Puissances : exposant positif et puissances de 10

1. a)$2^5\times 2^3=2^8$ ($5+3=8$ facteurs égaux à $2$), et $2^8=256$ (1)
2. b)$(-3{)}^4=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81$ (exposant pair). Dans $-3^4$, l’exposant ne porte que sur $3$ : $-3^4=-(3^4)=-81$ (1)
3. c)$(-7{)}^9$ est négatif (exposant $9$ impair) ; $(-7{)}^{12}$ est positif (exposant $12$ pair) (1)
4. d)$A=3+2\times 25-1$ (puissances, $4^0=1$) ; $A=3+50-1$ (produit) ; $A=52$ (1)

Méthode — L’exposant compte les facteurs ; pour le signe, on regarde si la base négative est entre parenthèses et si l’exposant est pair.

1. a)On simplifie $4$ facteurs égaux à $7$ : il en reste $9-4=5$, donc ${\displaystyle \frac{7^9}{7^4}}=7^5$ (1)
2. b)$(5^3{)}^4=5^3\times 5^3\times 5^3\times 5^3$ : $4$ fois $3$ facteurs, donc $5^{12}$ (1)
3. c)On ne peut regrouper que des produits de puissances d’un même nombre, pas une somme. $3^4+3^2=81+9=90$, alors que $3^6=729$ (1)
4. d)Au numérateur, $6+5=11$ facteurs : $2^{11}$. On en simplifie $8$ : $2^3$, qui vaut $8$ (1)

Le point clé — Même base et produit (ou quotient) : on compte les facteurs. Une somme ne se regroupe jamais.

1. a)${10}^5=100000$ ; ${10}^{-7}=0,0000001$ ($7$ chiffres après la virgule) ; ${10}^0=1$ (1)
2. b)${10}^{-3}\times {10}^7={10}^4$ ($-3+7=4$), puis ${\displaystyle \frac{{10}^4}{{10}^2}}={10}^2=100$ (1)
3. c)$8,4\times {10}^4=84000$ (virgule décalée de $4$ rangs vers la droite) ; $36\times {10}^{-5}=0,00036$ ($5$ rangs vers la gauche) (1)
4. d)${10}^{-6}<{10}^{-2}<{10}^0<{10}^3$, c’est-à-dire $0,000001<0,01<1<1000$ (1)

Méthode — Exposant positif : on compte les zéros ; exposant négatif : on compte les chiffres après la virgule. Plus l’exposant est grand, plus le nombre est grand.

1. a)Méga $={10}^6$ : $1$ Mo $={10}^6$ octets ; nano $={10}^{-9}$ : $1$ ns $={10}^{-9}$ s (1)
2. b)$65$ µm $=65\times {10}^{-6}$ m $=0,000065$ m ; $0,8$ GW $=0,8\times {10}^9$ W $=800000000$ W (1)
3. c)$6$ Go $=6\times {10}^9$ octets $=6000$ Mo, et $6000÷750=8$ : $8$ fichiers (1)
4. d)$1$ mm $={10}^{-3}$ m $={10}^6$ nm ; $1000000÷5=200000$ traits (1)

Repère — On remplace chaque préfixe par sa puissance de $10$ ; pour comparer deux préfixes, on compte les rangs qui les séparent (de milli à nano : ${10}^6$).

1. a)Sur la case $n$, il y a $2^{n-1}$ grains (case $1$ : $2^0=1$). Sur la 10ᵉ case : $2^9=512$ grains (1)
2. b)$2^{20}$ grains sont sur la 21ᵉ case. Masse : $1048576\times 0,025=26214,4$ g, soit environ $26,2$ kg (1)
3. c)$1100\times {10}^9\times 0,025$ g $=27,5\times {10}^9$ g, et $27,5\times {10}^9÷{10}^6=27,5\times {10}^3$ : environ $27500$ tonnes (1)
4. d)$18\times {10}^{18}\times 0,025$ g $=0,45\times {10}^{18}$ g $=450\times {10}^{15}$ g $=450\times {10}^9$ t. Puis ${\displaystyle \frac{450\times {10}^9}{500\times {10}^6}}=0,9\times {10}^3=900$ : environ $900$ années (1)

Méthode — Un doublement répété s’écrit avec une puissance de $2$ ; pour les très grands nombres, on regroupe les puissances de $10$ et on convertit avec les préfixes.