2\times 70=2\times 2\times 2\times 35$, donc $280=2^3\times 5\times 7$. Vérification : $8\times 3\times 7=168$ et $8\times 5\times 7=280$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{168}{280}}={\displaystyle \frac{2^3\times 3\times 7}{2^3\times 5\times 7}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ : on a supprimé les facteurs communs $2^3\times 7=56$. Il ne reste aucun facteur commun, la fraction est irréductible. (1 pt) (1)

Piège — $1$ n'est pas premier, et un nombre impair ne l'est pas forcément : $21$ et $49$ « ont l'air » premiers, mais $21=3\times 7$ et $49=7\times 7$.

1. a)Le côté $c$ vérifie $c^2=900$ et $c$ est positif : $c=\sqrt{900}=30$ m, car ${30}^2=900$. (1 pt) (1)
2. b)$30=2\times 3\times 5$. Ses diviseurs sont $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $15$ ; $30$. Côtés possibles entre $2$ m et $15$ m : $2$ m, $3$ m, $5$ m, $6$ m, $10$ m et $15$ m. (0,5 pt pour la décomposition + 0,5 pt pour la liste) (1)
3. c)$30÷6=5$ parcelles sur chaque côté, donc $5\times 5=5^2=25$ parcelles. Contrôle : une parcelle a une aire de $6^2=36$ m² et $25\times 36=900$ m². (0,5 pt + 0,5 pt pour $5^2$) (1)
4. d)Son aire est $4\times 900=3600$ m², donc son côté vaut $\sqrt{3600}=60$ m, car ${60}^2=3600$. Le côté est multiplié par $\sqrt{4}=2$, et non par $4$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — une aire $4$ fois plus grande ne donne pas un côté $4$ fois plus grand : le côté est multiplié par $\sqrt{4}=2$ (avec un côté de $120$ m, l'aire serait $16$ fois plus grande).

1. a)Faux. $2^3\times 2^4=2^7$ : $3+4=7$ facteurs égaux à $2$, soit $128$. Or $4^7=16384$. On garde la base, on ne la multiplie pas. (1 pt) (1)
2. b)Faux. $0,{04}^2=0,0016$, et non $0,16$. Comme $0,4^2=0,16$ et $0,4$ est positif, $\sqrt{0,16}=0,4$. (1 pt) (1)
3. c)Faux. $221$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$ ($2+2+1=5$), ni par $5$, ni par $7$ ($221=7\times 31+4$), ni par $11$ ($221=11\times 20+1$). Mais ${13}^2=169$ ne dépasse pas $221$ : on essaie $13$, et $221=13\times 17$. $221$ a donc au moins quatre diviseurs ($1$, $13$, $17$, $221$). (1 pt ; 0 si l'on conclut « premier » après avoir testé jusqu'à $11$) (1)
4. d)Vrai. $2^5\times 5^5$ contient cinq facteurs $2$ et cinq facteurs $5$ ; on les regroupe par paires : $(2\times 5)\times (2\times 5)\times (2\times 5)\times (2\times 5)\times (2\times 5)={10}^5$. Contrôle : $32\times 3125=100000$. (1 pt) (1)

Astuce — pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul calcul qui la contredit suffit ; pour montrer qu'elle est vraie, il faut une explication qui marche à coup sûr, comme le regroupement par paires $2\times 5=10$.

1. a)$0,000407=4,07\times {10}^{-4}$ (la virgule se décale de $4$ rangs vers la droite, nombre plus petit que $1$). $36,2=3,62\times {10}^1$, donc $36,2\times {10}^5=3,62\times {10}^1\times {10}^5=3,62\times {10}^6$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)On regroupe : $F={\displaystyle \frac{1,5\times 8}{3}}\times {\displaystyle \frac{{10}^6\times {10}^{-2}}{{10}^{-4}}}$. D'une part $1,5\times 8=12$ et $12÷3=4$ ; d'autre part $6+(-2)-(-4)=8$. Donc $F=4\times {10}^8$. (0,5 pt pour $4$ + 0,5 pt pour l'exposant $8$) (1)
3. c)$3,6$ Go $=3,6\times {10}^9$ octets $=3,6\times {10}^3\times {10}^6$ octets $=3600$ Mo. $4500$ µs $=4500\times {10}^{-6}$ s $=4,5\times {10}^3\times {10}^{-6}$ s $=4,5\times {10}^{-3}$ s (soit $0,0045$ s). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$0,004\times {10}^{-2}=4\times {10}^{-3}\times {10}^{-2}=4\times {10}^{-5}$. Les deux nombres ont maintenant le même exposant $-5$ et $3,2<4$, donc $3,2\times {10}^{-5}<0,004\times {10}^{-2}$. (0,5 pt pour la mise en notation scientifique + 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Piège — avant de comparer deux nombres, on les écrit tous les deux en notation scientifique : $0,004\times {10}^{-2}$ semble avoir l'exposant $-2$, mais il vaut $4\times {10}^{-5}$.

1. a)$81<87<100$, c'est-à-dire $9^2<87<{10}^2$, donc $9<\sqrt{87}<10$. (1 pt) (1)
2. b)$9,3^2=86,49$ et $9,4^2=88,36$. Comme $86,49<87<88,36$, on a $9,3<\sqrt{87}<9,4$. (0,5 pt pour les carrés + 0,5 pt pour l'encadrement) (1)
3. c)On compare les carrés : $7^2=49$ et $7,1^2=50,41$, alors que ${\left(\sqrt{48}\right)}^2=48$ et ${\left(\sqrt{50}\right)}^2=50$. Comme $48<49<50<50,41$ et que ces nombres positifs sont rangés comme leurs carrés : $\sqrt{48}<7<\sqrt{50}<7,1$. (0,5 pt pour $7,1^2$ + 0,5 pt pour le rangement) (1)
4. d)Sous la racine d'abord : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ ; puis $\sqrt{3^2}=3$ et $\sqrt{4^2}=4$. $G=5-3-4=-2$. Comme $G$ n'est pas nul, $\sqrt{3^2+4^2}$ n'est pas égal à $3+4=7$ : la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour comparer $\sqrt{a}$ et un nombre positif $b$, on compare $a$ et $b^2$ : des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

1. a)$980=2\times 490=2\times 2\times 245=2\times 2\times 5\times 49$, donc $980=2^2\times 5\times 7^2$. $1176=2\times 588=2\times 2\times 294=2\times 2\times 2\times 147=2^3\times 3\times 49$, donc $1176=2^3\times 3\times 7^2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{980}{1176}}={\displaystyle \frac{2^2\times 5\times 7^2}{2^3\times 3\times 7^2}}={\displaystyle \frac{5}{2\times 3}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ : on a supprimé les facteurs communs $2^2\times 7^2=196$ (deux facteurs $2$ seulement, car il n'y en a que deux en haut). (1 pt ; 0,5 pt pour une simplification incomplète) (1)
3. c)$28=2^2\times 7$ : ses facteurs se trouvent dans $1176=2^3\times 3\times 7^2$, avec des exposants assez grands, donc $1176$ est divisible par $28$ ($1176=28\times 42$). $16=2^4$ : il faudrait quatre facteurs $2$, or $1176$ n'en contient que trois ; $1176$ n'est pas divisible par $16$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)On prend tous les facteurs premiers, chacun avec son plus grand exposant : $2^3\times 3\times 5\times 7^2=8\times 3\times 5\times 49=5880$. Contrôle : $5880=980\times 6=1176\times 5$. (1 pt) (1)

Méthode — un nombre en divise un autre quand chacun de ses facteurs premiers apparaît dans la décomposition de l'autre avec un exposant au moins aussi grand : $16=2^4$ ne divise pas $2^3\times 3\times 7^2$.

1. a)$16$ millions $=16000000=1,6\times {10}^7$. (1 pt) (1)
2. b)Si $n$ est le nombre de pixels d'une ligne, alors $n\times n=n^2=16000000$, donc $n=\sqrt{16000000}$. Or $4{000}^2=4^2\times 1{000}^2=16\times 1000000=16000000$ : il y a $4000$ pixels sur une ligne. (1 pt) (1)
3. c)$24÷4000=0,006$ mm. Puis $0,006$ mm $=6\times {10}^{-3}\times {10}^{-3}$ m $=6\times {10}^{-6}$ m $=6$ µm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$3\times 1,6\times {10}^7=4,8\times {10}^7$ octets. Comme $1$ Mo $={10}^6$ octets : $4,8\times {10}^7=48\times {10}^6$ octets $=48$ Mo. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — « autant de lignes que de colonnes » cache une racine carrée : $\sqrt{16000000}=4000$, parce que $4^2=16$ et $1{000}^2=1000000$.

1. a)L'élève a ajouté les exposants ($3+3+3+3+3=15$), comme pour un produit. Or c'est une somme de cinq termes égaux à $5^3$ : $5^3+5^3+5^3+5^3+5^3=5\times 5^3=5^1\times 5^3=5^4=625$. Contrôle : $5^3=125$ et $5\times 125=625$, alors que $5^{15}$ dépasse $30$ milliards. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$0,4^2=0,16$, pas $1,6$ : l'élève a confondu $1,6$ et $0,16$. Comme $1,2^2=1,44$ et $1,3^2=1,69$, et $1,44<1,6<1,69$, on a $1,2<\sqrt{1,6}<1,3$ : on garde la valeur exacte $\sqrt{1,6}$, que l'on peut encadrer ainsi. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)L'élève a multiplié les exposants ($4\times (-3)=-12$). Pour un produit, on les ajoute : ${10}^4\times {10}^{-3}={10}^1$, et $4,5\times 2=9$, donc le produit vaut $9\times {10}^1=90$. Contrôle : $0,002$, ce sont $2$ millièmes, et $2$ millièmes de $45000$ font $90$ ; $9\times {10}^{-12}$ serait minuscule. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)L'élève a supprimé tous les facteurs $3$, alors qu'un seul $3$ est commun : il y en a un en haut et deux en bas. Il reste un $3$ au dénominateur : ${\displaystyle \frac{2^3\times 3\times 5}{2\times 3^2\times 5}}={\displaystyle \frac{2^2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{120}{90}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — un contrôle rapide démasque beaucoup d'erreurs : un ordre de grandeur ($2$ millièmes de $45000$, c'est $90$), ou le calcul du numérateur et du dénominateur (${\displaystyle \frac{120}{90}}$ ne peut pas valoir $4$).

1. a)$2^{30}=2^{10}\times 2^{10}\times 2^{10}$ ($10+10+10=30$ facteurs égaux à $2$), soit $1024\times 1024\times 1024$. Et ${10}^9={10}^3\times {10}^3\times {10}^3=1000\times 1000\times 1000$. Chacun des trois facteurs de $2^{30}$ est plus grand que celui de ${10}^9$, donc $2^{30}>{10}^9$. (1 pt) (1)
2. b)$\sqrt{{10}^8}={10}^4$, car ${10}^4$ est positif et ${\left({10}^4\right)}^2={10}^4\times {10}^4={10}^8$ ; donc $\sqrt{{10}^8}=10000$. $2^{13}=2^{10}\times 2^3=1024\times 8=8192$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$5\times {10}^3=5000$ et $9,9\times {10}^3=9900$ ; avec $2^{13}=8192$ et $\sqrt{{10}^8}=10000$ : $5\times {10}^3<2^{13}<9,9\times {10}^3<\sqrt{{10}^8}$. (1 pt) (1)
4. d)$8=2^3$, donc $8^4={\left(2^3\right)}^4=2^{12}$ ($4$ fois $3$ facteurs) ; $4=2^2$, donc $4^5={\left(2^2\right)}^5=2^{10}$. Alors ${\displaystyle \frac{2^{12}\times 2^{10}}{2^{15}}}={\displaystyle \frac{2^{22}}{2^{15}}}=2^7=128$. (0,5 pt pour $2^{12}$ et $2^{10}$ + 0,5 pt pour $2^7=128$) (1)

Méthode — avec des bases différentes, on cherche une base commune : $8=2^3$ et $4=2^2$ ; ensuite on compte les facteurs, ${\left(2^3\right)}^4$ en contient $4\times 3=12$.

1. a)$2^2-1=3$ ; $2^3-1=7$ ; $2^5-1=31$ ; $2^7-1=127$. $3$, $7$ et $31$ font partie des nombres premiers inférieurs à $100$. Pour $127$ : il n'est divisible ni par $2$, ni par $3$ ($1+2+7=10$), ni par $5$, ni par $7$ ($127=7\times 18+1$), ni par $11$ ($127=11\times 11+6$) ; ${13}^2=169$ dépasse $127$, on s'arrête : $127$ est premier. (0,5 pt pour les calculs + 0,5 pt pour le test de $127$) (1)
2. b)$2^{11}=2^{10}\times 2=2048$, donc $2^{11}-1=2047$. On essaie les nombres premiers dans l'ordre : $2$, $3$ ($2+0+4+7=13$), $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$ ne divisent pas $2047$, mais $2047÷23=89$, donc $2047=23\times 89$. $11$ est premier mais $2^{11}-1$ ne l'est pas : ce contre-exemple montre que Léa a tort. (0,5 pt pour $2047$ + 0,5 pt pour $23\times 89$ et la conclusion) (1)
3. c)$2^4-1=15=3\times 5$ ; $2^6-1=63=3^2\times 7$ ; $2^9-1=511=7\times 73$ ($73$ est premier). Aucun des trois n'est premier : les exemples vont dans le sens de Hugo, mais ils ne prouvent rien pour tous les nombres $n$ ; des exemples ne suffisent jamais à prouver une affirmation générale (elle est pourtant vraie, mais sa démonstration dépasse le collège). (0,5 pt pour les décompositions + 0,5 pt pour la réponse sur la preuve) (1)

Piège — des exemples qui marchent ne prouvent pas une affirmation générale ; en revanche, un seul contre-exemple, comme $2^{11}-1=23\times 89$, suffit à la rendre fausse.

1. a)$200=2^3\times 5^2$. Un diviseur contient au plus trois facteurs $2$ et au plus deux facteurs $5$ : on croise $1$, $2$, $4$, $8$ avec $1$, $5$, $25$. Diviseurs : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $8$ ; $10$ ; $20$ ; $25$ ; $40$ ; $50$ ; $100$ ; $200$, soit $4\times 3=12$ diviseurs. (0,5 pt pour la décomposition + 0,5 pt pour la liste complète) (1)
2. b)Un diviseur de $2^4\times 3^2$ s'écrit avec une puissance de $2$ parmi $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ ($5$ choix) et une puissance de $3$ parmi $1$, $3$, $9$ ($3$ choix) : il y a $5\times 3=15$ diviseurs. (0,5 pt pour $5\times 3$ + 0,5 pt pour la justification des choix) (1)
3. c)Chaque produit $d\times e$ égal au nombre donne deux diviseurs ($8\times 25=200$ par exemple), donc les diviseurs vont par paires, ce qui en fait un nombre pair… sauf si une paire est formée de deux diviseurs égaux, $d\times d$ : le nombre est alors $d^2$, un carré parfait, et $d$ est sa racine carrée. Un nombre impair de diviseurs oblige donc à avoir une telle paire : le nombre est un carré parfait. Exemples : $200$ a $12$ diviseurs (six paires) et n'est pas un carré parfait (${14}^2=196<200<225={15}^2$) ; $2^4\times 3^2=144={12}^2$ a $15$ diviseurs, et $12$ est seul dans sa paire ($12\times 12=144$). (1 pt ; 0,5 pt pour une simple vérification sur les exemples) (1)
4. d)D'après la question précédente, ce nombre doit être un carré parfait. $36=2^2\times 3^2$ convient : $3\times 3=9$ diviseurs, à savoir $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; $18$ ; $36$. Autre réponse juste : $100=2^2\times 5^2$, qui a aussi $3\times 3=9$ diviseurs ; ce sont les deux seules. (1 pt : 0,5 pour le nombre, 0,5 pour la justification) (1)

Astuce — les diviseurs d'un nombre vont par paires ($8\times 25=200$) ; seul un carré parfait possède un diviseur « seul dans sa paire » : sa racine carrée, comme $12$ pour $144$.

1. a)Le côté de la plaque vaut $\sqrt{400}=20$ cm, car ${20}^2=400$. Couper au milieu des côtés divise le côté par $2$ : après la première étape, chaque carré a pour côté $10$ cm (contrôle : $4\times {10}^2=400$ cm²). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Chaque étape multiplie le nombre de carrés par $4$ : $4\times 4\times 4=4^3=64$ carrés, et $4^3={\left(2^2\right)}^3=2^6$. Le côté est divisé par $2$ à chaque étape : $20÷2^3=20÷8=2,5$ cm. Contrôle : $64\times 2,5^2=64\times 6,25=400$ cm². (0,5 pt pour $4^3=2^6=64$ + 0,5 pt pour $2,5$ cm) (1)
3. c)Après $n$ étapes, il y a $4^n$ carrés, et le côté d'un carré mesure ${\displaystyle \frac{20}{2^n}}$ cm (soit $20÷2^n$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$1$ µm $={10}^{-6}$ m $={10}^{-4}$ cm. On veut ${\displaystyle \frac{20}{2^n}}<{10}^{-4}$, c'est-à-dire $2^n>20÷{10}^{-4}=20\times {10}^4=200000$. Or $2^{17}=131072$ ne dépasse pas $200000$, alors que $2^{18}=262144$ le dépasse : il faut $18$ étapes (après $17$ étapes, le côté mesure encore environ $1,5$ µm). (0,5 pt pour la conversion + 0,5 pt pour $18$ étapes justifiées) (1)
5. e)Il y a alors $4^{18}$ carrés : $4^{18}=68719476736\approx 6,87\times {10}^{10}$ (la calculatrice affiche 6.871947674E10). (0,5 pt pour $4^{18}$ + 0,5 pt pour $6,87\times {10}^{10}$) (1)

Piège — on compare des longueurs dans la même unité : $1$ µm vaut ${10}^{-4}$ cm ; et c'est le côté qui est divisé par $2$ à chaque étape, pendant que le nombre de carrés est multiplié par $4$.