Puissances : la notation scientifique

Écris en écriture décimale.

1. ${10}^7=$
   Le $1$ suivi de $7$ zéros : $10000000$ (dix millions).
2. $4,06\times {10}^3=$
   La virgule se décale de $3$ rangs vers la droite : $4060$.
3. $73\times {10}^{-4}=$
   La virgule se décale de $4$ rangs vers la gauche : $0,0073$.
4. $0,59\times {10}^2=$
   Multiplier par ${10}^2=100$ décale la virgule de $2$ rangs : $59$.

Écris sous la forme ${10}^n$ : donne l’exposant $n$.

1. ${10}^5\times {10}^{-8}={10}^n$ : $n=$
   $5+(-8)=-3$.
2. ${10}^{-4}\times {10}^{-2}={10}^n$ : $n=$
   $(-4)+(-2)=-6$.
3. ${10}^3÷{10}^7={10}^n$ : $n=$
   $3-7=-4$ : $1000÷10000000=0,0001$.
4. ${10}^{-1}÷{10}^{-6}={10}^n$ : $n=$
   $-1-(-6)=-1+6=5$.

Ordre de grandeur : arrondis chaque nombre pour ne garder qu’un seul chiffre non nul, puis calcule de tête.

1. $812\times 3,9\approx$
   $800\times 4=3200$ (le résultat exact est $3166,8$).
2. $0,21\times 4870\approx$
   $0,2\times 5000=1000$ (le résultat exact est $1022,7$).
3. $6190÷2,9\approx$
   $6000÷3=2000$ (le quotient exact vaut environ $2134,5$).
4. Ali trouve $245,96$ pour le produit $47,3\times 0,52$. Un ordre de grandeur de ce produit :
   $50\times 0,5=25$ : le résultat d’Ali est environ $10$ fois trop grand, sa virgule est mal placée. Le produit exact est $24,596$.

Écris en notation scientifique $a\times {10}^n$ : donne $a$, puis $n$.

1. $58000$ : $a=$ et $n=$
   $58000=5,8\times {10}^4$ : la virgule se décale de $4$ rangs vers la gauche.
2. $0,00061$ : $a=$ et $n=$
   $0,00061=6,1\times {10}^{-4}$ : la virgule se décale de $4$ rangs vers la droite, le nombre est plus petit que $1$.
3. $274000000$ : $a=$ et $n=$
   $274000000=2,74\times {10}^8$.
4. $0,09$ : $a=$ et $n=$
   $0,09=9\times {10}^{-2}$.
5. $3,3$ : $a=$ et $n=$
   $3,3$ est déjà entre $1$ et $10$ : $3,3=3,3\times {10}^0$.

Écris en écriture décimale.

1. $1,9\times {10}^6=$
   La virgule se décale de $6$ rangs vers la droite : $1900000$.
2. $7,04\times {10}^{-3}=$
   La virgule se décale de $3$ rangs vers la gauche : $0,00704$.
3. $5\times {10}^{-5}=$
   $5$ fois $0,00001$ : $0,00005$.
4. $8,316\times {10}^2=$
   La virgule se décale de $2$ rangs vers la droite : $831,6$.

Écris en notation scientifique : donne $a$, puis $n$.

1. $236\times {10}^{-9}$ : $a=$ et $n=$
   $236=2,36\times {10}^2$, donc $236\times {10}^{-9}=2,36\times {10}^{2+(-9)}=2,36\times {10}^{-7}$.
2. $0,45\times {10}^6$ : $a=$ et $n=$
   $0,45=4,5\times {10}^{-1}$, donc $0,45\times {10}^6=4,5\times {10}^5$.
3. ${\displaystyle \frac{17}{100000}}$ : $a=$ et $n=$
   ${\displaystyle \frac{17}{100000}}=0,00017=1,7\times {10}^{-4}$.
4. $62$ nm, en mètres : $a=$ et $n=$
   $1$ nm $={10}^{-9}$ m : $62$ nm $=62\times {10}^{-9}$ m $=6,2\times {10}^{-8}$ m.
5. $0,003\times {10}^{-2}$ : $a=$ et $n=$
   $0,003=3\times {10}^{-3}$, donc $0,003\times {10}^{-2}=3\times {10}^{-5}$.

Complète par $<$ ou $>$.

1. $4,7\times {10}^5$ $1,3\times {10}^6$
   Exposants $5<6$ : $4,7\times {10}^5<1,3\times {10}^6$ ($470000<1300000$).
2. $2,05\times {10}^{-3}$ $2,5\times {10}^{-3}$
   Même exposant : on compare $2,05$ et $2,50$ ; $2,05<2,5$.
3. $1,1\times {10}^{-7}$ $9,9\times {10}^{-8}$
   Exposants $-7>-8$ : $1,1\times {10}^{-7}$ est le plus grand, même si $1,1<9,9$.
4. $36\times {10}^4$ $5\times {10}^5$
   $36\times {10}^4=3,6\times {10}^5$, et $3,6<5$.

Range dans l’ordre croissant : recopie les lettres.

1. $A=3,1\times {10}^4$ ; $B=9\times {10}^3$ ; $C=1,02\times {10}^5$ ; $D=2,9\times {10}^4$ : $<$ $<$ $<$
   Exposants : $3$ pour $B$, $4$ pour $A$ et $D$, $5$ pour $C$. Entre $A$ et $D$ : $2,9<3,1$. Donc $B<D<A<C$.
2. $E=6\times {10}^{-8}$ ; $F=1,5\times {10}^{-7}$ ; $G=4,2\times {10}^{-8}$ ; $H=1,05\times {10}^{-7}$ : $<$ $<$ $<$
   $-8<-7$ : $E$ et $G$ sont les plus petits, et $4,2<6$. Puis $1,05<1,5$. Donc $G<E<H<F$.

Ordre de grandeur : donne l’exposant $n$ de la puissance de $10$ la plus proche.

1. $8,9\times {10}^6$ : ${10}^n$ avec $n=$
   $8,9$ est proche de $10$ : l’ordre de grandeur est ${10}^7$.
2. $1,8\times {10}^{-5}$ : ${10}^n$ avec $n=$
   $1,8$ est proche de $1$ : l’ordre de grandeur est ${10}^{-5}$.
3. $73000$ : ${10}^n$ avec $n=$
   $73000=7,3\times {10}^4$ ; $7,3$ est proche de $10$ : l’ordre de grandeur est ${10}^5$.
4. $0,00081$ : ${10}^n$ avec $n=$
   $0,00081=8,1\times {10}^{-4}$ ; $8,1$ est proche de $10$ : $10\times {10}^{-4}={10}^{-3}$.

Calcule et donne le résultat en notation scientifique : $a$, puis $n$.

1. $(3\times {10}^4)\times (2\times {10}^5)$ : $a=$ et $n=$
   $(3\times 2)\times {10}^{4+5}=6\times {10}^9$.
2. $(1,5\times {10}^{-3})\times (5\times {10}^7)$ : $a=$ et $n=$
   $(1,5\times 5)\times {10}^{-3+7}=7,5\times {10}^4$.
3. $(8\times {10}^9)÷(2\times {10}^3)$ : $a=$ et $n=$
   $(8÷2)\times {10}^{9-3}=4\times {10}^6$.
4. $(6,3\times {10}^{-2})÷(9\times {10}^4)$ : $a=$ et $n=$
   $(6,3÷9)\times {10}^{-2-4}=0,7\times {10}^{-6}=7\times {10}^{-7}$.

Même consigne : le premier résultat n’est pas toujours entre $1$ et $10$.

1. $(5\times {10}^6)\times (7\times {10}^{-2})$ : $a=$ et $n=$
   $35\times {10}^4=3,5\times {10}^1\times {10}^4=3,5\times {10}^5$.
2. $(2,4\times {10}^{-5})\times (5\times {10}^{-3})$ : $a=$ et $n=$
   $(2,4\times 5)\times {10}^{-5+(-3)}=12\times {10}^{-8}=1,2\times {10}^{-7}$.
3. ${\displaystyle \frac{1,8\times {10}^{11}}{6\times {10}^4}}$ : $a=$ et $n=$
   $(1,8÷6)\times {10}^{11-4}=0,3\times {10}^7=3\times {10}^6$.
4. ${\displaystyle \frac{2\times {10}^{-4}}{8\times {10}^{-9}}}$ : $a=$ et $n=$
   $(2÷8)\times {10}^{-4-(-9)}=0,25\times {10}^5=2,5\times {10}^4$.

Calcule, en suivant la forme demandée.

1. $(2\times {10}^3)\times (4,5\times {10}^{-5})$, en écriture décimale :
   $(2\times 4,5)\times {10}^{3-5}=9\times {10}^{-2}=0,09$.
2. $(8\times {10}^4)\times (5\times {10}^2)=4\times {10}^n$ : $n=$
   $40\times {10}^6=4\times {10}^1\times {10}^6=4\times {10}^7$.
3. $6\times {10}^4+2\times {10}^3$, en écriture décimale :
   Une somme se calcule en écriture décimale : $60000+2000=62000$ (soit $6,2\times {10}^4$).
4. ${\displaystyle \frac{4\times {10}^5\times 3\times {10}^{-2}}{8\times {10}^{-3}}}$ : $a=$ et $n=$
   ${\displaystyle \frac{4\times 3}{8}}=1,5$ et $5+(-2)-(-3)=6$ : $1,5\times {10}^6$.
5. $(3\times {10}^{-4}{)}^2$ : $a=$ et $n=$
   $(3\times {10}^{-4})\times (3\times {10}^{-4})=(3\times 3)\times {10}^{-4+(-4)}=9\times {10}^{-8}$.

Une calculatrice affiche ces résultats. Lis-les.

1. 7.25E11 $=7,25\times {10}^n$ : $n=$
   7.25E11 se lit $7,25\times {10}^{11}$.
2. 4.8E−6, en écriture décimale :
   $4,8\times {10}^{-6}$ : la virgule se décale de $6$ rangs vers la gauche, $0,0000048$.
3. 1.03E5, en écriture décimale :
   $1,03\times {10}^5$ : la virgule se décale de $5$ rangs vers la droite, $103000$.

Calcule à la calculatrice, puis donne le résultat en notation scientifique, $a$ arrondi au centième.

1. ${\displaystyle \frac{5,2\times {10}^7}{3\times {10}^{-4}}}$ : $a\approx$ et $n=$
   $(5,2÷3)\times {10}^{7-(-4)}\approx 1,733\times {10}^{11}$, soit environ $1,73\times {10}^{11}$.
2. $(6,02\times {10}^{23})\times (3,5\times {10}^{-2})$ : $a\approx$ et $n=$
   $(6,02\times 3,5)\times {10}^{23-2}=21,07\times {10}^{21}=2,107\times {10}^{22}$, soit environ $2,11\times {10}^{22}$.
3. ${\displaystyle \frac{9,81\times {10}^{-6}}{2,7\times {10}^3}}$ : $a\approx$ et $n=$
   $(9,81÷2,7)\times {10}^{-6-3}\approx 3,633\times {10}^{-9}$, soit environ $3,63\times {10}^{-9}$.

Petits problèmes.

1. Combien de fois $4,8\times {10}^9$ est-il plus grand que $1,6\times {10}^5$ ?
   $(4,8÷1,6)\times {10}^{9-5}=3\times {10}^4=30000$ fois.
2. Une vis pèse $2,5\times {10}^{-3}$ kg. Masse de $4\times {10}^6$ vis, en kg (écriture décimale) :
   $(2,5\times 4)\times {10}^{-3+6}=10\times {10}^3={10}^4$ kg, soit $10000$ kg (dix tonnes).
3. Un fil de $2$ cm est découpé en morceaux de $5\times {10}^{-6}$ m. Combien de morceaux ?
   Même unité d’abord : $2$ cm $=2\times {10}^{-2}$ m. Puis $(2÷5)\times {10}^{-2-(-6)}=0,4\times {10}^4=4000$ morceaux.