Racine carrée : définition et carrés parfaits

Calcule.

1. ${21}^2=$
   $21\times 21=441$.
2. $2,2^2=$
   $22\times 22=484$, avec $2$ chiffres après la virgule : $2,2^2=4,84$.
3. $0,{07}^2=$
   $7\times 7=49$, avec $4$ chiffres après la virgule : $0,{07}^2=0,0049$.
4. ${200}^2=$
   $2^2=4$, suivi de quatre zéros : $200\times 200=40000$.
5. Aire d’un carré de $7,5$ cm de côté : cm²
   $7,5^2=7,5\times 7,5=56,25$ cm².

Utilise la table des carrés parfaits.

1. Parmi $72$ ; $81$ ; $96$ ; $121$ ; $150$, les carrés parfaits sont : ;
   $81=9^2$ et $121={11}^2$. En revanche $64<72<81$, $81<96<100$ et $144<150<169$ : $72$, $96$ et $150$ ne sont pas des carrés parfaits.
2. Le plus petit carré parfait plus grand que $200$ :
   ${14}^2=196$ est plus petit que $200$ ; ${15}^2=225$ est le suivant.
3. Nombre de carrés parfaits compris entre $200$ et $400$ ($400$ compris) :
   ${15}^2=225$, ${16}^2=256$, ${17}^2=289$, ${18}^2=324$, ${19}^2=361$, ${20}^2=400$ : il y en a $6$.
4. Le plus grand carré parfait plus petit que $1000$ :
   ${30}^2=900$, ${31}^2=961$ et ${32}^2=1024$ dépasse $1000$ : c’est $961$.

Raisonne avec les carrés.

1. $0,0081={\dots }^2$ : la base positive est
   $81=9^2$ ; $0,0081$ a $4$ chiffres après la virgule, donc le nombre cherché en a $2$ : $0,{09}^2=0,0081$.
2. $12100={\dots }^2$ : la base positive est
   $121={11}^2$, et $12100=121\times 100$ : ${110}^2=12100$.
3. Sans calculer ${47}^2$, son chiffre des unités :
   Le chiffre des unités de $47\times 47$ est celui de $7\times 7=49$ : c’est $9$ (${47}^2=2209$).
4. Un carré a un périmètre de $34$ cm. Son aire : cm²
   Côté : $34÷4=8,5$ cm. Aire : $8,5^2=72,25$ cm².

Calcule sans calculatrice.

1. $\sqrt{81}=$
   $9^2=81$ et $9$ est positif : $\sqrt{81}=9$.
2. $\sqrt{144}=$
   ${12}^2=144$ : $\sqrt{144}=12$.
3. $\sqrt{225}=$
   ${15}^2=225$ : $\sqrt{225}=15$.
4. $\sqrt{0}=$
   $0^2=0$ : $\sqrt{0}=0$.
5. $\sqrt{361}=$
   ${19}^2=361$ : $\sqrt{361}=19$ (vérification : $19\times 19=190+171=361$).

Calcule (nombres décimaux et grands nombres).

1. $\sqrt{0,25}=$
   $0,5^2=0,25$ : $\sqrt{0,25}=0,5$.
2. $\sqrt{3,61}=$
   $361={19}^2$, donc $1,9^2=3,61$ : $\sqrt{3,61}=1,9$.
3. $\sqrt{0,0016}=$
   $16=4^2$ ; $0,0016$ a $4$ chiffres après la virgule, la racine en a $2$ : $0,{04}^2=0,0016$.
4. $\sqrt{14400}=$
   $144={12}^2$ et ${120}^2=14400$ : $\sqrt{14400}=120$.
5. $\sqrt{490000}=$
   ${700}^2=49\times 10000=490000$ : $\sqrt{490000}=700$.

Calcule en respectant les priorités.

1. $\sqrt{200-56}=$
   Sous la racine d’abord : $200-56=144$, et $\sqrt{144}=12$.
2. $5\sqrt{9}-\sqrt{169}=$
   $5\sqrt{9}=5\times 3=15$ et $\sqrt{169}=13$ : $15-13=2$.
3. $(\sqrt{23}{)}^2=$
   Par définition, $(\sqrt{a}{)}^2=a$ : $(\sqrt{23}{)}^2=23$, sans calculer $\sqrt{23}$.
4. $\sqrt{3\times 27}=$
   $3\times 27=81$, et $\sqrt{81}=9$.

Encadre chaque racine carrée entre deux entiers consécutifs, sans calculatrice.

1. $<\sqrt{83}<$
   $81<83<100$, c’est-à-dire $9^2<83<{10}^2$, donc $9<\sqrt{83}<10$.
2. $<\sqrt{12}<$
   $9<12<16$, donc $3<\sqrt{12}<4$.
3. $<\sqrt{118}<$
   $100<118<121$, donc $10<\sqrt{118}<11$.
4. $<\sqrt{33}<$
   $25<33<36$, donc $5<\sqrt{33}<6$.

Avec la calculatrice, donne une valeur approchée à la précision demandée.

1. $\sqrt{500}\approx$ (au dixième)
   La calculatrice affiche $22,360679\dots$ : le chiffre des centièmes est $6$, on arrondit au dixième supérieur, $\sqrt{500}\approx 22,4$. Contrôle : ${22}^2=484<500<529={23}^2$.
2. $\sqrt{7,5}\approx$ (au centième)
   La calculatrice affiche $2,738612\dots$ : $\sqrt{7,5}\approx 2,74$.
3. $\sqrt{1000}\approx$ (à l’unité)
   La calculatrice affiche $31,622776\dots$ : à l’unité, $\sqrt{1000}\approx 32$.
4. $\sqrt{0,5}\approx$ (au centième)
   La calculatrice affiche $0,707106\dots$ : $\sqrt{0,5}\approx 0,71$. La racine est plus grande que $0,5$, car $0,5$ est compris entre $0$ et $1$.

Raisonne avec des carrés (sans calculatrice).

1. Encadrement au dixième : $<\sqrt{29}<$
   $25<29<36$ : $5<\sqrt{29}<6$. Puis $5,3^2=28,09$ et $5,4^2=29,16$ : $28,09<29<29,16$, donc $5,3<\sqrt{29}<5,4$.
2. Nombre d’entiers compris entre $\sqrt{15}$ et $\sqrt{75}$ :
   $9<15<16$ donne $3<\sqrt{15}<4$ ; $64<75<81$ donne $8<\sqrt{75}<9$. Les entiers compris entre les deux sont $4$, $5$, $6$, $7$ et $8$ : il y en a $5$.
3. L’entier le plus proche de $\sqrt{56}$ :
   $49<56<64$ : $7<\sqrt{56}<8$. Carré du milieu : $7,5^2=56,25$. Comme $56<56,25$, $\sqrt{56}<7,5$ : l’entier le plus proche est $7$.
4. Le plus petit entier $n$ tel que $\sqrt{n}>6,5$ :
   $\sqrt{n}>6,5$ veut dire $n>6,5^2=42,25$. Le plus petit entier qui convient est $43$.
5. Le plus grand entier $n$ tel que $n<\sqrt{700}$ :
   ${26}^2=676<700$ et ${27}^2=729>700$ : $26<\sqrt{700}<27$. C’est $26$.

Donne la longueur du côté d’un carré dont on connaît l’aire (valeur approchée seulement si c’est demandé).

1. Aire $400$ cm² : côté cm
   $\sqrt{400}=20$, car ${20}^2=400$ : le côté mesure $20$ cm.
2. Aire $3,24$ m² : côté m
   ${18}^2=324$, donc $1,8^2=3,24$ : $\sqrt{3,24}=1,8$ m.
3. Aire $75$ cm² : côté $\approx$ cm (au dixième)
   Côté $=\sqrt{75}$ cm ; $64<75<81$, il est entre $8$ et $9$ cm. Calculatrice : $\sqrt{75}\approx 8,66$, soit $8,7$ cm au dixième.
4. Aire $12$ m² : côté $\approx$ m (au centième)
   Côté $=\sqrt{12}$ m ; calculatrice : $3,4641\dots$, soit $3,46$ m au centième.

Agrandissement et réduction.

1. Un agrandissement de rapport $5$ multiplie les aires par
   Les longueurs sont multipliées par $5$, les aires par $5^2=25$.
2. Une réduction de rapport $0,5$ multiplie les aires par
   Les aires sont multipliées par $0,5^2=0,25$ : elles sont divisées par $4$.
3. Pour multiplier les aires par $49$, on multiplie les longueurs par
   Il faut $k^2=49$, avec $k$ positif : $k=\sqrt{49}=7$.
4. Pour multiplier les aires par $3$, on multiplie les longueurs par environ (au centième)
   Il faut $k^2=3$ : $k=\sqrt{3}\approx 1,73$ (calculatrice : $1,73205\dots$).

Triangles rectangles et théorème de Pythagore (BC² = AB² + AC² pour un triangle ABC rectangle en A).

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et on a calculé $B{C}^2=61$ (longueurs en cm). $BC\approx$ cm (au dixième)
   $BC=\sqrt{61}$ cm (une longueur est positive) ; calculatrice : $7,810\dots$, soit $BC\approx 7,8$ cm.
2. Les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent $9$ cm et $12$ cm. L’hypoténuse mesure cm
   Carré de l’hypoténuse : $9^2+{12}^2=81+144=225$. Hypoténuse : $\sqrt{225}=15$ cm.
3. La diagonale d’un carré de $3$ cm de côté mesure $\approx$ cm (au dixième)
   La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $3$ cm : $d^2=9+9=18$. $d=\sqrt{18}\approx 4,24$, soit $4,2$ cm.