Fiche de révision : la racine carrée

Rappels de 5e (carré d’un nombre, carrés parfaits de 1 à 144), définition de la racine carrée d’un nombre positif, racines carrées des carrés parfaits et de nombres décimaux, calculs avec des racines carrées, encadrement entre deux entiers consécutifs, valeur approchée à la calculatrice, racine carrée et aires, agrandissement-réduction et théorème de Pythagore.

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Racine carrée : définition et carrés parfaits

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Nombres et calculs · Racine carrée)

La démarche pour trouver ou utiliser une racine carrée

1. Je vérifie le signe. $\sqrt{a}$ n’existe que si $a$ est positif ou nul, et le résultat est toujours positif ou nul.

2. Je cherche un carré parfait. Si $a$ est un carré parfait (ou un décimal qui en vient, comme $1, 69$ qui vient de $169$ ), $\sqrt{a}$ se calcule exactement.

3. Sinon, j’encadre puis j’arrondis. J’encadre $a$ entre deux carrés parfaits consécutifs ; la calculatrice donne ensuite une valeur approchée, écrite avec $\approx$ .

4. Je vérifie en élevant ma réponse au carré.

Le réflexe — √a est le nombre positif dont le carré vaut a : on le trouve dans la table des carrés, et on le vérifie en le mettant au carré.

Cas 1 · Carrés et carrés parfaits (rappels de 5e)

Réflexe — j’écris le produit des deux facteurs égaux ; pour reconnaître un carré parfait, je le place entre deux carrés de la table.

Exemple 1. Calculer $1, 4^{2}$ et $80^{2}$ .

$1, 4^{2} = 1, 4 \times 1, 4 = 1, 96$ ( $14 \times 14 = 196$ , avec $2$ chiffres après la virgule).

$80^{2} = 80 \times 80 = 6 400$ ( $8^{2} = 64$ , suivi de deux zéros).

Exemple 2. $250$ est-il un carré parfait ?

$15^{2} = 225$ et $16^{2} = 256$ : $225 < 250 < 256$ , et aucun entier n’est compris entre $15$ et $16$ .

$250$ n’est pas un carré parfait.

Attention — $a^{2}$ n’est pas $a \times 2$ , et le carré d’un nombre compris entre $0$ et $1$ est plus petit que lui.

Cas 2 · Calculer une racine carrée

Réflexe — je cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre sous la racine ; je calcule d’abord tout ce qui est sous la barre.

Exemple 1. Calculer $\sqrt{121}$ , $\sqrt{7, 29}$ et $\sqrt{8 100}$ .

$\sqrt{121} = 11$ , car $11^{2} = 121$ .

$\sqrt{7, 29} = 2, 7$ , car $27^{2} = 729$ , donc $2, 7^{2} = 7, 29$ .

$\sqrt{8 100} = 90$ , car $90^{2} = 8 100$ .

Exemple 2. Calculer $B = 4 \sqrt{25} - \sqrt{169 - 144}$ .

Sous la deuxième racine d’abord : $169 - 144 = 25$ .

$B = 4 \times 5 - \sqrt{25} = 20 - 5 = 15$ .

Attention — $\sqrt{a + b}$ n’est pas $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ , et $\sqrt{a}$ n’est pas la moitié de $a$ .

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Cas 3 · Encadrer une racine carrée, valeur approchée

Réflexe — je cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent le nombre ; pour le dixième, j’essaie les carrés des dixièmes.

Exemple. Encadrer $\sqrt{95}$ entre deux entiers consécutifs, puis au dixième, et en donner une valeur approchée au centième.

$81 < 95 < 100$ , c’est-à-dire $9^{2} < 95 < 10^{2}$ , donc $9 < \sqrt{95} < 10$ .

$9, 7^{2} = 94, 09$ et $9, 8^{2} = 96, 04$ : $94, 09 < 95 < 96, 04$ , donc $9, 7 < \sqrt{95} < 9, 8$ .

Calculatrice : $\sqrt{95} \approx 9, 75$ .

Attention — une valeur approchée s’écrit avec $\approx$ , jamais avec $=$ ; la valeur exacte reste $\sqrt{95}$ .

Cas 4 · Racine carrée, aires et longueurs

Réflexe — une aire ou un carré de longueur → je prends la racine carrée ; j’arrondis seulement à la fin, avec l’unité.

Exemple 1. Un carré a une aire de $60$ cm². Donner la longueur de son côté au centième.

Côté $= \sqrt{60}$ cm (valeur exacte). $49 < 60 < 64$ : il est compris entre $7$ cm et $8$ cm.

Calculatrice : $\sqrt{60} \approx 7, 75$ cm.

Exemple 2. Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne $A C^{2} = 52$ (longueurs en cm). Donner $A C$ au dixième.

$A C = \sqrt{52}$ cm (une longueur est positive), soit $A C \approx 7, 2$ cm.

Attention — un agrandissement de rapport $k$ multiplie les aires par $k^{2}$ ; pour multiplier une aire par $m$ , on multiplie les longueurs par $\sqrt{m}$ .

Les pièges

Écrire $\sqrt{100} = 50$ : la racine carrée n’est pas la moitié ; $\sqrt{100} = 10$ , car $10^{2} = 100$ .
Écrire $\sqrt{81 + 144} = 9 + 12 = 21$ : on calcule d’abord sous la racine, $\sqrt{225} = 15$ .
Écrire $\sqrt{0, 01} = 0, 01$ ou $0, 001$ : $\sqrt{0, 01} = 0, 1$ , car $0, 1^{2} = 0, 01$ .
Écrire $\sqrt{11} = 3, 32$ : c’est une valeur approchée, on écrit $\sqrt{11} \approx 3, 32$ .
Écrire $\sqrt{- 4} = - 2$ : $\sqrt{- 4}$ n’existe pas ; c’est $- \sqrt{4}$ qui vaut $- 2$ .
Croire qu’un agrandissement de rapport $2$ double l’aire : il la multiplie par $2^{2} = 4$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour trouver ou utiliser une racine carrée : vérifier le signe, chercher un carré parfait, sinon encadrer puis arrondir avec ≈. Un exemple corrigé par cas (carré parfait ou non, √7,29 et √8 100, encadrement de √95, côté d’un carré de 60 cm²) et les pièges les plus fréquents.

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